初等函数的复合函数的性质探究及应用-《中学生数理化》高一数学2025年7～8月刊

■瞿红梅 复合函数是指由两个或两个以上的基本 初等函数组合而成一个新的函数。复合函数 的形式为y=f[g(x)],令t=g(x),则y= f[g(x)]可转化为y=f(t),t=g(x),其中 t叫作中间变量,g(x)叫作内层函数,y= f(t)叫作外层函数,且内层函数的值域为外 层函数的定义域。 题型一:幂函数的复合函数 例1 已知函数f(x)=x0.5+x-0.5,若 f(a)=3,则f(a2)+f(a4)= ;若关于x 的不等式mf(x2)-f(x4)-11≤0在区间 1 2 ,3 上有 解,则 实 数 m 的 取 值 范 围 是 。 解:由题设得f(a)= a+ 1 a =3,所以 a+ 1 a=7 。故f(a2)+f(a4)=a+ 1 a+a 2+ 1 a2 =a+ 1 a+ a+ 1 a 2 -2=7+49-2=54。 由 mf(x2)-f(x4)-11≤0,可 得 m x+ 1 x - x2+1x2 -11≤0。 设x+ 1 x=t 。由x∈ 12 ,3 ,函数y= x+ 1 x 在 1 2 ,1 上单调递减,在(1,3]上单调 递增,可 得t∈ 2, 10 3 。因 为 x2+ 1x2 = x+ 1 x 2 -2=t2-2,所以原不等式可转化 为mt-t2-9≤0,即m≤t+ 9 t ,t∈ 2, 10 3 。 因为函数y=g(t)=t+ 9 t 在[2,3)上单 调递减,在 3, 10 3 上单调递增,所以g(t)max =maxg(2),g 10 3 =max132,18130 =132, 所以m≤ 13 2 ,即实数m∈ -∞, 13 2 。 体验:本题主要考查幂函数的复合函数 的单调性的应用。 题型二:指数函数的复合函数 例2 (多选题)已知函数f(x)=2 x2+1 |x| , 则下列命题中正确的是( )。 A.函数f(x)的图像关于y 轴对称 B.函数f(x)的递增区间为(-1,0)和 (1,+∞) C.函数f(x)在(0,+∞)上有最小值, 且最小值为2 D.函数f(x)的值域是[4,+∞) 解:由题设知f(x)的定义域为{x|x≠ 0},即关于原点对称。因为f(-x)=2 (-x)2+1 |-x| =2 x2+1 |x| =f(x),所以f(x)为偶函数,其图像 关于y 轴对称,A正确。令t=g(x)= x2+1 |x| = x+ 1 x ,x>0, - x+ 1 x ,x<0。 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 当 x>0时,g(x)= x+ 1 x≥2 x ·1 x =2 ,当且仅当x= 1 x ,即 x=1时取等号,此时取得最小值2,可知当 x>1时,g(x)为增函数,当0<x<1时, g(x)为 减 函 数;当 x <0 时,g (x)= - x+ 1 x ≥2 (-x)· -1x =2,当 且 仅当-x=- 1 x ,即x=-1时取等号,此时 取得最小值2,可知当x<-1时,g(x)为减 函数,当-1<x<0时,g(x)为增函数。函 数y=2t 为增函数,由复合函数的单调性可 知,f(x)的递增区间为(-1,0)和(1,+∞), B正确。由函数的单调性,结合偶函数可知, 函数f(x)在(0,+∞)上有最小值,且最小值 为f(1)=22=4,C错误。因为g(x)≥2,所 以函数f(x)的值域是[4,+∞),D正确。应 11 知识结构与拓展 高一数学 2025年7—8月 选ABD。 体验:求指数函数的复合函数的最值,要 注意其奇偶性和单调性。 题型三:对数函数的复合函数 例3 已知函数f(x)=lg(x2-ax+ a+2)。 (1)若f(x)为偶函数,求f(72)的值。 (2)若f(x)的值域为R,求a的取值范围。 (3)当a=-2时,求f(x)的单调递减 区间。 解:(1)因 为 f(x)为 偶 函 数,所 以 f(-x)=f(x),所以lg(x2+ax+a+2)= lg(x2-ax+a+2),所以2ax=0恒成立,所 以a=0,所以函数f(x)=lg(x2+2),可得 f(72)=lg100=2。 (2)因为f(x)的值域为 R,所以x2- ax+a+2可取遍所有的正数,所以Δ=a2- 4(a+2)≥0,所以a∈(-∞,2-2 3]∪ [2+23,+∞)。 (3)当a=-2时,f(x)=lg(x2+2x)。 函数y=x2+2x 在(-∞,-1]上单调递减, 在[-1,+∞)上单调递增,由x2+2x>0,可 得x∈(-∞,-2)∪(0,+∞)。由y=lgu 在(0,+∞)上单调递增,结合复合函数的单 调性知f(x)的单调递减区间为(-∞,-2)。 体验:判断对数函数的复合函数的奇偶 性,只需验证是否满足f(-x)±f(x)=0; 对数函数的值域为 R,转化为开口向上的二 次函数与x 轴恒有交点问题,借助Δ≥0求 解;对数函数的复合函数的单调性,结合“同 增异减”的法则求单调区间。 题型四:对数与指数构成的复合函数 例4 已知函数f(x)=ln(ae2x-2ex+1) -x 是定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的偶 函数。 (1)求实数a的值。 (2)问是否存在正数 m,n,使得当x∈ [m,n]时,函数f(x)的值域为[2m,2n]。若 存在这样的正数m,n,请求出 m,n 的值;若 不存在,请说明理由。 解:(1)由 题 意 得 函 数 f (x)= ln ae2x-2ex+1 ex =lnaex+ 1 ex -2 。 因为f(x)为偶函数,所以f(-x)= f(x),即ln a ex +ex-2 =lnaex+1ex-2 , 所以 a ex +ex-2=aex+ 1 ex -2,整理得(a-1)· ex- 1 ex =0。又x≠0,所以a=1。 (2)结 合 a =1 得 函 数 f (x)= lnex+ 1 ex -2 。令函数g(x)=ex+1ex-2。 设 x2>x1 >0,则 g (x2)-g (x1)= ex2+ 1 ex2 -2 - ex1+1ex1-2 = (ex2-ex1)(ex1 +x2-1) ex1ex2 。因为x2>x1>0,所 以ex2>ex1,ex2ex1>0,ex1 +x2>1,所以g(x2) -g(x1)>0,即g(x2)>g(x1),所以函数 g(x)在区间(0,+∞)上单调递增。 由对数函数的复合函数的单调性可知, 函数f(x)在区间(0,+∞)上单调递增。 假设存在正数m,n,使得当x∈[m,n] 时,函数f(x)的值域为[2m,2n],因此需满 足 f(m)=lnem+ 1 em -2 =2m, f(n)=lnen+ 1 en -2 =2n, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 由 此 可 得 方程lnex+ 1 ex -2 =2x=lne2x 有两个不相 等的正实根,整理得(e2x-ex)+ 2- 1 ex =0, 所以ex(ex-1)+ 2ex-1 ex =0。因为x>0,所 以ex-1>0,2ex-1>0,所以方程ex(ex-1) + 2ex-1 ex =0没有两个不相等的正实根,所 以不存在满足题意的正数m,n。 体验:存在性问题,先假设存在,由函数 的单调性转化为方程有两个不相等的正数 根,再借助指数函数的值域和不等式的性质 进行推理与判断。 作者单位:江苏省通州高级中学 (责任编辑 王琼霞) 21 知识结构与拓展 高一数学 2025年7—8月