向量在平面几何中的应用-《中学生数理化》高一数学2025年7～8月刊

■陈先锋1 张 丽2 向量集“数”“形”于一身,既有代数的抽 象性又有几何的直观特征,因此向量是研究 平面几何的有效工具。下面举例说明向量在 平面几何中的应用。 一、利用向量证明平行 例1 如 图 1,设 P,Q 分 别 是 梯 形 ABCD 的对角线AC 与BD 的中点,试用向 量法证明:PQ∥AB。 图1 解:由 P 为 AC 的 中 点,可 得 CA→= 2CP→,由Q 为BD 的中点,可得CB→+CD→= 2CQ→,所以2PQ→=2(CQ→-CP→)=2CQ→-2CP→ =(CB→+CD→)-CA→=AB→+CD→。 由CD→ 与AB→ 共线,不妨设CD→=λAB→, 则2PQ→=AB→+CD→=(1+λ)AB→,所以PQ→= 1+λ 2 AB →。 易知|AB→|≠|CD→|,即 AB≠CD,所以 λ≠-1,所以PQ→∥AB→。因为P,Q,A,B 四 点不共线,所以PQ∥AB。 点评:利用向量共线证明平行时,要说明 涉及的点不在同一条直线上。 二、利用向量证明垂直 例2 如 图2,在 边 长 为1的 正 方 形 ABCD 中,P 为对角线AC 上任一点,PE⊥ AB,PF⊥BC,垂 足 分 别 为 点 E,F,连 接 DP,EF。求证:DP⊥EF。 图2 证明:以A 为坐标原点,AB、AD 所在的直 线分别为x轴、y轴,建立平面直角坐标系Axy (如图2)。已知正方形的边长为1,不妨设 AE=x,则点P(x,x),F(1,x),E(x,0),D(0, 1),所以EF→=(1-x,x),DP→=(x,x-1)。 因为DP→·EF→=(x,x-1)·(1-x,x) =(1-x)x+x(x-1)=0,所以 DP→⊥EF→, 即DP⊥EF。 点评:以AB→,AD→ 为基底表示DP→,EF→, 再求出 DP→,EF→ 的数量积,也可证明 DP⊥ EF,同学们不妨试一试。 三、利用向量求夹角 例3 如图3,在△ABC 中,已知AC= 1,AB=3,∠BAC= π 3 ,且PA→+PB→+PC→= 0,求cos∠APC 的值。 图3 解:以A 为坐标原点,AB 所在的直线为 x 轴,过点A 且垂直于AB 的直线为y 轴,建 立平面直角坐标系Axy(如图3)。由AC= 1,AB=3,∠BAC= π 3 ,可得点 A(0,0), B(3,0),C 1 2 ,3 2 。因为PA→+PB→+PC→= 0,所以P 为△ABC 的重心。 由 三 角 形 的 重 心 坐 标 公 式 得 点 P 7 6 ,3 6 ,所以 PA→= -76,- 36 ,PC→= - 2 3 ,3 3 ,所以cos∠APC=cos<PA→,PC→> = PA→·PC→ |PA→||PC→| = - 7 6× - 2 3 + -36 ×33 49 36+ 3 36× 4 9+ 3 9 6 知识结构与拓展 高一数学 2025年7—8月 = 11 91 182 。 点评:本题主要考查三角形的重心,向量 的数量积及夹角公式的应用。 四、利用向量求长度 例4 如图4,在△ABC 中,已知AB= 4,AC=22,∠BAC= 3π 4 ,D 为边BC 的中 点,且AM→=MD→,则BM 的长为 。 图4 解:因为 AB=4,AC=2 2,∠BAC= 3π 4 ,所以 AB→·AC→=|AB→||AC→|cos3π4= -8。易得BM→=AM→-AB→=12AD →-AB→= 1 4 (AB→+AC→)-AB→=-34AB →+14AC →。 所以|BM→|= -34AB →+14AC → 2 = 9 16AB →2-38AB →·AC→+116AC →2 = 52 2 。 故BM 的长为 52 2 。 点评:解答本题的关键是利用向量的模 长公式求线段的长。 五、利用向量求范围 例5 如图5,在△ABC 中,∠BAC= 2π 3 ,AB=2,AC=1,D 是BC 边上靠近点B 的一个三等分点,E 是BC 边上的动点,则 AE→·CD→ 的取值范围为 。 图5 解:在△ABC 中,由余弦定理得BC2= AB2+AC2-2×AB×AC×cos 2π 3 ,所以 BC2=7,所以BC= 7。设CE→=λCB→,0≤ λ≤1,则 AE→·CD→=(AC→+CE→)·CD→= (AC→+λCB→)·23CB →=23AC →·CB→+23λCB →2 = 2 3AC →·(AB→-AC→)+143λ= 2 3AC →·AB→- 2 3AC →2+143λ= 2 3×1×2×cos 2π 3- 2 3×1+ 14 3λ=- 4 3+ 14λ 3 。又0≤λ≤1,故AE→·CD→ ∈ - 4 3 ,10 3 ,即 AE→·CD→ 的取值范围为 - 4 3 ,10 3 。 点评:把向量的数量积转化为关于变量 λ的函数,再结合函数的性质求出向量数量 积的范围。 如图6,已知E,F,G,H 分别是四边形 ABCD 的边AB,BC,CD,DA 的中点,用向 量法证明:四边形EFGH 是平行四边形。 图6 提示:连接BD。在△BCD 中,G,F 分 别是CD,CB 的中点,所以CG→=12CD →,CF→ = 1 2CB →,所 以 GF→=CF→-CG→=12CB →- 1 2CD →=12DB →。同理可得,HE→=12DB →,所 以GF→=HE→。 又因为G,F,H,E 四点不在同一条直 线上,所以GF∥HE,且GF=HE。故四边 形EFGH 是平行四边形。 作者单位:1.河南省光山一高 2.河南省光山一中 (责任编辑 王琼霞) 7 知识结构与拓展 高一数学 2025年7—8月