三角函数专项检测题-《中学生数理化》高一数学2025年7～8月刊

■胡 彬(特级教师) 一、选择题 1.已 知 函 数 f(x)=sin 3x+ 5π 6 + 3cos3x- 5π 6 ,则在下列所给的区间中为 函数f(x)在其上单调递增的是( )。 A.- π 6 ,π 3 B.-π3,0 C.π3 ,2π 3 D.π6,π3 2.要得到函数y=-cos4x- 5π 6 的图 像,只需将函数y=sin4x 的图像( )。 A.向右平移 π 9 个单位 B.向左平移 π 9 个单位 C.向左平移 π 6 个单位 D.向右平移 π 6 个单位 3.已 知 点 π6 ,0 是 函 数 f (x)= sinωx- π 6 图像的一个对称中心,且函数 f(x)在区间 - π 3 ,π 4 上不单调,则ω 的最 小值是( )。 A.5 B.7 C.13 D.19 4.(多选题)已知α∈ x x=kπ- 4π 5 , k∈Z ,则角α的终边所在的象限是( )。 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 5.(多选题)给出下列四个命题,其中的 真命题是( )。 A.∃x∈R,sin2 x 4+cos 2x 4= 1 4 B.cos582°<0 C.sinx=cosy⇒x+y=2kπ+ π 2 (k∈Z) D.对任意的终边落在第二象限的角α, 都有 sin α 2 > cos α 2 6.(多 选 题)已 知 函 数 f (x)= tan3x- π 8 ,则( )。 A.函数f(x)的最小正周期为 π 3 B. 函 数 f (x ) 的 定 义 域 为 x x≠kπ+ 5π 24 ,k∈Z C.直线x=- π 8 与函数f(x)图像有且 只有一个交点 D.当 x ∈ - π 8 ,- π 72 时,f (x)∈ -∞,- 3 3 7.(多选题)若关于x 的方程sin2x+ 23sin2x- 3=-k 在区间 - π 4 ,π 6 上有 且只有一个解,则k的值可能为( )。 A.-2 B.-1 C.0 D.1 8.(多选题)已知函数f(x)=sin(ωx+ φ)ω>0,0<φ< π 2 的图像与x 轴的交点中 相邻两个交点的距离为 π 2 ,且函数f(x)的图 像关于直线x= π 6 对称,则下列说法正确的 是( )。 A.ω= 1 2 B.φ= π 6 C.点 5π12 ,0 是函数f(x)的一个对称 中心 85 核心考点演练 高一数学 2025年7—8月 D.要把函数f(x)化为偶函数,则需将 函数f(x)的图像向左平移 π 6 个单位 9.(多选题)已知函数f(x)=-2sin2x +8cos2 x 4- 1 2 cos π2-x2 ,则下列结论 正确的是( )。 A.π是f(x)的一个周期 B.f(x)是奇函数 C.f(x)的值域为 -4, 1 2 D.f(x)在 - π 3 ,0 上单调递增 10.(多选题)已知函数f(x)=2cosx· (3sinx-cosx)+1,则下列说法正确的 是( )。 A.函数f(x)的图像关于直线x= π 3 对称 B.由f(x1)=f(x2)=1得x1-x2 是π 的整数倍 C.函数f(x)在 π 3 ,π 2 上为减函数 D.函数f(x)在区间(0,10π)上有20个 零点 11.(多 选 题)已 知 函 数 f (x)= 2sin2x- π 3 ,则下列说法正确的是( )。 A.f(0)= 3 B.若|f(x1)-f(x2)|=4,则|x1-x2| 的最小值为 π 2 C.函数f(x)在 π 6 ,5π 12 上单调递增 D.∀x1,x2,x3∈ π 3 ,π 2 ,恒有f(x1) +f(x3)>f(x2)成立 二、填空题 12.函数 f(x)=cos5π+3x 在区间 π 9 ,π 3 上的最小值为 。 13.已 知 存 在 实 数α,使 得2sin 2x+ π 6 <sinα成立,则x 的取值范围是 。 14.已 知 函 数 f(x)=Asin(ωx+φ) A>0,ω>0,0<φ< π 2 只能同时满足下列 四个条件中的三个:①最小正周期为π;②最 大值为2;③f(0)=- 1 2 ;④f - π 6 =0。当 x∈ - π 6 ,π 3 时,函数f(x)≤λ 恒成立,则 实数λ的取值范围为 。 15.已知函数f(x)=sinωx- π 8 (ω> 0)在 0, π 6 上有且仅有3个零点,则ω 的取 值范围是 。 三、解答题 16.已 知 θ∈ [0,2π),且 sin2θ + cos2θ=sinθ-cosθ。 (1)求角θ的取值范围。 (2)求 函 数 f(θ)=cosθ|cosθ|+ 4cosπ2+θ sinθ-3π2 sin(π+θ) -1 的最小值。 17.把函数y=-2sinx 的图像先向左 平移 π 3 个单位,把横坐标变为原来的1 2 ,再把 纵坐标向上平移1个单位,可得函数f(x)的 图像。 (1)求函数f(x)的单调递增区间。 (2)若f(x)<λ-4在x∈ 0, π 6 上恒 成立,求实数λ的取值范围。 18.已 知 函 数 f (x)= 4cos2x + 2sin2x- π 6 -2。 (1)求函数f(x)在区间 - π 6 ,π 4 上的 值域。 (2)函数y=2cos(2x+φ)(0≤φ<π)的 图像向右平移 π 2 个单位后,与函数f(x)的图 像重合,求φ的值。 19.已知函数f(x)=2sinxsin π 6-x 。 (1)把 函 数 f(x)整 理 成 f(x)= Asin(ωx+φ)+b A>0,ω>0,0<φ< π 2 的 95 核心考点演练 高一数学 2025年7—8月 形式。 (2)当 x∈ 0, π 2 时,函 数 g(x)= 10[f(x)]2-(10a+1)f(x)+a恰有4个不 同的零点,求实数a的取值范围。 (3)当x∈ - π 4 ,7π 6 时,方程f(x)- k=0 恰 有 3 个 不 相 等 的 实 数 根 x1,x2, x3(x1<x2<x3),求实数k 的取值范围及 x1+2x2+x3 的值。 20.已 知 函 数 f(x)=Asin(ωx+φ) A>0,ω>0,φ ≤ π 2 的 图 像 过 点 P - π 12 ,0 ,图像上与点P 最近的一个最高 点的坐标为 π 6 ,3 。 (1)求函数f(x)的解析式。 (2)若x∈ - π 4 ,π 3 ,试求函数f(x)的 值域。 (3)若方程f(x)=2在x∈ 0, π 3 上有 两个不相等的实数根x1,x2,求cos(x1-x2) 的值。 一、选择题 1.提示:f(x)=sin3x+ 5π 6 + 3· cos3x- 5π 6 =- 32sin3x+12cos3x- 3 2cos3x+ 3 2sin3x=-cos3x 。当2kπ≤ 3x≤2kπ+π,即 2kπ 3 ≤x≤ 2kπ 3 + π 3 (k∈Z) 时,函数y=cos3x 单调递减。当k=0时, 可得y=cos3x 的一个减区间为 0, π 3 。而 y=cos3x 与y=-cos3x 的增减区间正好 相反,则 0, π 3 是函数y=-cos3x 的一个 增区间,即D适合。应选D。 2.提示:因为函数y=-cos4x- 5π 6 = cos4x+ π 6 =sin4x+π6+π2 =sin4x+ 2π 3 =sin 4x+π6 ,所 以 要 得 到 y= -cos4x- 5π 6 的 图 像,只 需 将 函 数 y= sin4x 的图像向左平移 π 6 个单位。应选C。 3.提 示:由 点 π6 ,0 是 函 数 f(x)= sinωx- π 6 图像的一个对称中心,可得π6· ω- π 6=kπ ,k∈Z,即ω=6k+1,k∈Z。因为 函数f(x)在区间 - π 3 ,π 4 上不单调,所以 T 2< π 4- - π 3 =7π12,即T<7π6,所以2πω< 7π 6 ,可得ω> 12 7 ,则当k=1时,ω=7的值最 小。应选B。 4.提示:当k=2n(n∈Z)时,x=2nπ- 4π 5 ,即角α的终边在第三象限;当k=2n+1 (n∈Z)时,x=2nπ+ π 5 ,即角α 的终边在第 一象限。所以角α 的终边在第一或第三象 限。应选AC。 5.提 示:对 于 A,∃x∈R,sin2 x 4 + cos2 x 4=1 ,A 错 误。对 于 B,cos582°= cos(360°+222°)=cos222°<0,B正确。对 于C,当x= 3π 4 ,y= π 4 时,sinx=cosy,此时 x+y=π,C错误。对于D,由题设得2kπ+ π 2<α<2kπ+π ,k∈Z,所以kπ+ π 4< α 2< kπ+ π 2 ,k∈Z,所以 α 2 在第一象限右上部分 或第三 象 限 左 下 部 分 (不 含 边 界),所 以 sin α 2 > cos α 2 ,D正确。应选BD。 6.提示:易得T= π 3 ,A正确。要使函数 f(x)=tan3x- π 8 有意义,需满足3x- 06 核心考点演练 高一数学 2025年7—8月 π 8≠kπ+ π 2 ,k∈Z,即x≠kπ+ 5π 24 ,k∈Z,所 以 函 数 f (x)的 定 义 域 为 x x≠kπ+ 5π 24 ,k∈Z ,B正确。由f -π8 =tan -π2 , 可得直线x=- π 8 与函数f(x)图像没有交 点,C错误。当x∈ - π 8 ,- π 72 时,则3x- π 8∈ - π 2 ,- π 6 ,所 以 函 数 f (x)在 - π 8 ,- π 72 上单调递增,所以 f -π8 = tan - π 2 ,f -π72 =tan -π6 =- 33,所 以f(x)∈ -∞,- 3 3 ,D 正 确。应 选 ABD。 7.提示:由sin2x+2 3sin2x- 3= -k,整理得cos2x+ π 6 =-k2。令t=2x+ π 6 ,由x∈ - π 4 ,π 6 ,可得t∈ -π3,π2 。 所以cost=- k 2 在区间 - π 3 ,π 2 上有且只 有一个解,即y=cost,t∈ - π 3 ,π 2 的图像 和直线y=- k 2 只有一个交点。结合图像知 (图略),- k 2=1 或0≤- k 2< 1 2 ,解得k= -2或-1<k≤0。应选AC。 8.提示:由函数f(x)的图像与x 轴的交 点中相邻两个交点的距离为 π 2 ,可得最小正 周期为π,所以ω= 2π π=2 。由函数f(x)的 图像关于直线x= π 6 对称,可得2× π 6+φ= kπ+ π 2 (k∈Z),即φ=kπ+ π 6 (k∈Z)。因为 0<φ< π 2 ,所以φ= π 6 ,所以函数f(x)= sin2x+ π 6 ,A 错 误,B 正 确。 由 sin2× 5π 12+ π 6 =sinπ=0,可得点 5π12,0 是 函数f(x)的一个对称中心,C正确。将函数 f(x)的图像向左平移 π 6 个单位得函数y= sin2x+ π 6 +π6 = sin 2x+π2 = cos2x,可知该函数为偶函数,D正确。应选 BCD。 9.提示:因为函数f(x)=-2sin2x+ 8cos2 x 4- 1 2 cos π2-x2 = -2sin2x+ 4cos x 2sin x 2 = -2sin 2x+2sinx,所 以 f(x+π)=-2sin2x-2sinx≠f(x),A不正 确。由f(-x)=-2sin2x-2sinx,可得 f(-x)≠f(x),且f(-x)≠-f(x),所以 f(x)是非奇非偶函数,B不正确。由函数 f(x)=-2sin2x+2sinx=-2sinx- 1 2 2 + 1 2 ,可得当sinx= 1 2 时,f(x)max= 1 2 ,当 sinx=-1时,f(x)min=-4,即 f(x)∈ -4, 1 2 ,C正确。当x∈ -π3,0 时,sinx ∈ - 3 2 ,0 􀭠 􀭡 􀪁􀪁 􀭤 􀭥 􀪁􀪁 ,所以f(x)=-2sinx-12 2 + 1 2 单调递增,D正确。应选CD。 10.提 示:f(x)=2cosx(3sinx- cosx)+1=2 3sinxcosx-2cos2x+1= 3sin2x-cos2x=2sin2x- π 6 。对于A, f π 3 =2sin2×π3-π6 =2sinπ2=2,所以 直线x= π 3 是函数f(x)图像的对称轴,A正 确。对于B,当x1= π 6 ,x2= π 2 时,f(x1)= f(x2)=1,但x1-x2=- π 3 不是π的整数 倍,B错误。对于C,当x∈ π3 ,π 2 时,2x- π 6∈ π 2 ,5π 6 ,由 正 弦 函 数 的 性 质 知 在 16 核心考点演练 高一数学 2025年7—8月 π 2 ,5π 6 上是减函数,C正确。对于D,周期 T= 2π 2 =π ,在 (0,π)上,由 2x- π 6 ∈ - π 6 ,11π 6 ,可 得 当2x- π6=0或2x- π 6=π 时,f2x- π 6 =0,可知有2个零点, 而(0,10π)含有10个周期,所以有20个零 点,D正确。应选ACD。 11.提示:f(0)=2sin - π 3 =- 3,A 不正确。若|f(x1)-f(x2)|=4,则|x1- x2|的 最 小 值 为 T 2 = π 2 ,B 正 确。由 x∈ π 6 ,5π 12 ,可得2x-π3∈ 0,π2 ,所以函数 在该区间上单调递增,C正确。由 π 3≤x≤ π 2 ,可得π 3≤2x- π 3≤ 2π 3 ,则当2x- π 3= π 3 或2x- π 3 = 2π 3 时,f(x)取 得 最 小 值 为 2sin π 3=2sin 2π 3= 3 ;当2x- π 3= π 2 时, f(x)取得最大值为2sin π 2=2 。两个最小值 之和为 3+ 3=2 3>2,即∀x1,x2,x3∈ π 3 ,π 2 ,恒有f(x1)+f(x3)>f(x2)成立, D正确。应选BCD。 二、填空题 12.提示:函数f(x)=cos(5π+3x)= cos(π+3x)= -cos3x。当 2kπ≤3x≤ 2kπ+π,即 2kπ 3 ≤x≤ 2kπ 3 + π 3 (k∈Z)时,函 数y=cos3x 单调递减。取k=0,可得函数 y=cos3x 的一个减区间为 0, π 3 ,所 以 π 9 ,π 3 是函数y=-cos3x 的一个增区间, 故 函 数 f (x)=cos(5x+3π)在 区 间 π 9 ,π 3 上的最小值为f π9 =-cosπ3= - 1 2 。 13.提示:由sinα∈[-1,1],可得存在实 数α,使得2sin2x+ π 6 <sinα 成立,所以 2sin2x+ π 6 <1,即sin2x+π6 <12,所以 2kπ+ 5π 6<2x+ π 6<2kπ+ 13π 6 (k∈Z),即 kπ+ π 3<x<kπ+π (k∈Z),所以x 的取值 范围是 kπ+ π 3 ,kπ+π (k∈Z)。 14.提示:由f(0)=Asinφ,A>0,0< φ< π 2 ,可得f(0)=Asinφ>0,③不成立,可 知f(x)满足的三个条件为①②④。由最小 正周期为π,最大值为2,可得ω= 2π π=2 , A=2,这 时 f(x)=2sin(2x+φ)。由 f - π 6 =0,可得 f -π6 =2sin -π3+ φ =0。又0<φ<π2,所以φ=π3,所以函数 f(x)=2sin2x+ π 3 。由 x∈ -π6,π3 , 可得2x+ π 3∈ [0,π]。当2x- π 3= π 2 时, f(x)max=2sin π 2=2 ,即当λ≥2时,f(x)≤λ 恒成立。故λ∈[2,+∞)。 15.提示:令ωx- π 8=kπ ,k∈Z,则函数 的零点为x= (8k+1)π 8ω ,k∈Z,所以函数在y 轴右侧的前4个零点分别是 π 8ω ,9π 8ω ,17π 8ω , 25π 8ω 。因为函数f(x)在 0, π 6 上有且仅有3 个零点,所以 17π 8ω≤ π 6 , 25π 8ω> π 6 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 解得ω∈ 51 4 ,75 4 。 三、解答题 16.提示:(1)由 sin2θ+ cos2θ=sinθ -cosθ,可得 sinθ≥0, cosθ≤0。 因为θ∈[0,2π),所 以θ∈ π2 ,π ,即角θ的取值范围为 π2,π 。 26 核心考点演练 高一数学 2025年7—8月 (2)由(1)知θ∈ π2 ,π ,所以-1≤cosθ ≤0。因 为 函 数 f(θ)=cosθ|cosθ|+ 4cosπ2+θ sinθ-3π2 sinπ+θ -1= -cos 2θ+ 4cosθ-1=-(cosθ-2)2+3,所以当cosθ= -1时,f(θ)取得最小值,且f(θ)min=-(-1 -2)2+3=-6。 17.提示:(1)函数y=-2sinx 的图像 先向左平移 π 3 个单位得y=-2sinx+ π 3 , 把横坐标变为原来的 1 2 得y=-2sin 2x+ π 3 ,再把纵坐标向上平移1个单位得y= -2sin2x+ π 3 +1,所 以 函 数 f (x)= -2sin2x+ π 3 +1。 由2kπ+ π 2≤2x+ π 3≤2kπ+ 3π 2 ,k∈Z, 可得kπ+ π 12≤x≤kπ+ 7π 12 ,k∈Z,所以函数 f (x)的 单 调 递 增 区 间 为 kπ+ π 12 , kπ+ 7π 12 ,k∈Z。 (2)由x∈ 0, π 6 ,可得π3≤2x+π3≤ 2π 3 ,所 以 3 2 ≤sin 2x+ π 3 ≤1,所 以 当 sin2x+ π 3 = 32时,函数f(x)取得最大值 为1- 3,即f(x)max=1- 3。 要使 f(x)<λ-4 恒 成 立,需 满 足 f(x)max<λ-4,所以1- 3<λ-4,解得λ>5 -3,即实数λ的取值范围是(5-3,+∞)。 18.提 示:(1)f(x)=2 1+cos2x+ 3 2sin2x- 1 2cos2x -2=21+ 32sin2x+ 1 2cos2x -2=2sin2x+π6 。设t=2x+ π 6 ,则函数f(x)等价于函数y=2sint。由 x∈ - π 6 ,π 4 ,可得t∈ -π6,2π3 ,则sint ∈ - 1 2 ,1 ,所以y=2sint∈[-1,2],即函数 f(x)在区间 - π 6 ,π 4 上的值域为[-1,2]。 (2)y=2cos(2x+φ)的图像向右平移 π 2 个单位得到g(x)=2cos2x- π 2 +φ 的 图像,即g(x)=2cos(2x-π+φ)的图像。 由g(x)=2cos(2x+φ-π)的图像与 f(x)=2sin2x+ π 6 的图像重合,可得φ- π= π 6- π 2+2kπ (k∈Z),所以φ= 2π 3+2kπ (k∈Z)。又0≤φ<π,所以φ= 2π 3 。 19.提 示:(1)f(x)=2sinxsin π 6- x =2sinx 12cosx- 32sinx =sinxcosx - 3sin2x= 1 2sin2x- 3 2 (1-cos2x)= 1 2sin2x+ 3 2cos2x- 3 2 =sin2x+ π 3 - 3 2 ,即函数f(x)=sin2x+ π 3 - 32。 (2)函数g(x)=10[f(x)]2-(10a+1)· f(x)+a恰有4个不同的零点,即关于x 的 方程10[f(x)]2-(10a+1)f(x)+a=0恰 有4个不同的实数根。 当x∈ 0, π 2 时,f(x)在 0,π12 上单调 递增,在 π 12 ,π 2 上单调递减,且f(0)=0, f π 12 =1- 32,f π2 =- 3。 设 f(x)=t,当t∈ 0,1- 3 2 􀭠 􀭡 􀪁􀪁 时, f(x)=t有2个不同的实数根。由10t2- (10a+1)t+a=0,可得t= 1 10 或t=a,即 f(x)= 1 10 或f(x)=a。 36 核心考点演练 高一数学 2025年7—8月 由f(x)= 1 10 有2个不同的实数根,可得 f(x)=a有2个不同的实数根,且a≠ 1 10 ,故 实数a的取值范围为 0, 1 10 ∪ 110,1- 32 。 (3)当 x∈ - π 4 ,5π 6 时,2x+ π3 ∈ - π 6 ,2π 。 设t=2x+ π 3∈ - π 6 ,2π ,则sin2x+ π 3 - 32=sint- 32。 令函数 g(t)=sint- 3 2 ,则 g(t)在 - π 6 ,π 2 上单调递增,在 π2,3π2 上单调递 减,在 3π 2 ,2π 上 单 调 递 增,且 g -π6 = sin - π 6 - 32=-1+ 32 ,g π2 =sinπ2- 3 2 = 2- 3 2 ,g 3π 2 = sin 3π2 - 32 = - 2+ 3 2 ,g(2π)=sin2π- 3 2=- 3 2 。 对 于 方 程 f (x)-k=0,当 k ∈ - 1+ 3 2 ,- 3 2 􀭠 􀭡 􀪁􀪁 􀭤 􀭥 􀪁􀪁 ,x∈ -π4, 7π 6 时,方 程 f(x)-k=0恰有3个不相等的实数根,故实 数k的取值范围是 - 1+ 3 2 ,- 3 2 􀭠 􀭡 􀪁􀪁 􀭤 􀭥 􀪁􀪁 。 因为g(t)-k=0有3个不同的实数根 t1,t2,t3(t1<t2<t3),且t1,t2 关于t= π 2 对 称,t2,t3 关于t= 3π 2 对称,所以t1+t2=2× π 2=π ,t2+t3=2× 3π 2 =3π 。两式相加得 t1+ 2t2 + t3= 4π, 即 2x1+ π 3 + 22x2+ π 3 + 2x3+π3 =4π,所以x1+2x2 +x3= 4π 3 。 20.提示:(1)根据f(x)图像的最高点为 π 6 ,3 ,可 知 A=3。因 为 P -π12,0 为 f(x)的零点,与点P 最近的一个最高点的坐 标为 π 6 ,3 ,所以T4=π6- -π12 =π4,可 得T=π,所以ω= 2π π=2 ,这时函数f(x)= 3sin2x+φ 。 由 f π 6 =3sin π3+φ =3,可 得 sin π3+φ =1。由于-π2<φ<π2,-π6< φ+ π 3< 5π 6 ,所以φ+ π 3= π 2 ,即φ= π 6 ,所以 函数f(x)=3sin2x+ π 6 。 (2)由- π 4≤x≤ π 3 ,可得- π 3≤2x+ π 6≤ 5π 6 ,所以- 3 2≤sin2x+ π 6 ≤1,所以 函 数 f (x)= 3sin 2x+ π 6 在 区 间 - π 4 ,π 3 上的值域为 -332 ,3􀭠􀭡 􀪁􀪁 􀭤 􀭥 􀪁􀪁 。 (3)由0≤x≤ π 3 ,可得π 6≤2x+ π 6≤ 5π 6 , 所以sin2x+ π 6 ∈ 12,1 ,所以f(x)∈ 3 2 ,3 。因为f(x)=3sin2x+π6 =2,所 以sin2x+ π 6 =23在x∈ 0,π3 上的两个 解为 x1,x2,且 sin 2x1+ π 6 = 23。所 以 2x1+ π 6 + 2x2+π6 =2× π2,即 x1+ x2= π 3 ,可得x2= π 3-x1 。因为x1-x2= x1- π 3-x1 =2x1-π3,所以cos(x1-x2)= cos 2x1- π 3 = cos 2x1+π6 -π2 = sin2x1+ π 6 =23。 作者单位:山东省东营市利津县第一中学 (责任编辑 郭正华) 46 核心考点演练 高一数学 2025年7—8月