精品解析： 山东省淄博市临淄区2024—2025学年下学期七年级期末数学试卷（五四学制）

2024-2025学年山东省淄博市临淄区七年级（下）期末数学试卷（五四学制） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列式子是一元一次不等式的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，已知直线，，，则的度数为（    ）． A. B. C. D. 3. 已知方程组的解是，则函数与的图象的交点坐标是（    ） A. B. C. D. 4. 如果，那么下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 在和中，已知，，再从下面条件中随机抽取一个：①，②，③，④．抽到的条件恰好能使的概率是（ ） A. B. C. D. 1 6. 如图，点、分别在轴的负半轴和轴的正半轴上，，垂足为，且．若点的坐标为，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 若关于x、y的方程组的解满足，则整数m的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 某品牌手机的成本为每部2000元，售价为每部2800元，该商店准备举行打折促销活动，要求利润率不低于，如果将这种品牌的手机打x折销售，则下列不等式中能正确表示该商店的促销方式的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，，，点D是和的角平分线的交点，且于E，则的长度为（    ）． A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 10. 如图，在中，，，，点D，E分别是上的动点，且，连接，则的最小值是（    ）． A. 5 B. C. 6 D. 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分． 11. 命题“两个全等三角形的面积相等”的逆命题是_____命题．（填入“真”或“假”） 12. 如图，，点G、F分别在、上，平分交AB于点E，，则______． 13. 如图，在中，，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点和点，作直线分别交，于点和点．若，则的度数为______． 14. 关于x的不等式组恰有3个整数解，则m的取值范围是______． 15. 如图，已知是等边三角形，点D，E分别在边、上，、交于点F，．为的角平分线，点H在的延长线上，，连接，．下列说法中：①；②为等边三角形；③；④；正确的是______．（填序号） 三、解答题：本题共8小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. （1）解不等式，并把它的解集表示在数轴上； （2）解不等式组，并写出它的所有整数解． 17. 如图，在一条直线上，与交于点，，，，求证： （1）． （2）． 18. 如图，在平面直角坐标系中，过点的直线：与直线：相交于点． （1）求直线的表达式； （2）结合图象，写出不等式的解集． 19. 若关于x，y的方程组． （1）求方程组的解（用含m的代数式表示）； （2）若方程组的解满足，，求m的整数解． 20. 一个不透明的袋中装有红、黄、白三种颜色的球共个，它们除颜色外都相同，其中白球比红球的倍多个，已知从袋中摸出一个球是黄球的概率是． （1）求袋中黄球的个数； （2）求从袋中摸出一个球是红球的概率； （3）现向袋中放入个白球，同时拿出红球和黄球共个，若从袋中摸出一个球是白球的概率为，求的值． 21. 如图，在RtABC中，∠ACB＝90°，D是AB上的一点，BD＝BC，过点D作AB的垂线交AC于点E，CD交BE于点F． （1）求证：BE垂直平分CD； （2）若∠BED＝60°，求证：CBD是等边三角形． 22. 据灯塔专业版数据，截至2025年4月6日，《哪吒之魔童闹海》总票房达亿元，登顶全球动画电影票房榜，是亚洲首部票房过百亿的影片，并创造了全球单一电影市场最高票房纪录．该片来源于哪吒闹海的传统故事，但又重塑了全新的“魔童”哪吒形象：表面吊儿郎当，实则勇敢坚毅，强烈反差引发情感共鸣；“我命由我不由天”的不屈精神，让观众泪目．为满足儿童对哪吒的喜爱，商家推出、两种类型的哪吒纪念娃娃．已知购进50件种娃娃和40件种娃娃的费用共2000元；且每个种娃娃的进价比每个种娃娃的进价多5元． （1）每个种娃娃和每个种娃娃的进价分别是多少元？ （2）因销售效果不错，某玩具店决定购进、两种哪吒玩偶共100个，且种娃娃的数量不多于种娃娃数量，且购买资金不超过2260元．请问共有几种购买方案？哪一种方案最省钱？ 23. 图中和是两个等边三角形，其中，，如图①， （1）将两三角形按图1放置（点A，，在同一条直线上），连接线段，，求线段的长； （2）将绕点A逆时针旋，如图2所示，直线，相交于点，连接．求证：； （3）以图1的位置为起点，将绕点A逆时针旋转，当点，，恰好在一条直线上时，直接写出线段的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年山东省淄博市临淄区七年级（下）期末数学试卷（五四学制） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列式子是一元一次不等式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】只含有一次未知数，且未知数的最高次数为1的不等式叫一元一次不等式，根据一元一次不等式的定义可直接判断求解． 【详解】解：A、此不等式中不是整式，不是一元一次不等式，故此选项不符合题意； B、此不等式是一元一次不等式，故此选项符合题意； C、此不等式含有2个未知数，不是一元一次不等式，故此选项不符合题意； D、此不等式最高次数是2次，不是一元一次不等式，故此选项不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题主要考查一元一次不等式的定义，掌握一元一次不等式的定义是解题的关键．要注意：一元一次不等式中必须只含有一个未知数，未知数的最高次数是一次，并且不等式左右两边必须是整式． 2. 如图，已知直线，，，则的度数为（    ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是平行线的性质、三角形外角的性质等知识点，掌握两直线平行，内错角相等是解题的关键． 先根据三角形外角的性质求出的度数，再由平行线的性质求解即可． 【详解】解：，， ， ， ． 故选：A． 3. 已知方程组的解是，则函数与的图象的交点坐标是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数与二元一次方程组的关系，掌握方程组的解是两个一次函数图象的交点坐标成为解题的关键． 由两个方程分别可化为、，然后根据方程组的解是两个一次函数图象的交点坐标即可解答． 【详解】解：第一个方程可整理为：， 第二个方程可整理为， ∵方程组的解是， ∴函数与的图象的交点坐标是． 故选：A． 4. 如果，那么下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的性质对各选项进行判断． 【详解】解：∵， ∴，，，， ∴A，B，C不符合题意，D符合题意； 故选D 【点睛】本题考查了不等式的性质：不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 5. 在和中，已知，，再从下面条件中随机抽取一个：①，②，③，④．抽到的条件恰好能使的概率是（ ） A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】由，知，若要使，则需要①或③或④，再根据概率公式求解即可． 【详解】解：在和中，，， 若要使，则需要①或③或④， 抽到的条件恰好能保证的概率是， 故选：C． 【点睛】本题主要考查概率公式和全等三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形的判定及概率公式． 6. 如图，点、分别在轴的负半轴和轴的正半轴上，，垂足为，且．若点的坐标为，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】作轴于点，可证明，由得，，则，所以点的坐标为． 【详解】解：如图，作轴于点，则， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ， 点的坐标为； 故选：D． 7. 若关于x、y的方程组的解满足，则整数m的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解以及解二元一次方程组和一元一次不等式，掌握二元一次方程组的解法是解题关键．将方程组中的两个方程相加可得，再根据方程组解的情况得到关于的不等式，求最小整数解即可． 【详解】解：， 由得：， 方程组的解满足， ， 解得：， 整数m的最小值为2， 故选：B． 8. 某品牌手机的成本为每部2000元，售价为每部2800元，该商店准备举行打折促销活动，要求利润率不低于，如果将这种品牌的手机打x折销售，则下列不等式中能正确表示该商店的促销方式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元一次不等式的实际应用，根据利润率不低于，列一元一次不等式即可求解． 【详解】解：由题意得，， 故选：D． 9. 如图，在中，，，，点D是和的角平分线的交点，且于E，则的长度为（    ）． A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查的是勾股定理、角平分线的性质、三角形面积公式等知识点，熟练掌握勾股定理和角平分线的性质是解题的关键． 根据勾股定理求出的长，再由角平分线的性质得，然后利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：如图：过点D作，，垂足分别为N，M，连接DA， ，，， ， 点D是、的角平分线的交点，且于E， ， ， ， ，即，解得：． 故选：A． 10. 如图，在中，，，，点D，E分别是上的动点，且，连接，则的最小值是（    ）． A. 5 B. C. 6 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、两点之间线段最短、勾股定理等知识点，正确地添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． 如图：过点B作，且使，连接，先由勾股定理求出，，证明，进而依据“”判定和全等得，继而得，由此得当为最小时，为最小，根据“两点之间线段最短”得，据此即可得出的最小值． 【详解】解：如图：过点B作，且使，连接， 在中，，，， ∴， ， ， 在中，，， 由勾股定理得：， ，， ，， ， 在和中， ， ， ， ， 当为最小时，为最小， 根据“两点之间线段最短”得：， 当点F，E，A共线时，为最小，最小值是， 的最小值是 故选：B． 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分． 11. 命题“两个全等三角形的面积相等”的逆命题是_____命题．（填入“真”或“假”） 【答案】假 【解析】 【详解】解：原命题的逆命题为：面积相等的两个三角形为全等三角形，则这个命题为假命题． 故答案为：假． 【点睛】本题考查了命题的真假性，解决此题的关键是会写出原命题的逆命题． 12. 如图，，点G、F分别在、上，平分交AB于点E，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的有关计算． 由，根据“两直线平行，内错角相等”得到，求得的度数，再根据角平分线的定义得到，然后根据“两直线平行，同旁内角互补”即可得到 【详解】解：， ， ， 平分， ， 而， 故答案是： 13. 如图，在中，，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点和点，作直线分别交，于点和点．若，则的度数为______． 【答案】30° 【解析】 【分析】根据等腰三角形性质得到，，再由尺规作图得到垂直平分，从而由中垂线性质得到，进而，即可得到 ． 【详解】解：∵，， ∴， ， 由尺规作图可知垂直平分， ∴由中垂线性质可知， ∴， ， 故答案为：30°． 【点睛】本题考查尺规作图与求角度结合问题，涉及等腰三角形性质、中垂线的尺规作图、中垂线性质等知识，熟练掌握中垂线的尺规作图是解决问题的关键． 14. 关于x的不等式组恰有3个整数解，则m的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的整数解，熟知解一元一次不等式组的步骤是解题的关键． 根据题意，得出关于m的不等式组，据此可解决问题． 【详解】解：由得，， 由得，， 因为此不等式组恰有3个整数解， 所以整数解为4，5，6， 所以， 解得， 故答案为：. 15. 如图，已知是等边三角形，点D，E分别在边、上，、交于点F，．为的角平分线，点H在的延长线上，，连接，．下列说法中：①；②为等边三角形；③；④；正确的是______．（填序号） 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】此题主要考查了等边三角形的判定与性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，理解等边三角形的判定与性质，熟练掌握角平分线的性质，全等三角形的判定与性质是解决问题的关键，正确地添加辅助线，构造全等三角形是解决问题的难点． ①根据，得，由此可对①进行判断；③过点C作于点N，交AE的延长线于点M，证明CF是的平分线得，证明，进而可依据“”判定和全等得，再证明和全等得，继而得，由此可对③进行判断；②证明，则依据“”判定和全等，，进而得是等边三角形，由此可对②进行判断；④根据和全等得，由此可对④进行判断，综上所述即可得出答案． 【详解】解：①是等边三角形， ，， ， ，是的外角， ， ，故①正确； ③过点C作于点N，交AE的延长线于点M，如图所示： ， ，， 为的角平分线， ， ， 即是的平分线， ，， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，故③正确； ②是的外角，是的外角， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 是等边三角形，故②正确； ④， ，故④正确， 综上所述：正确的是①②③④． 故答案为：①②③④． 三、解答题：本题共8小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. （1）解不等式，并把它的解集表示在数轴上； （2）解不等式组，并写出它的所有整数解． 【答案】（1），数轴见解析；（2），不等式组的整数解为，0，1， 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解、解一元一次不等式及解一元一次不等式组，熟知解一元一次不等式组的步骤是解题的关键． 根据解一元一次不等式的步骤，求出不等式的解集，并将解集在数轴上表示出来即可． 根据解一元一次不等式组的步骤，求出不等式组的解集，并写出整数解即可． 【详解】解：（1）， ， ， ， 数轴表示如下： . （2）， 解不等式①得，； 解不等式②得，， 所以不等式组的解集为：， 不等式组的整数解为，0，1， 17. 如图，在一条直线上，与交于点，，，，求证： （1）． （2）． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质； （1）首先得出，再利用证明即可． （2）由全等三角形的性质证明，可得． 【小问1详解】 证明：∵， ∴，即 在和中 ∴． 【小问2详解】 证明：∵， ∴， ∴． 18. 如图，在平面直角坐标系中，过点的直线：与直线：相交于点． （1）求直线的表达式； （2）结合图象，写出不等式的解集． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数、待定系数法、一元一次不等式，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）先利用正比例函数解析式确定，然后利用待定系数法求直线的表达式； （2）结合函数图象，写出在轴右侧，直线在直线上方所对应的自变量的范围即可． 【小问1详解】 解：把代入得： ， 解得：， ， 把，分别代入得： ， 解得：， 直线的表达式为； 【小问2详解】 解：由图象知：当时，， 不等式的解集为． 19. 若关于x，y的方程组． （1）求方程组的解（用含m的代数式表示）； （2）若方程组的解满足，，求m的整数解． 【答案】（1） （2）2， 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组和一元一次不等式组，一元一次不等式的整数解，解决本题的关键是求出方程组的解集． （1）利用加减法解方程组即可； （2）根据方程组的解满足，得到不等式组，解不等式组就可以得出m的范围，进而求得m的整数解． 【小问1详解】 ， ②-①得： 解得：， 把代入①得：， 解方程组为； 【小问2详解】 ，， ， 解得：， 的整数解是：2， 20. 一个不透明的袋中装有红、黄、白三种颜色的球共个，它们除颜色外都相同，其中白球比红球的倍多个，已知从袋中摸出一个球是黄球的概率是． （1）求袋中黄球的个数； （2）求从袋中摸出一个球是红球的概率； （3）现向袋中放入个白球，同时拿出红球和黄球共个，若从袋中摸出一个球是白球的概率为，求的值． 【答案】（1）个； （2）； （3）． 【解析】 【分析】（）用乘以摸到黄球的概率即可求解； （）设袋中有个红球，则白球有个，根据题意，列出方程求出红球的个数，再根据概率公式计算即可求解； （）由（）可得袋中白球的个数，再根据概率公式即可求解； 本题考查了概率的计算，一元一次方程的应用，掌握概率的计算公式是解题的关键． 【小问1详解】 解：由题意可得，袋中黄球的个数为个； 【小问2详解】 解：设袋中有个红球，则白球有个， 由题意可得，， 解得， ∴袋中有个红球, ∴从袋中摸出一个球是红球的概率为； 【小问3详解】 解：由（）可得袋中白球的个数为个， 由题意可得，， 解得， ∴的值为． 21. 如图，在RtABC中，∠ACB＝90°，D是AB上的一点，BD＝BC，过点D作AB的垂线交AC于点E，CD交BE于点F． （1）求证：BE垂直平分CD； （2）若∠BED＝60°，求证：CBD是等边三角形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）先证Rt△EBC≌Rt△EBD（HL），即可得出BE是∠DBC的角平分线，再根据等腰三角形三线合一即可得证； （2）根据BD=BC，BE垂直平分CD，可得∠CBE=∠DBE=30°，进而可以证明结论． 【小问1详解】 证明：∵∠ACB=90，且DE⊥AB， ∴∠EDB=∠ACB=90°， 在Rt△EBC和Rt△EBD中， ， ∴Rt△EBC≌Rt△EBD（HL）， ∴∠CBE=∠DBE， ∵BD=BC， ∴△BDC是等腰三角形， ∴BF⊥CD，CF=DF， ∴BE垂直平分CD； 【小问2详解】 证明：∵∠BED=60°，∠EDB=90°， ∴∠DBE=30°， ∵BD=BC，BE垂直平分CD， ∴∠CBE=∠DBE=30°， ∴∠CBD=60°， ∴△CBD是等边三角形． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定和性质与等边三角形的判定是解决本题的关键． 22. 据灯塔专业版数据，截至2025年4月6日，《哪吒之魔童闹海》总票房达亿元，登顶全球动画电影票房榜，是亚洲首部票房过百亿的影片，并创造了全球单一电影市场最高票房纪录．该片来源于哪吒闹海的传统故事，但又重塑了全新的“魔童”哪吒形象：表面吊儿郎当，实则勇敢坚毅，强烈反差引发情感共鸣；“我命由我不由天”的不屈精神，让观众泪目．为满足儿童对哪吒的喜爱，商家推出、两种类型的哪吒纪念娃娃．已知购进50件种娃娃和40件种娃娃的费用共2000元；且每个种娃娃的进价比每个种娃娃的进价多5元． （1）每个种娃娃和每个种娃娃的进价分别是多少元？ （2）因销售效果不错，某玩具店决定购进、两种哪吒玩偶共100个，且种娃娃的数量不多于种娃娃数量，且购买资金不超过2260元．请问共有几种购买方案？哪一种方案最省钱？ 【答案】（1）每个种娃娃的进价为20元，则每个B种娃娃的进价为25元； （2）一共有3种方案：购买A种娃娃48个，购买B种娃娃52个或购买A种娃娃49个，购买B种娃娃51个或购买A种娃娃50个，购买B种娃娃50个，其中购买A种娃娃50个，购买B种娃娃50个这种方案最省钱． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，正确理解题意建立方程和不等式组求解是解题的关键． （1）设每个种娃娃的进价为x元，则每个B种娃娃的进价为元，根据购进50件种娃娃和40件种娃娃的费用共2000元建立方程求解即可； （2）设购买A种娃娃y个，则购买B种娃娃个，根据种娃娃的数量不多于种娃娃数量，且购买资金不超过2260元建立不等式组求出y的取值范围，进而求出y的正整数解，再算出对应方案下的费用即可得到答案． 【小问1详解】 解：设每个种娃娃的进价为x元，则每个B种娃娃的进价为元， 由题意得，， 解得， ∴， 答：每个种娃娃的进价为20元，则每个B种娃娃的进价为25元； 【小问2详解】 解：设购买A种娃娃y个，则购买B种娃娃个． 根据题意，得， 解得， ∵y为正整数， ∴y的值可以为48或49或50， 当时，，此时费用为元， 当时，，此时费用为元， 当时，，此时费用为元， ∵， ∴一共有3种方案：购买A种娃娃48个，购买B种娃娃52个或购买A种娃娃49个，购买B种娃娃51个或购买A种娃娃50个，购买B种娃娃50个，其中购买A种娃娃50个，购买B种娃娃50个这种方案最省钱． 23. 图中和是两个等边三角形，其中，，如图①， （1）将两三角形按图1放置（点A，，在同一条直线上），连接线段，，求线段的长； （2）将绕点A逆时针旋，如图2所示，直线，相交于点，连接．求证：； （3）以图1的位置为起点，将绕点A逆时针旋转，当点，，恰好在一条直线上时，直接写出线段的长度． 【答案】（1）； （2）见详解； （3）． 【解析】 【分析】（1）由是等边三角形，，，得到，求出，再证明，得到即可； （2）分别过点作于点，于点，先证明，得到，，由三角形内角和定理得到，再证明，得到，则可证明平分，故可知，则问题可证； （3）当，，共线时，过点作于点，分别求出，，在利用勾股定理求出，从而求出，由问题可解． 【小问1详解】 ∵，， ∴ ∴ ∴ ∵和是两个等边三角形， ∴，， ∴， ∴． 【小问2详解】 如图2，分别过点作于点，于点， ∵和是两个等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵于点，， ∴， ∴， ∴， ∴平分， ∴， ∴． 【小问3详解】 ； 如图，当，，共线时，过点作于点， ∵为等边三角形，， ∴，， ∴ ∴， 由（2）同理，， ， 如图，当，，共线时， 同理，可得，． 【点睛】本题是几何旋转变换综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形判定和性质、勾股定理以及分类思想，解答关键是利用数形结合思想，找到条件之间关联． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $