解三角形中“算两次”的探究视角-《中学生数理化》高一数学2025年7～8月刊

减”得函数f(x)=sin2x-sinx+1在区间 0, π 6 , π2,5π6 上 单 调 递 减,在 区 间 π 6 ,π 2 ,5π6,π 上单调递增。 评注:本题主要考查与三角函数有关的 复合函数的单调性,其中三角不等式的求解 是解题的关键。 例4 求函数y= 1 2 |x-1| 的单调区间。 解:函数y= 1 2 |x-1| 的定义域为 R,它 是由外层函数f(u)= 1 2 u 和内层函数u= |x-1|复合而成的。 内层函数u=|x-1|,在x∈(-∞,1) 上单调递减,在x∈[1,+∞)上单调递增;外 层函数f(u)= 1 2 u 在u∈R上单调递减。 由“同增异减”得函数f(x)= 1 2 |x-1| 在区 间(-∞,1)上单调递增,在区间[1,+∞)上 单调递减。 评注:含绝对值的函数求单调区间时,通 常是通过讨论去掉绝对值再求解。 作者单位:河南省光山县第二高级中学 (责任编辑 王琼霞) ■徐春生 “算两次”就是从两个不同的角度或用两 种不同的方法、途径表示同一数学对象,根据 结果的唯一性,得到方程的方法,也叫作“富 比尼”原理。对于存在特定关系的边、角或面 积等问题,通过“算两次”的方法得到等量关 系,从而可使问题得到圆满解决。 探究一:“边”算两次 例1 如 图 1,在 四 边 形 ABCD 中, AB=1,AD=4,BC=CD=2,则 四 边 形 ABCD 的面积的最大值为( )。 图1 A. 57 4 B. 57 8 C.42 D.22 解:连 接 BD。在 △ABD 中,可 得 BD2=12+42-2×1×4×cosA=17- 8cosA,在△CBD 中,可得 BD2=22+22- 2×2×2×cosC=8-8cosC,所以17- 8cosA=8-8cosC,即cosA-cosC= 9 8 。 ① 由四边形 ABCD 的面积S=S△ABD + S△CBD= 1 2×1×4×sinA+ 1 2×2×2×sinC =2sinA+2sinC,可得sinA+sinC= S 2 。 ② 对①②平方相加得2-2cos(A+C)= S2 4+ 81 64 ,所以S2= 47 16-8cos (A+C)≤ 47 16+ 8= 175 16 ,当且仅当cos(A+C)=-1,即A+ C=π时等号成立,此时四边形ABCD 为圆 内接四边形,所以四边形ABCD 的面积S 的 最大值为 175 16= 57 4 。应选A。 点评:本题选取两个三角形的公共“边” 为切入口,在不同的三角形中,利用余弦定理 两次表示出边 BD,即在△ABD 中,BD2= 17-8cosA,在△CBD 中,BD2=8-8cosC, 从而为问题的解决找到了突破口。 探究二:“角”算两次 例2 如图2,记△ABC 的内角A,B,C 4 知识结构与拓展 高一数学 2025年7—8月 的对边分别为a,b,c,已知b2=ac,点D 在边 AC 上,BDsin∠ABC=asinC。 图2 (1)证明:BD=b。 (2)若AD=2DC,求cos∠ABC。 解:(1)已知BDsin∠ABC=asinC,由 正弦定理得BD×b=ac。 因为b2=ac,所以BD×b=b2。 又b>0,所以BD=b。 (2)过点D 作DE∥BC 交AB 于点E。 因为AD=2DC,所以 AE EB= AD DC=2 ,所 以 DE BC= 2 3 ,所以BE= c 3 ,DE= 2 3a 。 在△BDE 中,由余弦定理得cos∠BED = BE2+DE2-BD2 2BE×DE = c2 9+ 4a2 9 -b 2 2× c 3× 2a 3 = c2+4a2-9b2 4ac = c2+4a2-9ac 4ac 。 同 理,在 △ABC中,cos∠ABC= AB2+BC2-AC2 2AB×BC = c2+a2-b2 2ac = c2+a2-ac 2ac 。因为∠BED=π -∠ABC,所以cos∠BED=-cos∠ABC, 所以 c2+4a2-9ac 4ac =- c2+a2-ac 2ac ,化简整 理得3c2+6a2-11ac=0,方程两边同除以 a2 得3ca 2 -11× c a+6=0 ,解得c a= 2 3 或 c a=3 。当 c a = 2 3 ,即 c= 2 3a 时,可 得 cos∠ABC= c2+a2-ac 2ac = 4 9a 2+a2- 2 3a 2 4 3a 2 = 7 12 ;当c a=3 ,即c=3a时,可得cos∠ABC = c2+a2-ac 2ac = 9a2+a2-3a2 6a2 = 7 6>1 (不符 合题意,舍去)。 综上所述,cos∠ABC= 7 12 。 点评:本题(2)问选取两个三角形中的两 个“角”,这两个角互为补角,即利用∠BED +∠ABC=π为切入口,通过计算这两个角 的余弦值,从而得到a,b,c的数量关系,再结 合余弦定理即可得到结果。 探究三:“面积”算两次 例3 在△ABC 中,内角 A,B,C 的对 边分别为a,b,c,点 D 为线段AB 的中点, a+b=5,∠ACB=120°,∠ACD=30°,则 a= 。 解:因为∠ACB=120°,∠ACD=30°,所 以∠BCD=90°,所以S△ACD= 1 2×b×CD× sin∠ACD= 1 4×b×CD ,S△BCD= 1 2×a× CD。因为 点 D 为 线 段 AB 的 中 点,所 以 S△ACD=S△BCD,所以 1 4×b×CD= 1 2×a× CD,即b=2a。又a+b=5,所以a= 5 3 。 点评:本题选取两个三角形的“面积”,且 这两个三角形的面积相等,即利用S△ACD= S△BCD 为切入口,通过计算这两个三角形的面 积,从而得到a,b的数量关系,再结合已知条 件即可求得结果。 在△ABC 中,AB=4,AC=7,AD 为边 BC 上的中线,若AD= 7 2 ,则BC= 。 提示:设 BD =x,则 BC =2x。在 △ABD 中,由 余 弦 定 理 得 cos B = AB2+BD2-AD2 2AB×BD = 15+4x2 32x ,在△ABC 中, 由余 弦 定 理 得cosB= AB2+BC2-AC2 2AB×BC = 4x2-33 16x ,所以15+4x 2 32x = 4x2-33 16x ,解得x= 9 2 ,所以BC=2x=9。 作者单位:广东省汕头市澄海凤翔中学 (责任编辑 王琼霞) 5 知识结构与拓展 高一数学 2025年7—8月