1.3探索三角形全等的条件（题型专练）数学鲁教版五四制2024七年级上册

1.3 探索三角形全等的条件 题型一 用SSS证明三角形全等 1．（24-25七年级下·山东菏泽·期末）用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出的依据是（ ） A．（） B．（） C．（） D．（） 2．（24-25七年级下·河北保定·期末）如图是油纸伞的张开示意图，，则的判定依据是（ ）      A． B． C． D． 3．（2025·北京·模拟预测）如图，已知，求作：，使． 作法：（1）以点为圆心，任意长为半径作，分别交，于点，，连接； （2）以为圆心，的长为半径作弧，交于点，连接，； （3）作射线，即为所求作的角．下列结论正确的是（ ） A．的依据是两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等 B． C． D．是等腰三角形 4．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，D是上一点，，，．求证：． 题型二 用SSS间接证明三角形全等 1．（24-25八年级下·广东阳江·期中）如图， 在中， ， 分别以点为圆心，长为半径作弧，两弧相交于点，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·山东菏泽·阶段练习）如图1是一乐谱架，利用立杆可进行高度调节，图2是底座部分的平面图，其中支撑杆，点E，F分别为，中点，，是连接立杆和支撑杆的支架，且．立杆在伸缩过程中，总有，其判定依据是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·云南昆明·期中）如图，，，．求证：． 4．（24-25八年级上·湖南永州·期中）如图，、、、在一条直线上，与交于点，，，，求证：． 题型三 全等的性质和SSS综合 1．（2025·青海·中考真题）工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，是一个任意角，在边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点，重合，即，过角尺顶点的射线便是的平分线，这种做法的依据是（ ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·河南新乡·期中）如图，在中，，，，则 ． 3．（24-25七年级下·河北张家口·期末）如图，仪器可以用来平分一个角，，将仪器上的点与的顶点R重合，调整与，使它们落在角的两边上，沿画一条射线，就是的平分线，你认为合理吗？为什么？      4．（24-25七年级下·黑龙江大庆·期中）如图所示，，与交于点O．试说明：． 题型四 三角形的稳定性 1．（24-25七年级下·山西运城·期末）下列物品中，主要利用三角形稳定性设计的是（    ） A．伸缩式雨棚 B．可折叠的购物车 C．照相机的三脚 D．校门口的自动伸缩门 2．（24-25七年级下·山西晋中·期末）如图是跪姿射击的一种情形，由右脚尖、右膝和左脚构成的三角形支撑面，可以使射击者在射击过程中保持稳定，其中蕴含的数学知识是（    ） A．三角形的任意两边之和大于第三边 B．三角形具有稳定性 C．三角形三个内角的和等于 D．三角形的三条中线交于一点 3．（24-25七年级下·吉林长春·期中）下列生活实物中，没有应用到三角形的稳定性的是（　　） A．三脚架 B．篮球架 C．活动衣架 D．太阳能热水器 4．（24-25八年级上·福建厦门·期中）下列生活实物图形中，不是运用三角形的稳定性的是（   ） A． B． C． D． 题型五 用ASA(AAS)证明三角形全等 1．为测量校园内的旗杆的高度，嘉嘉设计的方案是：如图，在距旗杆底端A水平距离为的处，使用测角仪测得，由于角不方便计算，淇淇提出了一种解决问题的方案：在的延长线上取一点，将一根木棒竖直立在地面上的点处，，此时测得，故淇淇得出结论，进而推得，则下列选项中淇淇证明全等用到的依据可能是（   ） A． B． C． D． 2．小明不小心把一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有1、2、3、4的四块），为了能配一块与原来完全一样的三角形，小明应该带（    ）去玻璃商店． A．第1块 B．第2块 C．第3块 D．第4块 3．如图，已知：，，，求证：． 4．小明带著工具（卷尺、测角仪、标杆、红绳等）到堤岸边进行实践活动．他站立在路灯处发现路灯恰好在他的正对面小明想知道之间有多远于是他沿着堤岸行走到处插好标杆后往前走相同的距离到处然后向右直行当看到路灯与标杆在一条直线上时停下来此时他位于处．那么两点间距离就是路灯之间的距离． (1)请解释其中的道理； (2)假设小明所在的岸边都是视野开阔的平地请利用小明带来的工具设计另外一种测量方案（画出相应的示意图并说明理由）． 题型六 全等的性质和ASA（AAS）综合 1．如图，野生动物检测员在野外 点处，正对他的点有一只羚羊．他想知道这只羚羊距离他有多远，他沿着直线一直走，到一块大石头旁，所走直线．接着再往前走相同的距离，到达点．然后他左转后直行，当能看到大石头与羚羊在同一条直线上时停下来，此时他位于点，测出 的长就等于的长．请你说明其中的道理． 2．如图，，，．求证：． 3．小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．已知妈妈与爸爸到的水平距离，分别为1.3和1.8，，爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面的高度是（   ） A．1 B．1.3 C．1.5 D．1.8 4．如图，已知长方形纸片，点在边上，将沿折叠，点落在点处，分别交于点，且． (1)求证：； (2)求证：； (3)求的长． 题型七 用SAS证明三角形全等 1．如图，和相交于点O，，若用“”证明，则还需添加（ ） A． B． C． D． 2．如图，已知，小明利用如图所示的作图痕迹作出，由此他说，请你说明小明作图的根据是（   ） A． B． C． D． 3．如图，已知， 点， ， ， 在一条直线上， ， ，． (1)试说明∶ ； (2)若， ， 求的长． 4．如图，交于点E，，．求证：． 题型八 全等的性质和SAS综合 1．如图是某物馆中的铺首纹青釉点彩盘口壶，其示意图如图所示，为了测量其底部内径，考古学家将两根细木条的中点固定在一起，量出，两点之间的距离，即可得到的长度，其依据是（   ） A．三边分别相等的两个三角形全等 B．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 C．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 D．两角分别相等且其中一组等角的对边分别相等的两个三角形全等 2．小明同学做了一只如图所示的风筝，其中将上述条件标注在图中，小明不用测量就知道，他的依据是： ． 3．数学小组想测量湖心岛上鸟类栖息点P和它正对的湖边观测点A之间的距离，但无法直接到达点P，同学们在湖边观察后想到了一个方案，请你帮忙画出几何图形并进行证明． 方案设计：从点A向正东方向出发，沿湖边走到点O处、插一根旗杆，接着再按相同的方向继续走相同的距离到点B处，作好标记．然后向正南方向直行到点C，当点C，O，P在一条直线上时停下来，那么BC之间的距离就是鸟类栖息点P和观测点A之间的距离． 请你完成几何图形（非尺规作图），并说明方案可行的理由． 4．如图，沿AC方向开山修路，为了加快施工进度，要在山的另一面点E处同时施工，点E在AC的延长线上，工人师傅在线段AC上取一点B，在小山外取一点D，连接BD并延长至点F，使得，连接ED并延长至点M，使得，连接MF，那么测量FM的长就是BE的长，请你用数学知识说明其中的道理． 题型一 添加条件使三角形全等 1．如图，点，分别在线段，上，与相交于点，已知，请添加一个条件不添加辅助线使，并说明理由． 2．如图，点四点在同一条直线上，，若______，则．请从①；②；③；从三个选项中选择一个作为条件，使结论成立，并说明理由． 3．如图，已知E，F是线段AB上的两点，，从①，②，③中选择两个作为补充条件，余下的一个作为结论，请写出结论成立的证明过程．你选的补充条件是______，结论是______．（填序号） 证明： 4．如图，，，，点在边上，与相交于点． (1)试说明：． (2)若，，，求与的周长之和． 题型二 三角形综合全等证明 1．（24-25七年级下·陕西西安·期中）如图，点F，C在上，，，，求证：． 2．（21-22八年级上·甘肃平凉·期中）已知，，，F是CD的中点，求证：． 3．如图，，，垂足分别是点B、C，点E是线段上一点，且，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 4．如图是设计师绘制的一组智能通道闸机的截面图，闸机识别行人身份成功后，两侧的圆弧翼闸会收回到两侧闸机箱内，行人即可通过．已知和均垂直于地面，点、、、在同一水平线上，且与、垂直，，，．若，且，求设计出的闸机一侧边缘（即或）的长度． 1．（24-25七年级下·山西太原·开学考试）阅读下列材料，完成相应的任务 全等四边形 根据全等图形的定义可知：四条边分别相等、四个角也分别相等的两个四边形全等．在“探索三角形全等的条件”时，我们把两个三角形中“一组边相等”或“一组角相等”称为一个条件，智慧小组的同学类比“探索三角形全等的条件”的方法探索“四边形全等的条件”，进行了如下思考：如图，在四边形和四边形中，连接对角线，这样两个四边形全等的问题就转化为“”与“”的问题．若先给定的条件，只要再增加两个条件使“”即可推出两个四边形中“四条边分别相等、四个角也分别相等”，从而说明两个四边形全等． 按照智慧小组的思路，小明对图中的四边形和四边形先给出如下条件：，，，小亮在此基础上又给出“，”两个条件，他们认为满足这五个条件能得到“四边形四边形” 任务： (1)请根据小明和小亮给出的条件，请根据全等图形的定义说明四边形四边形的理由． (2)在材料小明所给条件的基础上，小颖又给出两个条件“，”．满足这五个条件 （填“能”或“不能”）得到四边形四边形． 2．（1）如图1，和都是直角三角形，直角顶点都在直线l上，，其中，则有：． 阅读下面的解答过程并将①，②处补充完整． 理由：因为 所以， 所以（①______） 又因为 所以（②______） （2）在中，．点D是直线上一动点，分别过点A，B作直线的垂线，垂足分别为点E，F． ①如图2，点D在线段上，试说明：； ②如图3，点D在线段延长线上，若，则______； ③连接，若，的面积为4，直接写出的面积． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.3 探索三角形全等的条件 题型一 用SSS证明三角形全等 1．（24-25七年级下·山东菏泽·期末）用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出的依据是（ ） A．（） B．（） C．（） D．（） 【答案】A 【分析】根据基本作图，同圆的半径相等，可以判定是根据，解答即可． 本题考查了基本作图，三角形全等的判定和性质，熟练掌握基本作图是解题的关键． 【详解】解：根据基本作图，得到判定二角相等的依据是， 故选：A． 2．（24-25七年级下·河北保定·期末）如图是油纸伞的张开示意图，，则的判定依据是（ ）      A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定． 根据，，判断即可． 【详解】解：∵，，， ∴， 故选：D． 3．（2025·北京·模拟预测）如图，已知，求作：，使． 作法：（1）以点为圆心，任意长为半径作，分别交，于点，，连接； （2）以为圆心，的长为半径作弧，交于点，连接，； （3）作射线，即为所求作的角．下列结论正确的是（ ） A．的依据是两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等 B． C． D．是等腰三角形 【答案】D 【分析】本题考查了尺规作图，三角形的不等关系，等腰三角形的判定．根据题干中的作图步骤即可判断各选项． 【详解】解：A．由作法知：， ∴，故A不正确； B．由作法知：， 由三角形三边关系得，故B不正确； C．不能证明，故C不正确； D．由作法知，点在圆O上，则， ∴是等腰三角形，故D正确． 故选：D． 4．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，D是上一点，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练运用全等三角形的性质是本题的关键． 由即可证明即可． 【详解】证明：在和中， ∴． 题型二 用SSS间接证明三角形全等 1．（24-25八年级下·广东阳江·期中）如图， 在中， ， 分别以点为圆心，长为半径作弧，两弧相交于点，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了基本的尺规作图，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握基本的尺规作图和全等三角形的判定定理． 通过尺规作图操作得出相等的边，然后利用边边边证出两个三角形全等，利用全等三角形的性质即可求解． 【详解】解：通过尺规作图操作可得， 又， ∴， ， 故选：B． 2．（24-25七年级下·山东菏泽·阶段练习）如图1是一乐谱架，利用立杆可进行高度调节，图2是底座部分的平面图，其中支撑杆，点E，F分别为，中点，，是连接立杆和支撑杆的支架，且．立杆在伸缩过程中，总有，其判定依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了线段中点的定义，全等三角形的判定与性质，根据题意先整理得，再证明，即可作答． 【详解】解：点E，F分别为，中点， ，， ， ， 在和中 ， ∴ 故答案：B． 3．（24-25九年级上·云南昆明·期中）如图，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：，熟练掌握知识点是解题的关键． 先得到，再由证明即可． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴． 4．（24-25八年级上·湖南永州·期中）如图，、、、在一条直线上，与交于点，，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：，熟练掌握知识点是解题的关键． 首先得出，再利用证明即可． 【详解】证明：∵， ∴，即 在和中 ∴(SSS) 题型三 全等的性质和SSS综合 1．（2025·青海·中考真题）工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，是一个任意角，在边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点，重合，即，过角尺顶点的射线便是的平分线，这种做法的依据是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，由作图过程可得，，再加上公共边可利用定理判定． 【详解】解：在和中 ， ∴， ∴， 故选：C． 2．（24-25八年级上·河南新乡·期中）如图，在中，，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，利用证明得出，即可得解． 【详解】解：在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（24-25七年级下·河北张家口·期末）如图，仪器可以用来平分一个角，，将仪器上的点与的顶点R重合，调整与，使它们落在角的两边上，沿画一条射线，就是的平分线，你认为合理吗？为什么？      【答案】合理，理由见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理． 根据条件得出，然后得出即可． 【详解】解：合理， 理由： 在和中， ， ． ， 平分． 4．（24-25七年级下·黑龙江大庆·期中）如图所示，，与交于点O．试说明：． 【答案】见解析 【分析】本题主要查了全等三角形的判定和性质．连接，利用证明，即可求证． 【详解】解：连接．如图． 在和中． ， ∴ ∴．（全等三角形对应角相等）． 题型四 三角形的稳定性 1．（24-25七年级下·山西运城·期末）下列物品中，主要利用三角形稳定性设计的是（    ） A．伸缩式雨棚 B．可折叠的购物车 C．照相机的三脚 D．校门口的自动伸缩门 【答案】C 【分析】本题考查三角形的稳定性，由三角形具有稳定性，即可得到答案． 【详解】解：A、选项中的物品是应用了四边形的不稳定性，不是应用三角形的稳定性，故A不符合题意； B、选项中的物品是应用了四边形的不稳定性，不是应用三角形的稳定性，故B不符合题意； C、选项中的物品是应用了三角形的稳定性，故C符合题意； D、选项中的物品是应用了四边形的不稳定性，不是应用三角形的稳定性，故D不符合题意． 故选：C． 2．（24-25七年级下·山西晋中·期末）如图是跪姿射击的一种情形，由右脚尖、右膝和左脚构成的三角形支撑面，可以使射击者在射击过程中保持稳定，其中蕴含的数学知识是（    ） A．三角形的任意两边之和大于第三边 B．三角形具有稳定性 C．三角形三个内角的和等于 D．三角形的三条中线交于一点 【答案】B 【分析】本题考查了三角形具有稳定性，结合题意得跪姿射击由右脚尖、右膝和左脚构成的三角形支撑面，可以使射击者在射击过程中保持稳定，进行作答即可． 【详解】解：依题意，跪姿射击由右脚尖、右膝和左脚构成的三角形支撑面，可以使射击者在射击过程中保持稳定， ∴蕴含的数学知识是三角形具有稳定性， 故选：B 3．（24-25七年级下·吉林长春·期中）下列生活实物中，没有应用到三角形的稳定性的是（　　） A．三脚架 B．篮球架 C．活动衣架 D．太阳能热水器 【答案】C 【分析】本题考查的是三角形的性质，根据三角形具有稳定性判断即可． 【详解】解：A、应用到三角形的稳定性，不符合题意； B、应用到三角形的稳定性，不符合题意； C、没有应用到三角形的稳定性，符合题意； D、应用到三角形的稳定性，不符合题意； 故选：C． 4．（24-25八年级上·福建厦门·期中）下列生活实物图形中，不是运用三角形的稳定性的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形的稳定性和四边形的不稳定性，根据三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性解答即可． 【详解】解：由题意得，A、B、C三个选项中的图形都运用了三角形的稳定性，D选项中的图形具有伸缩功能，不运用三角形的稳定性， 故选：D． 题型五 用ASA(AAS)证明三角形全等 1．为测量校园内的旗杆的高度，嘉嘉设计的方案是：如图，在距旗杆底端A水平距离为的处，使用测角仪测得，由于角不方便计算，淇淇提出了一种解决问题的方案：在的延长线上取一点，将一根木棒竖直立在地面上的点处，，此时测得，故淇淇得出结论，进而推得，则下列选项中淇淇证明全等用到的依据可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定．由全等三角形的判定定理或均可证得图中两个三角形全等，从而可得答案． 【详解】解：由题意可得：，， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴淇淇证明全等用到的依据可能是， 故选：B． 2．小明不小心把一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有1、2、3、4的四块），为了能配一块与原来完全一样的三角形，小明应该带（    ）去玻璃商店． A．第1块 B．第2块 C．第3块 D．第4块 【答案】B 【分析】本题主要考查三角形全等的判定，看这4块玻璃中哪个包含的条件符合某个判定．解题的关键是熟练掌握判定两个三角形全等的判定定理：、、、、．本题应先假定选择哪块，再对应三角形全等判定的条件进行验证． 【详解】解：1、3、4块玻璃不同时具备包括一完整边在内的三个证明全等的要素，所以不能带它们去， 只有第2块有完整的两角及夹边，符合，满足题目要求的条件，是符合题意的． 故选：B． 3．如图，已知：，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定．利用证明即可． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴． 4．小明带著工具（卷尺、测角仪、标杆、红绳等）到堤岸边进行实践活动．他站立在路灯处发现路灯恰好在他的正对面小明想知道之间有多远于是他沿着堤岸行走到处插好标杆后往前走相同的距离到处然后向右直行当看到路灯与标杆在一条直线上时停下来此时他位于处．那么两点间距离就是路灯之间的距离． (1)请解释其中的道理； (2)假设小明所在的岸边都是视野开阔的平地请利用小明带来的工具设计另外一种测量方案（画出相应的示意图并说明理由）． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质的应用，构造全等三角形是解决问题的关键． （1）通过已知条件寻找三角形全等的条件来解释的道理； （2）利用全等三角形的性质设计测量方案。 【详解】（1）解：在和中： ， ， ． 即两点间距离就是路灯、之间的距离． （2）测量方案：如图， ①在岸边取一点，使得于点， ②用测角仪测量且点在的延长线上， 那么两点间的距离就是路灯、之间的距离． 理由如下： 在和中： 。 ， 测量出的长度就是、之间的距离。 题型六 全等的性质和ASA（AAS）综合 1．如图，野生动物检测员在野外 点处，正对他的点有一只羚羊．他想知道这只羚羊距离他有多远，他沿着直线一直走，到一块大石头旁，所走直线．接着再往前走相同的距离，到达点．然后他左转后直行，当能看到大石头与羚羊在同一条直线上时停下来，此时他位于点，测出 的长就等于的长．请你说明其中的道理． 【答案】见解析 【分析】本题考查的是全等三角形在实际生活中的运用，能根据题意证明是解答此题的关键． 根据全等三角形的判定和性质即可得到结论． 【详解】解：在和中， 因为， 根据三角形全等的判定条件“”， 所以， 根据“全等三角形的对应边相等”， 所以． 2．如图，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质．熟练的利用边角边证明三角形全等是解本题的关键． 先证明，结合，，可得，从而可得结论． 【详解】证明：， ． ． 在与中， ， ． ． 3．小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．已知妈妈与爸爸到的水平距离，分别为1.3和1.8，，爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面的高度是（   ） A．1 B．1.3 C．1.5 D．1.8 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，由可判定，由全等三角形的性质得，，即可求解；掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键． 【详解】解：由题意得： ，，， ， ，， ， ， 在和中 ， ， ，， ， ； 故选：C． 4．如图，已知长方形纸片，点在边上，将沿折叠，点落在点处，分别交于点，且． (1)求证：； (2)求证：； (3)求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）由长方形的性质和折叠性质得，利用可证； （2）由全等三角形的性质得到，由即可得到，又由折叠的性质可得，，即可得到结论； （3）由长方形的性质得到：，，由折叠性质可得， 设，表示出、、，在中，由勾股定理列方程，解方程，进一步即可得得到答案． 【详解】（1）解：由长方形性质可得，由折叠性质可得， ∴， 在与中，， ∴； （2）∵， ∴， ∵， ∴，    即， 由折叠的性质可得，    ∴； （3）由长方形的性质得到：，， 由折叠性质可得， ∵， ∴， 设， 则，，， 在中，，即， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了折叠的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质、长方形的性质等知识，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 题型七 用SAS证明三角形全等 1．如图，和相交于点O，，若用“”证明，则还需添加（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法：．根据两边及其夹角对应相等的两个三角形全等，由此即可得到答案． 【详解】证明：在和中， ， ， 用“”证明，则还需添加 故选： 2．如图，已知，小明利用如图所示的作图痕迹作出，由此他说，请你说明小明作图的根据是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了尺规作图，全等三角形的判定，读懂图形的信息是解题的关键，根据判定三角形全等即可． 【详解】解∶由作图知∶，，， ∴， 故选：D． 3．如图，已知， 点， ， ， 在一条直线上， ， ，． (1)试说明∶ ； (2)若， ， 求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、线段的和差等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形全等的条件，学会利用全等三角形的性质解决问题． （1）根据题意直接证明出； （2）根据，然后由得到，进而求解即可． 【详解】（1）∵，， ∴ （2）∵，， ∴ ∵ ∴ ∴． 4．如图，交于点E，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定，直接根据“”进行证明即可． 【详解】证明：在和中， ， ． 题型八 全等的性质和SAS综合 1．如图是某物馆中的铺首纹青釉点彩盘口壶，其示意图如图所示，为了测量其底部内径，考古学家将两根细木条的中点固定在一起，量出，两点之间的距离，即可得到的长度，其依据是（   ） A．三边分别相等的两个三角形全等 B．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 C．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 D．两角分别相等且其中一组等角的对边分别相等的两个三角形全等 【答案】B 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，先根据中点的定义，得出，，再根据对顶角相等得到，从而证得即可，正确运用三角形全等的判定定理是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，设与交于点， ∵为，中点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴量出，两点之间的距离，即可得到的长度，其依据是两边及其夹角分别相等的两个三角形全等， 故选：． 2．小明同学做了一只如图所示的风筝，其中将上述条件标注在图中，小明不用测量就知道，他的依据是： ． 【答案】 【分析】此题主要考查了全等三角形的应用，根据题意得出是解题关键．直接利用全等三角形的判定方法得出，进而得出答案． 【详解】解：小明不用测量就能知道． 理由：在和中 ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 3．数学小组想测量湖心岛上鸟类栖息点P和它正对的湖边观测点A之间的距离，但无法直接到达点P，同学们在湖边观察后想到了一个方案，请你帮忙画出几何图形并进行证明． 方案设计：从点A向正东方向出发，沿湖边走到点O处、插一根旗杆，接着再按相同的方向继续走相同的距离到点B处，作好标记．然后向正南方向直行到点C，当点C，O，P在一条直线上时停下来，那么BC之间的距离就是鸟类栖息点P和观测点A之间的距离． 请你完成几何图形（非尺规作图），并说明方案可行的理由． 【答案】见解析 【分析】本题考查了三角形判定的实际应用，理解题意，先画出图形，找到等量元素，证明全等，即可解决问题． 【详解】图形如下： 证明：∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴． 4．如图，沿AC方向开山修路，为了加快施工进度，要在山的另一面点E处同时施工，点E在AC的延长线上，工人师傅在线段AC上取一点B，在小山外取一点D，连接BD并延长至点F，使得，连接ED并延长至点M，使得，连接MF，那么测量FM的长就是BE的长，请你用数学知识说明其中的道理． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的应用，证明是解题的关键． 由题意可得、，再结合对顶角相等可得，然后利用“”证明可得． 【详解】解：由题意可得、， 由对顶角相等可得， 在和中， ， ∴， ∴． 题型一 添加条件使三角形全等 1．如图，点，分别在线段，上，与相交于点，已知，请添加一个条件不添加辅助线使，并说明理由． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理．①根据可以添加条件；②根据可以添加条件；③根据可以添加条件． 根据全等三角形的判定方法即可解决问题． 【详解】解：条件 在和中， ， ∴（答案不唯一）． 2．如图，点四点在同一条直线上，，若______，则．请从①；②；③；从三个选项中选择一个作为条件，使结论成立，并说明理由． 【答案】选①，理由见解析 【分析】本题考查的是添加条件证明三角形全等；分别添加三个条件中的1个，结合全等三角形的判定方法逐一分析即可. 【详解】解：选①，理由如下： ， ， 即． 在和中， ， ； 选②不能得到结论， 选③：理由如下： 在和中， ， . 3．如图，已知E，F是线段AB上的两点，，从①，②，③中选择两个作为补充条件，余下的一个作为结论，请写出结论成立的证明过程．你选的补充条件是______，结论是______．（填序号） 证明： 【答案】①③、②；见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法（SAS，ASA，AAS，SSS，还有直角三角形的HL）是解题的关键． 本题主要考查了全等三角形的判定与性质．选的补充条件是①③，结论是②，证明即可. 【详解】证明：， ，即 在与中 . 4．如图，，，，点在边上，与相交于点． (1)试说明：． (2)若，，，求与的周长之和． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（）由得，进而由即可求证； （）由已知可得，由全等三角形的性质得，，又由三角形的周长公式可得与的周长之和，代入计算即可求解； 本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴与的周长之和 ． 题型二 三角形综合全等证明 1．（24-25七年级下·陕西西安·期中）如图，点F，C在上，，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，先证明，进而证明，即可推出． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 2．（21-22八年级上·甘肃平凉·期中）已知，，，F是CD的中点，求证：． 【答案】见解析 【分析】连接、，由已知证明，得到，又因为点是的中点，利用等腰三角形的三线合一或全等三角形可得． 【详解】解：如图，连接、， 在和中， ， ． ． 是等腰三角形． 又点是的中点， ， ， ， ． 【点睛】考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形形的判定及性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定及性质． 3．如图，，，垂足分别是点B、C，点E是线段上一点，且，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)4． 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，同角的余角相等． （1）利用同角的余角相等求出，，根据证即可； （2）推出，求出，把代入求出即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴. ∴； （2）解：∵， 由（1）得：， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 4．如图是设计师绘制的一组智能通道闸机的截面图，闸机识别行人身份成功后，两侧的圆弧翼闸会收回到两侧闸机箱内，行人即可通过．已知和均垂直于地面，点、、、在同一水平线上，且与、垂直，，，．若，且，求设计出的闸机一侧边缘（即或）的长度． 【答案】． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，利用可证，根据全等三角形对应边相等可知，，从而可以求出，从而可得，根据可得：． 【详解】解：由题意得，， ． 在和中，， ， ，， ，， ， ， ，， ， 设计出的双翼边缘（即和）的长度为． 1．（24-25七年级下·山西太原·开学考试）阅读下列材料，完成相应的任务 全等四边形 根据全等图形的定义可知：四条边分别相等、四个角也分别相等的两个四边形全等．在“探索三角形全等的条件”时，我们把两个三角形中“一组边相等”或“一组角相等”称为一个条件，智慧小组的同学类比“探索三角形全等的条件”的方法探索“四边形全等的条件”，进行了如下思考：如图，在四边形和四边形中，连接对角线，这样两个四边形全等的问题就转化为“”与“”的问题．若先给定的条件，只要再增加两个条件使“”即可推出两个四边形中“四条边分别相等、四个角也分别相等”，从而说明两个四边形全等． 按照智慧小组的思路，小明对图中的四边形和四边形先给出如下条件：，，，小亮在此基础上又给出“，”两个条件，他们认为满足这五个条件能得到“四边形四边形” 任务： (1)请根据小明和小亮给出的条件，请根据全等图形的定义说明四边形四边形的理由． (2)在材料小明所给条件的基础上，小颖又给出两个条件“，”．满足这五个条件 （填“能”或“不能”）得到四边形四边形． 【答案】(1)见解析 (2)不能 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，全等四边形的判定，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）利用证明得到，则可利用证明得到，据此可证明四边形和四边形的四条边对应相等，四个角对应相等，则可证明结论； （2）同理可证明得到，再导角证明，但是不可根据证明，据此可得答案． 【详解】（1）证明：在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴四边形和四边形的四条边对应相等，四个角对应相等， ∴四边形四边形； （2）解：在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 而由，，，不可以根据证明， ∴满足这五个条件不能得到四边形四边形． 2．（1）如图1，和都是直角三角形，直角顶点都在直线l上，，其中，则有：． 阅读下面的解答过程并将①，②处补充完整． 理由：因为 所以， 所以（①______） 又因为 所以（②______） （2）在中，．点D是直线上一动点，分别过点A，B作直线的垂线，垂足分别为点E，F． ①如图2，点D在线段上，试说明：； ②如图3，点D在线段延长线上，若，则______； ③连接，若，的面积为4，直接写出的面积． 【答案】（1）同角的余角相等；；（2）①见解析；②8；③8或16 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、三角形的内角和定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质，分类讨论和设参数求解是解答的关键． （1）根据等角的余角性质和“”求解即可； （2）①先根据余角性质证明，进而利用“”证明结论即可； ②证明得到，，进而求解即可； ③分当点D在线段上时，当点D在线段的延长线上时，当点D中线段的延长线上时，三种情况，分别利用全等三角形的性质和等高的三角形面积之间的关系求解即可． 【详解】解：（1）因为 所以， 所以（同角的余角相等） 又因为 所以； （2）①∵，， ∴ ∴ ∴ 又∵ ∴； ②∵，， ∴ ∴ ∴ 又∵ ∴， ∴，， ∴； ③当点D在线段上时，如图2，连接， ∵，的面积为4， ∴， 设，， ∵， ∴，，， ∴，则， ∴； 当点D在线段的延长线上时，如图3， ∵， ∴不满足，故不符合题意，舍去； 当点D中线段的延长线上时，如图4，连接， 同理可证， ∴， 设，， ∵， ∴，，， ∴，则， ∴， 综上，的面积为8或16． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$