一元二次函数、方程和不等式学霸不服强化训练-《中学生数理化》高一数学2025年7～8月刊

■王国平(特级教师) 一、选择题 1.已知命题p:a>b>0,q: 1 a2 < 1 b2 ,则p 是q的( )。 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.已知一元二次不等式ax2+bx+c<0 (a,b,c∈R)的解集为{x|-1<x<3},则 b-2c+ 1 a 的最小值为( )。 A.-4 B.4 C.2 D.-2 3.若两个正实数x,y 满足 2 x+ 1 y =1, 且x+2y>m2+2m 恒成立,则实数m 的取 值范围是( )。 A.(-∞,-2)∪[4,+∞) B.(-∞,-4]∪[2,+∞) C.(-2,4) D.(-4,2) 4.已知函数f(x)=-x2+ax+b2- b+1(a,b∈R),对任意实数x 都有f(1-x) =f(1+x)成立,当x∈[-1,1]时,f(x)>0 恒成立,则b的取值范围是( )。 A.(-1,0) B.(2,+∞) C.(-∞,-1)∪(2,+∞) D.(0,2) 5.已知关于x 的方程x2+(2k-1)x+ k2-1=0有两个实数根x1,x2,若x1,x2 满 足x21+x22=19,则实数k的值为( )。 A.-2或4 B.4 C.-2 D. 5 4 6.命题“∀x∈[1,2],2ax+ 11 x≥0 ”为真 命题的一个充分不必要条件是( )。 A.a≥-1 B.a≥-2 C.a≥-3 D.a≥-4 7.已知α,β,γ 是互不相同的锐角,则在 sinαcosβ,sinβcosγ,sinγcosα这三个值中, 大于 1 2 的个数的最大值是( )。 A.0 B.1 C.2 D.3 8.(多选题)下列四个不等式中,解集为 ⌀的是( )。 A.-x2+x+1≤0 B.2x2-3x+4<0 C.x2+3x+10≤0 D.-x2+4x- a+ 4 a >0(a>0) 9.(多选题)已知6<a<60,15<b<18, 则下列结论正确的是( )。 A. a b∈ 1 3 ,4 B.a+2b∈(21,78) C.a-b∈(-12,45) D. a+b b ∈ 7 6 ,5 10.(多选题)若正实数a,b满足a+b= 1,则下列说法正确的是( )。 A.ab有最大值 1 4 B.a+ b有最大值 2 C. 1 a+ 1 b 有最小值2 D.a2+b2 有最大值 1 2 11.(多选题)已知正数a,b 满足a+ 2b=2ab,则下列说法正确的是( )。 A.a+2b≥4 B.a+b≥4 C.ab≤2 D.a2+4b2≥8 12.(多选题)下列说法正确的是( )。 83 核心考点演练 高一数学 2025年7—8月 A.若a>b,则a2>b2 B.若a>b,则a-2>b-3 C.若ac2>bc2,则a>b D.若a>b>0,m>0,则 b a< b+m a+m 13.(多选题)若a>0,b>0,且a+b=4, 则下列不等式恒成立的是( )。 A. 1 ab≥ 1 4 B. 1 a+ 1 b≥1 C.ab≥2 D.a2+b2≥8 14.(多选题)已知a,b∈R,且ab>0,则 下列不等式中恒成立的是( )。 A. a+b 2 ≥ ab B.2(a2+b2)≥(a+b)2 C. b a+ a b≥2 D.a+ 1 a b+1b ≥4 15.(多选题)设 P 是一个数集,且至少 含有两个数,若对任意a,b∈P,都有a+b, a-b,ab, a b∈P (除数b≠0),则称P 是一个 数域。如有理数集 Q是一个数域,数集F= {a+b 2|a,b∈Q}也是一个数域。下列关 于数域的命题中的真命题是( )。 A.0,1是任何数域中的元素 B.若数集 M,N 都是数域,则 M∪N 是 一个数域 C.存在无穷多个数域 D.若数集 M,N 都是数域,则整数集 Z⊆M∩N 二、填空题 16.已知不等式ax2-bx-1≥0的解集 是 x 1 3≤x≤ 1 2 ,则不等式x2-bx-a<0 的解集是 。 17.已知a>0,b>0,且ab=1,则 1 2a+ 1 2b+ 8 a+b 的最小值为 。 18.已知a,b∈R,且a-3b+6=0,则 2a+ 1 8b 的最小值为 。 19.若存在实数a 满足ab2>a>ab,则 实数b的取值范围是 。 20.若对一切x∈(0,2],不等式(a- a2)(x2+1)+x≤0恒成立,则a 的取值范围 是 。 21.已知x>0,y>0,满足x+2y+ 2 x+ 1 y =6,若存在实数m,使得m≥x+2y 恒成 立,则m 的最小值为 。 三、解答题 22.如果向一杯糖水里加糖,糖水变甜 了,这其中蕴含着著名的糖水不等式:y x < y+m x+m (x>y>0,m>0)。 (1)证明糖水不等式。 (2)已知a,b,c是三角形的三边,求证: a b+c+ b a+c+ c a+b<2 。 23.设p:实数x 满足x2-4ax+3a2< 0,其中a<0,q:实数x 满足x2+6x+8≤0。 (1)若a=-3,且p,q均成立,求实数x 的取值范围。 (2)若p 成立的一个充分不必要条件是 q,求实数a的取值范围。 24.已知a>0,b>0,a+b=ab。 (1)求a+b的最小值。 (2)求证:1+ 1 a 1+1b ≤94。 25.已知关于实数x 的不等式2kx2+ kx- 3 8<0 。 (1)若k=1,求该不等式的解集。 (2)若该不等式对一切实数x 恒成立,求 实数k的取值范围。 26.设函数y=ax2+bx+c。 (1)若a>0,b=-2a-2,c=3,求不等 式y≤-1的解集。 (2)若c=2a=2,当1≤x≤5时,不等式 y≥ 3 2bx 恒成立,求实数b的取值范围。 27.解关于x 的不等式ax2-2≥2x-ax (a≤0)。 93 核心考点演练 高一数学 2025年7—8月 28.已知x>0,a为大于2x 的常数。 (1)求函数y=x(a-2x)的最大值。 (2)求函数y= 1 a-2x-x 的最小值。 29.问题:已知关于x 的不等式ax2+ bx+c>0的解集是{x|1<x<2},求关于x 的不等式cx2+bx+a>0的解集。 在研究上面的问题时,小明和小宁分别 得到了下面的解法1和解法2。 解法1:由已知得方程ax2+bx+c=0 的两个根分别为1和2,且a<0。由韦达定 理得 1+2=- b a , 1×2= c a , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 即 b=-3a, c=2a, 所以不等式 cx2+bx+a>0可转化为2ax2-3ax+a> 0,整理得(x-1)(2x-1)<0,解得 1 2<x< 1,所以不等式cx2+bx+a>0的解集为 x 1 2<x<1 。 解法2:由已知ax2+bx+c>0,可得 c 1x 2 +b 1 x+a>0 。令y= 1 x ,则1 2<y< 1,所以不等式cx2+bx+a>0的解集是 x 1 2<x<1 。 参考以上解法,解答下面的问题: (1)若关于x 的不等式 k x+a+ x+c x+b<0 的解集是{x|-2<x<-1或2<x<3},请 写出关于x 的不等式 kx ax+1+ cx+1 bx+1<0 的 解集。(直接写出答案即可) (2)若实数 m,n 满足方程(m+1)2+ (4m+1)2=1,(n+1)2+(n+4)2=n2,且 mn≠1,求n3+m-3 的值。 30.已知关于x 的一元二次不等式x2+ 2mx+m+2≥0的解集为R。 (1)求实数m 的取值范围。 (2)求函数f(m)=m+ 3 m+2 的最小值。 (3)解关于x 的一元二次不等式x2+ (m-3)x-3m>0。 31.已知函数f(x)=x2-ax-a,g(x) =(a+1)x2-(1+2a)x-a+1,a∈R。 (1)若f(x)在区间[0,2]上的最大值为 2,求实数a的值。 (2)当a>0时,求不等式f(x)>g(x) 的解集。 一、选择题 1.提示:当a>b>0时,a2>b2>0,所以 1 a2 < 1 b2 ,即充分性满足。当1 a2 < 1 b2 时,取a= -2,b=1,此时a>b>0不成立,即必要性不 满足。故 p 是q 的 充 分 不 必 要 条 件。应 选A。 2.提示:由一元二次不等式ax2+bx+ c<0(a,b,c∈R)的解集为{x|-1<x<3}, 可 得 a>0, -1+3=- b a , -1×3= c a , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁􀪁 解 得 a>0, b=-2a, c=-3a。 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 因 为 b-2c+ 1 a =-2a+6a+ 1 a =4a+ 1 a ≥ 2 4a· 1 a =4 ,当且仅当4a= 1 a (a>0),即 a= 1 2 时等号成立,所以b-2c+ 1 a 的最小值 为4。应选B。 3.提示:因为x>0,y>0, 2 x+ 1 y =1,所 以x+2y=(x+2y)· 2 x+ 1 y =2+4yx + x y +2=4+ 4y x + x y ≥8,当且仅当 4y x = x y ,即 x=2y 时等号成立。由x+2y>m2+2m 恒 成立,可知m2+2m<8,即m2+2m-8<0, 解得-4<m<2。应选D。 4.提示:由f(1-x)=f(1+x),可知 f(x)的图像的对称轴为直线 x=1,所以 a 2=1 ,即a=2,所以f(x)=-x2+2x+ b2-b+1。结合对称轴为x=1知函数f(x) 在区 间[-1,1]上 单 调 递 增,所 以 当 x∈ 04 核心考点演练 高一数学 2025年7—8月 [-1,1]时,f(x)min=f(-1)=-1-2+ b2-b+1=b2-b-2。当x∈[-1,1]时, f(x)>0恒成立等价于f(x)min=b2-b- 2>0,由此解得b<-1或b>2。应选C。 5.提示:由题意得Δ=(2k-1)2-4(k2 -1)=-4k+5≥0,解得k≤ 5 4 。 因为x1+x2=1-2k,x1x2=k2-1,所 以x21+x22=(x1+x2)2-2x1x2=(1-2k)2 -2(k2-1)=19,解得k=-2或k=4(舍 去)。应选C。 6.提示:命题“∀x∈[1,2],2ax+ 11 x≥ 0”为 真 命 题,等 价 于 命 题“∀x∈[1,2], 2ax2+11≥0”恒成立。 当a≥0时,显然成立;当a<0时,在 x∈[1,2]上,只需2ax2+11的最小值8a+ 11≥0,解得0>a≥- 11 8 。 故命题“∀x∈[1,2],2x2+a≥0”为真 命题的一个充分不必要条件是a≥- 11 8 的真 子集。选项A符合题意。应选A。 7.提示:由基本不等式得sinαcosβ≤ sin2α+cos2β 2 。同 理 可 得,sinβcosγ ≤ sin2β+cos2γ 2 ,sinγcosα≤ sin2γ+cos2α 2 。由 上可得sinαcosβ+sinβcosγ+sinγcosα≤ 3 2 ,所以sinαcosβ,sinβcosγ,sinγcosα不可 能均大于 1 2 。不妨取α= π 6 ,β= π 3 ,γ= π 4 , 则sinαcosβ= 1 4< 1 2 ,sinβcosγ= 6 4> 1 2 , sinγcosα= 6 4> 1 2 ,故在这三个值中大于1 2 的个数的最大值为2。应选C。 8.提示:对于A,-x2+x+1≤0对应的 函数y=-x2+x+1的图像开口向下,且 Δ>0,显然解集不为⌀。对于B,2x2-3x+ 4<0对应的函数y=2x2-3x+4的图像开 口向上,由Δ=9-32=-23<0,可知其解集 为⌀。对于C,x2+3x+10≤0对应的函数 y=x2+3x+10的图像开口向上,由Δ=9- 40=-31<0,可知其解集为⌀。对于 D, -x2+4x- a+ 4 a >0(a>0)对应的函数 y=-x2+4x- a+ 4 a (a>0)的图像开口 向下,由 Δ=16-4 a+ 4 a ≤16-4× 2 a× 4 a =0 ,可知其解集为⌀。应选BCD。 9.提示:由15<b<18,可得 1 18< 1 b< 1 15 ,且6<a<60,结合不等式的性质得6× 1 18<a× 1 b<60× 1 15 ,即1 3< a b<4 ,A正确。 因为30<2b<36,所以36<a+2b<96,B错 误。因为-18<-b<-15,所以-12<a- b<45,C正确。结合选项 A得 a+b b = a b+ 1∈ 43 ,5 ,D错误。应选AC。 10.提示:对于 A,ab≤ a+b2 2 = 12 2 = 1 4 ,当且仅当a=b= 1 2 时取等号,A正确。 对于B,因为(a+ b)2=a+b+2 ab≤ a+b+a+b=2,所以 a+ b≤ 2,当且仅 当a=b= 1 2 时取等号,B正确。对于C,因为 1 a+ 1 b= 1 a+ 1 b (a+b)=2+ba +ab ≥ 2+2 b a ·a b =4 ,当且仅当a=b= 1 2 时取 等号,所以1 a+ 1 b 有最小值4,C错误。对于 D,由(a+b)2=1,可得a2+2ab+b2=1≤ a2+(a2+b2)+b2,即a2+b2≥ 1 2 ,当且仅当 a=b= 1 2 时取等号,所以a2+b2 有最小值 1 2 ,D错误。应选AB。 11.提示:由a>0,b>0,a+2b=2ab,可 得 1 a+ 1 2b=1 。对于 A,a+2b=(a+2b)· 14 核心考点演练 高一数学 2025年7—8月 1 a+ 1 2b =2+a2b+2ba≥2+2 a2b·2ba =4 (当且仅当a 2b= 2b a ,即a=2,b=1时取等 号),A 正 确。对 于 B,a+b=(a+b)· 1 a+ 1 2b =32+a2b+ba≥32+2 a2b·ba = 3 2+ 2 当且仅当 a 2b= b a ,即a= 2+ 2 2 ,b= 1+ 2 2 时取等号 ,B错误。对于C,因为a+ 2b≥2 2ab(当且仅当a=2b,即a=2,b=1 时取等号),所以2ab≥2 2ab,解得ab≥2 (当且仅当a=2,b=1时取等号),C错误。 对于D,因为a2+4b2≥4ab(当且仅当a= 2b,即a=2,b=1时取等号),由选项 C知 ab≥2(当且仅当a=2,b=1时取等号),所以 a2+4b2≥8(当且仅当a=2,b=1时取等 号),D正确。应选AD。 12.提示:对于 A,由a>b得a-b>0。 由a2>b2 得a2-b2=(a+b)(a-b)>0,这 时由a>b 不能得到a2>b2,如a=1,b= -2,A错误。对于B,由a>b,可得a-2>b -2>b-3,即a-2>b-3,B正确。对于C, 由ac2>bc2,可得 1 c2 >0,所以a>b,C正确。 对于D,作差得 b+m a+m- b a= m(a-b) a(a+m) ,因为 a>b>0,m>0,所以a+m>0,a-b>0,所 以 m(a-b) a(a+m)>0 ,即b a< b+m a+m ,D正确。应选 BCD。 13.提示:因为a>0,b>0,且a+b=4, 所以0<ab≤ a+b2 2 =4,当且仅当a=b= 2时等号成立,所以 1 ab≥ 1 4 ,A 正确。 1 a+ 1 b= 1 4 (a+b)1a+ 1 b =14 2+ab+ba ≥ 1 4 2+2 b a ·a b =1,当且仅当a=b=2 时等号成立,B正确。 ab≤ a+b 2 =2 ,当且仅 当a=b=2时等号成立,C错误。因为a2+ b2≥2ab,所以2(a2+b2)≥a2+b2+2ab=(a+ b)2=16,所以a2+b2≥8,当且仅当a=b=2 时等号成立,D正确。应选ABD。 14.提示:对于A,当a,b都为负数时满足 ab>0,但不等式不成立,A错误。对于B,由 2(a2+b2)-(a+b)2=(a-b)2≥0,可得2(a2 +b2)≥(a+b)2,B正确。对于C,由ab>0,可 得 b a ,a b 都为正数,所以b a+ a b≥2 ,当且仅当 b a= a b ,即a=b时等号成立,C正确。对于 D,a+ 1 a b+1b =ab+1ab+ba+ab≥2+ 2=4,当且仅当ab= 1 ab 和 b a= a b ,即a=b= ±1时等号成立,D正确。应选BCD。 15.提示:根据定义,由a∈P,可得a- a=0∈P, a a=1∈P ,则0,1是任何数域中的 元素,A正确。若数集 M,N 都是数域,不妨 设 M={a+b 2|a,b∈Q},N={c+d 3| c,d∈Q},取x=1+ 2∈M,y=1+ 3∈N, 则x-y= 2- 3∉M,且x-y= 2- 3∈ N,所以x-y= 2- 3∉M∪N,所以 M∪ N 不是一个数域,B错误。由题意可知,任何 一个形如 M={a+b k|a,b∈Q}(k 是素 数)的集合都是数域,而素数有无穷多个,且 k不同时,集合也不同,所以存在无穷多个数 域,C正确。由0,1是任何数域中的元素,可 得1+1=2∈P,0-1=-1∈P,依次类推, 即整数集是任何数域的子集。若数集 M,N 都是数域,则Z⊆M,Z⊆N,所以整数集Z⊆ M∩N,D正确。应选ACD。 二、填空题 16.提示:由题意知方程ax2-bx-1=0 的两根分别为 1 3 ,1 2 ,结合根与系数的关系得 b a= 1 3+ 1 2= 5 6 , - 1 a= 1 3× 1 2= 1 6 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 解得 a=-6, b=-5, 所以不等 式x2-bx-a<0可化为x2+5x+6<0。由 此解得-3<x<-2。 24 核心考点演练 高一数学 2025年7—8月 17.提示:由ab=1,可得b= 1 a ,所以 1 2a+ 1 2b+ 8 a+b= 1 2a+ a 2+ 8 a+ 1 a = 1 2 · 1 a+a + 8a+1a 。设1 a+a=t>0 ,则原式 = t 2+ 8 t≥2 t 2 ·8 t =24=4 ,当且仅当 t2=16,即t=4, 1 a+a=4 时等号成立,故 1 2a+ 1 2b+ 8 a+b 的最小值为4。 18.提示:因为2a>0, 1 8b >0,所以2a+ 1 8b =2a+2-3b≥2 2a·2-3b=2 2a-3b,当且 仅当a=-3b,即a=-3,b=1时等号成立。 因为a-3b+6=0,所以a-3b=-6,所 以2a+ 1 8b ≥2 2a-3b =2 2-6= 1 4 ,即2a+ 1 8b 的最小值为 1 4 。 19.提示:由ab2>a>ab,可得a≠0。当 a>0时,由b2>1>b,可得 b2>1, b<1, 解得b< -1;当a<0时,由b2<1<b,可得 b2<1, b>1, 此 时无解。综上可得,b<-1,即b∈(-∞, -1)。 20.提示:由x∈(0,2],可得a2-a≥ x x2+1 = 1 x+ 1 x 。要使a2-a≥ 1 x+ 1 x 在区间 (0,2]上恒成立,只需a2-a≥ 1 x+ 1 x max。 由x>0,结合基本不等式得x+ 1 x≥2 ,当且 仅当x=1时等号成立,所以 1 x+ 1 x max= 1 2 ,所以a2-a≥ 1 2 ,解得a≤ 1- 3 2 或a≥ 1+3 2 ,即a∈ -∞, 1-3 2 􀭤􀭥 􀪁􀪁 ∪ 1+3 2 ,+∞ 􀭠 􀭡 􀪁􀪁 。 21.提示:因为x>0,y>0,所以4xy≤ x2+(2y)2,即8xy≤x2+(2y)2+4xy,可得 8xy≤(x+2y)2,即 xy≤ (x+2y)2 8 ,所以 2 x+ 1 y = x+2y xy ≥ 8 x+2y ,当且仅当x=2y 时等号成立。由x+2y+ 2 x+ 1 y =6,可得 x+2y+ 8 x+2y ≤6,整 理 得(x+2y)2- 6(x+2y)+8≤0,即(x+2y-2)(x+2y- 4)≤0,所以2≤x+2y≤4。因为存在实数 m,使得m≥x+2y 恒成立,所以m≥4,即m 的最小值为4。 三、解答题 22.提 示 (1)由 题 意 得y +m x+m - y x = x(y+m)-y(x+m) x(x+m) = m(x-y) x(x+m) 。 因 为 x>y>0,m>0,所以x+m>0,x-y>0, 所以 m(x-y) x(x+m)>0 ,即y x< y+m x+m 。 (2)因为a,b,c 是三角形的三边,所以 b+c>a>0。 由(1)知 a b+c< a+a b+c+a= 2a a+b+c 。 同 理 可 得, b a+c< 2b a+b+c , c a+b< 2c a+b+c 。 由 上 可 得, a b+c + b a+c + c a+b < 2a a+b+c+ 2b a+b+c+ 2c a+b+c= 2(a+b+c) a+b+c =2,所以原不等式成立。 23.提 示:(1)当 a=-3时,由 x2+ 12x+27<0,解得-9<x<-3。由x2+ 6x+8≤0,解得-4≤x≤-2。 因为p,q均成立,所以-4≤x<-3,即 x 的取值范围是{x|-4≤x<-3}。 (2)由 x2-4ax+3a2<0,可得(x- 3a)(x-a)<0。因为a<0,所以3a<a,所 以p:3a<x<a。 因为q是p 的充分不必要条件,即[-4, -2]⫋(3a,a),所以 -2<a, 3a<-4, 解得-2< 34 核心考点演练 高一数学 2025年7—8月 a<- 4 3 。故实数a 的取值范围是 a -2< a<- 4 3 。 24.提示:(1)因为a>0,b>0,所以a+ b=ab≤ a+b2 2 ,解得a+b≥4,当且仅当 a=b=2时取等号,所以当a=b=2时,a+b 的最小值是4。 (2)因为a>0,b>0,所以ab=a+b≥ 2 ab,当且仅当a=b=2时取等号,所以 ab≥4。 所以 1+ 1 a 1+1b =1+1a +1b + 1 ab=1+ a+b ab + 1 ab=2+ 1 ab≤2+ 1 4= 9 4 ,当 且 仅 当 a =b = 2 时 取 等 号,所 以 1+ 1 a 1+1b ≤94成立。 25.提示:(1)当k=1时,原不等式可化 为2x2+x- 3 8<0 ,解得- 3 4<x< 1 4 ,所以 该不等式的解集为 x - 3 4<x< 1 4 。 (2)已知不等式2kx2+kx- 3 8<0 对一 切实数x 恒成立。当k=0时,- 3 8<0 恒成 立,即k=0满足题意;当k>0时,不符合题 意;当k<0时,要使不等式2kx2+kx- 3 8< 0对一切实数 x 恒成立,需满足 k<0, Δ<0, 即 k<0, k2-4×2k×(- 3 8 )<0, 解得k∈(-3,0)。 综上可得,实数k∈(-3,0]。 26.提示:(1)已知a>0,b=-2a-2, c=3,由不等式y≤-1,可得ax2-(2a+ 2)x+4≤0。 当a>0时,方程ax2-(2a+2)x+4=0 的两根为 2 a 和2。当 2 a>2 ,即0<a<1时, 不等式的解集为 x 2≤x≤ 2 a ;当2a=2,即 a=1时,不等式的解集为{x|x=2};当a>0 且 2 a <2 ,即 a>1 时,不 等 式 的 解 集 为 x 2 a≤x≤2 。 综上可得,当0<a<1时,不等式的解集 为 x 2≤x≤ 2 a ;当a=1时,不等式的解集 为{x|x=2};当a>1时,不等式的解集为 x 2 a≤x≤2 。 (2)若c=2a=2,则不等式y≥ 3 2bx 可 化为2x2-bx+4≥0。当1≤x≤5时,不等 式可转化为b≤ 2x2+4 x =2x+ 4 x 恒成立,所 以b≤ 2x+ 4 x min。 因为x+ 2 x≥2 x ·2 x =22 ,当且仅 当 x= 2 x ,即 x= 2时 等 号 成 立,所 以 2x+ 4 x min=42,所以b≤4 2,即实数b 的取值范围是{b|b≤42}。 27.提示:原不等式可化为ax2+(a- 2)x-2≥0。 当a=0时,原不等式可化为x+1≤0, 解得x≤-1。 当a<0时,原不等式可化为 x- 2 a (x +1)≤0。当 2 a>-1 ,即a<-2时,解得-1 ≤x≤ 2 a ;当2 a=-1 ,即a=-2时,解得x= -1;当 2 a<-1 ,即-2<a<0时,解得 2 a≤ x≤-1。 综上所述,当a=0时,不等式的解集为 {x|x≤-1};当-2<a<0时,不等式的解集 为 x 2 a≤x≤-1 ;当a=-2时,不等式的 解集为{x|x=-1};当a<-2时,不等式的 解集为 x -1≤x≤ 2 a 。 28.提示:(1)因为x>0,a>2x,所以 44 核心考点演练 高一数学 2025年7—8月 y=x(a-2x)= 1 2×2x (a-2x)≤ 1 2× 2x+(a-2x) 2 2 = a2 8 ,当且仅当x= a 4 时 取等 号,故 函 数y=x(a-2x)的 最 大 值 为 a2 8 。 (2)因为x>0,a>2x,所以y= 1 a-2x -x= 1 a-2x+ a-2x 2 - a 2≥2 1 2 - a 2= 2- a 2 ,当且仅当x= a- 2 2 时取等号,故函 数y= 1 a-2x-x 的最小值为 2- a 2 。 29.提示:(1)由 k x+a+ x+c x+b<0 ,可得 k· 1 x 1+a· 1 x + 1+c· 1 x 1+b· 1 x <0。 令y= 1 x ,因为x∈(-2,-1)∪(2,3), 所以y∈ -1,- 1 2 ∪ 13,12 ,所以不等式 kx ax+1+ cx+1 bx+1<0 的解集为 -1,- 1 2 ∪ 1 3 ,1 2 。 (2)方程(m+1)2+(4m+1)2=1,(n+ 1)2+(n+4)2=n2,可化简为17m2+10m+ 1=0,n2+10n+17=0,即 1 m2 + 10 m+17=0 , n2+10n+17=0。 因为mn≠1,所以 1 m ,n 是方程x2+10x +17=0的两个不相等的根。由韦达定理得 1 m+n=-10 , 1 m ·n= n m=17 。 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 所 以 n3 +m-3 = n+ 1 m n2+1m2- n m = n+1m n+1m 2 -3 n m =-490。 30.提示:(1)因为x2+2mx+m+2≥0 的解集为R,所以Δ=4m2-4(m+2)≤0,解 得-1≤m≤2。 故实数m 的取值范围是[-1,2]。 (2)因为-1≤m≤2,所以0<1≤m+ 2≤4。 因为函数f(m)=m+ 3 m+2=m+2+ 3 m+2-2≥2 (m+2)· 3 m+2-2=2 3- 2,当且仅当 m= 3-2时取等号,所以函 数f(m)=m+ m m+2 的最小值为2 3-2。 (3)x2+(m-3)x-3m>0可化为(x+ m)(x-3)>0。 因为-1≤m≤2,所以-2≤-m≤1< 3,所以不等式的解集为(-∞,-m)∪(3, +∞)。 31.提示:(1)函数f(x)=x2-ax-a图 像的对称轴为x= a 2 。当a 2≤1 ,即a≤2时, f(x)max=f(2)=4-3a=2,解得a= 2 3 ;当 a 2>1 ,即a>2时,f(x)max=f(0)=-a=2, 解得a=-2,这时与a>2矛盾。 综上可得,a= 2 3 。 (2)显然g(x)-f(x)=ax2-(a+1)x +1=(ax-1)(x-1)<0,而a>0,所以不等 式可化为 x- 1 a (x-1)<0。当1a<1,即 a>1时,不等式的解集为 1a ,1 ;当1a=1, 即a=1时,不等式的解集为⌀;当 1 a>1 ,即 0<a<1时,不等式的解集为 1, 1 a 。 综上可得,当a>1时,不等式的解集为 1 a ,1 ;当a=1时,不等式的解集为⌀;当 0<a<1时,不等式的解集为 1, 1 a 。 作者单位:河南省开封高级中学 (责任编辑 王琼霞) 54 核心考点演练 高一数学 2025年7—8月