例析复数与三角的交汇题型&基本不等式求最值的常见题型归纳总结-《中学生数理化》高一数学2025年7～8月刊

■黄晓燕 一、利用复数的三角和代数形式确定复 数对应点的轨迹 例1 (多选题)eix=cosx+isinx 被称 为欧拉公式(e为自然对数的底数,i为虚 数单位)。依据欧拉公式,下列结论中正确的 是( )。 A.复数e iπ2为纯虚数 B.复数ei3 对应的点位于第二象限 C.复数e iπ3的共轭复数为 3 2- 1 2i D.复数eiθ(θ∈[0,π])在复平面内对应 点的轨迹是半圆 解:对于A,由e iπ2=cos π 2+isin π 2=i , 可知e iπ2 为纯虚数,A正确。对于B,由ei3= cos3+isin3, π 2<3<π ,可得cos3<0,sin3 >0,可知复数ei3 对应的点位于第二象限,B 正确。对于C,e iπ3=cos π 3+isin π 3= 1 2+ 3 2i ,其共轭复数为1 2- 3 2i ,C错误。对于 D,由eiθ=cosθ+isinθ 得|eiθ|=|cosθ+ isinθ|=1,复数eiθ(θ∈[0,π])在复平面内对 应点的轨迹是半径为1的半圆,D正确。应 选ABD。 二、利用复数的几何意义探究面积的最值 例2 已 知 函 数 f(x)=asin2x+ cos2x,且f(x)≤ f - π 6 。 (1)求函数f(x)的解析式。 (2)O 为坐标原点,复数z1=-2-4i, z2=-2+f(t)i在复平面内对应的点分别为 A,B,求△OAB 的面积S△OAB 的取值范围。 解:(1)因为f(x)≤ f - π 6 ,所以当 x=- π 6 时函数 f(x)取得最大值。易得 f(x)=asin2x+cos2x= a2+1sin(2x+ φ)≤ a2+1,其中φ由tanφ= 1 a (a≠0)确 定,所 以 f - π 6 2 = a2 + 1,所 以 asin2 - π 6 +cos2 -π6 2 =a2+1,即 - 3 2a+ 1 2 2 =a2+1,所以(a+ 3)2=0, 所以a=- 3。故函数f(x)=- 3sin2x +cos2x=-2sin2x- π 6 。 (2)由 (1)得 函 数 f (x)= -2sin2x- π 6 。由复数 的 几 何 意 义 知 点 A(-2,-4),B(-2,f(t)),所以 S△OAB = 1 2×2×AB=AB=f (t)+4=-2sin 2t- π 6 +4。当2t-π6=2kπ-π2,k∈Z,即t= kπ- π 6 ,k∈Z时,S△OAB 有最大值6;当2t- π 6=2kπ+ π 2 ,k∈Z,即t=kπ+ π 3 ,k∈Z时, S△OAB 有最小值2。故S△OAB∈[2,6]。 三、利用复数相等,推导三角公式 例3 我们运用欧拉公式,可以推导出 倍角公式,如cos2x+isin2x=ei·2x=(eix)2 =(cosx+isinx)2=cos2x-sin2x+i· 2sinxcosx。类比此方法,可以得到sin3x= ,cos3x= 。(用含有sinx,cosx 的 式子表示) 解:由题意知cos3x+isin3x=ei·3x= (eix)3=(cosx+isinx)3。由多项式和复数的 运算得(cosx+isinx)3=(cosx+isinx)2· (cosx+isinx)= (cos2x-sin2x+i· 2sinxcosx)(cosx+isinx)=cos3x- 3cos2xsinx+i(3cos2xsinx-sin3x)。 根据复数相等的条件得cos3x=cos3x -3cos2xsinx,sin3x=3cos2xsinx-sin3x。 作者单位:江苏省泰州市姜堰区罗塘高级中学 (责任编辑 王琼霞) 51 知识结构与拓展 高一数学 2025年7—8月 ■刘 萌 题型一:直接利用基本不等式求积或和 的最值 例1 若a>0,b>0,则下列不等式中不 成立的是( )。 A.a2+b2≥2ab B.a+b≥2 ab C.a2+b2≥ 1 2 (a+b)2 D. 1 a+ 1 b< 1 a-b (a≠b) 解:利用不等式的性质进行分析与判断。 因为(a-b)2≥0,所以a2+b2≥2ab,A正确。 因为a>0,b>0,所以a+b≥2 ab,B正 确。因为a2+b2- 1 2 (a+b)2= 1 2a 2+ 1 2b 2 -ab= 1 2 (a-b)2≥0,所以a2+b2≥ 1 2 (a+ b)2,C正确。不妨令a=2,b=1,则 1 a+ 1 b= 3 2> 1 a-b=1 (a≠b),D错误。应选D。 点评:若a,b∈R,则a2+b2≥2ab,当且 仅当a=b 时取等号。若a,b∈R+,则 a+b 2 ≥ ab(或a+b≥2 ab),当且仅当a=b时 取等号。a+b≥2 ab常用于求和的最小 值,ab≤ a+b2 2 常用于求积的最大值。 题型二:对钩型结构配凑积为定值求最值 例2 已知x>3,则y= 2 x-3+2x 的最 小值是( )。 A.6 B.8 C.10 D.12 解:凑积为定值,利用基本不等式求和的 最小值。由x-3>0,可得y= 2 x-3+2 (x- 3)+6≥2 2 x-3 ·2(x-3)+6=10,当且仅 当x=4时等号成立,所以其最小值为10。 应选C。 点评:分式类函数求最值,变形配凑成对 钩型结构t+ 1 t 或at+ b t ,依据变量的范围可 求最小值或最大值。 题型三:二元变量满足和与积的等式,利 用基本不等式求最值 例3 已知正数x,y 满足x2+9y2+ 3xy=3,则x+3y 的最大值为( )。 A.1 B.3 C.2 D.5 解:利用已知条件和基本不等式求最大 值。由题意得x2+9y2+3xy=(x+3y)2- 3xy=3≥(x+3y)2- (x+3y)2 4 ,所以(x+ 3y)2≤4,所以x+3y≤2,当且仅当x=3y= 1时等号成立。所以x+3y 的最大值为2。 应选C。 点评:形 如(mx+ny)+pxy=t,求 mx+ny 的最值,可对“pxy”部分使用均值 不等式,再解不等式求最值。 题型四:换元法构造整式和为定值,结合 “1的代换”求最值 例4 已知x>0,y>0,且 1 2x+1+ 1 y+1 =1,则x+y 的最小值为 。 解:令a=2x+1,b=y+1。因为x>0, y>0,所以a>1,b>1,所以x= a-1 2 ,y= b-1,所以 1 a+ 1 b=1 。因为x+y= a-1 2 + b-1= a 2+b- 3 2= a 2+b 1a+1b - 3 2= 1 2 +1+ b a + a 2b- 3 2 = b a + a 2b≥ 2 b a ·a 2b= 2 ,当 且 仅 当 b a= a 2b , 1 a+ 1 b=1 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 即 61 知识结构与拓展 高一数学 2025年7—8月 b= 2+ 2 2 ,a= 2+1,也即x=y= 2 2 时取 等号,所以x+y 的最小值为 2。 点评:形如 p ax+m+ q by+n =1,求cx+ dy 的最值,可通过换元分母,利用“1的代 换”求最值。 题型五:双变量型求最值,常用“消元法” 例5 若正实数x,y 满足x+2y+xy= 7,则x+y 的最小值为( )。 A.6 B.5 C.4 D.3 解:因 为 x+2y+xy=7,所 以 y= 7-x x+2 ,所以x+y=x+ 7-x x+2= 9 x+2+x- 1= 9 x+2+x+2-3 。 因为x>0,所以x+2>0,所以 9 x+2+ x+2-3≥2 9 x+2 ·(x+2)-3=6-3= 3,当且仅当 9 x+2=x+2 ,即x=1,y=2时 等号成立,所以 x+y 的最小值为3。应 选D。 点评:双变量型求最值,可通过反解代入 消元,转化为单变量型求最值。 题型六:因式分解“双换元”求最值 例6 已知0<a<1,0<b<1,且4(a+ b)=4ab+3,则a+2b的最大值为( )。 A.2 B.22 C.3- 2 D.3-22 解:因为4a+b =4ab+3,所以4ab- 4a-4b+3=0,配凑得4ab-4a-4b+4=1, 两边同除以4得ab-a-b+1= 1 4 ,即(1- a)(1-b)= 1 4 。 令x=1-a>0,y=1-b>0,则a=1- x,b=1-y,y= 1 4x 。 所以a+2b=1-x+2(1-y)=-x- 2y+3=-x- 1 2x+3=- x+ 1 2x +3≤ -2 x· 1 2x+3=3- 2 ,当且仅当x= 1 2x , 即x= 2 2 时等号成立,所以a+2b的最大值 为3- 2。应选C。 点评:当条件(或结论)可以因式分解时, 通过分解后利用“双换元”转化求最值。 题型七:配方法构建不等式求最值 例7 已知a,b∈(0,+∞),且a2+ 3ab+4b2=7,则a+2b的最大值为( )。 A.2 B.3 C.22 D.32 解:由题意知7=(a+2b)2-ab=(a+ 2b)2- 1 2a ·2b≥(a+2b)2- 1 2 a+2b 2 2 = 7(a+2b)2 8 ,所以(a+2b)2≤8,当且仅当a= 2b= 2时等号成立。因为a,b∈(0,+∞), 所以0<a+2b≤22,当且仅当a=2b= 2 时等号成立,所以a+2b 的最大值为2 2。 应选C。 点评:二元变量满足条件“a2+mab+ nb2=p”,求形如“ca+db”的最值,可利用配 方法,构建不等式求最值。 题型八:万能的判别式法求最值 例8 已知实数 x,y 满足x2+xy+ 3y2=3,则x+y 的最大值为( )。 A. 3 11 11 B. 6 11 11 C. 3+1 3 D. 3+3 3 解:令t=x+y,则x=t-y。方程x2+ xy+3y2=3可转化为(t-y)2+(t-y)y+ 3y2-3=0,整理得3y2-ty+t2-3=0,则满 足Δ=(-t)2-12(t2-3)≥0,解得t2≤ 36 11 , 所以- 6 11 11 ≤t≤ 6 11 11 ,即x+y≤ 6 11 11 , 所以x+y 的最大值为 6 11 11 。应选B。 点评:二元变量满足的齐次式,求二元线 性表示的最值,利用换元代入,借助判别式为 非负数求最值。 作者单位:山东省淄博市张店区第一中学 (责任编辑 王琼霞) 71 知识结构与拓展 高一数学 2025年7—8月