例说几何法求空间角&三角变换压轴题猜想与揭秘-《中学生数理化》高一数学2025年7～8月刊

■刘楚阳 直线与平面所成的角,平面与平面所成 的角是立体几何中的重要内容之一,每年的 高考题中经常出现。下面举例分析。 一、直线与平面所成的角 例1 如图1所示,正四棱锥P-ABCD 的体积为2,底面积为6,E 为侧棱PC 的中 图1 点,则直线BE 与平 面 PAC 所 成 的 角 为( )。 A.60° B.75° C.30° D.45° 解:在正四棱锥P-ABCD 中,易得BC= 6。设BD 与AC 交于点O,则PO 为正四 棱锥P-ABCD 的高。由体积公式得PO=1。 因为PO⊥底面ABCD,所以PO⊥BD。 又BD⊥AC,PO∩AC=O,所以BD⊥平面 PAC,所 以 ∠BEO 就 是 直 线 BE 与 平 面 PAC 所成的角。 在Rt△POA 中,由 PO=1,OA= 3, 可得PA=2,OE= 1 2PA=1 。在Rt△BOE 中,由BO= 3,可得tan∠BEO= BO OE= 3 , 所以 ∠BEO=60°,所 以 直 线 BE 与 平 面 PAC 所成的角为60°。应选A。 总结:求直线与平面所成角的三个步骤: 寻找过斜线上一点与平面垂直的直线;连接 垂足与斜足得到斜线在平面上的射影,斜线 与其射影所成的锐角或直角即为所求的角 (直线与平面所成的角);把该角归结在某个 三角形中,通过解三角形,求出该角。 二、平面与平面所成的角 例2 如图2所示,在三棱锥 S-ABC 中,△SBC,△ABC 都 是 等 边 三 角 形,且 图2 BC=2,SA= 3,则 二面角S-BC-A 的大 小为 。 解:取BC 的中点 D,连接AD,SD。 因 为 △ABC, △SBC 都是等边三角 形,所以SB=SC,AB=AC,所以AD⊥BC, SD⊥BC,所以∠ADS 就是侧面SBC 与底 面ABC 所成的二面角的平面角,即∠ADS 为二面角S-BC-A 的平面角。 因 为 BC=2,AD ⊥BC,SD ⊥BC, △SBC,△ABC 都是等边三角形,所以SD= SB2-BD2 = 4-1 = 3,AD= AB2-BD2= 4-1= 3。 而SA= 3,所以△SDA 是等边三角 形,所以∠ADS=60°,即二面角S-BC-A 的 大小为60°。 总结:利用垂面法作二面角的平面角,即 在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂 线,再过垂足作二面角的棱的垂线,两条垂线 确定的平面和二面角的棱垂直,由此可得二 面角的平面角。 图3 如图3,在 四 面体ABCD 中,E, F 分别是 AC,BD 的中点,若AB=2, CD=4,EF⊥AB, 则EF 与CD 所成 角的大小为 。 提示:所成角的大小为30°。 作者单位:江苏省常州市新桥高级中学 (责任编辑 王琼霞) 8 知识结构与拓展 高一数学 2025年7—8月 ■ 孙 亚 辽 猜想一:给值求值中所求角用已知角表 示用“配凑法” 例1 已知sinxcosy+cosxsiny= 1 2 , cos2x-cos2y= 1 4 ,则sin(x-y)=( )。 A. 1 2 B. 1 4 C.- 3 4 D.- 1 4 解:由sinxcosy+cosxsiny=sin(x+ y)= 1 2 ,可得cos2x-cos2y=cos[(x+y) +(x-y)]-cos[(x+y)-(x-y)]= -2sin(x+y)sin(x-y)=-sin(x-y)= 1 4 ,所以sin(x-y)=- 1 4 。应选D。 揭秘:解答本题的关键是将所求角用已 知角表示,即2x=(x+y)+(x-y),2y= (x+y)-(x-y)。 猜想二:给值求值中所求角用已知角表 示用“换元法” 例2 若cos π3-α =23,则sin 2α- π 6 =( )。 A.- 7 9 B.- 1 9 C. 1 9 D. 7 9 解:令x= π 3-α ,由cos π3-α =23, 可得cosx= 2 3 。令y=2α- π 6 ,则y= π 2- 2x。所以sin 2α- π 6 =siny=sin π2- 2x =cos2x=2cos2x-1=2× 23 2 -1= - 1 9 。应选B。 揭秘:令x= π 3-α ,y=2α- π 6 ,找到y 与x 的关系,结合诱导公式与倍角公式求值。 猜想三:三角变换中方程组观念的应用 例3 (多选题)已知α,β,γ∈ 0, π 2 ,且 sinβ+sinγ=sinα,cosα+cosγ=cosβ, 则( )。 A.sin(β-α)= 1 2 B.sin (α+β)= 1 2 C.α-γ=2β D.α+γ=2β 解:由sinβ+sinγ=sinα得sinγ=sinα -sinβ,两边平方得sin2γ=sin2α+sin2β- 2sinαsinβ。由cosα+cosγ=cosβ得cosγ =cosβ-cosα,两边平方得cos2γ=cos2α+ cos2β-2cosαcosβ。由上两式相加得1=2- 2cos(α-β),所以cos(α-β)= 1 2 。因为α, β,γ∈ 0, π 2 ,所以α-β∈ -π2,π2 。由 sinγ=sinα-sinβ>0,可得sinα>sinβ,即 α-β>0,所以α-β∈ 0, π 2 。因为cos(α- β)= 1 2 ,所以α-β= π 3 ,所以sin(β-α)= sin - π 3 =- 32,A错误。由sinβ+sinγ =sinα,两边平方得sin2α=sin2β+sin2γ+ 2sinβsinγ。由cosα+cosγ=cosβ得cosα =cosβ-cosγ,两边平方得cos2α=cos2β+ cos2γ-2cosβcosγ。由上两式相加得1=2- 2cos(β+γ),即cos(β+γ)= 1 2 。因为α,β, γ∈ 0, π 2 ,所以β+γ∈(0,π),所以β+γ= π 3 。由α-β= π 3 ,β+γ= π 3 ,可得α-β=β+ γ,即α-γ=2β,C正确。由α-β= π 3 ,β+γ = π 3 ,可 得 α+γ= 2π 3 ,D 错 误。综 上 知 sin(α+β)不是定值,B错误。应选C。 揭秘:方程组观念是三角变换中的基本 的解题技巧与方法。 9 知识结构与拓展 高一数学 2025年7—8月 猜想四:给值求角中的合理“缩小角的范 围” 例4 已知α,β∈(0,π),且cosα= 5 5 , sin(α+β)= 2 10 ,则α-β=( )。 A.- π 4 B. 3π 4 C.- π 4 或 π 4 D. 3π 4 或- 3π 4 解:因 为 cosα= 5 5 < 2 2 ,所 以 α∈ π 4 ,π 2 ,所以sinα=255 ,所 以sin2α= 2sinαcosα=2× 25 5 × 5 5= 4 5 ,cos2α=1- 2sin2α=1-2× 25 5 2 =- 3 5<0 ,所以2α∈ π 2 ,π 。因 为 β∈ (0,π),所 以 α+β∈ π 4 ,3π 2 。又0<sin(α+β)= 210< 22,所以 α+β ∈ 3π 4 ,π ,所 以 cos(α +β)= - 1-sin2(α+β)=- 72 10 ,所以sin(α-β) =sin[2α-(α+β)]=sin2αcos(α+β)- cos2αsin(α+β)=- 2 2 。因为α∈ π4 ,π 2 , β∈(0,π),所以α-β∈ - 3π 4 ,π 2 ,所以α- β=- π 4 。应选A。 揭秘:利用余弦函数与正弦函数的性质 缩小α,2α,α+β与α-β的取值范围是解题 的关键。 猜想五:给角求值中巧妙“选取主元探究 定值” 例5 若△ABC 为斜三角形,sinA= cosB,则 tanA+tanB tanC 的值为( )。 A.-2 B.-1 C.0 D.1 解:由sinA=cosB,可知A+B= π 2 或 A-B= π 2 。因为△ABC 为斜三角形,所以 A - B = π 2 ,即 A = π 2 + B 。 所 以 tanA+tanB tanC = tanA+tanB tan[π-(A+B)] = - tanA+tanB tan(A+B) = - tanA+tanB tanA+tanB 1-tanA·tanB = tanA·tanB-1=tan π2+B ·tanB- 1=- 1 tanB ·tanB-1=-2。应选A。 揭秘:注意斜三角形中的隐含条件,合理 选取 主 元,结 合 互 补 角、互 余 角 进 行 变 换 求解。 猜想六:三角函数最值探究中合理“使用 均值不等式求最大值” 例6 若sin(α+β)=cos2αsin(α-β), 则tan(α+β)的最大值为( )。 A. 6 2 B. 6 4 C. 2 2 D. 2 4 解:若sin(α+β)=cos2αsin(α-β),则 sin[2α-(α-β)]=cos2αsin(α-β),所以 sin2αcos(α-β)-cos2αsin(α-β)= cos2αsin(α-β),所以sin2αcos(α-β)= 2cos2αsin(α-β),即tan2α=2tan(α-β)。 所以tan(α+β)=tan[2α-(α-β)]= tan2α-tan(α-β) 1+tan2αtan(α-β) = tan(α-β) 1+2tan2(α-β) 。 要使tan(α+β)取 得 最 大 值,不 妨 取 tan(α-β)> 0,所 以 tan(α +β)= 1 1 tan(α-β) +2tan(α-β) ≤ 1 22 = 2 4 ,当且仅 当 1 tan(α-β) =2tan(α-β),即tan(α-β)= 2 2 时取等号,所以tan(α+β)的最大值为 2 4 。 应选D。 揭秘:由α+β=2α-(α-β),结合sin(α +β)=cos2αsin(α-β)得到tan2α=2tan(α -β)及tan(α+β)= tan(α-β) 1+2tan2(α-β) 是解题 的关键。 作者单位:甘肃省秦安县第四中学 (责任编辑 王琼霞) 01 知识结构与拓展 高一数学 2025年7—8月