指数函数与对数函数核心考点综合演练-《中学生数理化》高一数学2025年7～8月刊

■胡贵平 一、选择题 1.函数f(x)=ln(x2-2x-8)的单调递 增区间是( )。 A.(-∞,2) B.(-∞,1) C.(1,+∞) D.(4,+∞) 2.已知函数f(x)= 2×3x 3x+1 ,则下列函数 中为奇函数的是( )。 A.y=f(x-1) B.y=f(x+1) C.y=f(x)-1 D.y=f(x)+1 3.已知函数f(x)的图像关于y 轴对称, 且 f(x)在 [0,+ ∞)上 单 调 递 减,则 f(log25),flog3 1 5 ,f(0.30.2)的大小关系 是( )。 A.flog3 1 5 <f(0.30.2)<f(log25) B.flog3 1 5 <f(log25)<f(0.30.2) C.f(0.30.2)<flog3 1 5 <f(log25) D.f(log25)<flog3 1 5 <f(0.30.2) 4.(多选题)已知a+a-1=3(a>0),则 下列结论正确的是( )。 A.a2+a-2=7 B.a3+a-3=18 C.a 1 2+a -12=± 5 D.a a+ 1 a a =25 5.(多选题)下列运算正确的是( )。 A.loga(MN)=logaM·logaN(M>0, N>0,a>0且a≠1) B.loga M N=logaM-logaN (M>0,N> 0,a>0且a≠1) C.logab= lnb lna (b>0,a>0且a≠1) D.loga3b 2= 3 2logab (b>0,a>0且a≠1) 6.(多选题)下列说法正确的是( )。 A.若函数f(x)=(2a2-3a+2)·ax 是 指数函数,则a= 1 2 B.函数f(x)=ax 的值域为R C.函 数 f(x)=ax+1 的 图 像 可 以 由 f(x)=ax 的图像向右平移1个单位得到 D.函数y=a2x+3-1恒过定点 - 3 2 ,0 7.(多 选 题)已 知 函 数 f (x)= 1 2 x ,x<2, log2(x-1),x≥2, 若f(x)=1,则x 的取 值可能是( )。 A.0 B.3 C.-1 D.2 8.(多选题)已知函数f(x)=ln 2-x 2+x , 则下列说法正确的是( )。 A.f(x)的定义域为(-2,2) B.f(x)为奇函数 C.f(x)在定义域上是减函数 D.f(x)为偶函数 二、填空题 9.已 知 函 数 f(x)= 4x,x≤0, log2x,x>0, 则 f[f(-1)]= 。 10.已知函数f(x)=loga(3x+4)+2x 恒过定点(m,n),则m+n= 。 11.已 知 函 数 f(x),给 出 两 个 性 质: ①f(x)在 R 上单调递减;②对任意的x1, x2∈R,都有f(x1)f(x2)=f(x1+x2)。写 35 核心考点演练 高一数学 2025年7—8月 出一个同时满足性质①和 性 质②的 函 数 f(x)= 。 12.已知函数f(x)为奇函数,当x>0 时,f(x)=ln(ex+1),则f(-ln2)= 。 13.已 知 λ ∈ R,函 数 f (x)= x-4,x≥λ, x2-4x+3,x<λ, 当λ=2时,不等式f(x) <0的解集是 ;若函数f(x)恰有2个零 点,则λ的取值范围是 。 14. 已 知 函 数 f (x ) = (1-3a)x+10a,x≤7, ax-7,x>7 是 定 义 在 (- ∞, +∞)上的单调递减函数,则实数a的取值范 围是 。 15.若函数f(x)=loga(x2-x+2)在 [0,2]上的最大值为2,则实数a= 。 16.借助信息技术计算 1+ 1 n n (n∈ N*)的值,我们发现当n=1,2,3,10,100, 1000,…时 1+ 1 n n 的底数越来越小,而指 数越来越大,随着n 越来越大,1+ 1 n n 会 无限趋近于e(e=2.71828…是自然对数的 底数)。根据以上知识判断,当n 越来越大 时,1+ 2 n 2n 会趋近于 。 三、解答题 17.(1)若xlog23=1,求3x+3-x 的值。 (2)已知lg2=a,lg3=b,试用a,b表示 lg15。 18.已知函数f(x)=lg(1-x)-lg(1+x)。 (1)求函数f(x)的定义域。 (2)判断函数f(x)的奇偶性,并用定义 证明你的结论。 (3)求函数g(x)=lg(1+x)在区间[0, 9]上的值域。 19.已知f(x)是定义在 R上的偶函数, 当x≥0时,f(x)=2x-1。 (1)求函数f(x)的解析式。 (2)解不等式f(x)>7。 20.已知函数f(x)=1- 2 5x+1 。 (1)试用函数单调性的定义,证明函数 f(x)在R上单调递增。 (2)求不等式f(m2-2m)<f(m-2)的 解集。 21.已知函数f(x)=log1 2 (-x2-6x-5)。 (1)求f(x)的定义域。 (2)讨论f(x)的单调性。 (3)求f(x)的最值,并求取得最值时x 的值。 22.已知幂函数f(x)=(m2+m-5)· xm(m∈R)是定义在R上的偶函数。 (1)求函数f(x)的解析式。 (2)当x∈ 13 ,81 时,求函数g(x)= f(log3x)-2log3[f(x)]+2的最大值,并求 对应的自变量x 的值。 23.2024年新能源汽车的渗透率已超过 50%,为解决新能源汽车的充电问题,某新能 源公司投资300万元用于充电桩项目,调研 发现n(n≤16且n∈N*)年内该项目的总维 护费用为W(n)=λn2+40n(λ∈R)万元,该 项目每年可给公司带来200万元的收入。设 第n(n≤16且n∈N*)年年底,该项目的纯 利润(纯利润=累计收入-累计维护费用- 投资成本)为L(n)万元。已知到第3年年 底,该项目的纯利润为99万元。 (1)求L(n)的解析式。 (2)到第几年年底,该项目的年平均利润 (平均利润=纯利润÷年数)最大? 请求出最 大值。 一、选择题 1.提示:由x2-2x-8>0,可得(x+ 2)(x-4)>0,解得x>4或x<-2,所以函 数f(x)=ln(x2-2x-8)的定义域为(-∞, -2)∪(4,+∞)。因为当x∈(4,+∞)时, t=x2-2x-8=(x-1)2-9单调递增,而 y=lnt 在 定 义 域 内 单 调 递 增,所 以 函 数 f(x)=ln(x2-2x-8)的单调递增区间是 (4,+∞)。应选D。 45 核心考点演练 高一数学 2025年7—8月 2.提示:对于A,f(x-1)= 2×3x-1 3x-1+1 的定 义域 为 R,由 f(-x-1)= 2×3-x-1 3-x-1+1 = 2 3x+1+1 ≠-f(x-1),可知y=f(x-1)不 是奇函数。对于B,f(x+1)= 2×3x+1 3x+1+1 的定 义域 为 R,由 f(-x+1)= 2×3-x+1 3-x+1+1 = 2 3x-1+1 ≠-f(x+1),可知y=f(x+1)不 是奇函数。对于C,f(x)-1= 2×3x 3x+1 -1= 3x-1 3x+1 的定义域为R,由f(-x)-1= 3-x-1 3-x+1 = 1-3x 3x+1 =-[f(x)-1],可知y=f(x)-1 是奇函数,C正确。对于D,f(x)+1= 2×3x 3x+1 +1= 3×3x+1 3x+1 的定义域为 R,由f(-x)+ 1= 3×3-x+1 3-x+1 = 3+3x 3x+1 ≠-[f(x)+1],可知 y=f(x)+1不是奇函数。应选C。 3.提示:由题意得f(-x)=f(x),则 flog3 1 5 =f(-log35)=f(log35)。由对 数函 数 的 单 调 性 知 0<log52<log53< log5 =1。由换底公式得0< 1 log25 < 1 log35 < 1,所以log25>log35>1。由指数函数的单调 性知 0<0.30.2<0.30=1,所 以log25> log35>0.30.2>0。而函数f(x)在[0,+∞) 上单调递减,所以 f(log25)<f(log35)< f(0.30.2),即 f (log25)<f log3 1 5 < f(0.30.2)。应选D。 4.提示:a2+a-2=(a+a-1)2-2=32- 2=7,A正确。a3+a-3=(a+a-1)(a2-1+ a-2)=3×(7-1)=18,B正确。(a 1 2+a -12)2 =a+a-1+2=5,因为a 1 2>0,a -12>0,所以 a 1 2+a -12= 5,C错误。a a+ 1 a a =a 3 2+ a -32= a 1 2+a -12 (a-1+a-1)= 5×(3- 1)=25,D正确。应选ABD。 5.提示:对于 A,loga(MN)=logaM+ logaN(M>0,N>0,a>0且a≠1),A错误。 对于B,loga M N=logaM-logaN (M>0,N> 0,a>0且a≠1),B正确。对于C,logab= lnb lna (b>0,a>0且a≠1),C正确。对于D, loga3b 2= 2 3logab (b>0,a>0且a≠1),D错 误。应选BC。 6.提示:对于 A,由2a2-3a+2=1且 a>0,a≠1,解得a= 1 2 ,A正确。对于B,不 论0<a<1,还是a>1,值域都是(0,+∞), B错误。对于C,f(x)=ax 的图像向左平移 1个单位得到f(x)=ax+1,C错误。对于D, 令2x+3=0,则x=- 3 2 ,y=0,所以函数 y=a2x+3-1恒过定点 - 3 2 ,0 ,D正确。应 选AD。 7.提示:当x<2时,由f(x)= 1 2 x = 1,解得x=0;当x≥2时,由f(x)=log2(x -1)=1,解得x=3。应选AB。 8.提示:对于函数f(x)=ln 2-x 2+x ,令 2-x 2+x>0 ,即(x-2)(x+2)<0,解得-2< x<2,所以函数f(x)的定义域为(-2,2),A 正确。f(-x)=ln 2+x 2-x=ln 2-x 2+x -1 = -ln 2-x 2+x=-f (x),所以f(x)为奇函数,B 正确,D错误。因为y= 2-x 2+x=-1+ 4 2+x 在(-2,2)上单调递减,又y=lnx 在定义域 上单调递增,所以f(x)在定义域上是减函 数,C正确。应选ABC。 二、填空题 9.提示:由f(x)= 4x,x≤0, log2x,x>0, 可知 55 核心考点演练 高一数学 2025年7—8月 f(-1)=4-1 = 1 4 ,所 以 f[f(-1)]= f 1 4 =log2 14=log2 -2=-2。 10.提示:令3x+4=1,则x=-1。因 为f(-1)=loga1-2=-2,所以f(x)过定 点(-1,-2),即m=-1,n=-2,所以m+ n=-3。 11.提示:取函数f(x)= 1 2 x ,由指数 函数的单调性可知,函数f(x)= 1 2 x 在 R 上单调递减,满足性质①。由f(x1)f(x2)= 1 2 x1 · 1 2 x2 = 12 x1+x2 =f(x1+x2),可 知满足性质②。故函数f(x)= 1 2 x 符合 题意。 12.提 示:因 为 f(x)为 奇 函 数,所 以 f(-ln2)=-f(ln2)=-ln(eln2+1)= -ln3。 13.提示:因为λ=2,所以函数f(x)= x-4,x≥2, x2-4x+3,x<2。 当x≥2时,由x-4<0, 可得2≤x<4;当x<2时,由x2-4x+3< 0,可得1<x<2。综上可得,不等式的解集 为{x|1<x<4}。 易知函数y=x-4(x∈R)有1个零点 x1=4,函数y=x2-4x+3(x∈R)有2个零 点x2=1,x3=3。在同一坐标系中作出函数 y=x-4和函数y=x2-4x+3的图像(图 略)。由图像可知,当λ≤1时,函数f(x)有 1个零点;当1<λ≤3时,函数f(x)有2个 零点;当3<λ≤4时,函数f(x)有3个零点; 当λ>4时,函数f(x)有2个零点。 由上可得,λ∈{λ|1<λ≤3或λ>4}。 14.提 示:已 知 函 数 f (x)= (1-3a)x+10a,x≤7, ax-7,x>7 是 定 义 在 (- ∞, +∞)上的单调递减函数,结合题设条件得 1-3a<0, 0<a<1, 7(1-3a)+10a≥a7-7=1, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 则 a> 1 3 , 0<a<1, a≤ 6 11 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁􀪁 解 得 1 3<a≤ 6 11 ,所以实数a 的取值范围是 1 3 ,6 11 。 15.提示:令g(x)=x2-x+2,则二次 函数g(x)在[0,2]上的最大值g(x)max= g(2)=4,最小值g(x)min=g 1 2 =74。当 a>1时,f(x)max=loga4=2,解得a=2;当 0<a<1时,f(x)max=loga 7 4=2 ,解得a= 7 2 (舍去)。综上可得,a=2。 16.提示:由题设等价变形得 1+ 2 n 2n = 1+ 1 n 2 4×n2 = 1+ 1 n 2 n 2􀭠 􀭡 􀪁 􀪁􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁􀪁 4 。因为n 越来 越大时,1+ 1 n n 会无限趋近于e,所以n 越 来越大时,1+ 1 n 2 n 2 也会无限趋近于e,所以 1+ 1 n 2 n 2􀭠 􀭡 􀪁 􀪁􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁􀪁 4 会无限趋近于e4,即 1+ 2 n 2n 会无限趋近于e4。 三、解答题 17.提 示:(1)因 为 xlog23=1,所 以 log23x=1,所以3x=2,则3-x= 1 3x = 1 2 。 故3x+3-x=2+ 1 2= 5 2 。 (2)因为lg2=a,lg3=b,所以lg15= lg 3×10 2 =lg3+1-lg2=b-a+1 。 18.提示:(1)由 1-x>0, 1+x>0, 解得-1< x<1,则函数f(x)的定义域为(-1,1)。 (2)函数f(x)是奇函数。证明如下: 函数f(x)的定义域为(-1,1),且定义域 关于原点对称。因为f(-x)=lg(1+x)- lg(1-x)=-f(x),所以函数f(x)是奇函数。 (3)因为u=1+x 在[0,9]上是增函数, y=lgu 在(0,+∞)上是增函数,所以函数 65 核心考点演练 高一数学 2025年7—8月 g(x)=lg(1+x)在[0,9]上是增函数,所以 g(0)≤g(x)≤g(9),可得lg1≤g(x)≤ lg10,即0≤g(x)≤1,所以函数 g(x)= lg(1+x)在区间[0,9]上的值域为[0,1]。 19.提示:(1)因为f(x)是定义在 R上 的偶函数,所以f(x)=f(-x)。 又当x≥0时,f(x)=2x-1,所以当 x<0时,f(x)=f(-x)=2-x-1。 所以函数f(x)= 2x-1,x≥0, 2-x-1,x<0。 (2)因为f(x)是偶函数,所以不等式 f(x)>7等价于f(|x|)>7,即2|x|-1>7, 所以2|x|>8=23。 又函数y=2x 是增函数,所以|x|>3, 解得x<-3或x>3,所以不等式f(x)>7 的解集是(-∞,-3)∪(3,+∞)。 20.提示:(1)函数f(x)=1- 2 5x+1 。 设x1,x2∈R,且x1<x2,则f(x1)- f(x2)=1- 2 5x1+1 - 1- 2 5 x2+1 = 25x2+1- 2 5x1+1 = 2(5x1-5x2) (5x1+1)(5x2+1) 。 由x1<x2,可得5 x1<5x2,即5x1-5x2<0。 因为5x1+1>0,5x2+1>0,所以f(x1) -f(x2)= 2(5x1-5x2) (5x1+1)(5x2+1) <0,所 以 f(x1)<f(x2),所以函数f(x)在 R上单调 递增。 (2)由(1)知,函数f(x)在 R上单调递 增。因为 f(m2-2m)<f(m-2),所以 m2-2m<m-2,可得 m2-3m+2<0,即 (m-1)(m-2)<0,解得1<m<2,所以 f(m2-2m)<f(m-2)的解集为{m|1< m<2}。 21.提示:(1)因为f(x)=log1 2 (-x2-6x -5),所以-x2-6x-5>0,解得-5<x< -1,即函数f(x)的定义域为(-5,-1)。 (2)令t(x)=-x2-6x-5,则t(x)= -(x+3)2+4,可知t(x)在(-5,-3)上单 调递增,在(-3,-1)上单调递减。 已知函数y=log1 2 x 在定义域上单调递 减,结合复合函数的单调性得函数f(x)= log1 2 (-x2-6x-5)在(-5,-3)上单调递 减,在(-3,-1)上单调递增。 (3)由(2)知函数在x=-3处取得最小 值,即f(x)min=f(-3)=log1 2 [-(-3)2- 6×(-3)-5]=-2,所以此函数有最小值 -2,此时x=-3,此函数无最大值。 22.提示:(1)根据题意可得 m2+m- 5=1,即m2+m-6=0,所以(m+3)(m- 2)=0,解得m=-3或m=2。又函数f(x) 是定义在 R 上的偶函数,所以 m=2,可得 f(x)=x2,即函数f(x)的解析式为f(x)=x2。 (2)由(1)可 知,g(x)=f(log3x)- 2log3[f(x)]+2=(log3x)2-2log3x2+2= (log3x)2-4log3x+2=(log3x-2)2-2。 因为x∈ 13 ,81 ,所以log3x∈[-1, 4],所以当x= 1 3 时,log3x=-1,函数g(x) 取得最大值7。 23.提示:(1)由题意得L(n)=200n- W(n)-300=200n-λn2-40n-300=-λn2 +160n-300。 当L(3)=99时,可得-9λ+480-300 =99,所以λ=9。所以L(n)=-9n2+160n -300(n≤16且n∈N*)。 (2)设年平均利润为P(n)万元。 则P(n)= L(n) n = -9n2+160n-300 n = 160- 9n+ 300 n (n≤16且n∈N*)。 由对钩函数的性质可知,函数y=9x+ 300 x 在 区 间 0, 103 3 上 单 调 递 减,在 区 间 103 3 ,+∞ 上单调递增。 因为5< 103 3 <6 ,且当n=5时,P(5) =55,当n=6时,P(6)=56,所以到第6年 年底,该项目的年平均利润最大,其最大值为 56万元。 作者单位:甘肃省白银市第一中学 (责任编辑 王琼霞) 75 核心考点演练 高一数学 2025年7—8月