04 例说正弦定理的应用、方程思想在解三角形中的应用-《中学生数理化》高一数学2025年3月刊

■陈秀雄 在△ABC 中, a sinA= b sinB= c sinC=2R (R 为△ABC 的外接圆半径)。正弦定理是 解三角形的理论依据,解题时要灵活应用。 一、判断三角形的个数 例1 在△ABC 中,已知a=2,b= 6, A=45°,则满足条件的三角形有( )。 A.一个 B.两个 C.0个 D.无法确定 解析:由正弦定理得sinB= bsinA a = 6sin45° 2 = 3 2 。因为b>a,所以B=60°或 B=120°,所以满足条件的三角形有两个。应 选B。 评析:利用b>a,得到 B=60°或 B= 120°是解题的关键。 二、求三角函数的值 例2 在△ABC 中,内角 A,B,C 所对 的边分别是a,b,c,已知b= 5 8a ,A=2B,则 cosA= 。 解析:因为A=2B,所以sinA=sin2B =2sinBcosB。由b= 5 8a ,结合正弦定理得 a b= 8 5= sinA sinB= 2sinBcosB sinB =2cosB ,所以 cosB= 4 5 ,所以cosA=cos2B=2cos2B- 1= 7 25 。 评析:已知两边和一边的对角,利用正弦 定理求另一边的对角时要注意讨论该角的大 小。 三、求边长 例3 在△ABC 中,B=45°,C=60°, c=1,则最短边的边长等于 。 解析:因为 B=45°,C=60°,所以 A= 75°。因为B<C<A,所以b<c<a,所以边 b为最短边。由正弦定理得 b sinB= c sinC ,所 以b= csinB sinC = 6 3 。 评析:三角形中,大边对大角,大角对大边。 四、求三角形的面积 例4 在△ABC 中,B=30°,AB=23, AC=2,则△ABC 的面积为 。 解析:由正弦定理得sinC= AB·sinB AC = 3 2 。因为 AB>AC,所以C=60°或C= 120°。当C=60°时,A=90°,所以 S△ABC= 1 2AB ·AC=23;当C=120°时,A=30°,所 以S△ABC= 1 2AB ·AC·sinA= 3。综上可 得,△ABC 的面积为23或 3。 评析:在△ABC 中,sinC= 3 2 ,角C 取 两个值,是否都满足条件,需要讨论求解。 五、判断三角形的形状 例5 在△ABC 中,若sinA=2sinB· cosC,sin2A=sin2B+sin2C,则△ABC 的形 状是( )。 A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形 解析:因为sin2A=sin2B+sin2C,所以 a 2R 2 = b2R 2 + c2R 2 ,即a2=b2+c2,所 以A=90°,所以B+C=180°-A=90°。因 为 sinA =2sinBcosC,所 以 sin90°= 2sinBcos(90°-B),所以sin2B= 1 2 。由B 是锐角,可得sinB= 2 2 ,所以B=45°,所以 C=45°。故△ABC 是等腰直角三角形。应 选D。 评析:解答本题的关键是正弦定理与三 角形内角和的灵活应用。 作者单位:湖北省兴山县第一高级中学 (责任编辑 王琼霞) 11 知识结构与拓展 高一数学 2025年3月 ■刘天佑 在解三角形问题中,尤其要重视方程思 想的应用,如方程思想在已知边长、面积等几 何信息中的解三角形,在已知边长、边角关系 等几何信息中的求周长、面积的最值,在“双 正弦”及“双余弦”中的解三角形。下面就方 程思想在解三角形中的应用进行举例分析。 应用一: 边长、面积等几何信息应用中 的“方程思想” 例1 在△ABC 中,角A,B,C 所对的边 分别为a,b,c,已知 3b=(acosC+ccosA)· tanA。 (1)求角A 的大小。 (2)若△ABC 的面积为 3,且a= 6,求 b,c的值。 解析:(1)在 △ABC 中,已 知 3b= (acosC+ccosA)tanA,由 正 弦 定 理 得 3sinB=(sinAcosC+sinCcosA)tanA, 即 3sinB=sin(A+C)tanA。因为sin(A +C)=sin(π-B)=sinB,所以 3sinB= sinBtanA,即(tanA- 3)sinB=0。 由0<B<π,可得sinB≠0,所以tanA = 3。又0<A<π,所以A= π 3 。 (2)由 三 角 形 的 面 积 公 式 得 S△ABC = 1 2bcsinA= 3 4bc= 3 ,解得bc=4。 因为cosA= b2+c2-a2 2bc = b2+c2-6 2×4 = 1 2 ,所以b2+c2=10,所以(b+c)2=10+2bc =10+2×4=18,即b+c=32。 据上可得 b+c=32, bc=4, 解得 b= 2,c=22 或 b=22, c= 2, 所以b= 2,c=2 2或b=2 2, c= 2。 提升:对于已知边长、面积等几何信息的 解三角形问题,关键是利用方程思想,结合已 知条件列方程即可求解。本题的解答,提醒 同学们可以用同样的方法来研究解三角形中 其他形式的求值问题。 应用二: 周长、面积等最值应用中的“方 程思想” 例2 在△ABC 中,角A,B,C 所对的 边分别为a,b,c,若bsin B+C 2 =asinB ,a= 2,则△ABC 面积的最大值为 ,周长的 最大值为 。 解析:由bsin B+C 2 =asinB ,结合正弦 定理得sinBsin π2- A 2 =sinAsinB。 因为0<B< π 2 ,所以sinB ≠0,所以 sin π2- A 2 =sinA,即cosA2=sinA。结合 二倍角公式得cos A 2=2sin A 2cos A 2 。因为 A 2∈ 0 ,π 2 ,所以cosA2≠0,所以sinA2= 1 2 ,所以A 2= π 6 ,即A= π 3 。 由 余 弦 定 理 得 (2)2 =b2 +c2 - 2bccos π 3 ,即b2+c2=2+bc。结合基本不等 式得2+bc≥2bc,解得bc≤2。所以△ABC 的面积S= 1 2bcsinA≤ 3 2 ,即△ABC 面积 的最大值为 3 2 。 由基本不等式得2=b2+c2-bc=(b+ c)2-3bc≥(b+c)2-3b+c2 2 ,即1 4 (b+c)2 ≤2,所以(b+c)2≤8,所以b+c≤22,当且 仅当b=c= 2时取等号,所以a+b+c≤ 2+22=32。 故△ABC 周长的最大值为32。 21 知识结构与拓展 高一数学 2025年3月 提升:对于周长或面积的最值问题,可利 用方程思想得到关于b+c、bc或b2+c2 的表 达式,再利用基本不等式求解。借鉴本题的 解答,同学们可以用同样的方法来研究解三 角形中其他形式的最值问题。 应用三:“双正弦”及“双余弦”应用中的 “方程思想” 例3 如 图 1,四 边 形 ABCD 是 由 △ABC 和△ACD 拼接而成的,且在△ABC 中,2AB-BC= AC2+AB2-BC2 AB 。 图1 (1)求角B 的大小。 (2)若∠BAD= π 3 ,∠ADC= 5π 6 ,AD= 1,BC=2,求AC 的长。 解 析:(1)因 为 2AB - BC = AC2+AB2-BC2 AB ,所以AB2+BC2-AC2= AB·BC。 所以cosB= AB2+BC2-AC2 2AB·BC = 1 2 。 又B∈(0,π),故B= π 3 。 (2)在四边形ABCD 中,因为∠BAD= π 3 ,∠ADC= 5π 6 ,B= π 3 ,所以∠DCB= π 2 。 设∠DCA=α,则∠ACB= π 2-α ,所以 ∠CAB= π 6+α 。 在△ACD 中,由 正 弦 定 理 得 1 sinα= AC sin 5π 6 =2AC,即 1 sinα=2AC 。在△ABC 中, 由 正 弦 定 理 得 2 sinα+ π 6 = AC sin π 3 = 23 3 AC ,即 1 sinα+ π 6 = 3 3AC 。 据上可得 sinα+ π 6 sinα =23 ,化简整理得 tanα= 3 9 。由α为锐角,结合sin2α+cos2α=1 得sinα= 7 14 。又 1 sinα=2AC ,所以AC=7。 提升:对于有公共边或互补角的直观的 图形类的解三角形问题,可以在不同的三角 形中,利用正弦定理或余弦定理列方程,并结 合三角形的边角关系联立求解。通过分析本 题的解答,同学们可以用同样的方法来研究 解三角形中其他较复杂的“双正余弦”问题。 在△ABC 中,a,b,c 分别为角A,B,C 所对的边,且2acosB+ 3b=2c,a=2。 (1)若c=23,求△ABC 的面积。 (2)求△ABC 周长的最大值。 提示:(1)由2acosB+ 3b=2c得2a· a2+c2-b2 2ac + 3b=2c ,所以b2+c2-a2= 3bc。结合余弦定理得cosA= 3 2 。因为 A∈(0,π),所以A= π 6 。由余弦定理得a2= 4=b2+12-2b×23× 3 2 ,即b2-6b+8= 0,所以b=2或b=4。故S△ABC= 1 2bcsinA =23或S△ABC= 1 2bcsinA= 3 。 (2)因为b2+c2- 3bc=4≥(2- 3)bc, 所以bc≤4(2+ 3)。 因为(b+c)2=4+(2+ 3)bc≤4+4× (2+ 3)2=32+16 3,所以b+c≤2 6+ 22,当且仅当b=c= 6+ 2时取等号。故 (a+b+c)max =2+22+26。 作者单位:陕西省城固县第一中学 (责任编辑 王琼霞) 31 知识结构与拓展 高一数学 2025年3月