函数的概念与性质核心考点强化训练-《中学生数理化》高一数学2025年7～8月刊

■王佩其 一、选择题 1.设函数 f(x)= f(x+2),x≤0, x2-3x,x>0, 则 f(-2)=( )。 A.-4 B.-2 C.0 D.2 2.函数y= 1 4-x2 的增区间为( )。 A.[0,+∞) B.(0,2) C.(-∞,0] D.(-2,0) 3.已知f(x)= (a-2)x2+(a-1)x x3 是 奇函数,则实数a的值为( )。 A.1 B.2 C.-1 D.1或2 4.已知函数f(x)是定义在 R上的奇函 数,满足f(x)=f(x+5),且f(-1)=1,则 f(2025)+f(2026)=( )。 A.-1 B.0 C.1 D.2 5.已知幂函数f(x)过点(8,2),函数 g(x)=f(|x|),则 不 等 式 g(2a-1)< g(a+2)的解集为( )。 A.(3,+∞) B.(-∞,3) C.- 1 3 ,3 D.-∞,- 1 3 ∪(3,+∞) 6.已知定义域为 R 的奇函数f(x),对 任意的x2≠x1,都有 f(x2)-f(x1) x2-x1 <0,则 f(x2)+f(-4x-5)>0的解集为( )。 A.(-5,1) B.(-1,5) C.(-∞,-1)∪(5,+∞) D.(-∞,-5)∪(1,+∞) 7.已知定义域为 D 的函数f(x),若对 任意x∈D,存在正数 M,都有|f(x)|≤M 成立,则称函数f(x)是定义域为D 上的“有 界函数”。现有下列四个函数:①f(x)= 3+x 4-x ;②f (x)= 4-x2;③f (x)= 5 2x2-4x+3 ;④f(x)=x+ 4-x。 其中“有界函数”的个数是( )。 A.1 B.2 C.3 D.4 8.(多选题)已知函数f(x)=x+ 9 x+1 , 则( )。 A.函数f(x)的图像可以通过函数y= x+ 9 x 的图像向左平移1个单位长度得到 B.函数 f(x)的图像关于点(-1,0) 对称 C.当x∈(-1,+∞)时,函数f(x)的最 小值为5 D.f(x)>9的解集为{x|-1<x<0或 x>8} 9.(多选题)已知幂函数f(x)=(m2+ m-1)xm-5 的图像关于y 轴对称,则下列说 法正确的是( )。 A.m=1 B.f(- 3)<f(5) C.若b2>a2>0,则f(a)>f(b) D.函数g(x)=f(x)+f 1 x 的最小值 为2 10.(多选题)若定义在(0,+∞)上的函 数f(x),对任意的闭区间[a,b]⊆(0,+∞), 都有|f(a)-f(b)|>|a-b|,则称f(x)具 有性 质 T。则 下 列 函 数 具 有 性 质 T 的 是( )。 A.f(x)=x B.f(x)=2x+1 C.f(x)=x2 D.f(x)=x2+x 64 核心考点演练 高一数学 2025年7—8月 11.(多选题)已知函数y=f(x)对任意 实数x,y 都满足2f(x)f(y)=f(x+y)+ f(x-y),且f(1)=-1,则( )。 A.f(0)=0或1 B.f(x)是偶函数 C.f(-x)+f(1+x)=0 D.f(2024)+f(2025)=1 二、填空题 12.设函数f(x)= 2x x-2 在区间[3,4]上 的最大值和最小值分别为 M,m,则 m2 M = 。 13.已知函数y=xf(x+1)是定义域为 R的偶函数,且f(1-x)=f(3+x),满足 f(1)+f(2)=2,则f(1)+f(2)+f(3)+… +f(2025)= 。 14. 已 知 函 数 f (x ) = (3-4m)x+2,x>0, x2-2mx+m2+1,x≤0 的最小值为f(0), 则m 的取值范围为 。 15.设函数f(x)= x3+(x+1)2 x2+1 在区间 [-2,2]上的最大值为 M,最小值为 N,则 M+N 的值为 。 16.定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的函 数f(x)同时满足:①f(x)为奇函数;②f(1) =0;③对任意的x1,x2∈(0,+∞),且x1≠ x2,都有 x1f(x1)-x2f(x2) x1-x2 <0。则不等式 xf(x+1)<0的解集为 。 17.已 知 x,y 为 实 数,且 满 足 (x-1)2025+2025x=2024, (y-1)2025+2025y=2026, 则 x + y = 。 三、解答题 18.已知函数f(x)= 2ax+3,x≤1, ax2+x,x>1。 (1)若a>0,求f(x)的值域。 (2)若f(x)在 R上单调递减,求实数a 的取值范围。 19.已知函数f(x)= ax-1,x≥0, 1 x ,x<0, 且 f(2)=0。 (1)求函数f(x)的解析式。 (2)求f[f(1)]的值。 (3)若f(m)=m,求实数m 的值。 20.定义在R上的奇函数f(x)= x+b x2+a (a,b为常数)满足f(-1)=- 1 2 。 (1)求f(x)的解析式。 (2)若∀x∈[-1,1],都有f(x)<k2- 2k- 5 2 成立,求实数k的取值范围。 21.已 知 函 数 y=f(x)的 定 义 域 为 (-∞,0)∪(0,+∞),且满足f(xy)=f(x) +f(y)-1。 (1)判断函数f(x)的奇偶性并证明。 (2)若f(2)= 1 2 ,求f(1024)的值。 (3)当 x>1时,f(x)<1,解不等式 f(2x+1)>1。 22.经研究,函数y=f(x)为奇函数的 充要条件是函数y=f(x-a)+b图像的对 称中心为点(a,b),函数y=f(x)的图像关 于点(a,b)成中心对称图形的充要条件是函 数F(x)=f(x+a)-b为奇函数,由F(x) +F(-x)=0得函数y=f(x)关于点(a,b) 成中心对称图形的充要条件是f(a+x)+ f(a-x)=2b。 (1)已知函数f(x)=mx5+nx3+3,且 f(2)=2,求f(-2)的值。 (2)证明:函数g(x)= 3x2-11x+13 x2-4x+5 的 图像的对称中心为(2,3)。 (3)已 知 函 数 h(x)=x3 -3x2,求 h(-7)+h(-6)+h(-5)+…+h(8)+ h(9)的值。 23.若定义域为 R 的函数f(x)满足对 任意的 x 和y,都有 f(x+y)=f(x)+ f(y),我们就称这个函数是“优美的”。 (1)若函数f(x)是“优美的”,求f(0)。 (2)写出一个“优美的”函数f(x),使得 f(2)=6,并说明f(x)为什么是“优美的”。 (3)对于任意“优美的”函数f(x),证明: 74 核心考点演练 高一数学 2025年7—8月 对任意的有理数x,都有f(x)=xf(1)。 24.已 知 定 义 在 (0,+ ∞)上 的 函 数 f(x),满足f m n =f(m)-f(n),且当x> 1时,f(x)>0。 (1)讨论函数f(x)的单调性,并说明理由。 (2)若f(2)=1,解不等式f(x+3)- f(3x)>3。 一、选择题 1.提示:f(-2)=f(-2+2)=f(0)= f(0+2)=f(2)=22-6=-2。应选B。 2.提示:对于函数y= 1 4-x2 ,由4-x2 >0,解得-2<x<2,可得函数y= 1 4-x2 的定义域为(-2,2)。因为内层函数u=4- x2 在(-2,0)上递增,在(0,2)上递减,外层 函数y= 1 u =u -12 在(0,+∞)上为减函数, 所以函数y= 1 4-x2 的增区间为(0,2)。应 选B。 3.提示:由题意知函数f(x)的定义域为 {x|x≠0}。由奇函数的定义知f(-x)= -f(x),所以 (a-2)(-x)2+(a-1)(-x) (-x)3 =- (a-2)x2+(a-1)x x3 ,整理得2(a-1)x =0恒成立,所以2(a-1)=0,解得a=1。 应选A。 4.提示:已知函数f(x)是定义在 R 上 的奇函数,结合f(-1)=1,可得f(0)=0, f(-1)=-f(1),所以f(1)=-1。因为 f(x)=f(x+5),所以函数f(x)是周期为5 的周期函数,所以f(2025)+f(2026)= f(405×5)+f(405×5+1)=f(0)+f(1) =-1。应选A。 5.提示:设f(x)=xα。由题意可得8α= 2,解得α= 1 3 ,所以g(x)=(|x|) 1 3 在(0, +∞)上单调递增,且g(-x)=(|-x|) 1 3= (|x|) 1 3=g(x),即 g(x)为 偶 函 数。由 g(2a-1)<g(a+2),可得|2a-1|<|a+ 2|,解得- 1 3<a<3 ,所以不等式g(2a-1) <g(a+2)的解集为 - 1 3 ,3 。应选C。 6.提示:因为对任意的 x2 ≠x1,都 有 f(x2)-f(x1) x2-x1 <0,所以当x2-x1>0时, f(x2)-f(x1)<0;当x2-x1<0时,f(x2) -f(x1)>0。所以当x2>x1 时,f(x2)< f(x1),所以f(x)在 R 上是减函数。因为 f(x)是定义域为 R的奇函数,所以f(-x) =-f(x),所以f(-4x-5)=-f(4x+ 5)。f(x2)+f(-4x-5)>0可化为f(x2) -f(4x+5)>0,即f(x2)>f(4x+5)。因 为f(x)在 R 上 是 减 函 数,且 f(x2)> f(4x+5),结合减函数的性质得x2<4x+ 5,即(x-5)(x+1)<0,解得-1<x<5。故 不等式f(x2)+f(-4x-5)>0的解集为 (-1,5)。应选B。 7.提示:对于①,函数f(x)= 3+x 4-x= x-4+7 4-x = 7 4-x-1∈ (-∞,-1)∪(-1, +∞),即f(x)= 3+x 4-x 不是“有界函数”。对 于②,f(x)= 4-x2∈[0,2],对任意x∈ [-2,2],都有|f(x)|≤2成立,即函数f(x) 是定义域为[-2,2]上的“有界函数”。对于 ③,令y=2x2-4x+3(y≠0),当x=- -4 2×2 =1时,函数y=2x2-4x+3有最小值2× 12-4×1+3=1,即2x2-4x+3≥1,所以 0< 5 2x2-4x+3 ≤ 5 1=5 ,所以|f(x)|≤5,即 函数f(x)= 5 2x2-4x+3 是“有界函数”。对 于④,令t= 4-x≥0,则x=4-t2,所以 f(x)等价于g(t)=-t2+t+4,t≥0。当 t= 1 2 时,g(t)max=g 1 2 =- 12 2 + 1 2+ 84 核心考点演练 高一数学 2025年7—8月 4= 17 4 ,但无最小值,所以f(x)≤ 17 4 ,此时不 存在正数 M,都有|f(x)|≤M 成立,则该函 数不是“有界函数”。应选B。 8.提示:对于A,f(x)=x+1+ 9 x+1- 1的图像可以通过函数y=x+ 9 x 的图像向 左平移1个单位长度,再向下平移1个单位 长度得到,A错误。对于B,f(x)=x+1+ 9 x+1-1 的图像关于点(-1,-1)对称,B错 误。对于C,因为x∈(-1,+∞),所以x+ 1∈(0,+∞),所以f(x)=x+1+ 9 x+1- 1≥2 (x+1)· 9 x+1-1=5 ,当且仅当x+ 1= 9 x+1 ,即x=2时等号成立,所以f(x)的 最小值为5,C正确。对于D,由f(x)>9,可 得 x(x-8) x+1 >0 ,所以x(x-8)(x+1)>0,解 得-1<x<0或x>8,D正确。应选CD。 9.提示:对于A,因为f(x)为幂函数,所 以m2+m-1=1,解得m=-2或m=1。当 m=-2时,f(x)=x-7 为奇函数,不符合题 意;当m=1时,f(x)=x-4 为偶函数,且函 数图像关于y 轴对称。由上知 m=1,f(x) =x-4,A 正确。对于 B,由f(x)=x-4 得 f(- 3)= 1 9>f (5)= 1 25 ,B错误。对于 C,已知b2>a2>0,由f(a)-f(b)= 1 a4 - 1 b4 = b4-a4 a4b4 = (b2+a2)(b2-a2) a4b4 >0,可 得 f(a)>f(b),C正确。对于 D,由g(x)= 1 x4 +x4≥2 1 x4 ·x4=2(当且仅当x2=1时 取等号),可得函数g(x)的最小值为2,D正 确。应选ACD。 10.提示:对于任意的闭区间[a,b]⊆(0, +∞),可知a>b>0。对于 A,|f(a)- f(b)|=|a-b|,函数f(x)=x 不具有性质 T,A错误。对于B,|f(a)-f(b)|=2|a- b|>|a-b|,函数f(x)=2x+1具有性质 T,B正确。对于C,|f(a)-f(b)|=|a2- b2|=|a+b||a-b|,当0<a+b<1时, |f(a)-f(b)|<|a-b|,函数f(x)=x2 不 具有性 质 T,C 错 误。对 于 D,|f(a)- f(b)|=|a2-b2+a-b|=|a-b||a+b+ 1|>|a-b|,函数f(x)=x2+x 具有性质 T,D正确。应选BD。 11.提示:令x=1,y=0,则2f(0)f(1) =2f(1),可得f(0)=1,A错误。令x=0, 可得2f(0)f(y)=f(y)+f(-y),即 f(y)=f(-y),B正确。令 x=y= 1 2 得 2f2 1 2 =f(1)+f(0)=0,即f 12 =0,再 令x= 1 2 得 2f 1 2 f(y)=f 12+y + f 1 2-y =0,即f(1+x)+f(-x)=0,C 正确。由f(x)是偶函数,结合选项 C 得 f(1+x)+f(x)=0,即f(2+x)=-f(1+ x)=f(x),所以函数f(x)是以2为周期的 周期函数,所以f(2024)+f(2025)=f(0) +f(1)=0,D错误。应选BC。 二、填空题 12.提 示:已 知 函 数 f(x)= 2x x-2= 2(x-2)+4 x-2 =2+ 4 x-2 ,x∈[3,4]。当x∈ [3,4]时,x-2>0,随着 x 的增大,函数 f(x)的值越来越小,则函数f(x)= 2x x-2 在 [3,4]上单调递减,所以 M=f(3)=6,m= f(4)=4,所以 m2 M = 16 6= 8 3 。 13.提示:由函数y=xf(x+1)是定义 域为 R 的偶函数,可得-xf(-x+1)= xf(x+1)。而x 不恒为0,则f(1-x)= -f(x+1),所以f(1)=0。由f(1-x)= f(3+x),可得f(3+x)=-f(x+1),即 f(x+2)= -f(x),所 以 f(x+4)= -f(x+2)=f(x),所以f(x)是周期为4 的周期函数。由f(x+2)=-f(x),可得 f(1)+f(3)=0,f(2)+f(4)=0,所以 f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2025)= 94 核心考点演练 高一数学 2025年7—8月 506[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]+f(1)= f(1)=0。 14.提示:由题意可知,当3-4m<0时, 由x>0,f(x)单调递减,可知函数无最小 值,故需满足3-4m≥0,即m≤ 3 4 。当x≤0 时,函数f(x)=x2-2mx+m2+1=(x- m)2+1的对称轴为x=m,使得在x=0时 取得最小值,只需m≥0。综上可知,0≤m≤ 3 4 ,即m∈ 0, 3 4 。 15.提 示:已 知 函 数 f (x)= x3+(x+1)2 x2+1 =1+ x3+2x x2+1 ,构 造 函 数 g(x)=f(x)-1= x3+2x x2+1 ,其定义域为 R。 因为g(-x)= -x3-2x x2+1 =-g(x),所以 g(x)为奇函数,所以g(x)max+g(x)min= M+N-2=0,所以 M+N=2。 16.提示:对任意的x1,x2∈(0,+∞), 且x1≠x2,都有 x1f(x1)-x2f(x2) x1-x2 <0,则 g(x)=xf(x)在(0,+∞)上单调递减。因 为f(x)为奇函数且f(1)=0,所以g(-x) =-xf(-x)=xf(x)=g(x),所以g(x) 为偶函数,且g(1)=g(-1)=0,故g(x)在 (-∞,0)上 单 调 递 增,所 以 g(x+1)在 (-∞,-1)上单调递增,在(-1,+∞)上单 调递减。又x∈(-∞,0)∪(0,+∞),所以 xf(x+1)<0⇔ f(x+1)<0,x>0, f(x+1)>0,x<0。 当x> 0时,由f(x+1)<0,可得 g(x+1) x+1 <0 ,所 以g(x+1)<0,解得x>0;当x<0时,由 f(x+1)>0,可得 g(x+1) x+1 >0 ,所以(x+ 1)g(x+ 1)> 0,所 以 x+1<0, g(x+1)<0 或 x+1>0, g(x+1)>0, 解得x<-2或-1<x<0。 综上可得,不等式xf(x+1)<0的解集为 (-∞,-2)∪(-1,0)∪(0,+∞)。 17.提示:依题意设函数f(x)=x2025+ 2025x,其定义域为R。因为y=x2025 与y= 2025x 在R上单调递增,所以函数f(x)在 R上单调递增。因为f(-x)=(-x)2025+ 2025(-x)=-(x2025+2025x)=-f(x), 所 以 函 数 f (x ) 为 奇 函 数。 由 (x-1)2025+2025x=2024, (y-1)2025+2025y=2026, 移 项 整 理 得 (x-1)2025+2025(x-1)=-1, (y-1)2025+2025(y-1)=1, 由 此 可 转 化为 f(x-1)=-1, f(y-1)=1, 所 以 f (y -1)= -f(x-1)=f(1-x)。因为f(x)在 R上 单调递增,所以y-1=1-x,即x+y=2。 三、解答题 18.提 示:(1)由 函 数 f (x)= 2ax+3,x≤1, ax2+x,x>1, 且a>0,可知f(x)=2ax+ 3在(-∞,1]上单调递增,所以f(x)≤f(1) =2a+3,所以f(x)在(-∞,1]上的值域为 (-∞,2a+3]。 f(x)=ax2+x 在(1,+∞)上单调递 增,则f(x)>f(1)=a+1,所以f(x)在(1, +∞)上的值域为(a+1,+∞)。 注意到2a+3=(a+1)+(a+2)>a+ 1,所以f(x)在R上的值域为 R,即f(x)的 值域为R。 (2)由函数f(x)= 2ax+3,x≤1, ax2+x,x>1 在 R 上单调递减,可得 a<0, - 1 2a≤1 , 2a+3≥a+1, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 解得-2≤ a≤ - 1 2 ,所 以 实 数 a 的 取 值 范 围 是 -2,- 1 2 。 19.提示:(1)由f(2)=0,可得2a-1= 0,解 得 a = 1 2 ,所 以 函 数 f (x)= 1 2x-1 ,x≥0, 1 x ,x<0。 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 05 核心考点演练 高一数学 2025年7—8月 (2)由(1)得f(1)= 1 2-1=- 1 2 ,所以 f[f(1)]=f - 1 2 = 1-12 =-2。 (3)当 m≥0时,由 1 2m-1=m ,解得 m=-2(不符合题意,舍去); 当m<0时,由 1 m=m ,解得 m=-1或 m=1(不符合题意,舍去)。 综上可得,m=-1。 20.提示:(1)由函数f(x)是 R上的奇 函数,可得f(0)= 0+b 02+a =0,所以b=0,这时 f(x)= x x2+a 。 因为f(-1)= -1 (-1)2+a =- 1 2 ,所以 a=1,所 以 函 数 f(x)= x x2+1 。此 时 f(-x)= -x (-x)2+1 =- x x2+1 =-f(x), 满足f(x)是定义在R上的奇函数。 故函数f(x)= x x2+1 。 (2)由f(x)= x x2+1 ,可得f(0)=0,所 以当x≠0时,f(x)= 1 x+ 1 x 。由对钩函数 的性质得y=x+ 1 x 在(0,1]上单调递减,所 以x+ 1 x ≥2 ,所以0<f(x)≤ 1 2 。因为 f(x)是 奇 函 数,所 以 - 1 2 ≤f (x)≤ 1 2 。 ∀x∈[-1,1],都有f(x)<k2-2k- 5 2 成 立,等价于k2-2k- 5 2>f (x)max,所以k2- 2k- 5 2> 1 2 ,即k2-2k-3>0,解得k<-1 或k>3,所以k∈(-∞,-1)∪(3,+∞)。 21.提示:(1)令x=1,y=1,则f(1)= 1;令x=-1,y=-1,则f(-1)=1;令y= -1,则f(-x)=f(x)。因为x∈(-∞, 0)∪(0,+∞),所以y=f(x)(x≠0)为偶函 数。 (2)因为f(xy)=f(x)+f(y)-1,所 以f(1024)=f(210)=f(29)+f(2)-1= f(28)+2f(2)-2=f(27)+3f(2)-3=… =10f(2)-9=-4。 (3)任取x1,x2∈(0,+∞),设x1<x2, 则 x2 x1 >1,所以f(x2)=f(x1)+f x2 x1 -1< f(x1),所以y=f(x)(x≠0)在(0,+∞)上 为减函数。 由(1)知y=f(x)(x≠0)为偶函数,且 f(1)=1,所以f(2x+1)>1等价于f(|2x +1|)>f(1),所以|2x+1|<1,解得-1< x<0。 又y=f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0, +∞),即2x+1≠0,所以x≠- 1 2 。 故 原 不 等 式 的 解 集 为 -1,- 1 2 ∪ - 1 2 ,0 。 22.提示:(1)令函数t(x)=mx5+nx3, 则其定义域为R,且定义域关于原点对称。 因为t(-x)=-mx5-nx3=-t(x), 所以t(x)=mx5+nx3 为奇函数,所以函数 f(x)=mx5+nx3+3的图像关于点(0,3)对 称,所以f(x)+f(-x)=6,所以f(2)+ f(-2)=6。 又f(2)=2,所以f(-2)=4。 (2)g(x)= 3x2-11x+13 x2-4x+5 = x-2 x2-4x+5 +3= x-2 (x-2)2+1 +3,令F(x)=g(x+2)- 3= x x2+1 ,则g(x)=F(x-2)+3。 易知F(x)的定义域为R,且定义域关于 原点对称。 因为F(-x)= -x (-x)2+1 =-F(x), 所以 F(x)为奇函数,所以函 数 g(x)= 3x2-11x+13 x2-4x+5 的图像的对称中心为(2,3)。 (3)假设函数h(x)=x3-3x2 的图像有 15 核心考点演练 高一数学 2025年7—8月 对称中心且对称中心为(a,b),则h(a+x) +h(a-x)=2b,所以(a+x)3-3(a+x)2+ (a-x)3-3(a-x)2=2b,整理得(6a-6)x2 +2a3-6a2=2b,所以 6a-6=0, 2a3-6a2=2b, 解得 a=1,b=-2,所以函数h(x)=x3-3x2 有 对称中心(1,-2),所以h(1+x)+h(1-x) =-4。 令S=h(-7)+h(-6)+h(-5)+… +h(8)+h(9),则S=h(9)+h(8)+h(7) +…+h(-6)+h(-7)。 两式相加得2S=[h(-7)+h(9)]+ [h(-6)+h(8)]+…+[h(9)+h(-7)]= 17×(-4)=-68,所以h(-7)+h(-6)+ h(-5)+…+h(8)+h(9)=-34。 23.提示:(1)已知函数f(x)是“优美 的”,即对任意的x 和y,都有f(x+y)= f(x)+f(y)。令x=y=0,则f(0+0)= f(0)+f(0),可得f(0)=2f(0),所以f(0) =0。 (2)设f(x)=3x,此时f(2)=3×2=6, 满足f(2)=6。 下面证明函数f(x)=3x 是“优美的”。 对于任意的x 和y,f(x+y)=3(x+ y),而f(x)+f(y)=3x+3y=3(x+y),所 以f(x+y)=f(x)+f(y),故函数f(x)= 3x 是“优美的”。 (3)对于“优美的”函数f(x),证明对任 意的有理数x,都有f(x)=xf(1)。 有理 数 包 括 整 数 和 分 数,下 面 分 类 讨论。 当x 为0时,显然f(0)=0×f(1)=0。 当x 为正整数时: 设x=n(n 为正整数),由f(x+y)= f(x)+f(y),可得f(n)=f[(n-1)+1]= f(n-1)+f(1)。 同理可得,f(n-1)=f[(n-2)+1]= f(n-2)+f(1)。以此类推,可得f(n)= nf(1),即f(x)=xf(1)。 当x 为负整数时: 设x=-n(n为正整数),f(0)=f[n+ (-n)]=f(n)+f(-n)=0,由前面已证得 f(n)=nf(1),所以nf(1)+f(-n)=0,所 以f(-n)=-nf(1),即f(x)=xf(1)。 当x 为分数时: 设x= m n (m,n为整数,n≠0),f(m)= fn· m n =nf mn ,由前面已证得当x 为 整数时f(m)=mf(1),所 以 nf m n = mf(1),则 f m n =mnf(1),即 f(x)= xf(1)。 综上 可 得,对 任 意 的 有 理 数 x,都 有 f(x)=xf(1)。 24.提示:(1)f(x)在(0,+∞)上单调递 增,理由如下。 因为f(x)的定义域为(0,+∞),不妨取 任意的x1,x2∈(0,+∞),且x1<x2,则 x2 x1 > 1。由题意得f x2 x1 =f(x2)-f(x1)>0,即 f(x2)>f(x1),所以f(x)在(0,+∞)上单 调递增。 (2)已知 m ≠0,n≠0,令 m= mn n ,由 f m n =f(m)-f(n),可 得 f(m)= f mn n =f(mn)-f(n),即f(mn)=f(m) +f(n)。由f(2)=1,可得f(4)=f(2)+ f(2)=2。令m=4,n=2,则f(8)=f(4)+ f(2)=3,所以不等式f(x+3)-f(3x)>3 等价 于 f(x+3)-f(3x)>f(8),即 f x+3 3x >f(8)。由(1)可知f(x)在定义 域内单调递增,所以 3x>0, x+3>0, x+3 3x >8 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 解得0<x< 3 23 ,所以不等式f(x+3)-f(3x)>3的解 集为 0, 3 23 。 作者单位:江苏省太仓市明德高级中学 (责任编辑 王琼霞) 25 核心考点演练 高一数学 2025年7—8月