集合与常用逻辑用语学霸不服强化训练-《中学生数理化》高一数学2025年7～8月刊

■刘 斌 李伟玉 一、选择题 1.设集合A={2,5,6},B={x|x2-5x +m=0},若A∩B={2},则B=( )。 A.{2,3} B.{2} C.{3} D.{-1,6} 2.已 知 集 合 A= x x-1 x-3≤0 ,B= x∈N|0≤x≤4 ,则(∁RA)∩B=( )。 A.{4} B.{0,4} C.{3,4} D.{0,3,4} 3.“关于x 的不等式ax2-2ax+1>0 的解 集 为 R”的 一 个 充 分 不 必 要 条 件 是( )。 A.0≤a<1 B.0≤a≤1 C.0<a<1 D.0<a<3 4.已知集合 M={x|x=3m-1,m∈ Z},N={x|x=3n+2,n∈Z},P={x|x= 6p-1,p∈Z},则下列结论正确的是( )。 A.M=P⫋N B.P⫋M=N C.M⊆N⫋P D.N⊆M⫋P 5.已知集合 A={x|x2-px-2=0}, B={x|x2+qx+r=0},且A∪B={-2,1, 5},A∩B={-2},则p+q+r=( )。 A.12 B.6 C.-14 D.-12 6.定 义 集 合 运 算:A 􀱇 B = (x,y) x 2∈A ,2 y∈B 。若集合 A=B= {x ∈ N|1 < x < 4},集 合 C = (x,y)y=- 1 6x+ 5 3 ,则(A􀱇B)∩C= ( )。 A. 6, 2 3 B.{(4,1)} C. 1, 3 2 D.(4,1),6,23 7.(多选题)下列各组中 M,P 表示不同 集合的是( )。 A.M={3,-1},P={-1,3} B.M={(3,1)},P={(1,3)} C.M={y|y=x2+1,x∈R},P={x| x=t2+1,t∈R} D.M={y|y=x2-1,x∈R},P={(x, y)|y=x2-1,x∈R} 8.(多 选 题 )已 知 集 合 M = x x= k 4+ 1 4 ,k∈Z , 集 合 N = x x= k 8- 1 4 ,k∈Z ,则( )。 A.M⫋N B.N⫋M C.M∪N=M D.M∩N=M 9.(多 选 题)下 列 命 题 中 的 真 命 题 是( )。 A.“x>2且y>3”是“x+y>5”的充要 条件 B.“x>1”是“|x|>0”的充分不必要条 件 C.“b2-4ac<0”是“关于x 的不等式 ax2+bx+c>0(a≠0)的解集为空集”的充要 条件 D.若a>b>0,则 1 a< 1 b 10.(多选题)下列条件可以作为x2<1 的充分不必要条件的是( )。 A.x<1 B.x=0 C.x>-1 D.-1<x<0 11.(多选题)若集合 A 具有以下性质: ①0∈A,1∈A;②若x,y∈A,则x-y∈A, 且当x≠0时, 1 x∈A 。则称集合A 是“完美 集”。给 出 以 下 结 论,其 中 正 确 的 结 论 是( )。 A.集合B={-1,0,1}是“完美集” B.有理数集Q是“完美集” C.设集合 A 是“完美集”,若x,y∈A, 则x+y∈A 13 核心考点演练 高一数学 2025年7—8月 D.设集合 A 是“完美集”,若x,y∈A, 则xy∈A 二、填空题 12.设集合 M={x|x2+5x-6=0}, N={x|ax+1=0},若 M⊇N,则实数a 的 值是 。 13.若命题“∃0≤x≤3,x2-2x>m”为 真命题,则m 的取值范围是 。 14.已知集合 M={x∈Z|1≤x≤m},若 集合M 至少有8个子集,则实数m 的最小整 数值为 。 15.对任意实数a,b,c,下列命题中真命 题的序号是 。 ①a=b是ac=bc的充要条件。②“a+ 5是无理数”是“a 是无理数”的充要条件。 ③“a2=b2”是“a=b”的必要不充分条件。 ④∃x∈R,x2<1。 16.设条件p:|x-2|<3,条件q:0< x<a,其中a 为正常数,若p 是q 的必要不 充分条件,则a的取值范围是 。 17.已知命题p:方程ax2+2x+1=0至 少有一个负实根,若p 为真命题的一个必要 不充分条件为a≤m+1,则实数m 的取值范 围是 。 三、解答题 18.求证:关于x 的方程mx2-2x+2= 0有两个同号且不相等的实根的充要条件是 0<m< 1 2 。 19.已知集合 A={x|a-2<x<2a+ 1},B={x|0<x<7},U=R。 (1)若a=1,求A∪B,A∩(∁UB)。 (2)若x∈A 是x∈B 的充分条件,求实 数a的取值范围。 20.设集合A={x|x2-4x+3=0},B= {x|x2-2(a+2)x+a2+3=0}。 (1)若A∩B={1},求实数a的值。 (2)若A∩B=B,求实数a的取值范围。 21.设集合 A={x|x2+4x=0},B= {x|x2+2(a+1)x+a2-1=0}。 (1)若-1∈B,求a的值。 (2)设条件p:x∈A,条件q:x∈B,若q 是p 的充分条件,求a的取值范围。 22.已知集合A={x|x2-3x+2=0}, B={x|x2-(a+2)x+2a2-a+1=0}。 (1)当A∩B={2}时,求实数a的值。 (2)当 A∪B=A 时,求实数a 的取值 范围。 23.已 知 命 题 p:“∃x∈R,不 等 式 mx2-mx-1≥0成立”是假命题。 (1)求实数m 的取值集合A。 (2)若命题q:-4<m-a<4是􀱑p 的 必要不充分条件,求实数a的取值范围。 24.设命题p:对任意x∈[0,1],不等式 2x-3≥m2-4m 恒成立,命题q:存在x∈ [-1,1],使不等式x2-2x+m-1≤0成立。 (1)若p 为真命题,求实数 m 的取值范 围。 (2)若命题p 与命题q一真一假,求实数 m 的取值范围。 25.符号[x]表示不大于x 的最大整数 (x∈R),如[1]=1,[2.1]=2,[-5.7]= -6。 (1)已知方程[x]=2的解集为 M,方程 [x]=-2的解集为N,请写出集合 M,N。 (2)在(1)的条件下,设集合A={x|2x2 -11kx+15k2≤0},问是否存在实数k,使得 A∩M≠⌀且 A∩N ≠⌀。若存在,请求出 实数k的取值范围;若不存在,请说明理由。 (3)设函数f(x)=2x2-11kx+15k2 (k∈R),方程f(x)=k(x+15)的两个实根 为x1 和x2,且满足x1<1<x2<2。若函数 f(x)在x=1时的函数值记为f(1),求证: f(1)>0。 26.已知集合A 为非空数集,定义A+= {x|x=a+b,a,b∈A},A-={x|x=|a- b|,a,b∈A}。 (1)若集合A={-1,1},直接写出集合 A+及A-。 (2)若集合 A={x1,x2,x3,x4},x1< x2<x3<x4,且 A- =A,求证:x1+x4= x2+x3。 27.设a,b,c为△ABC 的三边,求证:方 程x2+2ax+b2=0与x2+2cx-b2=0有公 23 核心考点演练 高一数学 2025年7—8月 共根的充要条件是A=90°。 28.在①A∪B=B,②“x∈A”是“x∈B” 的充分不必要条件,③A∩B=⌀,这三个条件 中任选一个,补充到下面的问题中,并解答。 问题:已知集合A={x|a-1≤x≤a+ 1},B={x|-1≤x≤3}。 (1)当a=2时,求A∪B。 (2)若 ,求实数a的取值范围。 29.已知集合P={x∈R|x2-3x+b= 0},Q={x∈R|(x+1)(x2+3x-4)=0}。 (1)若b=4,存在集合 M,使得P 为 M 的真子集且M 为Q 的真子集,求这样的集合 M。 (2)若集合P 是集合Q 的一个子集,求b 的取值范围。 30.已知集合 A={x|x=m2-n2,m, n∈Z}。 (1)判断8,9,10是否属于集合A。 (2)已知集合B={x|x=2k+1,k∈Z}, 证明:“x∈A”的充分条件是“x∈B”,但“x∈ B”不是“x∈A”的必要条件。 (3)记集合S={x|x∈A,x=2k,k∈ N*},T={x|x=12k+4,k∈N*},求证: T⊆S。 一、选择题 1.提示:由A∩B={2},可得2∈B,所 以22-5×2+m=0,解得 m=6,所以B= {x|x2-5x+6=0}={2,3}。经检验知满足 题意。应选A。 2.提示:由A= x x-1 x-3≤0 ={x|1≤ x<3},B={x∈N|0≤x≤4}={0,1,2,3, 4},可得∁RA={x|x<1或 x≥3},所以 (∁RA)∩B={0,3,4}。应选D。 3.提示:已知关于 x 的不等式ax2- 2ax+1>0的解集为R,当a=0时,1>0,显 然成立;当a<0时,不符合题意;当a>0时, 由 a>0, Δ=(-2a)2-4a<0, 解得0<a<1。综 上得0≤a<1,所以关于x 的不等式ax2- 2ax+1>0的解集为 R 的充要条件为0≤ a<1。因为(0,1)⫋[0,1),所以关于x 的不 等式ax2-2ax+1>0的解集为 R的一个充 分不必要条件可以是0<a<1。应选C。 4.提示:因为集合 M={x|x=3m-1, m∈Z},N={x|x=3n+2,n∈Z}={x|x= 3(n+1)-1,n∈Z},所以 M=N。当 m= 2k+1,k∈Z时,M={x|x=6k+2,k∈Z}, 当m=2k,k∈Z时,M={x|x=6k-1,k∈ Z},所以P⫋M。应选B。 5.提示:由A∩B={-2},可得-2∈A, 所以(-2)2+2p-2=0,解得p=-1,所以 A={x|x2+x-2=0}={-2,1}。因为 A∪B={-2,1,5},所以B={-2,5},所以 4-2q+r=0, 25+5q+r=0, 解得 q=-3 , r=-10。 综上得p+ q+r=-1-3-10=-14。应选C。 6.提示:已知A=B={x∈N|1<x<4} ={2,3},结合题意得 x 2=2 , 2 y=2 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 或 x 2=3 , 2 y=3 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 或 x 2=2 , 2 y=3 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 或 x 2=3 , 2 y=2 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 解得 x=4, y=1 或 x=6, y= 2 3 或 x=4, y= 2 3 或 x=6,y=1, 所 以 A 􀱇 B = (4,1),6, 2 3 ,4,23 ,(6,1) 。因为集合 C= (x,y)y=- 1 6x+ 5 3 ,所以(A􀱇B) ∩C= (4,1),6, 2 3 。应选D。 7.提示:A中,由集合的无序性知 M= P。B中,(3,1)与(1,3)表示不同的点,即 M≠P。C中,由 M={y|y=x2+1,x∈R} =[1,+∞),P={x|x=t2+1,t∈R}=[1, +∞),可知 M=P。D 中,M 是二次函数 y=x2-1,x∈R的函数值y 组成的集合,而 集合P 是二次函数y=x2-1,x∈R的图像 上的点组成的集合,可知 M≠P。应选BD。 8.提示:由题意知集合 M= x x= k 4+ 33 核心考点演练 高一数学 2025年7—8月 1 4 ,k∈Z = x x=2k+28 ,k∈Z ,集 合 N= x x= k 8- 1 4 ,k∈Z = x x=k-28 , k∈Z 。因为2k+2=2(k+1)(k∈Z)为偶 数,k-2(k∈Z)为整数,所以 M⫋N,M∪ N=N,M∩N=M。应选AD。 9.提示:对于 A,由x>2且y>3,可得 x+y>5,而由x+y>5不能推出x>2且 y>3,所以“x>2且y>3”是“x+y>5”的 充分不必要条件,A 是假命题。对于B,由 x>1,可得|x|>0,而由|x|>0推不出x> 1,所以“x>1”是“|x|>0”的充分不必要条 件,B是真命题。对于C,由ax2+bx+c>0 (a≠0)的解集为空集,可得a<0且b2- 4ac≤0,而 由 a<0且b2-4ac≤0,可 知 ax2+bx+c>0(a≠0)的解集为空集,C是假 命题。对于D,其对应的函数为y= 1 x (x> 0),是单调递减函数,D是真命题。应选BD。 10.提示:由x2<1,即(x-1)(x+1)< 0,解得-1<x<1。因为(-1,1)⫋(-∞, 1),所以x<1是x2<1的必要不充分条件, A错误。因为0∈(-1,1),所以x=0是 x2<1的 充 分 不 必 要 条 件,B 正 确。因 为 (-1,1)⫋(-1,+∞),所以x>-1是x2< 1的必要不充分条件,C错误。因为(-1,0) ⫋(-1,1),所以-1<x<0是x2<1的充分 不必要条件,D正确。应选BD。 11.提示:对于 A,取x=1,y=-1,则 x-y=2∉B,集合B={-1,0,1}不是“完美 集”,A错误。对于B,有理数集 Q满足性质 ①②,即有理数集Q为“完美集”,B正确。对 于C,若y∈A,则-y=0-y∈A,所以x+ y=x-(-y)∈A,C正确。对于D,任取x, y∈A,当x,y 中有0或1时,显然xy∈A。 当x,y 均不为0、1且x∈A,y∈A 时,x,x -1∈A,所以 1 x-1- 1 x= 1 x(x-1)∈A 。所 以x(x-1)∈A,所以x2=x(x-1)+x∈ A。同理可得,y2∈A,则x2+y2∈A,(x+ y)2∈A,所以2xy=(x+y)2-x2-y2∈A, 所 以 1 2xy = 1 (x+y)2-x2-y2 ∈A,所 以 xy∈A,D正确。应选BCD。 二、填空题 12.提示:集合 M={x|x2+5x-6=0} ={-6,1}。下面分三种情况求a 的值。当 N=⌀时,ax+1=0无解,则a=0;当 N= {-6}时,由-6a+1=0,可得a= 1 6 ;当 N= {1}时,由a+1=0,可得a=-1。故实数a 的值是-1,0, 1 6 。 13.提示:命题“∃0≤x≤3,x2-2x> m”为 真 命 题,即 ∃0≤x≤3,m<(x2- 2x)max。设函数f(x)=x2-2x=(x-1)2- 1,x∈[0,3],当x=3时,f(x)取得最大值 f(3)=3,所以 m<3,即 m 的取值范围是 {m|m<3}。 14.提示:一个集合有n 个元素,则这个 集合有2n 个子集。因为集合 M 至少有8个 子集,所以 M 中至少有3个元素。又集合 M={x∈Z|1≤x≤m},所以m≥3,则m 的 最小整数值为3。 15.提示:①当a=b时,ac=bc;当ac= bc,即(a-b)c=0时,解得a=b或c=0。故 a=b是ac=bc的充分不必要条件。②由一 个无理数与一个有理数的和与差为无理数 知,“a+5是无理数”是“a 是无理数”的充要 条件。③由a2=b2,即(a-b)(a+b)=0,解 得a=b或a=-b,所以“a2=b2”是“a=b” 的必要不充分条件。④当x=0.1时,x2<1 成立。答案为②③④。 16.提示:由|x-2|<3,可得-3<x-2 <3,即-1<x<5,所以p:-1<x<5。因 为q:0<x<a,a 为正常数,所以要使p 是q 的必要不充分条件,需满足(0,a)⫋(-1,5), 则0<a≤5。 17.提示:命题p“方程ax2+2x+1=0 至少有一个负实根”为真命题。①当a=0 时,由2x+1=0,可得x=- 1 2 ,符合题意; ②当a<0时,由Δ=4-4a>0,x1+x2= - 2 a>0 ,x1x2= 1 a<0 ,可得方程ax2+2x+ 43 核心考点演练 高一数学 2025年7—8月 1=0有一个正根和一个负根,符合题意; ③当a>0时,由Δ=4-4a=0,可得a=1, 此时方程为x2+2x+1=(x+1)2=0,可得 x=-1,符合题意;由Δ=4-4a>0,可得 0<a<1,则x1+x2=- 2 a<0 ,x1x2= 1 a> 0,此时方程ax2+2x+1=0有两个负根,符 合题意。综上所述,p 为真命题时,a 的取值 范围是(-∞,1]。因为p 为真命题的一个必 要不充分条件是a≤m+1,所以1<m+1, 则m>0,即m∈(0,+∞)。 三、解答题 18.提示:(充分性)因为0<m< 1 2 ,所以 方程mx2-2x+2=0的判别式Δ=4-4× m×2=4-8m>0,且两根之积 2 m>0 ,所以 方程mx2-2x+2=0有两个同号且不相等 的实根。 (必要性)若方程 mx2-2x+2=0有两 个同号且不相等的实根,设两根为x1,x2,则 Δ=4-8m>0, x1x2= 2 m>0 , 解得0<m<12。 综上可得,方程mx2-2x+2=0有两个同 号且不相等的实根的充要条件是0<m< 1 2 。 19.提示:(1)若a=1,则集合 A={x| -1<x<3}。 因为集合B={x|0<x<7},所以∁UB= {x|x≤0或x≥7},所以A∪B={x|-1< x<7},A∩(∁UB)={x|-1<x≤0}。 (2)因为x∈A 是x∈B 的充分条件,所 以A⊆B。下面分两种情况讨论求解。 当A=⌀时,由a-2≥2a+1,解得a≤ -3;当A≠⌀时,由 a-2<2a+1, a-2≥0, 2a+1≤7, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 解得2≤ a≤3。 综上所述,实数a 的取值范围为{a|a≤ -3或2≤a≤3}。 20.提示:(1)集合A={x|x2-4x+3= 0}={1,3},因为A∩B={1},所以1∈B,把 x=1代入方程x2-2(a+2)x+a2+3=0得 a2-2a=0,解得a=0或a=2。 当a=0时,集合B={1,3},不符合题意, 舍去;当a=2时,集合B={1,7},符合题意。 综上可得,实数a=2。 (2)由A∩B=B,可得B⊆A。 当B=⌀时,需满足Δ=[-2(a+2)]2 -4(a2+3)<0,解得a<- 1 4 ; 当B≠⌀时,集合B={1}或B={3}或 B={1,3}。当集合B={1}或B={3}时,由 Δ=[-2(a+2)]2-4(a2+3)=0,解得a= - 1 4 ,此时集合B= 74 ,不符合题意;当集 合 B= {1,3}时,由 根 与 系 数 的 关 系 得 2(a+2)=1+3, a2+3=1×3, 解得a=0。 综 上 所 述,实 数 a 的 取 值 范 围 是 aa<- 1 4 或a=0 。 21.提示:(1)因为-1∈B,所以(-1)2- 2(a+1)+a2-1=0,可得a=1± 3。 (2)A={x|x2+4x=0}={-4,0}。 由题意得B⊆A。 当B=⌀时,由Δ=4(a+1)2-4(a2- 1)=8a+8<0,解得a<-1; 当B≠⌀时,B={-4}或 B={0}或 B= {-4,0}。 当 B = {- 4}时,由 Δ=0, 16-8(a+1)+a2-1=0, 可知此时无解;当 B={0}时,由 Δ=0, a2-1=0, 解得a=-1;当B= {-4,0},由 -4+0=-2(a+1), (-4)×0=a2-1, 解得a=1。 综上所述,a 的取值范围为(-∞,-1] ∪{1}。 22.提示:(1)集合A={x|x2-3x+2= 0}={1,2}。因为A∩B={2},所以2∈B, 即4-(a+2)×2+2a2-a+1=0,解得a=1 或a= 1 2 。 当a=1时,可得B={1,2},则A∩B= 53 核心考点演练 高一数学 2025年7—8月 {1,2},不符合题意;当a= 1 2 时,可得 B= 1 2 ,2 ,则A∩B={2},符合题意。 综上可得,a= 1 2 。 (2)因为A∪B=A,所以B⊆A,所以B 可能为⌀或{1}或{2}或{1,2}。 当B=⌀时,由Δ=(a+2)2-4(2a2- a+1)<0,即7a2-8a>0,解得a<0或a> 8 7 ;当集合 B 中只有一个元素时,由 Δ= (a+2)2-4(2a2-a+1)=0,解得a=0或 a= 8 7 ,当a=0时,B={x|x2-2x+1=0} ={1},符合题意,当a= 8 7 时,B= 117 ,不 符合题意;当B={1,2}时,由根与系数的关 系得 a+2=1+2=3, 2a2-a+1=1×2=2, 且满足Δ=(a+ 2)2-4(2a2-a+1)>0,据此解得a=1。 综 上 所 述,实 数 a 的 取 值 范 围 是 aa≤0或a=1或a> 8 7 。 23.提示:(1)因为命题p:“∃x∈R,不 等式mx2-mx-1≥0成立”是假命题,所以 命题p 的否定􀱑p:“∀x∈R,不等式mx2- mx-1<0成立”是真命题,只需满足 m=0 或 m<0, Δ=m2+4m<0, 解得m=0或-4<m< 0,所以集合A={m|-4<m≤0}。 (2)因为-4<m-a<4,即a-4<m< a+4,所以q:a-4<m<a+4。 由命题q:a-4<m<a+4是集合A 的 必要不充分条件,可令集合B={m|a-4< m<a+4},则集合A 是集合B 的真子集,即 A⫋B,所以 a-4≤-4, a+4>0, 解得-4<a≤0,即 实数a的取值范围是(-4,0]。 24.提示:(1)因为p 为真命题,所以对任 意x∈[0,1],不等式2x-3≥m2-4m 恒成 立,所以(2x-3)min≥m2-4m,其中x∈[0, 1],所以-3≥m2-4m,解得1≤m≤3,故m 的取值范围为[1,3]。 (2)若q为真命题,即存在x∈[-1,1], 使不等式x2-2x+m-1≤0成立,则(x2- 2x+m-1)min≤0,其中x∈[-1,1]。 在[-1,1]上,(x2-2x+m-1)min=-2 +m,所以-2+m≤0,故m≤2。 因为p,q一真一假,所以p 为真命题,q 为假命题或p 为假命题,q为真命题。 若 p 为 真 命 题,q 为 假 命 题,则 1≤m≤3, m>2, 解得2<m≤3;若p 为假命题,q 为真命题,则 m<1, m≤2 或 m>3 , m≤2, 解得m<1。 综上可得,m<1或2<m≤3。 25.提示:(1)由题意得集合 M={x|2≤ x<3},集合N={x|-2≤x<-1}。 (2)不存在。理由如下: 集合A={x|2x2-11kx+15k2≤0}= {x|(2x-5k)(x-3k)≤0}。 当k=0时,A={x|2x2≤0}={0},此时 A∩M=⌀且A∩N=⌀; 当k>0时,A= x 5k 2≤x≤3k ,k>0 , 由A⊆{x|x>0},可得A∩N=⌀; 当k<0时,A= x 3k≤x≤ 5k 2 ,k<0 , 由A⊆{x|x<0},可得A∩M=⌀。 综上可得,不存在实数k,使得A∩M ≠ ⌀且A∩N≠⌀。 (3)设g(x)=f(x)-k(x+15k)= 2x2-12kx=2x(x-6k),则x1=0,x2=6k。 由x1<1<x2<2,可得1<6k<2,所以 1 6<k< 1 3 。 由(2)得,当k>0时,f(x)=2x2-11kx +15k2≤0的解集为 x 5k 2≤x≤3k ,k>0 。 又3k<1,所以f(1)>0。 26.提示:(1)由A={-1,1},可得A+= {-2,0,2},A-={0,2}。 (2)由于集合A={x1,x2,x3,x4},x1< x2<x3<x4,且 A-=A,所以 A- 中也只包 含4个元素,即 A-={0,x2-x1,x3-x1, x4-x1},剩下的x3-x2=x4-x3=x2-x1, 63 核心考点演练 高一数学 2025年7—8月 所以x1+x4=x2+x3。 27.提示:(充分性)因为 A=90°,所以 a2=b2+c2。 方程x2+2ax+b2=0可化为x2+2ax+ a2-c2=0,所以x2+2ax+(a+c)(a-c)= 0,所以[x+(a+c)][x+(a-c)]=0,所以 该方程有两根x1=-(a+c),x2=-(a- c)。同样另一方程x2+2cx-b2=0也可化 为x2+2cx-(a2-c2)=0,即[x+(c+ a)][x+(c-a)]=0,所以该方程有两根 x3=-(a+c),x4=-(c-a)。发现x1= x3,所以方程有公共根。 (必要性)设x 是方程的公共根,可得方 程组 x2+2ax+b2=0, x2+2cx-b2=0。 ①② ①+②得x=-(a+c)或x=0(舍去)。 代入①并整理得a2=b2+c2,所以A=90°。 故原结论成立。 28.提示:(1)当a=2时,集合A={x| 1≤x≤3}。又B={x|-1≤x≤3},所以A ∪B={x|-1≤x≤3}。 (2)若选择①A∪B=B,则A⫅B。 因为A={x|a-1≤x≤a+1},所以 A≠ ⌀。又 B={x|-1≤x≤3},所 以 a-1≥-1, a+1≤3, 解得0≤a≤2,即实数a 的取值 范围是0≤a≤2。 若选择②“x∈A”是“x∈B”的充分不必 要条件,则A⫋B。 因为A={x|a-1≤x≤a+1},所以 A≠ ⌀。又 B={x|-1≤x≤3},所 以 a-1≥-1, a+1≤3, 解得0≤a≤2,即实数a 的取值 范围是0≤a≤2。 若选择③,则A∩B=⌀。 因为A={x|a-1≤x≤a+1},B={x| -1≤x≤3},所以a-1>3或a+1<-1,解 得a>4或a<-2。 29.提示:(1)当b=4时,由方程x2- 3x+b=0,即 x2-3x+4=0,可 得 Δ= (-3)2-4×1×4=-7<0,所以P=⌀。因 为Q={x∈R|(x+1)(x2+3x-4)=0}= {-4,-1,1},所以P⫋Q。 由已知得 M 应是一个非空集合,且是Q 的一个真子集。用列举法可得这样的集合 M 共 有6个,分 别 为{-4},{-1},{1}, {-4,-1},{-4,1},{-1,1}。 (2)当P=⌀时,P 是Q 的一个子集,此 时方程为x2-3x+b=0,由Δ=9-4b<0, 可得b> 9 4 。 当P≠⌀时,Q={-4,-1,1},当-1∈ P 时,(-1)2-3×(-1)+b=0,即b=-4, 此时P={x|x2-3x-4=0}={4,-1},因 为4∉Q,所以P 不是Q 的子集。 同理,当-4∈P 时,b=-28,P={7, -4},P 不是Q 的子集;当1∈P 时,b=2,P ={1,2},P 也不是Q 的子集。 综上可得,满足条件的b 的取值范围是 9 4 ,+∞ 。 30.提示:(1)由8=32-12,9=52-42, 可得8∈A,9∈A。 假设10=m2-n2,m,n∈Z,则(|m|+ |n|)(|m|-|n|)=10,且|m|+|n|>|m| -|n|>0。由10=1×10或10=2×5,可得 |m|+|n|=5, |m|-|n|=2 或 |m|+|n|=10 , |m|-|n|=1, 显 然 不 满足整数解的条件,所以10∉A。 (2)集合B={x|x=2k+1,k∈Z},恒有 2k+1=(k+1)2-k2,所以2k+1∈A,即一 切奇数都属于A。 因为8∈A,而8∉B,所以“x∈A”的充 分条件是“x∈B”,但“x∈B”不是“x∈A”的 必要条件。 (3)∀x∈T,由x=12k+4=2(6k+2), 可知x 为偶数。不妨令 m+n=6k+2, m-n=2, 解得 m=3k+2, n=3k, 所以x=(3k+2)2-(3k)2∈S, 所以T⊆S。 作者单位:深圳市富源学校 (责任编辑 王琼霞) 73 核心考点演练 高一数学 2025年7—8月