复数学习指导-《中学生数理化》高一数学2025年7～8月刊

■ 余 智 敏 对于复数z=a+bi(a,b∈R),当b=0 时,它是实数;当a=b=0时,它是实数0;当 b≠0时,叫作虚数;当a=0且b≠0时,叫作 纯虚 数。以 复 数 z1,z2 分 别 对 应 的 向 量 OZ1→,OZ2→ 为邻边作平行四边形OZ1ZZ2,对 角线OZ 表示的向量OZ→ 就是复数z1+z2 所 对应的向量。z2-z1 对应的向量是Z2Z1→,即 OZ→=OZ1→+OZ2→,Z1Z2→=OZ2→-OZ1→。复数z 对应的向量为OZ→,向量OZ→ 的模叫作复数z =a+bi(a,b∈R)的模,记作|a+bi|或|z|, 即|z|= a2+b2。复数的模的速算技巧:若 z=z1·z2,则|z|=|z1|·|z2|;若z= z1 z2 , 则|z|= |z1| |z2| ;z·z=|z|2=|z|2。复数z的 共轭复数记作z,即若z=a+bi(a,b∈R), 则z=a-bi。 考点1:复数的概念 例1 已知i是虚数单位,复数z 满足 (2-i)z=3-i,那么z的虚部是( )。 A. 1 5 B. 7 5 C. 7 5i D. 1 5i 解:由(2-i)z=3-i,可得z= 3-i 2-i= (3-i)(2+i) (2-i)(2+i)= 7 5+ 1 5i ,所以z的虚部为 1 5 。 应选A。 方法点拨:不要将复数与虚数的概念混 淆,实数也是复数,实数和虚数是复数的两大 构成部分。 考点2:复数的分类 例2 已知a∈R,若复数z=4a2-3a- 1+(a-1)i是纯虚数,则a的值为( )。 A. 1 4 B.- 1 4 C.- 1 4 或1 D. 1 4 或-1 解:由题意知 4a2-3a-1=0, a-1≠0, 解得a= - 1 4 。应选B。 方法点拨:判断一个复数在什么情况下 是实数、虚数或纯虚数,应根据分类标准,列 出实部、虚部应满足的关系式再求解。 考点3:复数的相等 例3 已知复数(x2-y2-7)+(x-y- 3)i等于-2i,其中x,y∈R,求x,y 的值。 解:由题意得(x2-y2-7)+(x-y- 3)i=-2i,所以 x2-y2-7=0, x-y-3=-2。 由x-y-3=-2,可得x=y+1,所以 (y+1)2-y2-7=0,解得y=3,所以x=4。 故x,y 的值分别为4,3。 方法点拨:解决复数相等问题的步骤:先 分离出两个复数的实部和虚部,再利用实部 与实部相等、虚部与虚部相等列方程(组)求 解。 考点4:复数与复平面内的点 例4 已知|z-3|=|z-3i|(z≠0),则 在复平面内 z z-2 所对应的点位于( )。 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解:设 复 数 z=a+bi(a,b∈R),则 (a-3)2+b2 = a2+(b-3)2,化简整理 得a=b≠0。因为 z z-2= a-ai a+ai-2= 1-i 1+i -2= (1-i)2 (1+i)(1-i)-2=-2-i ,所以在复平 面内 z z-2 所对应的点为(-2,-1),此点属 于第三象限。应选C。 81 知识结构与拓展 高一数学 2025年7—8月 方法点拨:复数z=a+bi(a,b∈R),可 以用复平面内的点Z(a,b)来表示。 考点5:复数的模 例5 (1)若复数z=3+2i-n(n∈R), |z|= 13,则n的取值集合为( )。 A.{0,6} B.{-2,8} C.{-1,7} D.{1,5} (2)已知复数z满足|z|=2(i是虚数单 位),则|z+3|的取值范围是( )。 A.[0,2] B.[1,3] C.[3,5] D.[1,5] 解:(1)因为复数z=3+2i-n(n∈R), 且|z|= 13,所以 (3-n)2+4= 13,所 以(n-3)2=9,所以n-3=3或n-3=-3, 解得n=0或n=6。应选A。 (2)|z|=2表示z 对应的点是圆心为 (0,0),半径为2的圆上的点。|z+3|=|z- (-3)|表示该圆上的点与点(-3,0)之间的 距离。而圆心(0,0)到点(-3,0)的距离为 3,所以|z+3|的最大距离为3+2=5,最小 距离为3-2=1,所以|z+3|的取值范围为 [1,5]。应选D。 方法点拨:两个复数不全为实数时,不能 比较大小,而两个复数的模可以比较大小。 复数的模的几何意义是指复数对应的点到原 点的距离,这可以类比实数的绝对值,也可以 类比以原点为起点的向量的模来加深理解。 考点6:复数的运算 例6 设复数z1,z2 在复平面内对应的 点关于实轴对称,且z1=2-i,则 z1 z2 的虚部 为( )。 A. 4 5 B. 4 5i C.- 4 5i D.- 4 5 解:因为复数z1,z2 在复平面内对应的 点关于实轴对称,且z1=2-i,所以z2=2+ i。所以 z1 z2 = 2-i 2+i= (2-i)2 (2+i)(2-i)= 3 5- 4 5i , 可知 z1 z2 的虚部为- 4 5 。应选D。 方法点拨:复数的除法运算步骤:先将除 式写为分式,再将分子、分母同乘以分母的共 轭复数,最后将分子、分母分别进行乘法运 算,并将其化为复数的代数形式。 考点7:复数范围内的解方程问题 例7 已知关于x 的实系数一元二次方 程x2+kx+k2-2k=0有两个虚根x1 和 x2,且x21+x22=3。求k的值。 解:因为关于x 的一元二次方程x2+ kx+k2-2k=0有两个虚根x1,x2,所以Δ= k2-4(k2-2k)<0,即3k2-8k>0,解得k< 0或k> 8 3 。 由方程x2+kx+k2-2k=0,可得x1+ x2=-k,x1x2=k2-2k。 因为x21+x22=(x1+x2)2-2x1x2=3, 所以k2-4k+3=0,解得k=3或k=1(不符 合题意,舍去)。 故实数k的值为3。 方法点拨:在复数范围内,实系数一元二 次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求解的两种 方法:求根公式法,当 Δ≥0时,可得 x= -b± b2-4ac 2a ,当 Δ <0 时,可 得 x= -b± -(b2-4ac)i 2a ;利 用 复 数 相 等 的 定 义,设方程的根为x=m+ni(m,n∈R),将 此根代入方程ax2+bx+c=0(a≠0),化简 后利用复数相等的定义求解。 设复数ω=- 1 2+ 3 2i ,则ω2025= 。 提示:因为ω=- 1 2+ 3 2i ,所以ω2= - 1 2+ 3 2i 2 = 1 4- 3 2i+ 3 2i 2 =- 1 2- 3 2i ,所以ω3=ω2·ω= - 1 2- 3 2i · -12+ 3 2i =1,ω4=ω3·ω=ω,所以周期为3,所以 ω2025=ω3×675= ω3 675=1。 作者单位:深圳市翠园中学 (责任编辑 王琼霞) 91 知识结构与拓展 高一数学 2025年7—8月