概率核心考点综合演练-《中学生数理化》高一数学2025年7～8月刊

■刘大鸣(特级教师) 一、选择题 1.据天气预报,国庆期间甲地的降雨概 率是0.4,乙地的降雨概率是0.3。这段时间 内两地是否降雨相互之间没有影响,那么国 庆期间甲、乙两地都不降雨的概率是( )。 A.0.7 B.0.42 C.0.12 D.0.46 2.已知事件 A 与事件B 是互斥事件, 则( )。 A.P(A∩B)=0 B.P(A∩B)=P(A)P(B) C.P(A)=1-P(B) D.P(A∪B)=1 3.将一枚均匀的骰子掷两次,记事件 A 为“第一次出现偶数点”,事件B 为“第二次 出现奇数点”,则( )。 A.A 与B 不独立 B.P(A∪B)=P(A)+P(B) C.A 与B 不互斥 D.P(AB)= 1 3 4.(多选题)不透明的口袋内装有红色和 绿色卡片各2张,一次任意取出2张卡片,则 与事件“2张卡片都为红色”互斥而不对立的 事件是( )。 A.2张卡片都不是红色 B.2张卡片恰有一张红色 C.2张卡片至少有一张红色 D.2张卡片至多有一张红色 5.(多选题)袋中有红球3个,白球2个, 黑球1个,从中任取2个,则互斥的两个事件 是( )。 A.至少有一个白球与都是白球 B.恰有一个红球与白、黑球各一个 C.至少有一个白球与至多有一个红球 D.至少有一个红球与2个白球 6.(多选题)已知A,B 为两个随机事件, 且P(A)=0.4,P(B)=0.6,则( )。 A.P(A+B)<1 B.若A,B 为互斥事件,则P(AB)=0 C.若P(AB)=0.24,则A,B 为相互独 立事件 D.若A,B 为相互独立事件,则P(􀭺A􀭺B)= P(AB) 7.(多选题)下列四个命题中,假命题 是( )。 A.对立事件一定是互斥事件 B.若A,B 为两个事件,则P(A∪B)= P(A)+P(B) C.若事件 A,B,C 彼此互斥,则 P(A) +P(B)+P(C)=1 D.若事件A,B 满足P(A)+P(B)=1, 则A,B 是对立事件 8.(多选题)甲、乙两袋里有除颜色外完 全相同的球,从甲袋中摸出一个红球的概率 是 1 3 ,从乙袋中摸出一个红球的概率是1 4 ,下 列结论正确的是( )。 A.从甲袋中摸出一个球,不是红球的概 率是 2 3 B.从乙袋中摸出一个球,不是红球的概 率是 1 2 C.从两袋中各摸出一个球,两个球都是 红球的概率为 1 12 98 核心考点演练 高一数学 2025年7—8月 D.从两袋中各摸出一个球,两个球都不 是红球的概率为 1 2 9.(多选题)一个袋子中有标号分别为 1,2,3,4的四个小球,除标号外无差异。不 放回地取两次,每次取出一个球。事件A= “两次取出球的标号为1和4”,事件B=“第 二次取出球的标号为4”,事件C=“两次取出 球的标号之和为5”,则( )。 A.P(A)= 1 12 B.P(AB)= 1 12 C.事件A 与C 不互斥 D.事件B 与C 相互独立 10.(多选题)抛掷一枚骰子1次,记“向上 的点数是1,2”为事件A,“向上的点数是1,2, 3”为事件B,“向上的点数是1,2,3,4”为事件 C,“向上的点数是4,5,6”为事件D,则下列关 于事件A,B,C,D 的判断正确的是( )。 A.A 与D 是互斥事件但不是对立事件 B.B 与D 是互斥事件也是对立事件 C.C 与D 是互斥事件 D.B 与C不是对立事件也不是互斥事件 二、填空题 11.“四书”是《大学》《中庸》《论语》《孟 子》的合称,又称“四子书”,在世界文化史、思 想史上地位极高,所载内容及哲学思想至今 仍具有积极意义和参考价值。某校计划开展 “四书”经典诵读比赛活动,某班有A,B 两位 同学参赛,比赛时每位同学从这4本书中随 机抽取1本选择其中的内容诵读,则A,B 两 位同学抽到同一本书的概率为 。 12.甲、乙两名同学进行篮球投篮练习, 甲同学一次投篮命中的概率为 3 4 ,乙同学一 次投篮命中的概率为 2 3 ,假设两人投篮命中 与否互不影响,则甲、乙两人各投篮一次,至 少有一人命中的概率是 。 13.甲、乙两名同学参加一项射击比赛游 戏,其中任何一人每射击一次击中目标得2 分,未击中目标得0分。若甲、乙两人射击的 命中率分别为 3 5 和p,且甲、乙两人各射击一 次得分之和为2的概率是 9 20 。假设甲、乙两 人射击互不影响,则p 的值为 。 14.某同学口袋中共有5个大小相同、质 地均匀的小球,其中3个编号为5,2个编号 为10,现从中取出3个小球,编号之和恰为 20的概率为 。 三、解答题 15.甲、乙两位队员进行对抗赛,每局依 次轮流发球,连续赢2个球者获胜。通过分 析甲、乙过去对抗赛的数据知,甲发球甲赢的 概率为 3 4 ,乙发球乙赢的概率为2 3 ,不同球的 结果互不影响,已知某局甲先发球。 (1)求该局打4个球乙赢的概率。 (2)求该局打5个球结束的概率。 16.现有甲、乙、丙三名志愿者被随机分 到A,B 两个不同的岗位服务,每个岗位至少 有一名志愿者。 (1)求甲、乙两人同时参加 A 岗位服务 的概率。 (2)求甲、乙两人不在同一个岗位服务的 概率。 17.某商场为回馈顾客举行抽奖活动,顾 客一次消费超过一定金额即可参加抽奖。抽 奖箱里放有五个大小相同的小球,其中有两 个标有“中奖”字样,每位参加抽奖的顾客一 次抽奖可随机抽取两个小球,且商场规定参 加抽奖的顾客一次抽奖只要抽到一个“中奖” 小球即视为中奖。 (1)求顾客一次抽奖中奖的概率。 (2)若顾客一次抽奖抽到两个“中奖”小 球为一等奖,可兑取价值100元的奖品。一 次抽奖只抽到一个“中奖”小球为二等奖,可 兑取价值50元的奖品。某日该商场进行的 抽奖共计500人次,估计兑出奖品的总价值。 18.已知甲、乙、丙三位同学答对某道题 目的概率分别为 3 5 ,2 5 ,p,且三人答题互不 影响。 (1)求甲、乙两位同学恰有一个人答对的 09 核心考点演练 高一数学 2025年7—8月 概率。 (2)若甲、乙、丙三个人中至少有一个人 答对的概率为 22 25 ,求p 的值。 19.某学校为了打造“书香校园”,使学生 养成好的阅读习惯,健康成长,从学校内随机 抽取了200名学生的一周课外阅读时间进行 调查,了解学生的课外阅读情况,收集了他们 阅读时间(单位:h)的数据,并将样本数据分 成[0,2],(2,4],(4,6],(6,8],(8,10],(10, 12],(12,14],(14,16],(16,18]这九组,绘制 成如图1所示的频率分布直方图。 图1 (1)求a 的值及这200名学生一周课外 阅读时间的平均数。 (2)为进一步了解这200名学生一周课 外阅读时间的情况,从课外阅读时间在(12, 14],(16,18]这两组内的学生中,采用分层抽 样的方法抽取6人,选取其中两人组成小组, 求其中两名组员全在(12,14]内的概率。 20.猜灯谜是我国一种民俗娱乐活动,某 社区在元宵节当天举行了猜灯谜活动,工作 人员给每位答题人提供了5道灯谜题目,答 题人从中随机选取2道灯谜题目作答,若2 道灯谜题目全答对,则答题人便可获得奖品。 (1)若甲只能答对工作人员所提供的5 道题中的2道,求甲能获得奖品的概率。 (2)若甲不能获得奖品的概率为 7 10 ,求甲 能答对所提供灯谜题目的数量。 21.第19届亚运会在杭州举行,志愿者 的服务工作是亚运会成功举办的重要保障。 某高校承办了杭州志愿者选拔的面试工作。 现随机抽取了100名候选者的面试成绩,并 分成五组:第一组[45,55),第二组[55,65), 第三组[65,75),第四组[75,85),第五组[85, 95],绘制成如图2所示的频率分布直方图。 已知第三、四、五组的频率之和为0.7,第一 组和第五组的频率相同。 图2 (1)求a,b的值。 (2)估计这100名候选者面试成绩的 60%分位数(精确到0.1)。 (3)在第四、第五两组志愿者中,采用按 比例分配的分层抽样方法从中抽取5人,然 后从这5人中选出2人,以确定组长人选,求 选出的2人来自不同组的概率。 22.据调查,目前对于已经近视的小学 生,有两种佩戴眼镜的选择,一种是佩戴传统 的框架眼镜;另一种是佩戴角膜塑形镜。角 膜塑形镜是晩上睡觉时佩戴的一种特殊的隐 形眼镜,因其在一定程度上可以减缓近视的 发展速度,越来越多的小学生家长选择角膜 塑形镜控制孩子的近视发展。A 市从该地区 小学生中随机抽取容量为100的样本,其中 因近视佩戴眼镜的有24人(其中佩戴角膜塑 形镜的6人中,2名是男生,4名是女生)。 (1)若从样本中随机选一位学生,那么该同 学是佩戴角膜塑形镜的近视者的概率是多少? (2)从这6名佩戴角膜塑形镜的学生中, 选出3个人,求其中至少有1名男生的概率。 23.从甲地到乙地沿某条公路一共行驶 200km,遇到红灯个数的概率如表1所示。 表1 红灯个数 0 1 2 3 4 5 6个及6个以上 概率 0.020.1 a 0.350.2 0.1 0.03 19 核心考点演练 高一数学 2025年7—8月 (1)求表中字母a的值。 (2)求至少遇到4个红灯的概率。 (3)求至多遇到5个红灯的概率。 24.现有编号分别为1,2,3,4,5的五道 不同的物理题和编号分别为6,7,8,9的四道 不同的化学题。甲同学从这九道题中一次随 机抽取两道题,每题被抽到的概率是相等的, 用符号(x,y)表示事件“抽到的两道题的编 号分别为x、y,且x<y”。 (1)共有多少个基本事件? 请列举出来。 (2)求甲同学所抽取的两道题的编号之 和小于17但不小于11的概率。 25.连续抛掷两颗骰子,设第一颗点数为 m,第二颗点数为n。 (1)求m+n=7的概率。 (2)求m=n的概率。 (3)求m·n为偶数的概率。 26.某商区停车场临时停车按时段收费, 收费标准为每辆汽车一次停车不超过1h收 费6元,超过1h的部分每小时收费8元(不 足1h的部分按1h计算)。现有甲、乙两人 在该商区临时停车,两人停车都不超过4h。 (1)若甲停车1h以上且不超过2h的概 率为 1 3 ,停车付费多于14元的概率为 5 12 ,求 甲临时停车付费恰为6元的概率。 (2)若甲、乙两人停车的时长在每个时段 的可能性相同,求甲、乙两人停车付费之和为 36元的概率。 27.某部门组织甲、乙两人破译一个密码, 每人能否破译该密码相互独立。已知甲、乙各 自独立破译出该密码的概率分别为 1 3 ,1 4 。 (1)求他们恰有一人破译出该密码的 概率。 (2)求他们破译出该密码的概率。 一、选择题 1.提示:设“甲地降雨”为事件A,“乙地 降雨”为事件B,则“甲、乙两地都不降雨”为 事 件 A 与 B 同 时 发 生,即 A ∩B。由 P(A)=1-0.4=0.6,P(B)=1-0.3=0.7, 结合独立事件的性质知事件A 与B 相互独 立,所以P(A∩B)=P(A)P(B)=0.6× 0.7=0.42,即甲、乙两地都不降雨的概率为 0.42。应选B。 2.提示:事件 A 与事件B 是互斥事件, 则A、B 不一定是互斥事件,所以P(A∩B) 不一定为0,A错误。因为事件A 与事件B 是互斥事件,所以A∩B=⌀,则P(A∩B) =0,而P(A)P(B)不一定为0,B错误。事 件A 与事件B 是互斥事件,但它们不一定是 对立事件,C错误。因为事件A 与事件B 是 互斥事件,A∪B 是必然事件,所以 P(A∪ B)=1,D正确。应选D。 3.提示:事件A,B 发生没有影响,相互 独立,A错误。P(A∪B)=P(A)+P(B)- P(A∩B),B错误。事件A 和B 可以同时发 生,A 与B 不互斥,C正确。因为A,B 相互 独立,所以 P(AB)=P(A)P(B)= 1 2× 1 2= 1 4 ,D错误。应选C。 4.提示:对于A,2张卡片都不是红色与 事件“2张卡片都为红色”是互斥而不对立的 事件,A正确。对于B,2张卡片恰有一张红 色与事件“2张卡片都为红色”是互斥而不对 立的事件,B正确。对于C,2张卡片至少有 一张红色与事件“2张卡片都为红色”能同时 发生,不是互斥事件,C错误。对于D,2张卡 片至多有一张红色与事件“2张卡片都为红 色”是对立事件,D错误。应选AB。 5.提示:袋中有红球3个,白球2个,黑球 1个,从中任取2个。A中,至少有一个白球与 都是白球这两个事件能同时发生,不是互斥事 件,A不成立。B中,恰有一个红球与白、黑球 各一个不能同时发生,是互斥事件,B成立。C 中,至少有一个白球与至多有一个红球,能同 时发生,不是互斥事件,C不成立。D中,至少 有一个红球与2个白球这两个事件不能同时 发生,是互斥事件,D成立。应选BD。 6.提示:因为A,B 为两个互斥事件,又 P(A)+P(B)=1,所以 A∩B=⌀且 A+ B=Ω,故 P(A∪B)=1,P(AB)=0,A 错 29 核心考点演练 高一数学 2025年7—8月 误,B正确。由P(AB)=0.24,可得P(AB) =P(A)P(B),所以A,B 为相互独立事件, C正确。因为 A,B 为相互独立事件,所以 A,B 也相互独立,所以 P(AB)=P(A)· P(B)。又 P (A)=0.6,P (B)=0.4, P(AB)=P(A)P(B)=[1-P(A)][1- P(B)]=1-[P(A)+P(B)]+P(A)P(B) =P(A)P(B),故 P(AB)=P(AB),D正 确。应选BCD。 7.提示:对于A,显然对立事件一定是互 斥事件,A正确。对于B,当且仅当 A 与B 互斥时才有P(A∪B)=P(A)+P(B),对 任意两个事件A,B 满足P(A∪B)=P(A) +P(B)-P(AB),B不正确。对于C,若事 件A,B,C 彼此互斥,不妨取A,B,C 分别表 示掷骰子试验中的事件“掷出1点”“掷出2 点”“掷出3点”,则P(A∪B∪C)= 1 2 ,C不 正确。对于D,如袋中有大小相同的红、黄、 黑、蓝4个球,从袋中任摸一个球,设事件 A={摸到红球或黄球},事件B={摸到黄球 或黑球),满足P(A)= 1 2 ,P(B)= 1 2 ,P(A) +P(B)=1,但事件A 与B 不互斥,也不对 立,D错误。应选BCD。 8.提示:记“甲袋中摸出一个红球”为事 件A,“乙袋中摸出一个红球”为事件 B,则 P(A)= 1 3 ,P(B)= 1 4 。对于A,记“从甲袋 中摸 出 一 个 球,不 是 红 球”为 事 件 A,则 P(A)=1-P(A)= 2 3 ,A正确。对于B,记 “从乙袋中摸出一个球,不是红球”为事件B, 则P(B)=1-P(B)= 3 4 ,B错误。对于C, 记“从两袋中各摸出一个球,两个球都是红 球”为事件AB,则P(AB)=P(A)P(B)= 1 3× 1 4= 1 12 ,C正确。对于D,记“从两袋中 各摸出一个球,两个球都不是红球”为事件 􀭿A􀭺B,则 P(􀭿A􀭺B)=P(A)P(B)= 2 3× 3 4= 1 2 ,D正确。应选ACD。 9.提示:设采用不放回方式从中任意摸 球两次,每次取出一个球,全部的基本事件为 (1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4), (3,1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),共 12个,事件A 包含的基本事件为(1,4),(4, 1),共2个,事件 B 包含的基本事件为(1, 4),(2,4),(3,4),共3个,所以P(A)= 2 12= 1 6 ,P(B)= 3 12= 1 4 ,A错误。事件C 包含的 基本事件为(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),共4 个,则P(C)= 4 12= 1 3 ,事件AB 包含的基本 事件为(1,4),即1个,则P(AB)= 1 12 ,B正 确。事件AC 包含的基本事件为(1,4),(4, 1),共2个,则事件A 与C 不互斥,C正确。 事件BC 包含的基本事件为(1,4),即1个, 则P(BC)= 1 12 。因为 P(B)P(C)= 1 3× 1 4= 1 12=P (BC),所以B 与C 相互独立,D 正确。应选BCD。 10.提示:抛掷一枚骰子1次,记“向上的 点数是1,2”为事件A,“向上的点数是1,2, 3”为事件B,“向上的点数是1,2,3,4”为事 件C,“向上的点数是4,5,6”为事件D。事件 A 与D 不能同时发生,但能同时不发生,是 互斥事件但不是对立事件,A正确。事件B 与D 不可能同时发生,且必有一个发生,B 与D 是互斥事件,也是对立事件,B正确。事 件C 与D 可能同时发生,不是互斥事件,C 错误。事件B 与C 能同时发生,不是互斥事 件也不是对立事件,D正确。应选ABD。 二、填空题 11.提示:每位同学从这4本书中随机抽 取1本,基本事件的总数为4×4=16,其中 A,B 两位同学抽到同一本书包含的基本事 件个数为4,所以A,B 两位同学抽到同一本 书的概率P= 4 16= 1 4 。 12.提示:因为两人都不命中的概率为 1- 3 4 × 1-23 =112,所以至少有一人命 39 核心考点演练 高一数学 2025年7—8月 中的概率是1- 1 12= 11 12 。 13.提示:设“甲射击一次,击中目标”为 事件A,“乙射击一次,击中目标”为事件B, 则“甲射击一次,未击中目标”为事件A,“乙 射击 一 次,未 击 中 目 标”为 事 件 B,所 以 P(A)= 3 5 ,P(A)=1- 3 5= 2 5 ,P(B)=p, P(B)=1-p。依题意得 3 5× (1-p)+ 2 5× p= 9 20 ,解得p= 3 4 ,即p 的值为 3 4 。 14.提示:编号之和恰为20,则需要3个 球中2个编号为5,1个编号为10,设3个编 号为5的小球为A,B,C,2个编号为10的小 球为a,b,则从5个球中取出3个球的可能 结果为 ABC,ABa,ABb,ACa,ACb,Aab, BCa,BCb,Bab,Cab,共10种,其中满足题 意的 可 能 情 况 为 ABa,ABb,ACa,ACb, BCa,BCb,共6种,所以编号之和恰为20的 概率P= 6 10= 3 5 。 三、解答题 15.提示:(1)设乙发球乙赢为事件A,甲 发球乙赢为事件B,该局打4个球乙赢为事 件C。由题意得P(A)= 2 3 ,P(B)= 1 4 ,C= BABA。所以 P(C)=P(BABA)= 1 4× 1- 2 3 ×14×23=172,即该局打4个球乙赢 的概率为 1 72 。 (2)设该局打5个球结束时甲赢为事件 D,乙赢为事件E,打5个球结束为事件F。 易知D,E 为互斥事件,D=BABAB,E= BABAB,F=D∪E,所以 P(D)= 1 4× 1- 2 3 × 14 × 1-23 × 1-14 = 1192, P(E)= 1- 1 4 ×23× 1-14 ×23×14= 1 16 ,所 以 P(F)=P(D∪E)=P(D)+ P(E)= 1 192+ 1 16= 13 192 ,所以该局打5个球 结束的概率为 13 192 。 16.提示:(1)甲、乙、丙三名志愿者被随 机分到A,B 两个不同的岗位服务,每个岗位 至少有一名志愿者。基本事件的可能情况为 (甲乙,丙),(甲丙,乙),(丙乙,甲),(丙,甲 乙),(乙,甲丙),(甲,丙乙),共有6种,其中 甲、乙两人同时参加A 岗位服务的情况只有 (甲乙,丙),即1种,所以甲、乙两人同时参加 A 岗位服务的概率为 1 6 。 (2)甲、乙两人不在同一岗位服务的情况 为(甲丙,乙),(丙乙,甲),(乙,甲丙),(甲,丙 乙),共4种,所以甲、乙两人不在同一个岗位 服务的概率为 4 6= 2 3 。 17.提示:(1)设 A1,A2 为两个标有“中 奖”字样的小球,B1,B2,B3 为三个未标有“中 奖”字样的小球,从中随机抽取两个小球的所 有情 况 为{A1,A2},{A1,B1},{A1,B2}, {A1,B3},{A2,B1},{A2,B2},{A2,B3}, {B1,B2},{B1,B3},{B2,B3},共10种,其中 中奖的情况有7种,所以顾客一次抽奖中奖 的概率为 7 10 。 (2)由(1)可知,每次中一等奖的概率为 P1= 1 10 ,每次中二等奖的概率为 P2= 6 10= 3 5 ,所以进行500人次抽奖兑出奖品价值的 估计值为500× 1 10×100+500× 3 5×50= 20000(元)。 18.提示:(1)设事件A=“甲答对”,B= “乙答对”,则P(A)= 3 5 ,P(B)= 2 5 ,P(A) = 2 5 ,P(B)= 3 5 。 “甲、乙两位同学恰有一个人答对”的事 件为AB∪AB,且AB 与AB 互斥。由三人答 题互不影响知A,B 互相独立,所以A 与B,A 与B,A 与B 均相互独立,所以P(AB∪AB) =P(AB)+P(AB)=P(A)P (B)+ P(A)P(B)= 3 5× 3 5+ 2 5× 2 5= 13 25 ,所以 49 核心考点演练 高一数学 2025年7—8月 甲、乙两位同学恰有一个人答对的概率为13 25 。 (2)设事件C=“丙答对”,则P(C)=p, P(C)=1-p。 设事件D=“甲、乙、丙三个人中至少有 一个人答对”。 由(1)知P(D)=1-P(D)=1-P(A)· P(B)P(C)=1- 2 5× 3 5× (1-p)= 22 25 ,解 得p= 1 2 ,即p 的值为 1 2 。 19.提 示:(1)由 频 率 分 布 直 方 图 得 2×(0.02+0.03+0.05+0.05+0.15+a+ 0.05+0.04+0.01)=1,解得a=0.1。 课外阅读时间的平均数为x=2×(1× 0.02+3×0.03+5×0.05+7×0.05+9× 0.15+11×0.1+13×0.05+15×0.04+ 17×0.01)=9.16(h),所以这200名学生一 周课外阅读时间的平均数为9.16h。 (2)在(12,14],(16,18]这两组采用分层 抽样的方法抽取6人,且(12,14]的频率为 0.1,(16,18]的频率为0.02,则从课外阅读 时间在(12,14]内的学生中抽取5人,记为1, 2,3,4,5,从课外阅读时间在(16,18]内的学 生中抽取1人,记为m,所以所有的可能结果 为(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,m),(2, 3),(2,4),(2,5),(2,m),(3,4),(3,5),(3, m),(4,5),(4,m),(5,m),共15种,且每种 结果的发生是等可能的。 满足两名组员都在(12,14]内的可能结 果为(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2, 4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5),共10种,所 以两名组员全在(12,14]内的概率为 10 15= 2 3 。 20.提示:(1)设工作人员提供5道灯谜 题目为a,b,c,x,y,甲能答对的题目为x,y。 从这5道题目中随机选取2道,所有的 基本事件为ab,ac,ax,ay,bc,bx,by,cx, cy,xy,共10种情况,甲2道题目全答对的 为xy,即1种情况,所以甲能获得奖品的概 率为 1 10 。 (2)若甲不能获得奖品的概率为 7 10 ,则甲 能获得奖品的概率为1- 7 10= 3 10 。 设甲能答对所提供灯谜题目的数量为 n,由(1)可知,3≤n≤5,n∈N*。 若n=3,不妨设甲能答对的题目为a,b, c,则甲2道题目全答对的事件为ab,ac,bc, 共3种情况,甲能获得奖品的概率为 3 10 ,符合 题意。所以甲能答对所提供灯谜题目的数量 为3。 同理可证n=4和n=5时不符合题意。 故甲能答对所提供灯谜题目的数量为3。 21.提示:(1)因为第三、四、五组的频率 之和为0.7,所以(0.045+0.02+a)×10= 0.7,解得a=0.005。 因为前两组的频率之和为1-0.7= 0.3,即(a+b)×10=0.3,所以b=0.025。 (2)前两个小组的频率之和为0.3,前三 个小组的频率之和为0.75,所以60%分位数 在[65,75)内,即为65+10× 0.6-0.3 0.45 ≈ 71.7,所以估计这100名候选者面试成绩的 60%分位数为71.7。 (3)由频率分布直方图可知,第四、五两 组志愿者分别有20人,5人,采用按比例分 配的分层抽样抽得的第四组志愿者人数为 4,分别设为a,b,c,d,第五组志愿者人数为 1,设为e。 从这5人中选出2人的所有情况为(a, b),(a,c),(a,d),(a,e),(b,c),(b,d),(b, e),(c,d),(c,e),(d,e),共有10种。记事 件A 为“选出的2人来自不同组”,则事件A 包含的情况为(a,e),(b,e),(c,e),(d,e), 共4种,所以所求概率P(A)= 4 10= 2 5 。 22.提示:(1)因为样本容量为100,其中 佩戴角膜塑形镜的有6人,所以该同学是佩 戴角膜塑形镜的近视者的概率P=0.06。 (2)记“选3个人,其中男生至少1人”为 事件A。2名男生用a,b 表示,4名女生用 1,2,3,4表示,从6人中选取3人的所有情况 为ab1,ab2,ab3,ab4,a12,a13,a14,a23, a24,a34,b12,b13,b14,b23,b24,b34,123, 59 核心考点演练 高一数学 2025年7—8月 124,134,234,共20种,至少有1名男生为 ab1,ab2,ab3,ab4,a12,a13,a14,a23,a24, a34,b12,b13,b14,b23,b24,b34,共16种,所 以P(A)= 16 20= 4 5 。 23.提示:(1)由题意可得0.02+0.1+a +0.35+0.2+0.1+0.03=1,解得a=0.2。 (2)设事件A 为遇到红灯的个数为4,事 件B 为遇到红灯的个数为5,事件C 为遇到 红灯的个数为6及6个以上,则事件“至少遇 到4个红灯”为A∪B∪C。 因为事件 A,B,C 互斥,所以 P(A∪ B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.2+ 0.1+0.03=0.33,即至少遇到4个红灯的概 率为0.33。 (3)设事件D 为遇到6个及6个以上红 灯,则至多遇到5个红灯为事件D。 所以 P(D)=1-P(D)=1-0.03= 0.97。 24.提示:(1)共有36个等可能的基本事 件,列举如下:(1,2),(1,3),(1,4),(1,5), (1,6),(1,7),(1,8),(1,9),(2,3),(2,4), (2,5),(2,6),(2,7),(2,8),(2,9),(3,4), (3,5),(3,6),(3,7),(3,8),(3,9),(4,5), (4,6),(4,7),(4,8),(4,9),(5,6),(5,7), (5,8),(5,9),(6,7),(6,8),(6,9),(7,8), (7,9),(8,9)。 (2)记“甲同学所抽取的两道题的编号之 和小于17但不小于11”为事件A,则事件A 为“x,y∈{1,2,3,4,5,6,7,8,9},且x+y∈ [11,17),其中x<y”。 由(1)可知,事件A 共包含15个基本事 件,列举如下:(2,9),(3,8),(3,9),(4,7), (4,8),(4,9),(5,6),(5,7),(5,8),(5,9), (6,7),(6,8),(6,9),(7,8),(7,9)。故所求 概率P(A)= 15 36= 5 12 。 25.提示:(m,n)的总个数为36。 (1)事件A={m+n=7}={(1,6),(2, 5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)},共6种,则 P(A)= 6 36= 1 6 。 (2)事件B={m=n}={(1,1),(2,2), (3,3),(4,4),(5,5),(6,6)},共6种,则 P(B)= 6 36= 1 6 。 (3)事件C={m·n 为偶数},可分为奇 数×偶数,偶数×奇数,偶数×偶数,这3类, 所以共有3×3+3×3+3×3=27(种)情况, 所以P(C)= 27 36= 3 4 。 26.提示:(1)停车付费多于14元,则停 车时间超过2h。设“甲临时停车付费恰为6 元”为事件A,则P(A)=1- 13+ 5 12 =14, 所以甲临时停车付费恰为6元的概率是 1 4 。 (2)设甲停车付费a 元,乙停车付费b 元,其中a,b∈{6,14,22,30},则甲、乙两人 的停车费用的所有可能结果为(6,6),(6, 14),(6,22),(6,30),(14,6),(14,14),(14, 22),(14,30),(22,6),(22,14),(22,22), (22,30),(30,6),(30,14),(30,22),(30, 30),共16种。其中(6,30),(14,22),(22, 14),(30,6)这4种情况符合题意。 故“甲、乙两人停车付费之和为36元”的 概率为 4 16= 1 4 。 27.提示:记“甲破译出密码”为事件 A, “乙破译出密码”为事件 B,则 P(A)= 1 3 , P(B)= 1 4 。 (1)“甲、乙两人中恰有一人破译出该密 码”,包括“甲破译出而乙没有破译出”和“乙 破译出 而 甲 没 有 破 译 出”这 两 种 情 况,则 P(AB+AB)=P(A)P(B)+P(A)P(B)= 1 3× 3 4+ 2 3× 1 4= 5 12 。 (2)“他们破译出该密码”的对立事件为 “他们没有破译出密码”,即“甲没有破译出密 码”与“乙没有破译出密码”同时发生,所以他 们破译出该密码的概率为1-P(A)P(B)= 1- 2 3× 3 4= 1 2 。 作者单位:陕西省洋县中学 (责任编辑 郭正华) 69 核心考点演练 高一数学 2025年7—8月