第2章 直线和圆的方程 本章总结提升(Word讲义)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册学生用书（人教A版）

该高中数学单元复习讲义通过题型分类系统构建直线与圆的知识体系，以[类型总述]梳理直线方程形式、位置关系、距离类型等核心知识点，用层级框架呈现知识脉络，突出重难点内在联系。 讲义亮点在于高考真题与变式训练结合，如例3(2)以2022全国乙卷过三点求圆方程为例，引导学生运用圆的标准方程和一般方程解决问题，培养运算能力和推理意识。分层设计例题与变式题，基础题巩固方法，综合题提升应用能力，助力教师实施精准教学，学生自主复习时明确方向。

本章总结提升 ◆ 题型一　直线方程、两条直线的位置关系 [类型总述] (1)直线方程的形式:①点斜式;②斜截式;③两点式;④截距式;⑤一般式.(2)两条直线的位置关系:①平行;②垂直;③相交. 例1 (1)(多选题)记直线l1:mx+(2m-1)y+3=0,l2:x+m2y-3=0,则下列说法正确的是 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.l1过定点(-6,3) B.l2的倾斜角为钝角 C.若m=1,则l1∥l2 D.若l1⊥l2,则m=0 (2)求下列直线的方程. ①过点(2,1)且与直线x-2y+3=0平行的直线方程; ②已知A(2,4),C(-8,0),求线段AC的垂直平分线的方程. 变式 (1)(多选题)[2026·宿州十三校高二期中] 下列说法正确的是 (　 ) A.直线3x-y-1=0在y轴上的截距为1 B.如果AB<0,BC<0,那么直线Ax-By-C=0不经过第三象限 C.经过平面内任意相异两点(x1,y1),(x2,y2)的直线都可以用方程=表示 D.直线l的方程为x-ysin θ+2=0,则直线l的倾斜角α的取值范围是 (2)[2026·湖北华中师大一附中高二期中] 已知△ABC的顶点B(1,4),AB边上的中线CM所在直线方程为x+3y-6=0,∠BAC的平分线所在直线方程为x-y+1=0. (i)求A点的坐标和直线AC的方程; (ii)求BC边上的高所在直线方程. ◆ 题型二　距离问题 [类型总述] (1)点点距离;(2)点线距离;(3)线线距离;(4)与距离有关的最值问题. 例2 (1)已知A(-1,2),B(3,5),则与直线AB平行且距离为2的直线的方程为 (　 ) A.3x-4y+21=0 B.3x-4y-1=0 C.3x-4y+21=0或3x-4y+1=0 D.3x-4y-21=0或3x-4y-1=0 (2)直线l1:3ax-y-2=0和直线l2:(2a-1)x+5ay-1=0分别过定点A和B,则|AB|=　　　　.  变式1 (1)[2024·北京卷] 圆x2+y2-2x+6y=0的圆心到直线x-y+2=0的距离为 (　 ) A. B.2 C.3 D.3 (2)若两条平行直线l1:x-2y+m=0(m>0)与l2:2x+ny-6=0之间的距离是2,则直线l1关于直线l2对称的直线方程为 (　 ) A.x-2y-13=0 B.x-2y+2=0 C.x-2y+4=0 D.x-2y-6=0 变式2 已知直线l的方程为(2-m)x+(2m+1)y+3m+4=0. (1)当m=1时,求点M(3,4)到直线l的距离; (2)当m=-3时,P为直线l上的一个动点,若A(1,4),B(3,5),求|PA|+|PB|的最小值. ◆ 题型三　圆的方程 [类型总述] (1)圆的标准方程;(2)圆的一般方程. 例3 (1)圆心坐标为(2,-1),且与y轴相切的圆的方程为 (　 ) A.(x+2)2+(y-1)2=1 B.(x+2)2+(y-1)2=4 C.(x-2)2+(y+1)2=1 D.(x-2)2+(y+1)2=4 (2)[2022·全国乙卷] 过四点(0,0),(4,0),(-1,1),(4,2)中的三点的一个圆的方程为　　　　　　　　　　　.  变式 (1)已知圆C经过原点O和点A(2,2),并且圆心在直线l:2x-y+5=0上,则圆C的方程为 (　 ) A.(x+1)2+(y-3)2=10 B.(x-1)2+(y+3)2=10 C.(x-3)2+(y+1)2=10 D.(x+3)2+(y-1)2=10 (2)若点(1,3)在圆x2+y2-ax-2ay+5a=0的外部,则正实数a的取值范围是　　　　.  ◆ 题型四　直线与圆、圆与圆的位置关系的应用 [类型总述] (1)直线与圆的位置;(2)圆与圆的位置;(3)弦长公式;(4)垂径定理. 例4 (1)[2025·天津卷] 直线l1:x-y+6=0与x轴交于点A,与y轴交于点B,与圆(x+1)2+(y-3)2=r2(r>0)交于C,D两点,若|AB|=3|CD|,则r=　　　　.  (2)(多选题)已知圆O1:x2+y2+2x=0与圆O2:x2+y2-2x-2y-2=0交于A,B两点,则 (　 ) A.两圆的公切线有2条 B.直线AB的方程为2x+y+1=0 C.|AB|= D.若动点P(x,y)在圆O1上,则x2+(y-1)2的最大值为+1 变式1 (1)[2025·全国一卷] 已知圆x2+(y+2)2=r2(r>0)上到直线y=x+2的距离为1的点有且仅有2个,则r的取值范围为 (　 ) A.(0,1) B.(1,3) C.(3,+∞) D.(0,+∞) (2)[2022·新高考全国Ⅰ卷] 写出与圆x2+y2=1和(x-3)2+(y-4)2=16都相切的一条直线的方程　　　　　　　　.  变式2 已知圆C过点M(4,-1),圆心C在直线x-y-4=0上,且圆C与x轴相切. (1)求圆C的方程; (2)已知圆C1:(x-1)2+(y-1)2=4与圆C交于A,B两点,过直线AB上(除线段AB部分)一点P分别作两圆的切线,切点分别为点E,F,求证:|PE|=|PF|. ◆ 题型五　圆中的最值问题 [类型总述] (1)与距离有关的最值问题;(2)与面积有关的最值问题;(3)与角或斜率有关的最值问题;(4)与代数式几何意义有关的最值问题. 例5 (1)(多选题)已知圆C:(x-1)2+(y-2)2=9,直线l:mx-y+1-2m=0,则下列说法正确的是 (　 ) A.当m=0时,l被圆C截得的弦长为2 B.l恒过点(2,1) C.当l被圆C截得的弦长最大时,l的斜率为1 D.l被圆C截得的弦长的最小值为2 (2)已知圆O的方程为x2+y2=16,直线l:x+y-8=0,点P是直线l上的一个动点,过P作圆O的两条切线,切点分别为A,B,则当四边形PAOB的面积最小时,直线AB的方程为 (　 ) A.x+y=4 B.3x+4y=4 C.2x+3y=4 D.x+y=1 例6 (多选题)已知实数x,y满足曲线C的方程x2+y2-4x+1=0,则下列说法正确的是 (　 ) A.y-x的最大值为-2 B.x2+y2的最大值为2+ C.的最大值为 D.曲线C上恒有四个点到直线mx-y-2m=0的距离等于 变式 (1)在平面直角坐标系中,过点A(0,a)向圆C:(x-2)2+(y-1)2=3引一条切线,切点为B,设|AB|=d1,点A到直线x-y+4=0的距离为d2,则当d1+d2取得最小值时,a的值为(　 ) A.1 B.2 C. D. (2)已知圆C1:x2+y2-2mx+m2-1=0和圆C2:x2+y2-2ny+n2-9=0恰有三条公切线,则(m-6)2+(n-8)2的最小值为 (　 ) A.36 B.3 C.10 D. ◆ 题型六　直线、圆的方程的应用 例7 在人工智能实验室中,一个追踪机器人从点A(0,0)出发,发现一个目标机器人在点B(3,6)处正欲逃跑,如图.追踪机器人的最大速度是目标机器人的最大速度的2倍.假设两个机器人均沿直线以最大速度移动. (1)若追踪机器人在点P处成功拦截目标机器人,求点P的轨迹方程. (2)无论目标机器人沿何方向逃跑,追踪机器人是否总能在安全区(直线x=8.4及其左侧)内成功拦截?并说明理由. 变式 如图,某公园有一形状可抽象为圆柱的标志性景观建筑物,该建筑物底面直径为8米,在其南面有一条东西走向的观景直道,建筑物的东、西两侧有与观景直道平行的两段辅道,观景直道与辅道之间的距离为10米.在建筑物底面中心O的东北方向20米的点A处,有一360°全景摄像头,其安装高度低于建筑物的高度. (1)在西辅道上与建筑物底面中心O的距离为5米处有一名游客,该游客是否在该摄像头的监控范围内? (2)求观景直道不在该摄像头的监控范围内的长度. 学科网（北京）股份有限公司 $ 本章总结提升 【素养提升】 题型一 例1　(1)ACD　[解析] 对于选项A,整理直线l1的方程得m(x+2y)+3-y=0,由解得则l1过定点(-6,3),故A正确;对于选项B,整理直线l2的方程得m2y=-x+3,当m2=0,即m=0时,l2的倾斜角为直角,故B错误;对于选项C,若m=1,则直线l1:x+y+3=0,l2:x+y-3=0,显然l1∥l2,故C正确;对于选项D,若l1⊥l2,则m+m2(2m-1)=m(2m2-m+1)=0,解得m=0,故D正确.故选ACD. (2)解:①设过点(2,1)且与直线x-2y+3=0平行的直线方程为x-2y+C=0(C≠3), 将(2,1)代入x-2y+C=0,解得C=0,所以过点(2,1)且与直线x-2y+3=0平行的直线方程为x-2y=0. ②线段AC的中点为(-3,2),直线AC的斜率为=,则线段AC的垂直平分线的斜率为-, 所以线段AC的垂直平分线的方程为y-2=-(x+3), 即5x+2y+11=0. 变式　(1)BD　[解析] 对于A,将x=0代入直线方程3x-y-1=0,可得-y-1=0,解得y=-1,故A错误;对于B,因为AB<0,BC<0,所以B≠0,所以Ax-By-C=0可化为y=x-,所以直线的斜率为<0,直线在y轴上的截距为->0,所以直线经过第一、二、四象限,故B正确;对于C,经过平面内任意相异两点(x1,y1),(x2,y2)的直线,当斜率等于0时,y1=y2,当斜率不存在时,x1=x2,都不能用方程=表示,故C错误;对于D,直线l的方程为x-ysin θ+2=0,当sin θ=0时,直线方程为x=-2,倾斜角α=,当sin θ≠0时,直线方程可化为y=x+,斜率k=,因为sin θ∈[-1,0)∪(0,1],所以k∈(-∞,-1]∪[1,+∞),即tan α∈(-∞,-1]∪[1,+∞),又因为α∈[0,π),所以α∈∪,综上可得α∈,故D正确.故选BD. (2)解:(i)设A(a,b),∵B(1,4),∴线段AB的中点为M,又点M在直线x+3y-6=0上,∴+3×-6=0,即a+3b+1=0①. ∵点A(a,b)在直线x-y+1=0上,∴a-b+1=0②. 联立①②解得a=-1,b=0,故A(-1,0). 如图,设点B(1,4)关于直线x-y+1=0的对称点为D(m,n),则解得即D(3,2), 由题意知D(3,2)在直线AC上, ∴直线AC的方程为=,即x-2y+1=0. (ii)联立直线CM与直线AC的方程,得 解得即C,∴kBC==-, 则BC边上的高所在直线的斜率为, 又A(-1,0)在高上,∴BC边上的高所在直线方程为y-0=(x+1),即4x-13y+4=0. 题型二 例2　(1)C　(2)　[解析] (1)由题意得kAB==,所以直线AB的方程为y-2=(x+1),即3x-4y+11=0.设所求直线的方程为3x-4y+m=0(m≠11),则=2,解得m=21或m=1,所以所求直线的方程为3x-4y+21=0或3x-4y+1=0.故选C. (2)直线l1的方程可变形为3ax-(y+2)=0,由可得即点A(0,-2).直线l2的方程可变形为a(2x+5y)-(x+1)=0,由可得即点B,所以|AB|==. 变式1　(1)D　(2)A　[解析] (1)圆x2+y2-2x+6y=0的标准方程为(x-1)2+(y+3)2=10,则其圆心坐标为(1,-3),则圆心到直线x-y+2=0的距离为=3,故选D. (2)因为l1:x-2y+m=0与l2:2x+ny-6=0平行,所以n=-4,即直线l2的方程为x-2y-3=0,又l1与l2之间的距离是2,所以=2,又m>0,所以m=7,所以l1的方程为x-2y+7=0.设直线l1关于直线l2对称的直线方程为x-2y+a=0,则=2,解得a=-13或a=7.当a=-13时,直线l1关于直线l2对称的直线方程为x-2y-13=0;当a=7时,显然不符合题意.故选A. 变式2　解:(1)当m=1时,直线l的方程为x+3y+7=0,所以点M(3,4)到直线l的距离d===. (2)当m=-3时,直线l的方程为x-y-1=0, 设点A关于直线l的对称点为A'(x,y), 则解得则A'(5,0),连接A'B,易知|PA|+|PB|≥|A'B|==, 故|PA|+|PB|的最小值为. 题型三 例3　(1)D　(2)x2+y2-4x-6y=0 [解析] (1)∵圆心坐标为(2,-1),且圆与y轴相切,∴圆的半径r等于圆心到y轴的距离,即r=2,∴圆的方程为(x-2)2+(y+1)2=4,故D正确.故选D. (2)设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0.若选(0,0),(4,0),(-1,1)三点,则解得所以圆的方程为x2+y2-4x-6y=0.同理,若选(0,0),(4,0),(4,2)三点,则圆的方程为x2+y2-4x-2y=0.若选(0,0),(-1,1),(4,2)三点,则圆的方程为x2+y2-x-y=0.若选(4,0),(-1,1),(4,2)三点,则圆的方程为x2+y2-x-2y-=0.故满足条件的圆的方程为x2+y2-4x-6y=0. 变式　(1)A　(2)(4,5)　[解析] (1)由题知线段OA的中点为(1,1),直线OA的斜率为=1,则线段OA的中垂线的方程为y-1=-1×(x-1),即x+y=2,由解得因此圆C的圆心为C(-1,3),半径为|OC|=,所以圆C的方程为(x+1)2+(y-3)2=10.故选A. (2)由题意可得解得4<a<5,故正实数a的取值范围是(4,5). 题型四 例4　(1)2　(2)AB　[解析] (1)由题意知A(-6,0),B(0,6),所以|AB|==6,所以|CD|=2.圆(x+1)2+(y-3)2=r2(r>0)的半径为r,圆心(-1,3)到直线l1:x-y+6=0的距离d==,故|CD|=2=2=2,可得r=2. (2)由题意可知圆O1的圆心为O1(-1,0),半径r=1,圆O2的圆心为O2(1,1),半径R=2,故|O1O2|==∈(1,3),故两圆相交,有2条公切线,故A正确;直线AB的方程为x2+y2+2x-(x2+y2-2x-2y-2)=0,即4x+2y+2=0,即2x+y+1=0,故B正确;O2(1,1)到直线2x+y+1=0的距离d=,故|AB|=2=2×=,故C错误;x2+(y-1)2可看作是圆O1上的点P(x,y)到点B(0,1)的距离的平方,易知|PB|的最大值为|BO1|+r=+1,所以x2+(y-1)2的最大值为(+1)2,故D错误.故选AB. 变式1　(1)B　(2)3x+4y-5=0(或x=-1或7x-24y-25=0)　[解析] (1)方法一:由题知圆心为C(0,-2),半径为r,因为圆心C到直线y=x+2的距离d==2,所以要使圆C上到直线y=x+2的距离为1的点有且仅有2个,则1<r<3.故选B. 方法二:设与直线y=x+2的距离为1的平行直线的方程为y=x+c,由=1解得c=0或c=4,则l1:y=x,l2:y=x+4,则圆与直线l1,l2共有2个交点,如图.因为圆心(0,-2)位于直线l1下方,所以圆与l1相交且与l2相离,所以<r<,即1<r<3.故选B. (2)方法一:如图,由图易知x=-1为公切线CD的方程.设切点B(cos θ,sin θ),则由A(3,4)可知cos θ=,sin θ=,所以B,又kOA=,所以过点B的公切线的斜率为-,所以过点B的公切线的方程为y-=-,即3x+4y-5=0.由可得C,设公切线CE的方程为y+=k(x+1),即3kx-3y+3k-4=0,由=1,解得k=,所以公切线CE的方程为7x-24y-25=0. 方法二:显然公切线的斜率不为0,设公切线的方程为x+by+c=0,则=1,=4,故c2=1+b2①,|3+4b+c|=|4c|,所以3+4b+c=4c或3+4b+c=-4c,再结合①可得或或所以公切线有三条,其方程分别为x+1=0,7x-24y-25=0,3x+4y-5=0(填一个即可). 变式2　解:(1)设圆心C的坐标为(a,b),则a-b-4=0,可得a=b+4,即圆心C的坐标为(b+4,b),因为圆C与x轴相切,所以圆C的半径为|b|. 因为圆C过点M(4,-1), 所以|b|=,解得b=-1,故圆心C的坐标为(3,-1),圆C的半径为1,故圆C的方程为(x-3)2+(y+1)2=1. (2)证明:将圆C1和圆C的方程作差可得4x-4y-11=0,则直线AB的方程为4x-4y-11=0, 设P(m,n),则4m-4n-11=0. 由题知C1(1,1),圆C1的半径为2,设切线与圆C切于点E,与圆C1切于点F,则|PE|2=|PC|2-1=(m-3)2+(n+1)2-1=m2+n2-6m+2n+9,|PF|2=|PC1|2-4=(m-1)2+(n-1)2-4=m2+n2-2m-2n-2, 所以|PF|2-|PE|2=4m-4n-11=0,所以|PE|=|PF|. 题型五 例5　(1)BD　(2)A　[解析] (1)对于A选项,圆C的圆心为C(1,2),半径r=3,当m=0时,直线l的方程为y=1,则圆心C到直线l的距离d=1,此时,l被圆C截得的弦长为2=2=4,故A错误;对于B选项,直线l的方程可化为m(x-2)+(1-y)=0,由解得因此l恒过点(2,1),故B正确;对于C选项,当l被圆C截得的弦长最大时,直线l过圆心C,则m-2+1-2m=-m-1=0,解得m=-1,此时直线l的方程为-x-y+3=0,即y=-x+3,即直线l的斜率为-1,故C错误;对于D选项,记点A(2,1),则kAC==-1,当AC⊥l时,易知直线l的斜率为m,此时m·kAC=-m=-1,即当m=1时,圆心C到直线l的距离取最大值,l被圆C截得的弦长取最小值,又|AC|==,所以弦长的最小值为2=2=2,故D正确.故选BD. (2)依题意可知OA⊥AP,OB⊥BP,所以S四边形PAOB=2×=|OA|×|AP| =|OA|×=4×,所以当|OP|最小时,S四边形PAOB最小,此时OP⊥l,因为l的斜率为-1,所以此时直线OP的斜率为1,直线OP的方程为y=x.由解得x=y=4,则|OP|=4,|AP|==4.以P(4,4)为圆心,半径为4的圆的方程为(x-4)2+(y-4)2=42,即x2+y2-8x-8y+16=0,与x2+y2-16=0相减并化简得x+y=4.故选A. 例6　AD　[解析] 根据题意,方程x2+y2-4x+1=0可化为(x-2)2+y2=3,它表示圆心为(2,0),半径为的圆.对于A,设y-x=z,即x-y+z=0,由题知直线x-y+z=0与圆(x-2)2+y2=3有公共点,所以≤,解得--2≤z≤-2,则z=y-x的最大值为-2,故A正确;对于B,设t=,其几何意义为圆(x-2)2+y2=3上的点到原点的距离,所以t的最大值为2+,故x2+y2的最大值为(2+)2=7+4,故B错误;对于C,设k=,则kx-y=0,由题知直线kx-y=0与圆(x-2)2+y2=3有公共点,则≤,解得-≤k≤,则的最大值为,故C错误;对于D,mx-y-2m=0可化为(x-2)m-y=0,由解得所以直线mx-y-2m=0过圆心(2,0),则圆上的点到直线mx-y-2m=0距离的最大值为,且直线与圆相交,因为>,所以曲线C上恒有四个点到直线mx-y-2m=0的距离等于,故D正确.故选AD. 变式　(1)B　(2)A　[解析] (1)由圆C的方程为(x-2)2+(y-1)2=3,可得圆心为C(2,1),半径r=,连接AC,BC,则d1===,所以d1的几何意义是点A(0,a)到定点M(1,1)的距离.又因为点A(0,a)到直线x-y+4=0的距离为d2,所以d1+d2=+d2表示动点A(0,a)到定点M(1,1)和到直线x-y+4=0的距离之和.如图所示,当MA与直线x-y+4=0垂直时,d1+d2取得最小值.由直线x-y+4=0的斜率k=1,且kMA==-(a-1),k×kMA=-1,可得a=2.故选B. (2)圆C1的标准方程为(x-m)2+y2=1,则圆心为C1(m,0),半径r1=1,圆C2的标准方程为x2+(y-n)2=9,则圆心为C2(0,n),半径r2=3.由圆C1和圆C2恰有三条公切线,得圆C1和圆C2外切,则|C1C2|==1+3,所以m2+n2=16,显然点(m,n)在圆x2+y2=16上,点C(6,8)在圆x2+y2=16外.令(m-6)2+(n-8)2=r2(r>0),则点(m,n)在圆(x-6)2+(y-8)2=r2(r>0)上,因此圆x2+y2=16与圆(x-6)2+(y-8)2=r2(r>0)有公共点,则|r-4|≤|OC|≤r+4,其中O(0,0),即|r-4|≤10≤r+4,解得6≤r≤14,则rmin=6,所以(m-6)2+(n-8)2的最小值为36.故选A. 题型六 例7　解:(1)设P(x,y), 因为追踪机器人与目标机器人的最大速度之比为2∶1, 所以|PA|=2|PB|, 所以=2,化简得(x-4)2+(y-8)2=20, 则点P的轨迹方程为(x-4)2+(y-8)2=20. (2)由(1)知点P的轨迹是圆心为(4,8),半径r=2的圆, 因为圆心到直线x=8.4的距离d=4.4<r=2, 所以点P的轨迹与直线x=8.4相交, 则点P可能出现在安全区外, 故追踪机器人不会总能在安全区内成功拦截. 变式　解:(1)以O为原点,正东方向为x轴正方向,建立如图所示的平面直角坐标系,则O(0,0),A(20,20),观景直道所在直线的方程为y=-10, 依题意得,游客所在点为B(-5,0), 则直线AB的方程为=,化简得4x-5y+20=0. 因为圆心O到直线AB的距离d==<4,所以直线AB与圆O相交, 所以游客不在该摄像头的监控范围内. (2)如图所示,过点A作圆O的两条切线,分别与观景直道交于点D,E,则线段DE的长度即为观景直道不在摄像头的监控范围内的长度. 设切线的方程为y-20=k(x-20),整理得kx-y-20k+20=0,则圆心O到切线的距离d==4,解得k=或k=,所以切线的方程为y-20=(x-20)或y-20=(x-20), 即3x-4y+20=0或4x-3y-20=0. 由解得x=-20,由解得x=-2.5, 所以|DE|=17.5,所以观景直道不在摄像头的监控范围内的长度为17.5米. 学科网（北京）股份有限公司 $