例析tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC的应用&小议二次函数性质的应用-《中学生数理化》高一数学2025年7～8月刊

例析tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 的应用 ■杜海洋 重要结论:在△ABC 中,tanA+tanB+ tanC=tanAtanBtanC。 证明:由 A+B+C=π,可得tanC= -tan(A+B)=- tanA+tanB 1-tanAtanB ,整 理 得 tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC。 下面举例说明此结论的应用。 例1 在 锐 角△ABC 中,若sinA= 2sinBsinC,则tanAtanBtanC 的最小值是 。 解法 1:由 sinA =sin(B +C)= 2sinBsinC,可得sinBcosC+cosBsinC= 2sinBsinC,两 边 同 除 以 cosBcosC 得 tanB+tanC=2tanBtanC。因为tanA· tanBtanC =tan A +2tanBtanC ≥ 2 2tanAtanBtanC,所以tanAtanBtanC ≥8,当且仅当tanA=2tanBtanC=4时等 号成立,即tanAtanBtanC 的最小值为8。 解法 2:由 sinA =sin(B +C)= 2sinBsinC,可得sinBcosC+cosBsinC= 2sinBsinC,两边同除以cosBcosC 得tanB +tanC=2tanBtanC。令tanB+tanC= 2tanBtanC=m>0。因为△ABC 是锐角三 角形,所以tan(B+C)= tanB+tanC 1-tanBtanC= m 1- m 2 <0,解 得 m >2。在 △ABC 中, tanAtanBtanC=-tan(B+C)tanBtanC =- m 1- m 2 · 1 2m= m2 m-2= 1 - 2 m2 + 1 m = 1 -2 1m- 1 4 2 + 1 8 。据此可知,当m=4时, tanAtanBtanC 取得最小值8。 例2 若△ABC 为锐角三角形,且sinC =2sinAsinB,求tanA+tanB+tanC 的最 小值。 解:因为sinC=sin(A+B)=sinA· cosB +cosAsinB,所 以 sinAcosB + cosAsinB=2sinAsinB,所以tanA+tanB =2tanAtanB。所以tanA+tanB+tanC =tan Atan Btan C =tan Atan B · tanA+tanB tanAtanB-1 = 2(tanAtanB)2 tanAtanB-1 。 已 知 △ABC 为锐角三角形,由 tanA+tanB 1-tanAtanB= -tanC<0,可知tanAtanB-1>0。 设tanAtanB-1=t,且t>0,则tanA +tanB+tanC= 2(t+1)2 t =2t+ 1 t+2 ≥ 22 t· 1 t +2 =8,当且仅当t=1时取等 号。 由 tan C = tanA+tanB tanAtanB-1 = 2tanAtanB tanAtanB-1 = 2×2 2-1 = 4 , 可 得 tanA+tanB=4, tanAtanB=2, 解 得 tanA=2- 2 , tanB=2+ 2 或 tanA=2+ 2, tanB=2- 2, 所 以 当 tanA=2- 2, tanB=2+ 2, tanC=4 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 或 tanA=2+ 2, tanB=2- 2, tanC=4 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 时上述不等式等号成立,故 tanA+tanB+tanC 的最小值为8。 例3 求tan20°+tan40°+ 3tan20°· tan40°的值。 解:原式=tan20°+tan40°+tan120°+ 3tan20°tan40°+ 3=tan20°tan40°· tan120°+ 3tan 20°tan 40°+ 3 = - 3tan20°tan40°+ 3tan20°tan40°+ 3= 3。 作者单位:成都经济技术开发区实验中学校 (责任编辑 王琼霞) 22 知识结构与拓展 高一数学 2025年7—8月 ■覃雷宇 一、在常用逻辑用语中的应用 例1 已知命题“∃x∈[-1,1],-x2+ 3x+a>0”为真命题,则实数a 的取值范围 为( )。 A.(-∞,-2) B.(-∞,4) C.(-2,+∞) D.(4,+∞) 解:已知命题“∃x∈[-1,1],-x2+ 3x+a>0”为真命题,即命题“∃x∈[-1, 1],a>x2-3x”为真命题,所以当x∈[-1, 1]时,a>(x2-3x)min。 因为函数y=x2-3x= x- 3 2 2 - 9 4 , 所以当x∈[-1,1]时,ymin=-2,当且仅当 x=1时取得最小值。故当x∈[-1,1]时, a>(x2-3x)min=-2,所以实数a 的取值范 围是(-2,+∞)。应选C。 评注:分离参数转化为a>(x2-3x)min, x∈[-1,1]是解答本题的关键。 二、在三角函数中的应用 例2 (1)函数f(x)=sin2x+ 3cosx - 3 4 x∈ 0 ,π 2 的最大值为 。 (2)函 数 f(x)=sinx+cosx + 2sinxcosx x∈ - π 4 ,π 4 的 最 小 值 为 。 解:(1)函数f(x)=sin2x+ 3cosx- 3 4=-cos 2x+ 3cosx+ 1 4 。 令cosx=t,且t∈[0,1],则原函数等价 于函数y=-t2+ 3t+ 1 4=- t- 3 2 2 + 1,所以当t= 3 2 ,即x= π 6 时,函数f(x)取 得最大值1。 (2)由题意设sinx+cosx=t,则t= 2sinx+ π 4 ,且2sinxcosx=t2-1。 因为 x∈ - π 4 ,π 4 ,所 以 x+ π4 ∈ 0, π 2 ,所以t∈[0,1],所以原函数等价于 函数g(t)=t2+t-1(t∈[0,1])。 因为函数g(t)=t2+t-1图像的开口 向上,对称轴为t=- 1 2 ,所以函数g(t)在 [0,1]上单调递增。故当t=0时,函数g(t) 取得最小值-1,所以函数f(x)=sinx+ cosx+2sinxcosx 的最小值为-1。 评注:利用换元法解题,要注意新元的取 值范围。 三、在复数中的应用 例3 已知复数z=x+yi(x,y∈R,i是 虚数单位)。若复数 z 1+i+i 是实数,则|z|的 最小值为( )。 A.22 B.2 C. 2 2 D.42 解:因为复数 z 1+i+i= (x+yi)(1-i) (1+i)(1-i)+ i= x+y+(y-x)i 2 +i= x+y 2 + y-x+2 2 i 是实数,所以y-x+2 2 =0 ,即x=y+2。 所以|z|= x2+y2 = (y+2)2+y2 = 2(y+1)2+2≥ 2,当且仅当y=-1, x=1时取等号,所以|z|的最小值为 2。应 选B。 评注:若复数z=a+bi(a,b∈R)是实 数,则b=0。 四、在立体几何中的应用 例4 如图1,在平行四边形ABCD 中, BC=2,BD⊥CD,四边形ADEF 为正方形, 平面 ADEF⊥ 平 面 ABCD。记 CD =x, V(x)表示四棱锥F-ABCD 的体积,则V(x) 的最大值为 。 32 知识结构与拓展 高一数学 2025年7—8月 图1 解:因为平面 ADEF⊥平面 ABCD,且 交线 AD 满足 AD⊥FA,所以 FA⊥平面 ABCD。 因为BD⊥CD,BC=2,CD=x,所以 FA=2,BD= 4-x2 (0<x<2),所 以 S▱ABCD =CD · BD =x 4-x2,所 以 V(x)= 1 3S▱ABCD ·FA = 2 3x 4-x 2 = 2 3 -x 4+4x2 = 2 3 - (x2-2)2+4(0< x<2)。因为0<x<2,所以0<x2<4,所以 当x2=2,即x= 2时,V(x)取得最大值,且 V(x)max= 4 3 。 评注:本题属于“双”二次函数,解题时要 注意x2 的取值范围。 五、在平面向量中的应用 例5 如图2,在平行四边形ABCD 中, AB=4,AD=2,AB→·AD→=42,点P 在边 CD 上,则PA→·PB→ 的取值范围是( )。 图2 A.[-1,8] B.[-1,4+ 2] C.[-2,4+42] D.[-2,0] 解:作 DO⊥AB,垂足为O。以O 为坐 标原点,OB,OD 所在的直线分别为x 轴,y 轴,建立平面直角坐标系(如图2)。 因为cos∠BAD= AB→·AD→ |AB→|·|AD→| = 42 4×2 = 2 2 ,所以∠BAD= π 4 。 在 Rt△AOD 中,因 为 ∠BAD = π 4 , AD=2,所以OD=OA= 2,OB=4- 2,则 点A(- 2,0),B(4- 2,0)。设点 P(x, 2),0≤x≤4,则 PA→=(- 2-x,- 2), PB→=(4- 2-x,- 2),所以PA→·PB→= (- 2-x)(4- 2-x)+(- 2)×(- 2) =x2+(22-4)x+4-42,0≤x≤4。 因为0≤x≤4,所以当x=2- 2时, PA→·PB→ 取得最小值-2,当x=4时,PA→· PB→ 取得最大值4+42。故PA→·PB→ 的取 值范围是[-2,4+42]。应选C。 评注:解答本题的关键是建立合适的平面 直角坐标系,利用坐标运算,解决向量问题。 六、在解三角形中的应用 例6 已知△ABC 的内角A,B,C 的对 边分别为a,b,c,B 为钝角。若△ABC 的面 积为S,且4bS=a(b2+c2-a2),则sinA+ sinC 的最大值为 。 解:由余弦定理得2bccosA=b2+c2- a2,所以 4bS a =2bccosA= 4b a× 1 2acsinB ,所 以cosA=sinB,所以cosA=cosB- π 2 。 因为B 为钝角,则A,B- π 2 均为锐角,所以 B- π 2=A ,即 B= π 2+A 。所以sinA+ sinC=sinA+sin(A+B)=sinB- π 2 + sin B- π 2+B = -cosB -cos2B = -2cos2B-cosB+1。令cosB=t,由B 为 钝角,可得t∈(-1,0),所以sinA+sinC= -2t2-t+1=-2t+ 1 4 2 + 9 8 ,所以当t= - 1 4 ,即cosB=- 1 4 时,sinA+sinC 取最 大值,且最大值为9 8 。 评注:在△ABC 中,B 为 钝 角,则 A, B- π 2 均为锐角。 作者单位:湖北省巴东县第一高级中学 (责任编辑 王琼霞) 42 知识结构与拓展 高一数学 2025年7—8月