复数核心考点综合练习-《中学生数理化》高一数学2025年7～8月刊

■刘长柏 一、选择题 1.已知a∈R,若(a-2)+(a-1)i(i为 虚数单位)是纯虚数,则a=( )。 A.-2 B.-1 C.1 D.2 2.若(m2-1)+(m2-2m-3)i>0,则实 数m 的值为( )。 A.3 B.-1 C.-1或3 D.±1 3.已知复数z=a+(a-2)i(a∈R)的虚 部是实部的3倍,则|z|=( )。 A.4 B.10 C.3 D.5 4.若复数-1+(1-a2)i在复平面内对 应的点位于第二象限,则实数a 的取值范围 是( )。 A.a>-1 B.a<-1或a>1 C.-1<a<1 D.a<1 5.已知复数z= 1+ai 1-i ,其中a∈R,则 “|z|>1”是“a>1”的( )。 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6.(多选题)已知虚数z满足z=- 1 2+ 3 2i ,则( )。 A.z的实部为- 1 2 B.z的虚部为 3 2 C.|z|=1 D.z在复平面内对应的点在第三象限 7.(多选题)已知复数z=m2-1+(m+ 1)i(m∈R),则下列命题正确的是( )。 A.若z为纯虚数,则m=1 B.若z为实数,则z=0 C.若z在复平面内对应的点在直线y= 2x 上,则m= 3 2 D.z在复平面内对应的点可能在第三象 限 8.(多选题)已知z 为复数,则下列结论 正确的是( )。 A.若z= 3-4i 2+i ,则|z|= 5 B.|z|2=zz C.若|z+1|=|z-1|,则z为纯虚数 D.若|z|=1,则|z-2|的最小值为1 9.(多选题)在复平面内,下列说法正确 的是( )。 A.若复数z=1-2i,则z在复平面内对 应的点位于第一象限 B.若复数z1,z2 满足|z1+z2|=|z1- z2|,则z1z2=0 C.若|z|=1,z∈C,则|z-2|的最小值 为1 D.若-4+3i是 关 于 x 的 方 程x2+ px+q=0(p,q∈R)的根,则p=8 10.(多选题)瑞士数学家欧拉于1748年 提出了著名的欧拉公式:eix=cosx+isinx, 其中e是自然对数的底数,i是虚数单位。该 公式将指数函数的定义域扩大到复数,建立 了三角函数与指数函数的关联,在复变函数 论中占有非常重要的地位,被誉为“数学中的 天桥”。依 据 欧 拉 公 式,下 列 选 项 正 确 的 是( )。 A.e iπ2的虚部为1 B.复数e iπ4 在复平面内对应的点位于第 二象限 C.sinx= exi-e-xi 2i D.若z1=e iπ3,z2=eiθ 在复平面内分别对 27 核心考点演练 高一数学 2025年7—8月 应点Z1,Z2,则△OZ1Z2 面积的最大值为1 二、填空题 11.在复平面内,向量AB→ 对应的复数是 2+i,向量CB→ 对应的复数是-1-3i,则向量 CA→ 对应的复数是 。 12.已知关于x 的方程x2+(1-2i)x+ 3m-i=0有实根,则实数m= 。 13.已知复数z1,z2 满足z1+2z1=-3 -i,|z2-z1|=1,则|z2+2i|的最大值为 。 三、解答题 14.已知1+i是方程x2+bx+c=0(b,c 为实数)的一个根。 (1)求b,c的值。 (2)试判断1-i是不是方程的根。 15.已知z为复数,z+2i和 z 2-i 均为实 数,其中i是虚数单位。 (1)求复数z和|z|。 (2)若z1=z+ 1 m-1- 7 m+2i 在第四象 限,求m 的取值范围。 16.现 有 以 下 三 个 式 子:① 2+i 1-2i , ② -4+3i 3+4i ,③ -1-i -1+i (i为虚数单位)。某同 学在解题时发现以上三个式子的值都等于同 一个常数。 (1)从三个式子中选择一个,求出这个 常数。 (2)根据三个式子的结构特征及(1)的计 算结果,将该同学的发现推广为一个复数恒 等式,并证明你的结论。 17.已知复数z=(1+i)m2-3im+2i-1。 (1)当实数m 为何值时,复数z为纯虚数? (2)当实数 m 为何值时,复数z 表示的 点位于第四象限? 18.已知复数z满足z+z=2,z-z=4i。 (1)求 3+z 。 (2)设复数zz,z+2z, 10 z 在复平面内对 应的点分别为A,B,C,求cos<AB→,BC→>。 19.若虚数z 同时满足下列两个条件: ①z+ 5 z 是实数;②z+3的实部与虚部互为 相反数。 这样的虚数是否存在? 若存在,求出z; 若不存在,请说明理由。 一、选择题 1.提示:因为(a-2)+(a-1)i是纯虚 数,所以 a-2=0, a-1≠0, 解得a=2。应选D。 2.提示:因为(m2-1)+(m2-2m-3)i> 0,所以 m2-1>0, m2-2m-3=0, 解得m=3。应选A。 3.提示:由复数z=a+(a-2)i(a∈R) 的虚部是实部的3倍,可得a-2=3a,解得 a=-1,所以复数z=-1-3i,所以|z|= (-1)2+(-3)2= 10。应选B。 4.提示:复数-1+(1-a2)i在复平面内 对应的点为(-1,1-a2),若此点在第二象 限,则1-a2>0,解得-1<a<1。应选C。 5.提示:由|z|= |1+ai| |1-i|= 1+a2 2 = 1+a2 2 >1 ,可得1+a 2 2 >1 ,解得a>1或 a<-1,所以“|z|>1”是“a>1”的必要不充 分条件。应选B。 6.提示:由z=- 1 2+ 3 2i ,可得z=- 1 2 - 3 2i ,所以z 的实部为- 1 2 ,z 的虚部为 - 3 2 ,|z|=1,z 在复平面内对应的点为 - 1 2 ,- 3 2 。应选ACD。 7.提 示:对 于 A,若 z 为 纯 虚 数,则 m2-1=0, m+1≠0, 解得m=1,A正确。对于B,若 z为实数,则m+1=0,即m=-1,这时z= 0,B正确。对于C,z在复平面内对应的点为 (m2-1,m+1),所以m+1=2(m2-1),即 37 核心考点演练 高一数学 2025年7—8月 2m2-m-3=0,解得 m=-1或 m= 3 2 ,C 错误。对于D,若z 在复平面内对应的点在 第三象限,则 m2-1<0, m+1<0, 此方程组无解,所 以z在复平面内对应的点不可能在第三象 限,D错误。应选AB。 8.提示:因为z= 3-4i 2+i= (3-4i)(2-i) (2+i)(2-i) = 2 5- 11 5i ,所以|z|= 25 2 + - 11 5 2 = 5,A正确。设z=a+bi,a,b∈R,则z= a-bi。因为|z|2=( a2+b2)2=a2+b2, z·z=(a+bi)(a-bi)=a2+b2,所以|z|2 =zz,B正确。当z=0时,|z+1|=|z-1| 成立,此时z为实数,C错误。设z=x+yi, x,y∈R,由|z|=1,可得 x2+y2 =1,即 x2+y2=1,所以|z-2|= (x-2)2+y2= (x-2)2+1-x2 = -4x+5。由 x2 + y2=1,可得-1≤x≤1,所以-4x+5≥1,故 当x=1时,|z-2|的最小值为1,D正确。 应选ABD。 9.提示:由复数z=1-2i,可得z=1+ 2i,所以z 在复平面内对应的点为(1,2),此 点位于第一象限,A正确。不妨设复数z1= 1,z2=i,则|z1+z2|=|1+i|= 12+12= 2,|z1-z2|=|1-i|= 12+(-1)2= 2, 但z1z2=i≠0,B不正确。已知|z|=1,z∈ C,可设复数z=cosθ+isinθ,则|z-2|= |cosθ-2+isinθ|= (cosθ-2)2+sin2θ= cos2θ+4-4cosθ+sin2θ= 5-4cosθ,当 cosθ=1时,|z-2|取得最小值1,C正确。 因为-4+3i是关于x 的方程x2+px+q=0 (p,q∈R)的根,所以-4-3i也是关于x 的 方程x2+px+q=0(p,q∈R)的根,所以 -4+3i+(-4-3i)=-p,解得p=8,D正 确。应选ACD。 10.提示:由e iπ2=cos π 2+isin π 2=i ,可 得e iπ2的虚部为1,A正确。由e iπ4=cos π 4+ isin π 4= 2 2+ 2 2i ,可得e iπ4 在复平面内对应 点的坐标为 2 2 ,2 2 ,此点在第一象限,B错 误。由exi=cosx+isinx,e-xi=cos(-x)+ isin(-x)=cosx-isinx,可得 exi-e-xi 2i = 2isinx 2i =sinx ,C 正 确。因 为 z1=e iπ3 = cos π 3+isin π 3= 1 2+ 3 2i ,z2=eiθ=cosθ+ isinθ,所以点Z1 1 2 ,3 2 ,Z2(cosθ,sinθ), 所以|OZ1|=|OZ2|=1,所 以 S△OZ1Z2 = 1 2|OZ1| · | OZ2 | sin ∠Z1OZ2 = 1 2sin∠Z1OZ2 ,故 当 sin ∠Z1OZ2 =1,即 ∠Z1OZ2=90°时,S△OZ1Z2 的面积取得最大值 1 2 ,D错误。应选AC。 二、填空题 11.提示:由向量AB→ 对应的复数是2+ i,可得AB→=(2,1),由向量CB→ 对应的复数 是-1-3i,可得CB→=(-1,-3),所以CA→= CB→+BA→=CB→-AB→=(-3,-4),所以向量 CA→ 对应的复数是-3-4i。 12.提示:设a 为方程x2+(1-2i)x+ 3m-i=0的实根,则a2+(1-2i)a+3m- i=0,即a2+a+3m-(2a+1)i=0,所以 a2+a+3m=0, 2a+1=0, 解得 a=- 1 2 , m= 1 12 。 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 故m= 1 12 。 13.提示:令z1=x+yi,x,y∈R,则 z1=x-yi,所以z1+2z1=3x-yi=-3- i,所以x=-1,y=1,即z1=-1+i。由 |z2-z1|=|z2-(-1+i)|=1,可知复数z2 对应的点在复平面内的轨迹是以(-1,1)为 圆心,1为半径的圆。因为点(-1,1)到点 (0,-2)的距离为 (-1-0)2+(1+2)2 = 10,所以|z2+2i|的最大值为 10+1。 三、解答题 14.提示:(1)由1+i是方程x2+bx+ 47 核心考点演练 高一数学 2025年7—8月 c=0的根,可得(1+i)2+b(1+i)+c=0,即 b+c+(b+2)i=0。因为b,c为实数,所以 b+c=0, 2+b=0, 解得b=-2,c=2。 故b=-2,c=2。 (2)由(1)知方程为x2-2x+2=0,把 1-i代入方程得(1-i)2-2(1-i)+2=0,即 方程成立,所以1-i也是方程的根。 15.提示:(1)设z=a+bi(a,b∈R),则 z+2i=a+(b+2)i。 由z+2i为实数,可得b+2=0,所以 b=-2。 由 z 2-i= a-2i 2-i= (a-2i)(2+i) (2-i)(2+i)= 2a+2 5 + (a-4)i 5 为实数,可得a-4 5 =0 ,所以a=4。 故复数z=4-2i,则|z|= 42+(-2)2 =25。 (2)z1=z+ 1 m-1- 7 m+2i=4+ 1 m-1+ 2- 7 m+2 i=4m-3m-1+2m-3m+2i。 由 复 数 z1 在 第 四 象 限,可 得 4m-3 m-1>0 , 2m-3 m+2<0 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 即 (4m-3)(m-1)>0, (2m-3)(m+2)<0, 解 得 -2<m< 3 4 或1<m< 3 2 ,故m 的取值范围 为 -2, 3 4 ∪ 1,32 。 16.提示:(1)① 2+i 1-2i= (2+i)(1+2i) (1-2i)(1+2i) = 2+4i+i-2 5 = i , ② -4+3i 3+4i = (-4+3i)(3-4i) (3+4i)(3-4i)= -12+16i+9i+12 25 =i , ③ -1-i -1+i= (-1-i)2 (-1+i)(-1-i)= 1+2i-1 2 =i 。 (2)根据三个式子的结构特征及(1)的计 算结果,可得a+bi b-ai=i (a,b∈R,且a,b不同 时为零)。 证 明 如 下:a+bi b-ai= (a+bi)(b+ai) (b-ai)(b+ai)= ab+a2i+b2i-ab b2+a2 = (a2+b2)i a2+b2 =i。故 原 式 成立。 17.提示:(1)复数z=(1+i)m2-3im+ 2i-1=(m2-1)+(m2-3m+2)i,且复数z 为纯虚数,则 m2-1=0, m2-3m+2≠0, 解得m=-1, 所以当m=-1时,z为纯虚数。 (2)由复数z表示的点位于第四象限,可 得 m2-1>0, m2-3m+2<0, 解得1<m<2,所以当 1<m<2时,复数z 在复平面内对应的点位 于第四象限,即m 的取值范围为(1,2)。 18.提示:(1)由z+z=2,z-z=4i,两 式相加得z=1+2i,所以z=1-2i。 故|3+z|=|4-2i|= 16+4=25。 (2)由(1)得zz=(1+2i)(1-2i)=1- 4i2=5,所以点A(5,0)。由z+2z=1+2i+ 2-4i=3-2i,可得点 B(3,-2)。由 10 z = 10 1+2i= 10(1-2i) 5 =2-4i ,可 得 点 C(2, -4)。所以 AB→=(-2,-2),BC→=(-1, -2),所 以cos<AB→,BC→>= AB →·BC→ |AB→||BC→| = 6 22× 5 = 3 10 10 。 19.提示:设复数z=a+bi(a,b∈R,且 b≠0),则z+ 5 z=a+bi+ 5 a+bi=a+bi+ 5(a-bi) a2+b2 = a+ 5a a2+b2 +b- 5ba2+b2 i。 因为z+ 5 z 是实数,所以b- 5b a2+b2 =0。 因为b≠0,所以a2+b2-5=0,即a2+b2= 5。又因为z+3=(a+3)+bi的实部与虚部 互为相反数,所以a+3+b=0。 所 以 a+b+3=0, a2+b2=5, 解 得 a=-1 , b=-2 或 a=-2 b=-1。 故存在虚数z=-1-2i或z=-2-i。 作者单位:江苏省盐城市时杨中学 (责任编辑 郭正华) 57 核心考点演练 高一数学 2025年7—8月