利用极化恒等式 妙解向量的数量积问题-《中学生数理化》高一数学2025年7～8月刊

■何美干 设a,b是平面内的两个向量,则a·b= 1 4 [(a+b)2 -(a-b)2],这就叫向量的极化 恒等式,其实它是向量的数量积运算的变形 式。下面举例说明极化恒等式的应用。 一、定值问题 例1 如图1,在△ABC 中,D 是BC 的 中点,E,F 是AD 上的两个三等分点,BA→· CA→=4,BF→·CF→=-1,则 BE→·CE→ 的值 是( )。 图1 A.4 B.8 C. 7 8 D. 3 4 解:由 D 是BC 的中点,E,F 是AD 上 的两个三等分点,可得 BA→·CA→=AB→· AC→=14[(AB →+AC→)2-(AB→-AC→)2]= 1 4 (4AD→ 2 -BC→ 2 )=9FD→ 2 -BD→ 2 =4。同理可 得BF→·CF→=14(4FD →2-BC→ 2 )=FD→ 2 - BD→ 2 =-1。据上解得FD→ 2 = 5 8 ,BD→ 2 = 13 8 。 故BE→·CE→=EB→·EC→=14(4ED →2- BC→ 2 )=4FD→ 2 -BD→ 2 =4× 5 8- 13 8= 7 8 。应 选C。 点评:在△ABD 中,以 AB,AD 为一组 邻边构造平行四边形ABCD,设 M 为对角线 AC 与BD 的交点,则 AB→·AD→=AM→ 2 - BM→ 2 。该等式即是极化恒等式在△ABD 中 的体现,也是常用的极化恒等式的几何模型。 二、范围问题 例2 如图2,在锐角△ABC 中,已知 ∠B=60°,AB→-AC→ =2,则 AB→·AC→ 的 取值范围是( )。 图2 A.(0,12) B.(1,13) C.(0,13) D.(1,12) 解: 由|AB→-AC→|=2,可得|CB→|= |BC→|=2,即|BC|=2。取BC 的中点M,则 AB→·AC→=AM→ 2 -BM→ 2 =AM→ 2 -1。AM→ 的 长度变化的极限位置是△ABC 为直角三角 形时的状态,而△ABC 成为直角三角形有两 种情况,即∠C 为直角和∠A 为直角。 下面分两种情况进行分析:过点 C 作 CA1⊥AB,交 AB 于点A1,垂足为 A1,此时 ∠BA1C=90°,|A1M|=1;过点C 作CA2⊥ BC,交BA 的延长线于点A2,垂足为C,此时 ∠BCA2=90°,|A2M|= |A2C|2+|MC|2 = (23)2+1= 13。故AM→ 2 ∈(1,13),所 以AB→·AC→ 的取值范围是(0,12)。应选A。 点评:解答本题的关键是利用向量的极 化恒等式,找到所求问题中极限状态或特殊 位置求解。 31 知识结构与拓展 高一数学 2025年7—8月 三、最值问题 例3 如图3,已知△ABC 是边长为 2 的等边三角形,P 为平面ABC 内一点, 则 PA→·(PB→+PC→)的最小值是( )。 图3 A.-2 B.- 3 2 C.- 4 3 D.-1 解:设BC 的中点为O(图略),则PA→· PB→+PC→ =PA→·2PO→。取 AO 的中点为 D(图 略),则 PA→·(PB→+PC→)=PA→· 2PO→=2PA→·PO→=2|PD→|2-14|AO →|2 ≥ - 1 2|AO →|2=-32,即PA →·(PB→+PC→)的最 小值是- 3 2 。应选B。 点评: 解题时,利用向量数量积的转化, 构造极化恒等式的三角形模型求出最值。 四、参数问题 例4 如图4,正方形ABCD 的边长为 4,点E,F 分别为AD,BC 的中点,如果对于 常数λ,在正方形ABCD 的四条边上,有且只 有8个不同的点P,使得PE→·PF→=λ成立, 那么λ的取值范围是( )。 图4 A.(0,2] B.(0,2) C.(0,4] D.(0,4) 解:设EF 的中点为O。 根 据 极 化 恒 等 式 可 得,PE→ ·PF→ = PO→ 2 -EO→ 2 =PO→ 2 -4=λ,即PO→ 2 =λ+4,所 以|PO→|= λ+4。由对称性可知,每个边上 存在两个点P,所以点P 在边的中点和顶点 之间,所以2< λ+4<22,解得0<λ<4。 应选D。 点评:具有三角与几何背景的问题,利用 向量的极化恒等式求解尤为简单,这也体现 了向量的几何属性。 如图5,在△ABC 中,D 是BC 边的中 点,E,F 是线段AD 上的两个三等分点,若 BA→·CA→=7,BE→·CE→=2,则BF→·CF→= ( )。 图5 A.-2 B.-1 C.1 D.2 提示:因为 D 是BC 边的中点,E,F 是 线段AD 上的两个三 等 分 点,所 以 BA→· CA→= (DA→ - DB→)· (DA→ - DC→)= 1 2BC →-AD→ · -12BC→-AD→ = 4AD→ 2 -BC→ 2 4 = 36FD→ 2 -BC→ 2 4 =7 ,BE→·CE→= (DE→ - DB→ ) · (DE→ - DC→ ) = 1 2BC →-23AD → · -12BC→-23AD→ = 4 9AD →2-14BC →2=16FD →2-BC→ 2 4 =2 。据上解 得FD→ 2 =1,BC→ 2 =8。故BF→·CF→=(DF→- DB→)· (DF→ - DC→)= 12BC →-FD→ · - 1 2BC →-FD→ =4FD →2-BC→ 2 4 = 4×1-8 4 = -1。应选B。 作者单位:江苏省盐城市学富实验学校 (责任编辑 王琼霞) 41 知识结构与拓展 高一数学 2025年7—8月