立体几何初步学霸不服强化训练-《中学生数理化》高一数学2025年7～8月刊

■刘 慧 张启兆 一、选择题 1.下列说法正确的是( )。 A.平行于同一直线的两个平面平行 B.平行于同一平面的两条直线平行 C.垂直于同一直线的两个平面平行 D.垂直于同一平面的两个平面平行 2.若直线a 与平面α 不垂直,则在平面 α内与直线a垂直的直线( )。 A.只有一条 B.有无数条 C.是平面α内的所有直线 D.不存在 3.设α,β是两个不同的平面,l,m 是两 条直线,且m⊂α,l⊥α,则“l⊥β”是“m∥β” 的( )。 A.既不充分也不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.充分不必要条件 4.《九章算术》中将“底面为直角三角形 且侧棱垂直于底面的三棱柱”称为堑堵。将 “底面为矩形且一条侧棱垂直于底面的四棱 锥”称为阳马。如图1,在堑堵ABC-A1B1C1 中,AC⊥BC,AC= 3,BC1=1,则 阳 马 A1-BCC1B1 的外接球的表面积为( )。 图1 A.2π B.4π C.6π D.8π 5.如 图 2 所 示,正 方 体 ABCD- A1B1C1D1 的棱长为3,线段B1D1 上有两个 动点E,F,且EF= 2,则三棱锥A-BEF 的 体积为( )。 图2 A. 32 2 B. 3 2 C. 2 2 D. 1 2 6.(多选题)下列四个命题中的真命题 是( )。 A.空间三点可以唯一确定一个平面 B.α,β为两个不同的平面,直线l⊂α,则 “l∥β”是“α∥β”的必要不充分条件 C.如果一个平面内有无数条直线与另一 个平面平行,那么这两个平面平行 D.长方体是直平行六面体 7.(多选题)设α是给定的平面,M,N 是 不在α内的任意两点,则下列命题中不正确 的是( )。 A.在α内一定存在直线与直线MN 相交 B.在α内一定存在直线与直线MN 异面 C.一定存在过直线MN 的平面与α平行 D.存在无数个过直线 MN 的平面与α 垂直 8.(多选题)已知a,b,c为三条直线,α, β,γ 为三个平面,则下列命题中的真命题 是( )。 A.若a⊥c,b⊥c,则a∥b 67 核心考点演练 高一数学 2025年7—8月 B.若a∥α,a⊂β,α∩β=b,则a∥b C.若a⊥α,a⊂β,则α⊥β D.若α⊥γ,β⊥γ,α∩β=a,则a⊥γ 二、填空题 9.已知圆锥的底面半径为 3,其侧面展 开图为一个半圆,则该圆锥的母线长为 。 10.已知正方体的内切球的体积为1,则 该正方体的外接球的体积为 。 11.已知正方体ABCD-A1B1C1D1 的棱 长为3,点M 在正方体内部运动(包括表面), 且BM∥平面AD1C,则动点 M 的轨迹所形 成区域的面积为 。 三、解答题 12.如图3,在四棱锥P-ABCD 中,M 为 AP 的中点,N 为CP 的中点,平面PBC⊥平 面ABCD,∠PBC=90°,AD∥BC,∠ABC= 90°,2AB=2AD= 2CD=BC=2。 图3 (1)求证:MN∥平面ABCD。 (2)求证:CD⊥平面PBD。 13.如图4,在四棱锥P-ABCD 中,底面 ABCD 为平行四边形,F 为AB 上的点,且 AF=2FB,E 为PD 的中点。 图4 (1)证明:PB∥平面AEC。 (2)在棱 PC 上是否存在一点G,使得 FG∥平面AEC? 若存在,求出 CG GP 的值,并证 明你的结论;若不存在,说明理由。 14.如图5,在Rt△ABC 中,∠C=90°, BC=3,AC=6,D,E 分别是AC,AB 上的 点,且DE∥BC,DE=2,将△ADE 沿DE 折 起到△A1DE 的位置,使 A1C⊥CD,如图6 所示。 图5 图6 (1)求证:A1C⊥平面BCDE。 (2)求点C 到平面A1DE 的距离。 (3)点 M 为线段A1D 的中点,在线段 BC 上是否存在点P,使得MP∥平面A1BE? 若存在,求出CP CB 的值;若不存在,说明理由。 15.如图7,AB 是☉O 的直径,AB=2,点 C是☉O 上的动点,PA⊥平面ABC,过点A 作AE⊥PC,过点E 作EF⊥PB,连接AF。 图7 (1)求证:BC⊥AE。 (2)求证:平面AEF⊥平面PAB。 (3)当C 为弧AB 的中点时,直线PA 与 平面 PBC 所 成 的 角 为 45°,求 四 棱 锥 A-EFBC 的体积。 16.如图8,在四棱锥P-ABCD 中,AD∥ BC,AD⊥DC,BC=CD= 1 2AD=1 ,E 为 AD 的中点,PA⊥平面ABCD。 77 核心考点演练 高一数学 2025年7—8月 图8 (1)求证:CE∥平面PAB。 (2)求证:平面PAB⊥平面PBD。 (3)若二面角P-CD-A 的大小为45°,求 点A 到平面PBD 的距离。 一、选择题 1.提示:对于A,平行于同一直线的两个 平面,可能平行,也可能相交,所以 A错误。 对于B,平行于同一平面的两条不同的直线, 可能平行,可能相交,也可能异面,所以B错 误。对于C,垂直于同一直线的两个平面平 行,所以C正确。对于D,垂直于同一平面的 两个不同的平面,可能相交,也可能平行,所 以D错误。应选C。 2.提示:直线a与平面α不垂直,一定存 在b⊂α,使得a⊥b成立。因为在平面α内,与 b平行的所有直线都与直线a垂直,而在平面 α内有无数条直线与b平行,所以有无数条直 线在平面α内与直线a垂直。应选B。 3.提示:由l⊥β,且l⊥α,可得α∥β。因 为m⊂α,所以 m∥β,即充分性成立。已知 m∥β,m⊂α,l⊥α,若α,β不平行,则l不可 能垂直于β,即必要性不成立。所以“l⊥β”是 “m∥β”的充分而不必要条件。应选D。 4.提 示:因 为 AC⊥BC,AC∥A1C1, BC∥B1C1,所以 A1C1⊥B1C1。因为 ABC- A1B1C1 为直棱柱,B1B⊥平面A1B1C1,B1B ⊂平面 B1C1CB,所以平面 A1B1C1⊥平面 B1C1CB。又平面A1B1C1∩平面B1C1CB= B1C1,A1C1⊂平面 A1B1C1,所以 A1C1⊥平 面B1C1CB。由矩形B1C1CB 的外接圆的直 径为BC1,可设A1-BCC1B1 的外接球的半径 为R。因为BC1=1,A1C1=AC= 3,所以 (2R)2=BC21+A1C21=12+(3)2=4,所以 R=1,所以阳马 A1-BCC1B1 的外接球的表 面积S=4πR2=4π。应选B。 5.提示:连接 BD,AC 交于点O(作图 略)。由AC⊥BD,AC⊥DD1,BD∩DD1= D,BD⊂ 平 面 D1DBB1,DD1 ⊂ 平 面 D1DBB1,所以 AC⊥平面 D1DBB1,可得点 A 到平面BDD1B1 的距离是 AO= 32 2 ,也 就是点A 到平面BEF 的距离是 32 2 ,所以三 棱 锥 A-BEF 的 高 为 AO = 32 2 。因 为 S△BEF= 1 2BB1 ·EF= 1 2×3× 2= 32 2 ,所 以三棱锥A-BEF 的体积VA-BEF= 1 3S△BEF · AO= 3 2 。应选B。 6.提示:对于 A,当三点不共线时,才可 以唯一确定一个平面,A错误。对于B,由面 面平行的判定及性质定理知“l∥β”是“α∥β” 的必要不充分条件,B正确。对于C,对于两 个相交平面,其中一个平面内有无数条直线 与交线平行,由线面平行的判定定理易知该 平面内有无数条直线与另一个平面平行,但 这两个平面不平行,C错误。对于D,由直平 行六面体的定义知长方体是直平行六面体, D正确。应选BD。 7.提示:当直线MN 平行于平面α时,在 α内不存在与MN 相交的直线,A错误。易知 直线MN 与平面α平行或相交,在α内一定存 在直线与直线MN 异面,B正确。当直线 MN 与平面α垂直时,不存在过直线MN 的平面与 平面α平行,C错误。只有当直线MN 与平面 α垂直时,才存在过直线 MN 的无数个平面与 平面α垂直,D错误。应选ACD。 8.提示:对于A,令a⊂α,b⊂α,若c⊥α, 则一定有a⊥c,b⊥c,这时在同一平面内的 两条直线a,b 可以平行,也可以相交,A 错 误。对于B,这是线面平行的性质定理,B正 确。对于C,这是面面垂直的判定定理,C正 87 核心考点演练 高一数学 2025年7—8月 确。对于D,已知α⊥γ,β⊥γ,α∩β=a,由面 面垂直的性质定理得a⊥γ,D正确。应选 BCD。 二、填空题 9.提示:设圆锥的母线长为l。由圆锥底 面圆的周长等于扇形的弧长,可得πl=2π× 3,解得l=23,即该圆锥的母线长为23。 10.提示:设正方体的棱长为2a(a>0), 则正方体的内切球的半径为a,所以正方体 的内 切 球 的 体 积 为 4π 3a 3 =1,解 得 a= 3 4π 1 3。因 为 正 方 体 的 外 接 球 的 半 径 为 1 2 3× (2a)2= 3a,所以正方体的外接球的 体积为 4π 3 (3a)3=4π3a3=33。 11.提 示:因 为 平 面 A1BC1 ∥平 面 AD1C,点 M 是该正方体表面及其内部的一 动点,且BM∥平面AD1C,所以点 M 的轨迹 是△A1BC1 及其内部,可得等边△A1BC1 的 面积S△A1BC1= 1 2 (32)2×sin π 3= 93 2 。 三、解答题 12.提示:(1)在△ACP 中,由 M,N 为 对应边上的中点,可知 MN 为中位线,所以 MN∥AC。 因为 MN ⊄ 平 面 ABCD,AC⊂ 平 面 ABCD,所以 MN∥平面ABCD。 (2)在四边形 ABCD 中,由 AD∥BC, ∠ABC=90°,可得∠BAD=90°。由 AB= AD,可得BD= 2AB。 在△BCD 中,因为2AB= 2CD=BC, 所以CD2+BD2=4AB2=BC2,所以CD⊥ DB。 由∠PBC=90°,可得PB⊥BC。因为平 面 PBC⊥平面 ABCD,平 面 PBC∩平 面 ABCD=BC,PB⊂平面PBC,所以PB⊥平 面ABCD。因 为 CD⊂平 面 ABCD,所 以 PB⊥CD。 又PB∩BD=B,PB,BD⊂平面PBD, 所以CD⊥平面PBD。 13.提示:(1)设 BD 与AC 交于点O。 因为底面 ABCD 为平行四边形,所以 O 为 BD 的中点。因为 E 为 PD 的中点,所以 EO∥PB。又 EO⊂平面 AEC,PB⊄平面 AEC,所以PB∥平面AEC。 (2)在棱 PC 上存在一点G,且 CG GP=2 , 使得FG∥平面AEC。证明如下: 在PA 上取点H,且AH=2HP。已知 F 为AB 上的点,且 AF=2FB,在△PAB 中,PH AH = BF AF= 1 2 ,所以 HF∥PB。因为 PB∥平 面 AEC,HF ⊄ 平 面 AEC,所 以 HF∥平面AEC。 在△PAC 中,因为 PH HA= PG GC= 1 2 ,所以 HG∥AC。因为 HG⊄平面AEC,AC⊂平面 AEC,所以 HG∥平面AEC。 因为 HG∩HF=H,HG,HF⊂平面 HFG,所以平面 HFG∥平面 AEC。又因为 FG⊂平面 HFG,所以FG∥平面AEC。 14.提示:(1)根据题意得 DE⊥A1D, DE⊥DC,A1D∩DC=D,且A1D,DC⊂平 面 A1DC,所 以 DE⊥ 平 面 A1DC。因 为 A1C⊂平面A1DC,所以A1C⊥DE。 又A1C⊥CD,CD∩DE=D,CD,DE⊂ 平面BCDE,所以A1C⊥平面BCDE。 (2)设点C 到平面A1DE 的距离为h。 由翻折 前 状 态,可 知DE BC = AD AC ,可 得 2 3= AD 6 ,所以AD=4,则DC=2。 由(1)知 A1C ⊥CD,所 以 A1C = A1D2-CD2=23,所以S△A1CD= 1 2A1C · CD=23。 由(1)知 DE ⊥A1D,所 以 S△A1DE = 1 2A1D ·DE=4。由 DE⊥平面 A1DC,结 合 等 体 积 法 得 VC-A1DE =VE-A1CD,所 以 1 3SA1DE ·h= 1 3SA1CD ·DE,代 入 化 简 得 4h=2 3×2,所以h= 3,即点 C 到平面 A1DE 的距离为 3。 97 核心考点演练 高一数学 2025年7—8月 (3)存在点P,使得 MP∥平面A1BE。 取A1E 的中点N(图略)。在CB 上取 点P(图略),使得PB=1。 因为点 M 为线段 A1D 的 中 点,所 以 MN= 1 2DE=1 ,且 MN∥DE。 因为PB=1,PB∥DE,所以 MN=PB, MN∥PB,所以四边形 MNBP 是平行四边 形,所以 MP∥NB。 又因为 MP⊄平面 A1BE,NB⊂平面 A1BE,所以MP∥平面A1BE,此时 CP CB= 2 3 。 15.提示:(1)由AB 为☉O 的直径,可得 BC⊥AC。由 PA⊥平面 ABC,BC⊂平面 ABC,可得PA⊥BC。因为 PA∩AC=A, PA,AC⊂平面PAC,所以BC⊥平面PAC。 又AE⊂平面PAC,所以BC⊥AE。 (2)由(1)得BC⊥AE。因为PC⊥AE, 且PC∩BC=C,PC,BC⊂平面PBC,所以 AE⊥平面PBC。因为 PB⊂平面 PBC,所 以AE⊥PB。又 EF⊥PB,AE∩EF=E, AE,EF⊂平面AEF,所以PB⊥平面AEF。 又因 为 PB ⊂ 平 面 PAB,所 以 平 面 PAB⊥平面AEF。 (3)由(2)知AE⊥平面PBC。 因为直线PA 与平面PBC 所成的角为 45°,所以∠APE=45°,且∠CAP=∠AEP =90°,所 以 ∠PCA= ∠PAE= ∠CAE= 45°,且AC=BC= 2,所以PA=AC= 2, AE=PE=EC=1,PB= 6。 在△PAB 中,由 1 2 ·AF·PB= 1 2 · PA·AB,可 得 AF = 23 3 ,所 以 PF = PA2-AF2 = 6 3 ,EF= PE2-PF2 = 3 3 ,所以VP-AEF=VA-PEF= 1 3 ·AE·S△PEF= 1 3×1× 1 2× 3 3 × 6 3 = 2 18 ,VP-ABC = 1 3 · PA·S△ABC= 1 3× 2× 1 2× 2× 2= 2 3 ,所 以VA-EFBC=VP-ABC-VP-AEF= 2 3- 2 18= 52 18 。 16.提示:(1)因为AD∥BC,BC=CD= 1 2AD=1 ,E 为AD 的中点,所以BC=AE, 所以 四 边 形 ABCE 是 平 行 四 边 形,所 以 AB∥CE。 又CE⊄平面PAB,AB⊂平面PAB,所 以CE∥平面PAB。 (2)因为AD∥BC,BC=CD= 1 2AD= 1,E 为AD 的中点,所以BC=DE,且AD⊥ DC,所 以 四 边 形 BCDE 为 正 方 形,所 以 BD⊥CE。又因为AB∥CE,所以BD⊥AB。 因 为 PA ⊥ 平 面 ABCD,BD ⊂ 平 面 ABCD,所以 PA⊥BD。因为 PA∩AB= A,PA,AB⊂平面 PAB,所以 BD⊥平面 PAB。又BD⊂平面 PBD,所以平面 PAB ⊥平面PBD。 (3)因为 PA⊥平面 ABCD,AB,AD, CD⊂平面 ABCD,所以 PA⊥CD,PA⊥ AD,PA⊥AB。因为 AD⊥DC,且 PA∩ AD=A,PA,AD⊂平面 PAD,所以CD⊥ 平面PAD。又因为 PD⊂平面 PAD,所以 PD⊥CD。 所以∠PDA 是二面角P-CD-A 的平面 角,即∠PDA=45°,所以Rt△PAD 为等腰 直角三角形,所以PA=AD=2。 由(2)知BE=DC。因为S△ABD= 1 2 · AD·BE =1,BD = BC2+CD2 = 2, AB= BE2+AE2 = 2,所 以 PB = PA2+AB2= 6。 又BD⊥平面PAB,PB⊂平面PAB,所 以BD⊥PB,所以S△PBD= 1 2 ·PB·BD= 3。设点 A 到平面 PBD 的距离为d,则 VP-ABD=VA-PBD,即 1 3S△ABD ·PA= 1 3S△PBD · d,所以 1 3×1×2= 1 3× 3d ,解得d= 23 3 , 即点A 到平面PBD 的距离为 23 3 。 作者单位:江苏省无锡市青山高级中学 (责任编辑 郭正华) 08 核心考点演练 高一数学 2025年7—8月