23.2 中心对称（分层作业）数学人教版九年级上册

23.2 中心对称 题型一 中心对称图形的识别 1．（24-25九年级上·吉林·期末）如图图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A．  B．  C． D．   【答案】C 【分析】本题目考查了轴对称图形和中心对称图形的知识， 一个图形绕着中心点旋转后能与自身重合，把这种图形叫做中心对称图形； 如果一个图形沿某条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形关于这条直线对称（轴对称），据此判断即可． 【详解】解：A、是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意． 故选：C． 2．（24-25九年级上·广西钦州·期中）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查轴对称及中心对称的定义，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念，要注意：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．根据轴对称图形与中心对称图形的概念逐选项判断即可． 【详解】解：根据轴对称图形与中心对称图形的概念可知： A选项既不是轴对称图形也不是中心对称图形； B选项不是轴对称图形是中心对称图形； C选项既是轴对称图形又是中心对称图形； D选项是轴对称图形而不是中心对称图形； 故选C． 3．（24-25九年级上·四川成都·期中）下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】该题了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合． 根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意； C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意； D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意． 故选：B． 4．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称图形，中心对称图形的识别．解题的关键在于熟练掌握：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180度，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．根据中心对称和轴对称的定义，进行判断即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B、既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意； C、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； 故选B． 题型二 判断中心对称图形的对称中心 1．（24-25九年级上·广西河池·期中）如图，矩形与矩形关于某点对称，则该点为（  ） A．点C B．点D C．线段的中点 D．线段的中点 【答案】D 【分析】本题考查了两个图形关于中心对称的知识点，需要根据中心对称的性质进行求解.关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分．熟练掌握中心对称的性质是解题的关键． 【详解】∵矩形与矩形关于某点对称， ∴点A的对称点为点F，点B的对称点为点E，点C的对称点为点D, 点D的对称点为点C, ∴对称中心为线段的中点． 故选D． 2．（24-25九年级上·天津·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，若与关于点成中心对称，则对称中心点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了坐标与图形变化-旋转，根据旋转的性质，连接对应点，与的交点即为对称中心，然后根据平面直角坐标系写出点E的坐标即可． 【详解】解：如图，连接，与相交于点E， 点E即为对称中心，． 故选：A． 3．（23-24九年级上·河北唐山·期中）如图，在平面直角坐标系中，若与关于点成中心对称，则对称中心点的坐标是（）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了中心对称；坐标与图形性质；连接对应点、，根据对应点的连线经过对称中心，则交点就是对称中心点，在坐标系内确定出其坐标． 【详解】解：连接、，则交点就是对称中心点．    观察图形知，． 故选：C． 4．（23-24九年级上·广东珠海·期中）如图，两个半圆分别以O，为圆心，它们关于某点成中心对称，点A，B，，在同一直线上，则对称中心为（    ）    A．点O B．点B C．线段的中点 D．线段的中点 【答案】D 【分析】由已知两个图形的位置，判断它们是否中心对称，可以把各对应点连线，看所有连线是否交于同一点． 【详解】解：如图：    作法：1．过点作交于点，过点作交于点， 2．连接交于点， 故点即为所求 证明：，， 是对称点，是对称点， 故的交点为对称中心． 故选：D． 【点睛】本题考查了中心对称，正确的作出图形是解题的关键． 题型三 中心对称图形规律问题 1．（23-24九年级上·山东德州·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，，的坐标分别为，，．一个电动玩具从原点出发，第一次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；第二次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；第三次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；第四次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；…．电动玩具照此规律跳下去，则点的坐标是（    ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了中心对称及点的坐标的规律．根据题意，先求出前几次跳跃后、、、、、、的坐标，可得出规律，继而可求点的坐标． 【详解】解：由题意得：点、、、、、、， ∴点P的坐标的变化规律是6次一个循环， ∵， ∴点的坐标是． 故选：B． 2．（2021·山东济宁·一模）如图，平面直角坐标系中，△OA1B1是边长为2的等边三角形，作△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称，再作△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称，如此作下去，则△B2n﹣1A2nB2n（n是正整数）的顶点A2n的坐标是（　　） A．（4n﹣1，﹣）B．（4n﹣1，） C．（4n+1，﹣） D．（4n+1，） 【答案】A 【分析】首先根据等边三角形的性质得出点A1，B1的坐标，再根据中心对称性得出点A2， 点A3，点A4的坐标，然后横纵坐标的变化规律，进而得出答案． 【详解】∵△OA1B1是边长为2的等边三角形， ∴A1的坐标为 ，B1的坐标为（2，0）， ∵△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称， ∴点A2与点A1关于点B1成中心对称， ∵2×2﹣1＝3，纵坐标是-， ∴点A2的坐标是， ∵△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称， ∴点A3与点A2关于点B2成中心对称， ∵2×4﹣3＝5，纵坐标是， ∴点A3的坐标是， ∵△B3A4B4与△B3A3B2关于点B3成中心对称， ∴点A4与点A3关于点B3成中心对称， ∵2×6﹣5＝7，纵坐标是-， ∴点A4的坐标是， …， ∵1＝2×1﹣1，3＝2×2﹣1，5＝2×3﹣1，7＝2×4﹣1，…， ∴An的横坐标是2n﹣1，A2n的横坐标是2×2n﹣1＝4n﹣1， ∵当n为奇数时，An的纵坐标是，当n为偶数时，An的纵坐标是﹣， ∴顶点A2n的纵坐标是﹣， ∴顶点A2n的坐标是 ． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，中心对称的性质，数字变化规律等，根据中心对称性求出点的坐标是解题的关键． 3．（21-22八年级上·山东济宁·阶段练习）在平面内由极点、极轴和极径组成的坐标系叫做极坐标系．如图，在平面上取定一点O称为极点；从点O出发引一条射线Ox称为极轴；线段OP的长度称为极径．点P的极坐标就可以用线段OP的长度以及从Ox转动到OP的角度（规定逆时针方向转动角度为正）来确定，即P（3，60°）或P（3，-300°）或P（3，420°）等，则点P关于点O成中心对称的点Q的极坐标表示不正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据中心对称的性质解答即可． 【详解】解：∵P（3，60°）或P（3，-300°）或P（3，420°）， 由点P关于点O成中心对称的点Q可得：点Q的极坐标为（3，240°），（3，-120°），（3，600°）， 故选：B． 【点睛】本题考查了中心对称的问题，关键是根据中心对称的性质解答． 4．（22-23八年级上·山东济南·期末）在平面直角坐标系中，点，的对称中心是点A，另取两点，．有一电子青蛙从点处开始依次作关于点A，B，C的循环对称跳动，即第一次跳到点关于点A的对称点处，接着跳到点关于点B的对称点处，第三次再跳到点关于点C的对称点处，第四次再跳到点关于点A的对称点处，…，则点的坐标为（      ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了坐标规律探究，中心对称，坐标与图形变化对称，利用中心对称找出坐标规律是解题的关键． 首先利用题目所给公式一次求出前几个点的坐标，→→→→→→→…由此得到的坐标和的坐标相同，的坐标和的坐标相同，即坐标以6为周期循环，利用这个规律即可求出点的坐标． 【详解】解：∵点关于点的对称点， ∴， ∴，， ∴， 同理可得点，，，，，… ∴点P每6次一循环， ∵ ∴点与点坐标相同，即． 故选：D． 题型四 画中心对称图形 1．（23-24九年级上·江西南昌·期末）如图，在方格网中已知格点和点P，请仅用无刻度直尺完成以下作图． (1)画出，使得和关于点P成中心对称； (2)请在方格网中标出所有使以点A，B，P，D为顶点的四边形是平行四边形的D点． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】（1）根据中心对称的性质作图即可． （2）分以，为对角线两种情况，结合平行四边形的判定确定点即可． 本题考查中心对称、平行四边形的判定，熟练掌握中心对称的性质、平行四边形的判定是解答本题的关键． 【详解】（1）解：如图， 即为所求． （2）解：如图，当以为对角线时，四边形为平行四边形； 当以为对角线时，四边形为平行四边形． 则点和均为满足题意的点． 2．（23-24九年级上·湖北襄阳·期末）如图，网格中，每个小正方形边长为1． (1)分别画出绕O点逆时针旋转所得及关于O点的中心对称图形； (2)连结，，判断形状并证明； (3)证明不在线段上． 【答案】(1)图见解析 (2)为直角三角形，证明见解析 (3)详见解析 【分析】本题考查了作图旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了勾股定理的逆定理． （1）利用网格特点和旋转的性质画出和； （2）先计算出，，，然后根据勾股定理的逆定理进行判断； （3）计算可判断不在线段上． 【详解】（1）如图，和为所作； （2）为直角三角形． 理由如下：，，， ， 为直角三角形； （3）证明：，，， ， 不在线段上 3．（24-25九年级上·广西钦州·期中）如图网格中，的顶点均在格点上，点的坐标分别是，． (1)绕点顺时针旋转后得到，请画出； (2)选择点为对称中心，画出与关于点对称的； (3)在轴上画出点，使得最小． 【答案】(1)画图见解析 (2)画图见解析 (3)画图见解析 【分析】本题考查坐标与图形变换，熟练掌握旋转，轴对称的性质，是解题的关键． （1）根据旋转的性质，画出即可； （2）分别确定关于点对称的对称点，再顺次连接即可； （3）作关于轴对称的对称点，连接与轴交于点点即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求， （2）解：如图，即为所求； （3）解：如图，点P即为所求作． 4．（22-23九年级上·四川广安·期中）图1，图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个网格图中有3个小等边三角形已涂上阴影．请在余下的空白小等边三角形中，分别按下列要求选取一个涂上阴影： (1)使得4个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形．（至少画出两种） (2)使得4个阴影小等边三角形组成一个中心对称图形．（画出一种） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题主要考查了利用轴对称设计图案、利用旋转设计图案，正确掌握相关定义是解题关键． （1）直接利用轴对称图形的性质得出符合题意的答案； （2）直接利用中心对称图形的性质得出符合题意的答案． 【详解】（1）解：如图所示（画出两种即可）： （2）如图所示（画出一种即可）： 题型五 求关于原点对称的点的坐标 1．（24-25九年级上·吉林·期中）在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了关于原点的对称的点的坐标，根据关于原点的对称点，横、纵坐标都变成相反数求解即可． 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是． 故答案为：． 2．（24-25九年级上·甘肃庆阳·期中）在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了关于原点对称点的坐标的特征．根据关于原点对称的点，横纵坐标互为相反数解答即可． 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标为， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·湖北黄石·阶段练习）已知点与点关于原点对称，则的值等于 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了关于原点对称点的性质，正确记忆横纵坐标的符号关系是解题关键．直接利用关于原点对称点的性质得出，的值，进而得出答案． 【详解】解：点与点关于原点对称， ，， 则的值为：． 故答案为：． 4．（24-25九年级上·山东德州·期中）在平面直角坐标系中，点 与点 关于原点对称，则的值为 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，熟知坐标关于原点对称的坐标特点是解题的关键． 先根据坐标与原点对称得到横纵坐标互为相反数列出方程求得a、b的值，然后代入计算即可． 【详解】解：∵点与点关于原点对称， ∴，解得：， ∴． 故答案为4． 题型一 已知两点关于原点对称求参数 1．（24-25九年级上·陕西延安·期末）已知点与关于原点对称，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标特征，解一元二次方程，代数式的值，根据关于原点对称的点横坐标互为相反数、纵坐标互为相反数可得，，解方程可得的值，再代入代数式计算即可求解，掌握关于原点对称的点的坐标特征是解题的关键． 【详解】解：∵点与关于原点对称， ∴，， ∴，， 解得，， ∴． 2．（24-25九年级上·青海海西·期中）平面直角坐标系第二象限内的点与另一点关于原点对称，试求的值． 【答案】4 【分析】本题考查关于原点对称的点的坐标特征，解一元二次方程，平面直角坐标系内点的符号特征．掌握关于原点对称的点的横、纵坐标都是原数的相反数是解题关键．根据关于原点对称的点的坐标特征可得出；，再结合点P在第二象限，即可求出x和y的值，最后相减即可． 【详解】解：∵点与点关于原点对称， ∴；， 解得：，；． ∵点P在第二象限， ∴，即， ∴， ∴． 3．（23-24九年级上·湖南长沙·期末）如图，是经过某种变换得到的图形，点与点，点 与点，点与点 分别是对应点，观察点与点的坐标之间的关系，解答下列问题： (1)填写完整：点与点，点与点，点与点的坐标，并说说对应点的坐标有哪些特征； 与（   ）；（   ）与，与 （   ）． 对应点坐标的特征：横坐标、纵坐标均 (2)若点 与点 也是通过上述变换得到的对应点，求 ，的值． 【答案】(1)；；，互为相反数 (2) 【分析】本题考查的是几何变换的类型，熟知关于原点对称的点的坐标特征是解题的关键．（1）根据各点在坐标系中位置写出各点的坐标即可；（2）根据（1）中各对应点的坐标特征得出关于、的方程，求出、的值即可． 【详解】（1）解：由图可知，；；，对应点坐标的特征：横坐标、纵坐标均互为相反数． 故答案为：；；，互为相反数； （2）由（1）知对应点坐标的特征：横坐标、纵坐标均互为相反数， 点 与点 也是通过上述变换得到的对应点， ， ． 4．（22-23九年级上·福建厦门·期中）已知抛物线． (1)求证：抛物线与x轴必有交点； (2)若该抛物线与直线的两个交点关于原点对称，求m的值． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】（1）证明判别式即可， （2）根据该抛物线与直线的两个交点关于原点对称，则设两交点坐标分别为，再把这两点分别代入抛物线的解析式中，即可求解． 【详解】（1）解：， 抛物线与x轴必有交点； （2）解：依题意可设抛物线与直线的两交点坐标分别为，将两点分别代入抛物线的解析式中， 联立得： ， 解得． 【点睛】本题考查的是抛物线与x轴的交点和解一元一次方程，解决本题的关键是设出两交点的坐标． 题型二 根据中心对称图形的性质求长度、面积 1．（24-25九年级上·新疆吐鲁番·期末）如图，与关于点C成中心对称，若，求的长． 【答案】 【分析】本题主要考查中心对称的性质和勾股定理，由中心对称的性质可得出三点共线，由勾股定理求出，从而可得出结论． 【详解】解：与关于点C成中心对称， ， 三点共线．                           ， ，                    2．（24-25九年级上·山东德州·期中）如图，矩形和矩形关于点D中心对称，已知，，求阴影部分的面积． 【答案】24 【分析】本题考查了中心对称的性质、矩形的性质，熟练掌握中心对称的性质、矩形的性质是解题的关键． 利用中心对称图形和矩形的性质得出，，且，进而计算求解即可． 【详解】解：∵矩形和矩形关于点D中心对称， ∴，，且， ∴， ∴． 3．（22-23九年级上·福建福州·期末）如图，与关于点G中心对称，若点E，F分别在上，且，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，中心对称图形的性质，先根据中心对称的性质得到，再证明即可利用证明，由此即可证明， 灵活运用所学知识是解题的关键． 【详解】证明：∵与关于点G中心对称， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 4．（23-24九年级上·甘肃定西·期中）如图，在平面直角坐标系中，小正方形网格的边长为1个单位长度的三个顶点的坐标分别为，，．    (1)画出关于原点中心对称的； (2)求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据中心对称的定义作出A，B，C的对应点，再连成三角形即可； （2）根据（1）作出的图形，观察之后可根据正方形面积减去三角形面积解得的面积； 【详解】（1）解：如图所示，即为所求；      （2）解：； 【点睛】本题考查作图-作中心对称图形，解题的关键是掌握网格的特征和中心对称的概念． 题型三 按变换要求画图形 1．（24-25九年级上·河南洛阳·期末）如图，已知在平面直角坐标系中，线段的坐标分别为 (1)画出线段绕点逆时针旋转得到线段，连接点A、C得到； (2)在（1）的条件下，画出关于原点对称的，点的对应点分别是； (3)在（2）的条件下，已知线段绕平面内的点旋转一个特定的度数可与线段重合（其中点对应点），请直接写出点的坐标为_____________． 【答案】(1)图见详解； (2)图见详解； (3) 【分析】本题考查作图——旋转变换，熟练掌握旋转的性质、中心对称的性质是解答本题的关键． （1）根据旋转的性质作图即可； （2）根据中心对称的性质作图即可； （3）连接，，分别作线段，的垂直平分线，相交于点P，则线段绕点P顺时针旋转可与线段重合，即可得出答案． 【详解】（1）解∶如图，线段、即为所求； （2）解：如图，即为所求． （3）解：连接，，分别作线段，的垂直平分线，相交于点P．则线段绕点P顺时针旋转可与线段重合， 点P的坐标为， 故答案为∶． 2．（24-25九年级上·山东德州·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，．    (1)画出； (2)画出关于原点对称的； (3)画出绕原点O顺时针旋转后的． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)见解析． 【分析】本题考查了坐标系中的作图——旋转变换，熟练掌握坐标系中的旋转变换，根据题意准确画出图形是解题的关键． （1）依据点A、B、C的坐标，画出即可； （2）依据中心对称的性质，即可画出关于原点对称的； （3）依据旋转的性质，即可画出绕原点O顺时针旋转后的． 【详解】（1）解：如图，即为所求；    （2）如图，即为所求； （3）如图，即为所求． 3．（22-23九年级上·福建厦门·阶段练习）如图，△ABC在平面直角坐标系内，三个顶点的坐标分别为，，．（正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度） (1)作出绕点顺时针方向旋转后得到的； (2)作出关于原点成中心对称的． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查中心对称和性质作图，抓住中心对称和旋转的性质是关键． （1）分别找到点关于原点对称的点，连接三个点即可； （2）分别作线段绕原点顺时针旋转得到三个短点，连接三个点即可． 【详解】（1）解：分别找到点关于原点对称的点，连接三个点即可； 如图所示，即为所求； （2）分别作线段绕原点顺时针旋转90°得到三个短点，连接三个点所得即为所求． 4．（23-24九年级上·湖北孝感·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是，，. (1)将以点C为中心旋转180°，画出旋转后对应的； (2)平移，若点的对应点的坐标为，画出平移后的； (3)和是否关于某点对称？如是，还请写出这点坐标；如不是，只需作出判断即可． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 (3)△A1B1C和△A2B2C2关于点P(－1，0)对称 【分析】（1）利用旋转变换的性质分别作出，的对应点A1，B1即可； （2）利用平移变换的性质分别作出，，的对应点A2，B2，C2即可； （3）根据中心对称的定义结合图形即可求解． 【详解】（1）如图，△A1B1C即为所求； （2）如图，△A2B2C2即为所求； （3）由图可知△A1B1C和△A2B2C2关于P（﹣1，0）对称． 【点睛】本题考查作图﹣旋转变换，平移变换等知识，解题的关键是掌握旋转变换，平移变换的性质，属于中考常考题型． 1．（24-25九年级上·福建厦门·期中）在平面直角坐标系中，已知点，N；对于点P给出如下定义：将点P向右或向左平移个单位长度，再向上（）或向下（）平移个单位长度，得到点，点关于点N的对称点为Q，称点Q为点P的“对应点”． (1)如图，点，点N在线段的延长线上，若点，点Q为点P的“对应点”． ①当N坐标为，在图中画出点Q，连接，交线段于点T，求的值； ②当N为线段延长线上任意一点，连接，交线段于点T，是否为定值？ (2)的半径为t，M是上一点，点N在线段上，若点N与点O重合，P为外一定点，点Q为点P的“对应点”．当点M在上运动时，直接写出点Q所构成的图形的面积（用含t的式子表示）． 【答案】(1)①图见解析，，②是定值 (2) 【分析】（1）①根据定义求出点，点Q的坐标，画出图形，连接，证明四边形是平行四边形，可得结论； ②设，求出点坐标，进而求出直线的解析式，进而求出的坐标，求出的值即可； （2）连接并延长至点，使，连接 ，推出点的轨迹是以点为圆心，半径为的圆，可得结论． 【详解】（1）①解： 是由点向右平移 个单位长度，再向上平移个单位长度得到的； ， ， 的横坐标为： ；纵坐标为：，， ， 图形如图1所示： 连接，交线段于点， 连接． ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴； ②∵，则：直线的解析式为：， 设， ∵， ∴， 设直线的解析式为：， 则：， ∴， ∴， 联立，解得：， ∴， ∴， ∴为定值； （2）解：连接并延长至点，使，连接 ，如图： 由的定义可知： 关于点 对称 点的轨迹是以点为圆心，半径为的圆 点的轨迹构成的图形的面积为： 【点睛】本题坐标与图形，中心对称，一次函数的综合应用，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平移与中心对称的性质是解题的关键． 2．（24-25九年级上·北京·期中）对于平面直角坐标系内的点P和图形M，给出如下定义：如果点P绕原点O顺时旋转得到点，点落在图形M上或图形M围成的区域内，那么称点P是图形M关于原点O的“伴随点”．已知点，，． (1)在点，，中，点 是线段关于原点O的“伴随点”； (2)如果点是关于原点O的“伴随点”，直接写出m的取值范围； (3)已知抛物线的顶点坐标为，其关于原点对称的抛物线上存在关于原点O的“伴随点”，求n的最大值和最小值． 【答案】(1)和， (2) (3)n的最大值为，最小值为 【分析】（1）根据“伴随点”的定义，画出每个点绕点O旋转后的对应点，进行判断即可； （2）过点作轴于点，过点作轴于点，证明，求出的坐标，再求出点在线段上和在线段上时，的值，即可得出结论； （3）根据顶点坐标，写出抛物线的顶点式，进而得到其关于原点对称的抛物线的解析式，将绕点O逆时针旋转得到，根据抛物线上存在关于原点O的“伴随点”，得到当抛物线过点时n有最大值，当抛物线过点时n有最小值，即可得解． 【详解】（1）解：∵，， 轴， 如图所示，点绕点O顺时旋转得到的对应点分别为：， 其中点，在线段上， ∴和是线段关于原点O的“伴随点”， 故答案为：和； （2）解：，，， 在第一象限， ∵点是关于原点O的“伴随点”， ∴点在第二象限， 过点作轴于点，过点作轴于点， 则：， 绕点顺时针旋转得到， ， ， ， ， ， ， 在第一象限， ， 设直线的解析式为， 则，解得， ∴， 当在上时，m值最小，即，解得：， 当在上时，m值最大，即，解得：， ∴； （3）解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴设抛物线的解析式为， ∴其关于原点对称的抛物线解析式为， 如图：绕点O逆时针旋转得到，其中， ∵抛物线上存在关于原点O的“伴随点”， ∴当过时，n的值最大， 把代入得， 解得：， n的最大值为， 当过时，n的值最小， 把代入得， 解得：， n的最小值为． 【点睛】本题考查旋转的性质，一次函数和二次函数的综合应用，全等三角形的性质和判定，解题的关键是理解并掌握“伴随点”的定义，利用数形结合的思想进行求解． 3．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）在如图所示的小正方形网格中，，，，，，均为小正方形的顶点，仅用无刻度的直尺完成下列作图，作图过程用虚线表示，作图结果用实线表示： (1)图中，作关于点中心对称的三角形； (2)图中，是网格线上的一点，连接，根据网格特点在图中标出的中点，将线段平移得到线段，点的对应点为点； (3)图中，，，，，线段绕着点旋转可以得到线段，直接写出旋转中心的坐标 ． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3)或 【分析】本题主要考查了画已知图形关于某点中心对称的图形，平移（作图），找旋转中心等知识点，熟练掌握各种基本的做图技巧是解题的关键． （1）根据中心对称的性质分别作出，，的对应点，，，然后顺次连接即可； （2）先作出的中点，然后根据平移的性质作出的对应点，最后连接即可； （3）旋转中心有两种可能，由图即可直接写出旋转中心的坐标． 【详解】（1）解：如图，即为所求作： （2）解：如图，点和线段即为所求作： （3）解：如图，旋转中心有两种可能，即图中的和： 由图可知：，， 故答案为：或． 4．（23-24九年级上·江西赣州·期末）课本知识再现： （Ⅰ）归纳（八年级上册课本页）：点关于轴对称的点的坐标为；点关于轴对称的点的坐标为； （Ⅱ）归纳（九年级上册课本页）：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点关于原点的对称点为． 小颖在学习完《旋转》与《二次函数》两章后，从点的对称角度思考函数图像的对称，发现一次函数、二次函数图像上也可以应用点的对称特点． 根据上面知识，求与已知直线关于轴对称的直线的解析式； 解：设与直线关于轴对称的直线上任意一点， ∵点关于轴对称的点的坐标为， 又∵点必在直线上， 把点代入，得 ， ∴与已知直线关于轴对称的直线的解析式为． 理解上面的解题过程，并完成下题： (1)直接写出直线关于轴对称的直线的解析式为 　； (2)已知二次函数的图像与抛物线关于原点对称，请根据上述方法求的值； (3)判断以下每对函数的图像： ①与；    ②与； ③与；            ④与． 其中一定关于原点对称的是　 　（填序号）． 【答案】(1)； (2)，，； (3)． 【分析】（）根据关于轴对称的坐标特点求解即可； （）根据关于原点对称的坐标特点求解即可； （）根据关于原点对称的坐标特点求解即可判断； 本题考查了利用点关于坐标轴、原点对称的特点求一次函数、二次函数关于坐标轴、原点对称的图象，理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：设与直线关于轴对称的直线上任意一点， ∵点关于轴对称的点的坐标为， 又∵点 必在直线上， 把点代入，得 ， 即， ∴与已知直线关于轴对称的直线的解析式为， 故答案为：； （2）解：设点在抛物线的图象上 ， ∵点关于原点对称的点的坐标为， 又∵点必在抛物线的图象， 把点代入，得 ， 即， ∴，，； （3）解：把代入得，， 即， ∴与不是关于原点对称； 把代入得，， 即， ∴与是关于原点对称； 把代入得，， 即， ∴与不是关于原点对称； 把代入得，， 即， ∴与是关于原点对称； 综上，关于原点对称的是， 故答案为：． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 23.2 中心对称 题型一 中心对称图形的识别 1．（24-25九年级上·吉林·期末）如图图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A．  B．  C． D．   2．（24-25九年级上·广西钦州·期中）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·四川成都·期中）下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 题型二 判断中心对称图形的对称中心 1．（24-25九年级上·广西河池·期中）如图，矩形与矩形关于某点对称，则该点为（  ） A．点C B．点D C．线段的中点 D．线段的中点 2．（24-25九年级上·天津·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，若与关于点成中心对称，则对称中心点的坐标是（   ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·河北唐山·期中）如图，在平面直角坐标系中，若与关于点成中心对称，则对称中心点的坐标是（）    A． B． C． D． 4．（23-24九年级上·广东珠海·期中）如图，两个半圆分别以O，为圆心，它们关于某点成中心对称，点A，B，，在同一直线上，则对称中心为（    ）    A．点O B．点B C．线段的中点 D．线段的中点 题型三 中心对称图形规律问题 1．（23-24九年级上·山东德州·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，，的坐标分别为，，．一个电动玩具从原点出发，第一次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；第二次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；第三次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；第四次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；…．电动玩具照此规律跳下去，则点的坐标是（    ）. A． B． C． D． 2．（2021·山东济宁·一模）如图，平面直角坐标系中，△OA1B1是边长为2的等边三角形，作△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称，再作△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称，如此作下去，则△B2n﹣1A2nB2n（n是正整数）的顶点A2n的坐标是（　　） A．（4n﹣1，﹣）B．（4n﹣1，） C．（4n+1，﹣） D．（4n+1，） 3．（21-22八年级上·山东济宁·阶段练习）在平面内由极点、极轴和极径组成的坐标系叫做极坐标系．如图，在平面上取定一点O称为极点；从点O出发引一条射线Ox称为极轴；线段OP的长度称为极径．点P的极坐标就可以用线段OP的长度以及从Ox转动到OP的角度（规定逆时针方向转动角度为正）来确定，即P（3，60°）或P（3，-300°）或P（3，420°）等，则点P关于点O成中心对称的点Q的极坐标表示不正确的是（ ） A． B． C． D． 4．（22-23八年级上·山东济南·期末）在平面直角坐标系中，点，的对称中心是点A，另取两点，．有一电子青蛙从点处开始依次作关于点A，B，C的循环对称跳动，即第一次跳到点关于点A的对称点处，接着跳到点关于点B的对称点处，第三次再跳到点关于点C的对称点处，第四次再跳到点关于点A的对称点处，…，则点的坐标为（      ）． A． B． C． D． 题型四 画中心对称图形 1．（23-24九年级上·江西南昌·期末）如图，在方格网中已知格点和点P，请仅用无刻度直尺完成以下作图． (1)画出，使得和关于点P成中心对称； (2)请在方格网中标出所有使以点A，B，P，D为顶点的四边形是平行四边形的D点． 2．（23-24九年级上·湖北襄阳·期末）如图，网格中，每个小正方形边长为1． (1)分别画出绕O点逆时针旋转所得及关于O点的中心对称图形； (2)连结，，判断形状并证明； (3)证明不在线段上． 3．（24-25九年级上·广西钦州·期中）如图网格中，的顶点均在格点上，点的坐标分别是，． (1)绕点顺时针旋转后得到，请画出； (2)选择点为对称中心，画出与关于点对称的； (3)在轴上画出点，使得最小． 4．（22-23九年级上·四川广安·期中）图1，图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个网格图中有3个小等边三角形已涂上阴影．请在余下的空白小等边三角形中，分别按下列要求选取一个涂上阴影： (1)使得4个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形．（至少画出两种） (2)使得4个阴影小等边三角形组成一个中心对称图形．（画出一种） 题型五 求关于原点对称的点的坐标 1．（24-25九年级上·吉林·期中）在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是 ． 2．（24-25九年级上·甘肃庆阳·期中）在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标为 ． 3．（24-25九年级上·湖北黄石·阶段练习）已知点与点关于原点对称，则的值等于 ． 4．（24-25九年级上·山东德州·期中）在平面直角坐标系中，点 与点 关于原点对称，则的值为 ． 题型一 已知两点关于原点对称求参数 1．（24-25九年级上·陕西延安·期末）已知点与关于原点对称，求的值． 2．（24-25九年级上·青海海西·期中）平面直角坐标系第二象限内的点与另一点关于原点对称，试求的值． 3．（23-24九年级上·湖南长沙·期末）如图，是经过某种变换得到的图形，点与点，点 与点，点与点 分别是对应点，观察点与点的坐标之间的关系，解答下列问题： (1)填写完整：点与点，点与点，点与点的坐标，并说说对应点的坐标有哪些特征； 与（   ）；（   ）与，与 （   ）． 对应点坐标的特征：横坐标、纵坐标均 (2)若点 与点 也是通过上述变换得到的对应点，求 ，的值． 4．（22-23九年级上·福建厦门·期中）已知抛物线． (1)求证：抛物线与x轴必有交点； (2)若该抛物线与直线的两个交点关于原点对称，求m的值． 题型二 根据中心对称图形的性质求长度、面积 1．（24-25九年级上·新疆吐鲁番·期末）如图，与关于点C成中心对称，若，求的长． 2．（24-25九年级上·山东德州·期中）如图，矩形和矩形关于点D中心对称，已知，，求阴影部分的面积． 3．（22-23九年级上·福建福州·期末）如图，与关于点G中心对称，若点E，F分别在上，且，求证：． 4．（23-24九年级上·甘肃定西·期中）如图，在平面直角坐标系中，小正方形网格的边长为1个单位长度的三个顶点的坐标分别为，，．    (1)画出关于原点中心对称的； (2)求的面积． 题型三 按变换要求画图形 1．（24-25九年级上·河南洛阳·期末）如图，已知在平面直角坐标系中，线段的坐标分别为 (1)画出线段绕点逆时针旋转得到线段，连接点A、C得到； (2)在（1）的条件下，画出关于原点对称的，点的对应点分别是； (3)在（2）的条件下，已知线段绕平面内的点旋转一个特定的度数可与线段重合（其中点对应点），请直接写出点的坐标为_____________． 2．（24-25九年级上·山东德州·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，．    (1)画出； (2)画出关于原点对称的； (3)画出绕原点O顺时针旋转后的． 3．（22-23九年级上·福建厦门·阶段练习）如图，△ABC在平面直角坐标系内，三个顶点的坐标分别为，，．（正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度） (1)作出绕点顺时针方向旋转后得到的； (2)作出关于原点成中心对称的． 4．（23-24九年级上·湖北孝感·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是，，. (1)将以点C为中心旋转180°，画出旋转后对应的； (2)平移，若点的对应点的坐标为，画出平移后的； (3)和是否关于某点对称？如是，还请写出这点坐标；如不是，只需作出判断即可． 1．（24-25九年级上·福建厦门·期中）在平面直角坐标系中，已知点，N；对于点P给出如下定义：将点P向右或向左平移个单位长度，再向上（）或向下（）平移个单位长度，得到点，点关于点N的对称点为Q，称点Q为点P的“对应点”． (1)如图，点，点N在线段的延长线上，若点，点Q为点P的“对应点”． ①当N坐标为，在图中画出点Q，连接，交线段于点T，求的值； ②当N为线段延长线上任意一点，连接，交线段于点T，是否为定值？ (2)的半径为t，M是上一点，点N在线段上，若点N与点O重合，P为外一定点，点Q为点P的“对应点”．当点M在上运动时，直接写出点Q所构成的图形的面积（用含t的式子表示）． 2．（24-25九年级上·北京·期中）对于平面直角坐标系内的点P和图形M，给出如下定义：如果点P绕原点O顺时旋转得到点，点落在图形M上或图形M围成的区域内，那么称点P是图形M关于原点O的“伴随点”．已知点，，． (1)在点，，中，点 是线段关于原点O的“伴随点”； (2)如果点是关于原点O的“伴随点”，直接写出m的取值范围； (3)已知抛物线的顶点坐标为，其关于原点对称的抛物线上存在关于原点O的“伴随点”，求n的最大值和最小值． 3．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）在如图所示的小正方形网格中，，，，，，均为小正方形的顶点，仅用无刻度的直尺完成下列作图，作图过程用虚线表示，作图结果用实线表示： (1)图中，作关于点中心对称的三角形； (2)图中，是网格线上的一点，连接，根据网格特点在图中标出的中点，将线段平移得到线段，点的对应点为点； (3)图中，，，，，线段绕着点旋转可以得到线段，直接写出旋转中心的坐标 ． 4．（23-24九年级上·江西赣州·期末）课本知识再现： （Ⅰ）归纳（八年级上册课本页）：点关于轴对称的点的坐标为；点关于轴对称的点的坐标为； （Ⅱ）归纳（九年级上册课本页）：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点关于原点的对称点为． 小颖在学习完《旋转》与《二次函数》两章后，从点的对称角度思考函数图像的对称，发现一次函数、二次函数图像上也可以应用点的对称特点． 根据上面知识，求与已知直线关于轴对称的直线的解析式； 解：设与直线关于轴对称的直线上任意一点， ∵点关于轴对称的点的坐标为， 又∵点必在直线上， 把点代入，得 ， ∴与已知直线关于轴对称的直线的解析式为． 理解上面的解题过程，并完成下题： (1)直接写出直线关于轴对称的直线的解析式为 　； (2)已知二次函数的图像与抛物线关于原点对称，请根据上述方法求的值； (3)判断以下每对函数的图像： ①与；    ②与； ③与；            ④与． 其中一定关于原点对称的是　 　（填序号）． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$