百分位数题型分析&例析基本不等式的应用-《中学生数理化》高一数学2025年7～8月刊

■陈 瑞 第p 百分位数是新教材的新增内容,同 学们对这个知识点相对陌生,尤其是百分位 数的计算,以及在频率分布直方图中对百分 位数的估计。下面从三个方面剖析百分位数 及其应用。 一、一组数据的百分位数 例1 抽样统计某位学生8次的数学成 绩分别为81,84,82,86,87,92,90,85,则该 学生这8次成绩的40%分位数为( )。 A.85 B.85.5 C.86 D.86.5 解:把该学生的8次数学成绩按照从小到 大的顺序排列为81,82,84,85,86,87,90,92。 由8×40%=3.2,可得该学生这8次成绩的 40%分位数应为第四个数,即85。应选A。 方法点拨:计算一组n 个数据的第k 百 分位数的步骤:第1步(排列),按从小到大排 列原始数据。第2步(计算i),i=k· n 100 。 第3步(定数),若i不是整数,而大于i的相 邻整数为j,则第k 百分位数为第j项数据; 若i是整数,则第k 百分位数为第i项与第 (i+1)项数据的平均数。 二、频率分布直方图中的百分位数 例2 为了更好地满足民众个性化、多 元化、便利化的消费需求,丰富购物体验和休 闲业态,某市积极打造夜间经济。为不断创 优夜间经济发展环境、推动消费升级,有关部 门对某热门夜市开展“服务满意度调查”,随 机选取了100名顾客进行问卷调查,对夜市 服务进行评分(满分100分),根据评分情况 绘制了如图1所示的频率分布直方图,估计 这组数据的第55百分位数为( )。 图1 A.65 B.72 C.72.5 D.75 解:由频率分布直方图可知,[70,80), [80,90),[90,100]这三个区间的频率之和为 (0.005+0.025+0.03)×10=0.6,[80,90), [90,100]这两个区间的频率之和为(0.025+ 0.005)×10=0.3,所以第55%分位数所在 的区间为[70,80],且设为x,所以 x-70 10 = 0.15 0.3 ,解得x=75。应选D。 方法点拨:求频率分布直方图中的百分 位数的关键在于确定百分位数所在的区间。 三、利用百分位数求数据的值(或范围) 例3 2025年4月24日是第十个“中国 航天日”,今年的主题是“海上生明月,九天揽 星河”。某校组织学生参与航天知识竞答活 动,某班8位同学的成绩如下:7,6,8,9,8,7, 10,m。若去掉 m,该组数据的第25百分位 数保持不变,则整数m(1≤m≤10)的值可以 是 。(写出一个满足条件的m 值即可) 解:原数据为7,6,8,9,8,7,10,m,若去 掉m,这时数据按从小到大的顺序排列为6, 7,7,8,8,9,10,则7×0.25=1.75,所以第25 百分位数为第二个数,即为7,所以原数据7, 6,8,9,8,7,10,m 的第25百分位数也为7。 而8×0.25=2,所以7为第二个数与第 三个数的平均数,所以m(1≤m≤10)的值可 以是7或8或9或10(填上述4个数中的任 意一个均可)。 方法点拨:解答本题的关键是计算出一 组n个数据的第k百分位数。 作者单位:陕西省咸阳市实验中学 (责任编辑 王琼霞) 52 知识结构与拓展 高一数学 2025年7—8月 ■税建华 基本不等式是求解最值问题的常用方 法,下面举例说明基本不等式在向量、解三角 形、复数、函数及立体几何中的应用。 一、在向量中的应用 例1 已知向量a=(m,m2+1),b= (n,12),若向量a,b共线且m>0,则n 的最 大值为( )。 A.6 B.4 C.8 D.3 解:因 为 向 量a,b 共 线,所 以12m- (m2+1)n=0,解得n= 12m m2+1 。又m>0,所 以m+ 1 m≥2 ,所以n= 12 m+ 1 m ≤6,当且仅当 m=1时等号成立。应选A。 点评:若a,b∈R+,则a+b≥2 ab,当 且仅当a=b时等号成立。 二、在解三角形中的应用 例2 在△ABC 中,角 A,B,C 所对的 边分 别 为a,b,c,且 2acosB=c-a,当 2c+6a b 取最小值时,则A= 。 解:由2acosB=c-a,结合余弦定理得 2a· a2+c2-b2 2ac =c-a ,整理得c= b2 a-a 。 所 以 2c+6a b = 2b2 a +4a b = 2b a + 4a b ≥ 2 2b a ·4a b =42 ,当且仅当2b a= 4a b ,即b= 2a时等号成立。结合c= b2 a-a=a ,可得 cosA= b2+c2-a2 2bc = 2a2+a2-a2 22a2 = 2 2 。又 A∈(0,π),所以A= π 4 。 点评:解答本题的关键是将2c+6a b 变形 为 2b a+ 4a b ,再利用基本不等式求出b= 2a 及c=a。 三、在复数中的应用 例3 已知复数z 满足z+ 1 z∈ [1,2], 则复数z的实部的最小值为 。 解:设z=a+bi(a,b∈R),则z+ 1 z= a+bi+ 1 a+bi=a+bi+ a-bi a2+b2 =a+ a a2+b2 + b- b a2+b2 i。由z+1z ∈[1,2],可得 b- b a2+b2 =0,所以b=0或a2+b2=1。 当a2+b2=1时,a+ a a2+b2 =2a∈[1, 2],可得a∈ 12 ,1 ;当b=0时,a+ aa2+b2 =a+ 1 a∈ [1,2],此时a>0,由a+ 1 a≥ 2 a· 1 a =2 ,当且仅当a= 1 a ,即a=1时等 号成立,可得a=1。 综上可得,复数z的实部的最小值为 1 2 。 点评:本题用到分类讨论思想,b=0易 漏掉,同学们要引起重视。 四、在指数函数中的应用 例4 早在公元前6世纪,毕达哥拉斯学 派已经知道算术中项,几何中项,以及调和中 项,毕达哥拉斯学派哲学家阿契塔在《论音 乐》中定义了上述三类中项,其中算术中项, 几何中项的定义与今天大致相同。若2a+ 2b=1,则(4a+1)(4b+1)的最小值为 。 解:不妨设m=2a,n=2b,则m+n=1, 且m>0,n>0,所以m+n≥2 mn,当且仅 当m=n时取等号,所以0<mn≤ 1 4 。 因为(4a+1)(4b+1)=(m2+1)(n2+1) =(mn)2+m2+n2+1=(mn)2+(m+n)2- 62 知识结构与拓展 高一数学 2025年7—8月 2mn+1=(mn)2-2mn+2=(mn-1)2+1 0<mn≤ 1 4 ,所以当 mn=14时,(mn)2- 2mn+2取得最小值 25 16 ,即(4a+1)(4b+1)的 最小值为 25 16 。 点评:解题时,要注意指数式的值恒为正 数,即am>0(a>0,m∈R)。 五、在三角函数中的应用 例5 已 知 α,β 均 为 锐 角,且 满 足 sin(α-β) sinβ =2cosα,则 α-β 的 最 大 值 为 。 解:由sin (α-β) sinβ =2cosα,可得sin(α- β)=2cosαsinβ,即sinαcosβ-cosαsinβ= 2cosαsinβ,化简得sinαcosβ=3cosαsinβ, 所以tanα=3tanβ。所 以tan(α-β)= tanα-tanβ 1+tanαtanβ = 2tanβ 1+3tan2β = 2 1 tanβ +3tanβ 。 由β 为锐角,即tanβ>0,可得 1 tanβ + 3tanβ≥2 1 tanβ ·3tanβ=2 3,当且仅当 1 tanβ =3tanβ,即tanβ= 3 3 时等号成立,所 以tan(α-β)= 2 1 tanβ +3tanβ ≤ 2 23 = 3 3 。 因为α-β∈ - π 2 ,π 2 ,又 函 数 y= tanx 在 - π 2 ,π 2 上单调递增,所以α-β的 最大值为 π 6 。 点评:利用三角变换,得到tanα=3tanβ 是解题的关键。 六、在立体几何中的应用 例6 在三棱锥P-ABC 中,PA⊥平面 ABC,∠ABC=45°,△APC 的面积为42, 则三棱锥P-ABC 的外接球体积的最小值为 。 解:设 AC=x。因为△APC 的面积为 42,所以PA= 82 x 。 设△ABC 外接圆的半径为r,由正弦定 理得 AC sin45°= 2x=2r ,即r= 2x 2 。因为 PA⊥平面ABC,所以球心O 在过△ABC 外 心且与平面ABC 垂直的直线上,所以球心O 到平面ABC 的距离d= 1 2PA= 42 x 。 设球O 的半径为R,则R= r2+d2= x2 2+ 32 x2 ≥ 2 x2 2 ·32 x2 =2 2,当且仅当 x=2 2时等号成立。故三棱锥 P-ABC 的 外接球体积的最小值为 4 3π (22)3= 642π 3 。 点评:当球的半径最小时,其体积最小。 1.若log2m+log2n=1,则m+n 的最小 值是 。 提 示:因 为 log2m +log2n =1,即 log2(mn)=1,所以mn=2。由基本不等式得 m+n≥2 mn=22,当且仅当m=n 时等 号成立。故m+n的最小值是22。 2.已知总体的各个个体的值由小到大依 次为2,4,4,6,a,b,12,14,18,20,且总体的 平均值为10,则 1 a+ 1 b 的最小值为 。 提示:因为各个个体的值是由小到大排列 的,所以6≤a≤b≤12。又总体的平均值为 10,所以 1 10× (2+4+4+6+a+b+12+14+ 18+20)=10,所以a+b=20。所以 1 a+ 1 b= 1 20 (a+b) 1a+ 1 b = 120 2+ba+ab ≥ 1 202+2 b a ·a b =15(当且仅当a=b= 10时取“=”),即 1 a+ 1 b 的最小值为 1 5 。 作者单位:湖北省巴东县第一高级中学 (责任编辑 王琼霞) 72 知识结构与拓展 高一数学 2025年7—8月