例析求复合函数的单调区间-《中学生数理化》高一数学2025年7～8月刊

■代贤旺 已知y 是u的函数,记作y=f(u),u是 x 的函数,记作u=g(x),且g(x)的值域与 f(u)的定义域的交集非空,这样就确定了一 个以 x 为自变量,y 为因变量的函数y= f[g(x)],其中u称作中间变量,y=f(u)是 外层函数,u=g(x)是内层函数。复合函数 本质上就是函数的嵌套,复合函数的单调性 遵循“同增异减”的法则。下面举例说明复合 函数单调区间的求解方法。 例1 已知函数f(x)=x2-4x+3,求 函数f(x2+2x+2)的单调区间。 解:函数f(x2+2x+2)的定义域为 R, 它是由外层函数f(u)=u2-4u+3和内层 函数u=x2+2x+2复合而成的。 因为内层函数在x∈(-∞,-1)上单调 递减,在x∈[-1,+∞)上单调递增,且u= (x+1)2+1≥1,所以外层函数f(u)=u2- 4u+3(u≥1),在u∈[1,2)上单调递减,在 u∈[2,+∞)上单调递增。将中间变量u 的 范围转化为自变量x 的范围:当u∈[1,2) 时,由1≤x2+2x+2<2,解得-2<x<0,即 当x∈(-2,0)时,外层函数单调递减;当 u∈[2,+∞)时,由x2+2x+2≥2,解得x≤ -2或x≥0,即当x∈(-∞,-2]和x∈[0, +∞)时,外层函数单调递增。 由内、外层函数增减区间的分界点分 割定 义 域,结 合“同 增 异 减”得 复 合 函 数 f(x2+2x+2)在区间(-∞,-2],[-1, 0)上 单 调 递 减,在 区 间(-2,-1),[0, +∞)上单调递增。 评注:求复合函数的单调区间,需将外层 函数的单调区间u的范围转化为自变量x 的 范围。 例2 求函数f(x)=4x-2x+1+3的单 调区间。 解:函数f(x)=4x-2x+1+3=(2x)2- 2×2x+3的定义域为 R,它是由外层函数 f(u)=u2-2u+3和内层函数u=2x 复合而 成的。 内层函数u=2x 在 R 上单调递增,且 u>0;外层函数f(u)在u∈(0,1)上单调递 减,在u∈[1,+∞)上单调递增。由u=2x, u∈(0,1),即0<2x<1,解得x<0;由u∈ [1,+∞),即2x≥1,解得x≥0。所以当x∈ (-∞,0)时,外层函数单调递减,当x∈[0, +∞)时,外层函数单调递增。 由内、外层函数增减区间的分界点分割 定义域得函数f(x)=4x-2x+1+3在区间 (-∞,0)上单调递减,在区间[0,+∞)上单 调递增。 评注:通过分析内、外层函数的单调性, 结合内层函数的值域与外层函数的定义域的 关系求得复合函数的单调区间。 例3 求函数f(x)=sin2x-sinx+1, x∈(0,π)的单调区间。 解:函数f(x)=sin2x-sinx+1的定义 域为(0,π),它是由外层函数y=u2-u+1 和内层函数u=sinx 复合而成的。 内层函数u=sinx 在x∈ 0, π 2 上单调 递增,在x∈ π2 ,π 上单调递减。 当x∈(0,π)时,0<sinx≤1,即u∈(0, 1],外 层 函 数 f(u)=u2-u+1在 u∈ 0, 1 2 上为减函数,在u∈ 12,1 上为增函 数。在区间(0,π)上,由0<sinx< 1 2 ,解得 0<x< π 6 或 5π 6<x<π ;由1≥sinx≥ 1 2 ,解得 π 6≤x≤ 5π 6 。所以外层函数在x∈ 0, π 6 和 x∈ 5π6 ,π 上单调递减,在x∈ π6,5π6 上单 调递增。 由内、外层函数的单调性结合“同增异 3 知识结构与拓展 高一数学 2025年7—8月 减”得函数f(x)=sin2x-sinx+1在区间 0, π 6 , π2,5π6 上 单 调 递 减,在 区 间 π 6 ,π 2 ,5π6,π 上单调递增。 评注:本题主要考查与三角函数有关的 复合函数的单调性,其中三角不等式的求解 是解题的关键。 例4 求函数y= 1 2 |x-1| 的单调区间。 解:函数y= 1 2 |x-1| 的定义域为 R,它 是由外层函数f(u)= 1 2 u 和内层函数u= |x-1|复合而成的。 内层函数u=|x-1|,在x∈(-∞,1) 上单调递减,在x∈[1,+∞)上单调递增;外 层函数f(u)= 1 2 u 在u∈R上单调递减。 由“同增异减”得函数f(x)= 1 2 |x-1| 在区 间(-∞,1)上单调递增,在区间[1,+∞)上 单调递减。 评注:含绝对值的函数求单调区间时,通 常是通过讨论去掉绝对值再求解。 作者单位:河南省光山县第二高级中学 (责任编辑 王琼霞) ■徐春生 “算两次”就是从两个不同的角度或用两 种不同的方法、途径表示同一数学对象,根据 结果的唯一性,得到方程的方法,也叫作“富 比尼”原理。对于存在特定关系的边、角或面 积等问题,通过“算两次”的方法得到等量关 系,从而可使问题得到圆满解决。 探究一:“边”算两次 例1 如 图 1,在 四 边 形 ABCD 中, AB=1,AD=4,BC=CD=2,则 四 边 形 ABCD 的面积的最大值为( )。 图1 A. 57 4 B. 57 8 C.42 D.22 解:连 接 BD。在 △ABD 中,可 得 BD2=12+42-2×1×4×cosA=17- 8cosA,在△CBD 中,可得 BD2=22+22- 2×2×2×cosC=8-8cosC,所以17- 8cosA=8-8cosC,即cosA-cosC= 9 8 。 ① 由四边形 ABCD 的面积S=S△ABD + S△CBD= 1 2×1×4×sinA+ 1 2×2×2×sinC =2sinA+2sinC,可得sinA+sinC= S 2 。 ② 对①②平方相加得2-2cos(A+C)= S2 4+ 81 64 ,所以S2= 47 16-8cos (A+C)≤ 47 16+ 8= 175 16 ,当且仅当cos(A+C)=-1,即A+ C=π时等号成立,此时四边形ABCD 为圆 内接四边形,所以四边形ABCD 的面积S 的 最大值为 175 16= 57 4 。应选A。 点评:本题选取两个三角形的公共“边” 为切入口,在不同的三角形中,利用余弦定理 两次表示出边 BD,即在△ABD 中,BD2= 17-8cosA,在△CBD 中,BD2=8-8cosC, 从而为问题的解决找到了突破口。 探究二:“角”算两次 例2 如图2,记△ABC 的内角A,B,C 4 知识结构与拓展 高一数学 2025年7—8月