基本不等式压轴题猜想与揭秘-《中学生数理化》高一数学2025年7～8月刊

■龚发君 猜想一:条件等式求最值关键是“结论与 条件的沟通” 例1 已知m,n∈R+,满足m2n+2mn2 -4m-n=0,则m+2n的最小值为( )。 A.22+1 B.15 C. 36 2 D.42+9 解:由题意得m2n+2mn2=mn(m+2n) =4m+n,所以m+2n= 1 m+ 4 n ,所以(m+ 2n)2= 1m+ 4 n (m+2n)=9+4mn +2nm ≥ 9+42,当且仅当n= 2,m=1时等号成 立,所以(m+2n)min= 9+42=2 2+1。 应选A。 揭秘:由条件等式变形得到 m+2n= 1 m+ 4 n ,为了求最值可用平方法凑定值,借助 常数代换法“1”的妙用进行转化求解。 猜想二:多元条件等式求最值“结合降元 意识凑定值” 例2 设正实数x,y,z 满足x2-xy+ y2-z=0,则 xy z 的最大值为( )。 A.4 B.2 C.3 D.1 解:因为正实数x,y,z 满足x2-xy+ y2-z=0,则z=x2+y2-xy,所以 xy z = xy x2+y2-xy = 1 x y+ y x-1 ≤ 1 2 x y ·y x -1 = 1,当且仅当 x y =yx (x>0,y>0),即x=y 时 等号成立,所以xy z 的最大值为1。应选D。 揭秘:当所求最值的代数式中的变量比 较多时,先利用已知条件消去部分变量,凑出 “和为常数”或“积为常数”的形式,再利用基 本不等式求最值。 猜想三:利用换元法和不等式法及对钩 函数求最值 例3 (多选题)已知x>0,y>0,且x+ 4y=xy,则( )。 A.xy 的最大值是16 B.x2+16y2 的最小值为128 C.4x+ 1 x +y+1y的最小值为10 D. (x+1)(4y+1) xy 的最小值为 81 4 解:因为x>0,y>0,且x+4y=xy,所 以x+4y=xy≥2 x·4y,解得xy≥16,当 且仅当x=8,y=2时等号成立,所以xy 的 最小 值 是 16,A 错 误。由 x2 +16y2 ≥ 2 x2·16y2=8xy,结合选项A知xy≥16, 所以x2+16y2≥8xy≥8×16=128,当且仅 当x=8,y=2时等号成立,即x2+16y2 的 最小值为128,B正确。因为x>0,y>0,且 x+4y=xy,所以y= x x-4=1+ 4 x-4 (由 x>0,y>0得x>4),所以4x+ 1 x +y+ 1 y =4x+y+ 4y+x xy =4x+ 4 x-4+2= 4(x-4)+ 4 x-4+18≥2 16+18=26 ,当且 仅 当 x = y = 5 时 等 号 成 立,所 以 4x+ 1 x +y+1y 的最小值为26,C错误。 已 知 (x+1)(4y+1) xy = 4xy+x+4y+1 xy = 5xy+1 xy =5 xy+ 1 xy ,且 xy≥ 16=4, 不妨令f(t)=5t+ 1 t (t≥4)。因为t≥4> 02 知识结构与拓展 高一数学 2025年7—8月 5 5 ,所以函数f(t)=5t+ 1 t (t≥4)单调递 增,所以f(t)=5t+ 1 t≥f (4)= 81 4 ,所以 (x+1)(4y+1) xy ≥ 81 4 ,当且仅当x=8,y=2 时等号成立,所以 (x+1)(4y+1) xy 的最小值 为 81 4 ,D正确。应选BD。 揭秘:选项 A,B的判断较为简单,对于 选项C,D,利用等价变形,结合基本不等式和 对钩函数的性质进行判断。 猜想四:利用换元法,构建不等式求最值 例4 已知a>0,b>0,且a3+b3+ 2ab=4,则a+b的取值范围是( )。 A.23 ,2 B.34,2 C.34,2 D. 2 3 ,2 解:由a3+b3+2ab=4,可得(a+b)[(a +b)2-3ab]+2ab=4。 设a+b=s,则s(s2-3ab)+2ab=4,解 得ab= s3-4 3s-2 。因为a>0,b>0,s=a+b> 0,所以ab= s3-4 3s-2>0 ,解得s>34或0<s< 2 3 。又因为ab≤ a+b2 2 = 1 4s 2,所以s 3-4 3s-2 ≤ 1 4s 2,整理得 (s-2)(s2+4s+8) 4(3s-2) ≤0 ,解得 2 3<s≤2 ,当且仅当a=b=1时等号成立,所 以 3 4<s≤2,即34<a+b≤2,所以a+b的 取值范围是(34,2]。应选B。 揭秘:涉及条件等式的最值问题,利用换 元法,借助基本不等式0<ab≤ a+b2 2 ,通 过合理转化求出最值,但要注意新变量的取 值范围。 猜想五:不等式恒成立问题,通过分离参 数转化为不等式求解 例5 命题p:∃x>0,y>0,使得不等 式(2 xy+4 y)λ>x+y+5恒成立,则命 题 p 成 立 的 一 个 充 分 不 必 要 条 件 可 以 是( )。 A.λλ≥ 5 2 B.λλ≥ 53 C.λλ> 5 4 D.λλ> 55 解:由题意分离参数得∃x>0,y>0,使 得不等式λ> x+y+5 2 xy+4 y 恒成立。 因为 x+y+5 2 xy+4 y = x+ 5 9y+ 4 9y+5 2 xy+4 y ≥ 25 3 xy+ 45 3 y 2 xy+4 y = 5 3 ,当 且 仅 当 x= 25 4 , y= 45 4 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 时等号成立,所以λ> 5 3 。结合选 项知 λλ≥ 5 2 是 λ> 53 的一个充分不必 要条件。应选A。 揭 秘:本 题 是 利 用 x+y+5 2 xy+4 y = x+ 5 9y+ 4 9y+5 2 xy+4 y ≥ 25 3 xy+ 45 3 y 2 xy+4 y = 5 3 进行转化求解的。对于分式类求最值,需要 先凑定值,再结合基本不等式求出最值。 设b>0,ab+b=1,则a2b 的最小值 为( )。 A.0 B.1 C.2 D.4 提示:由题意得b>0,ab+b=1,所以 b= 1 a+1 ,a+1>0。因 为 a2b= a2 a+1= (a+1-1)2 a+1 =a+1+ 1 a+1-2≥2-2=0 ,当 且仅当a+1= 1 a+1 ,即a=0时等号成立,所 以a2b的最小值为0。应选A。 作者单位:重庆市巫山第二中学 (责任编辑 王琼霞) 12 知识结构与拓展 高一数学 2025年7—8月