精品解析：辽宁省沈阳市皇姑区2024-2025学年下学期八年级期末数学试题

2024－2025下学期八年级期末能力训练 数学试卷 （本试卷共23道题 满分120分 学科考试时间共120分钟） 考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知，则下列各式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的知识点是不等式的性质，解题关键是熟练掌握不等式的性质． 根据不等式的性质对选项进行逐一判断即可得解． 【详解】解：、，，则不成立，不符合题意，选项错误； 、∵，∴，符合题意，选项正确； 、，若，则；若，则，即不一定成立，选项错误； 、，，，则不成立，不符合题意，选项错误． 故选：． 2. 下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据因式分解的定义（把一个多项式化成几个整式积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解）、平方差公式（）逐项判断即可得． 【详解】解：A、等式右边不是整式积的形式，不是因式分解，则此项不符题意； B、是整式的乘法运算，不是因式分解，则此项不符题意； C、等式右边等于，与等式左边不相等，不是因式分解，则此项不符题意； D、等式右边等于，即等式的两边相等，且等式右边是整式积的形式，是因式分解，则此项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了因式分解的定义、整式的乘法运算，熟记因式分解的定义是解题关键． 3. 我国汉代数学家赵爽在他所著《勾股圆方图注》中，运用弦图（如图所示）巧妙地证明了勾股定理．“赵爽弦图”曾作为2002年第24届国际数学家大会的会徽图案．下列关于“赵爽弦图”说法正确的是（ ） A. 是轴对称图形 B. 是中心对称图形 C. 既是轴对称图形又是中心对称图形 D. 既不是轴对称图形也不是中心对称图形 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的定义、中心对称图形的定义；平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，这个图形就叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，即可作答． 【详解】解：是中心对称图形，但不是轴对称图形 故选：B 4. 某学校一位数学老师为在数学探究活动中表现优秀的名学生每人买了一份奖品，扫码支付了元，则每份奖品的价格可表示为（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了列代数式，根据单价=钱数÷数量列式即可． 【详解】解：∵名学生每人买了一份奖品，扫码支付了元， ∴每份奖品的价格可表示为元． 故选D． 5. 将点向左平移2个单位，向上平移4个单位得到点Q，则点Q的坐标是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形变换（平移），根据坐标平移的规律即可求解，熟练掌握坐标平移的规律是解题的关键． 【详解】解：点向左平移2个单位，向上平移4个单位得到点， 故选C． 6. 一个正n边形的每一个内角都是，则n的值为（） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】D 【解析】 【分析】先求出正边形的一个外角度数，再根据多边形外角和为，用除以一个外角度数即可得到边数． 【详解】解：∵正边形的每个内角都是， ∴每一个外角为， ∴． 7. 在中，的对边分别为．下列所给数据中，不能判断是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，勾股定理的逆定理，根据三角形内角和为180度求出三个内角中最大的内角的度数即可判断A、B；三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形，据此可判断C、D． 【详解】解：A：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形，故A不符合题意； B、∵， ∴可设， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴不是直角三角形，故B符合题意； C、∵， ∴， ∴是直角三角形，故C不符合题意； D、∵， ∴可设， ∴， ∴是直角三角形，故D不符合题意； 故选：B． 8. 如图，把绕C点顺时针旋转，得到，交于点D，若，则的度数（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，三角形内角和定理；由旋转的性质可得，，可求出，再由即可求解. 【详解】解：由旋转的性质得：，， ∴， ∵， ∴， ∴. 故选：C. 9. 如图，面积为S的菱形ABCD中，点O为对角线的交点，点E是线段BC单位中点，过点E作EF⊥BD于F，EG⊥AC于G，则四边形EFOG的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由菱形的性质得出OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，S＝AC×BD，证出四边形EFOG是矩形，EF∥OC，EG∥OB，得出EF、EG都是△OBC的中位线，则EF＝OC＝AC，EG＝OB＝BD，由矩形面积即可得出答案． 【详解】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，S＝AC×BD， ∵EF⊥BD于F，EG⊥AC于G， ∴四边形EFOG是矩形，EF∥OC，EG∥OB， ∵点E是线段BC的中点， ∴EF、EG都是△OBC的中位线， ∴EF＝OC＝AC，EG＝OB＝BD， ∴矩形EFOG的面积＝EF×EG＝AC×BD＝ =S； 故选：B． 【点睛】本题考查了菱形的性质及面积的求法、矩形的判定与性质、三角形中位线定理等知识；熟练掌握菱形的性质和矩形的性质是解题的关键． 10. 如图，在四边形中， ．以点为圆心，长为半径画弧，交于点，再分别以点为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点．若，则的长为（　　） A. 10 B. 12 C. 13 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查作图复杂作图，平行四边形的性质，菱形的判定和性质等知识，证明即可，设交于点，连接，证明四边形是菱形，利用勾股定理求出即可解决问题，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 【详解】证明：由作图可知，平分， ， ， ， ， ， 如图，设交于点，连接， 由作图可知：，平分， ， ， ， ， 四边形是菱形， ， 在中，， ， ． 故选：B． 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解即可． 【详解】解： ． 12. 若分式的值为零，则______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查分式值为0的条件，掌握“分子为0且分母不为0”是分式值为0的必要条件，是解决问题的关键． 根据分式的值为0的条件，即分子为0且分母不为0，进行计算即可． 【详解】解：由题意可得，且， 解得． 故答案为：2． 13. 如图所示，一次函数与正比例函数相交于点，则不等式的解集是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查对一次函数与一元一次不等式的理解和掌握，能根据图象得出当时是解此题的关键． 根据图象求出P的坐标，根据图象可以看出当时，一次函数的图象在的上方，即可得出答案． 【详解】解：由图象可知：P的坐标是， 当时，一次函数的图象在的上方，即， 故答案为：． 14. 如图，在正方形中，点E是边的中点，分别交，边于点F，G．若，则的长为_________． 【答案】 【解析】 【分析】过点B作交于点N，先证明，推出，利用勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：过点B作交于点N，如图所示： ∵四边形是正方形，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵点E是边的中点， ∴， ∴， ∴， 【点睛】本题考查了正方形的性质，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，构造辅助线，证明三角形全等是解题的关键． 15. 如图，在中，，，是的中点，是上一点，若平分的周长，则的长等于_____． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了三角形中位线定理，等腰三角形性质，解直角三角形等知识点；延长至点使得，连接，作于点，则，易得，又由已知得，则，故为中位线，从而得． 【详解】延长至点使得，连接，作于点， 则， ∴， ∴， ∵平分的周长 ∴， ∵是中点， ∴， ∴， ∴为中位线， ∴． 故答案为：． 三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 计算 （1）因式分解： （2）计算： 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了利用乘法公式进行因式分解，以及分式计算，熟练掌握利用乘法公式进行因式分解是解题的关键． （1）利用平方差、完全平方公式进行因式分解即可； （2）根据运算顺序依次计算，计算中可以使用完全平方公式进行因式分解，最后约分化简即可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 17. 解不等式组：． 【答案】x＞2 【解析】 【分析】首先分别求出每一个不等式的解集，然后确定它们解集的公共部分即可． 【详解】解： 由3x≥x+2，解得x≥1， 由x+4＜2（2x﹣1），解得x＞2， 所以不等式组的解集为x＞2． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 18. 甲、乙两人加工同一种零件，甲比乙每小时多加工10个这种零件，甲加工150个这种零件所用的时间与乙加工120个这种零件所用的时间相等，求乙每小时加工多少个这种零件？ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，理解题意正确列方程是解题关键．设乙每小时加工个这种零件，根据“甲加工150个这种零件所用的时间与乙加工120个这种零件所用的时间相等”，列方程求解即可． 【详解】解：设乙每小时加工个这种零件，则甲每小时加工个这种零件， 则， 解得：， 经检验，是原分式方程的解， 答：乙每小时加工个这种零件． 19. 如图，在边长为1的正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的三个顶点都在方格纸的格点上，坐标分别为：点，，． （1）将绕点顺时针旋转后得到，请画出； （2）将向右移动3个单位后得到，请画出； （3）与是否中心对称，若是中心对称，直接写出对称中心的坐标；若不是中心对称，说明理由． 【答案】（1）如图，即为所求作； （2）如图，即为所求作； （3）是中心对称，对称中心的坐标为 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质作图即可； （2）根据平移的性质作图即可； （3）连接、、交于一点，则与是中心对称，先根据平移得到点的坐标，再根据中心对称图形的性质求解即可． 【小问1详解】 解：略； 【小问2详解】 解：略； 【小问3详解】 解：如图，连接、、交于一点，则与是中心对称， ， 向右移动3个单位后点的坐标为， 对称中心的坐标为，即． 20. 如图，在中，点是延长线上的一点，连接，，交于点． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）若，，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2）104度 【解析】 【分析】（1）平行四边形的性质，得到，，进而得到，推出，得到，即可得证； （2）邻补角求出，平行四边形的性质，得到，结合，求出，进而得到的度数，再利用外角的性质，求解即可． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形． 【小问2详解】 ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质，解题的关键是掌握平行四边形的性质定理和判定定理． 21. 我市某商场计划购进甲、乙两种商品共80件，其进价、售价如下表所示： 进价（元/件） 售价（元/件） 甲种商品 15 20 乙种商品 25 35 设甲种商品购进件，售完此两种商品总利润为元． （1）求与的函数关系式； （2）若该商场计划最多投入1500元，则最大利润是多少元？ 【答案】（1） （2）550元 【解析】 【分析】本题考查了销售问题的数量关系的运用，一次函数的应用，一元一次不等式的应用，解答时运用销售问题的数量关系求出一次函数的解析式是关键． （1）根据总利润甲种商品利润乙种商品利润即可解决问题； （2）列出不等式求出x的取值范围，然后根据一次函数的增减性解决最大值问题． 【小问1详解】 解：与的函数关系式为； 【小问2详解】 解：∵该商场计划最多投入1500元， ∴， 解得， ∵， ∴随的增大而减小， ∴当时，最大为元， ∴售完这些商品，商场可获得的最大利润是元． 22. 如图①，已知矩形，为对角线，，延长到点，使，连接． （1）求证：为等边三角形； （2）点是边上一动点（不与点，点重合），连接，将绕点逆时针旋转得，连接、． ①在图②中，求证：； ②取中点，连接和，当，时，直接写出线段的长度． 【答案】（1）见解析 （2）①见解析；②或． 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质，得出，再得出垂直平分，得到，即可证明结论； （2）①连接，根据旋转的性质，得出是等边三角形，再根据等边三角形的性质，先证明，再证明，即可得到结论； ②连接交于点，取的中点，根据矩形的性质，得出点的运动轨迹为线段（不与点和点重合），过点作于点，根据含30度角的直角三角形，得出，，再分两种情况讨论：利用勾股定理分别求解即可． 【小问1详解】 证明：四边形是矩形， ， ， ， ，， 垂直平分， ， 为等边三角形； 【小问2详解】 解：①如图，连接， 由旋转的性质可知，，， 是等边三角形， ， 由（1）可知，为等边三角形， ，， ，即， 在和中， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； ②如图，连接交于点，取的中点， 四边形是矩形，， ，，， ，， 是等边三角形， 当点在点处时，点与点重合，此时即为，中点为， 是等边三角形， 当点在点处时，点与点重合，此时即为，中点为， 点的运动轨迹为线段（不与点和点重合）， 过点作于点，则， ， 在中，， ，， 当点在点左侧时， ， ， ； 当点在点右侧时， 在中，， ， 综上可知，线段的长度为或． 【点睛】本题考查了矩形的性质，垂直平分线的性质，旋转的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形，勾股定理等知识，掌握相关知识点是解题关键． 23. 定义：在平面直角坐标系中，函数图象上到一条坐标轴的距离等于，到另一条坐标轴的距离不大于的点叫做该函数图象的“阶界点”．例如：直线上的点到轴的距离为，到轴的距离为，，所以点是它的“3阶界点”． （1）若三点的坐标分别为，则三点中，是直线的“1阶界点”的有点 （直接填空）； （2）如图，直线与直线相交于点． ①求点的坐标； ②已知直线上有两个“阶界点”和，点在点的下方，直线上有两个“阶界点”和，点在点的下方，连接．设的面积为，求与之间的函数表达式，并写出的取值范围． 【答案】（1）A，C （2）①（2，2）；②当2＜a＜6时；当a≥6时 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的综合应用，涉及新定义“阶界点”，通过联立方程求交点坐标，利用坐标求三角形面积，关键是理解新定义并准确计算． （1）根据“a阶界点”的定义，分别计算点A、B、C到坐标轴的距离并判断； （2）①联立直线方程求解交点坐标；②结合图形，先根据“a阶界点”定义确定的坐标，再根据三角形面积公式求解； 【小问1详解】 解：，‘ 点A到x，y轴的距离都等于于，满足“1阶界点”定义； 点B到x轴的距离是3，到y轴的距离是1，，不满足“1阶界点”定义； 点C到x轴距离是1，到y轴的距离是0，，满足“1阶界点”定义； 故答案为：； 【小问2详解】 ①直线与直线相交于点， 解方程组， 解得，， 点E的坐标为； ②直线上有两个“阶界点”， ， 如图， 对于，若到轴距离为，则或， 当时，即， ， 此时过作轴交于点，则， ， ； 当时， 当时，解得； 当时，解得， ，， 对于，若到轴距离为，则或， ，； 以为底，高为，的长度为， ， 综上，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024－2025下学期八年级期末能力训练 数学试卷 （本试卷共23道题 满分120分 学科考试时间共120分钟） 考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知，则下列各式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 3. 我国汉代数学家赵爽在他所著《勾股圆方图注》中，运用弦图（如图所示）巧妙地证明了勾股定理．“赵爽弦图”曾作为2002年第24届国际数学家大会的会徽图案．下列关于“赵爽弦图”说法正确的是（ ） A. 是轴对称图形 B. 是中心对称图形 C. 既是轴对称图形又是中心对称图形 D. 既不是轴对称图形也不是中心对称图形 4. 某学校一位数学老师为在数学探究活动中表现优秀的名学生每人买了一份奖品，扫码支付了元，则每份奖品的价格可表示为（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 5. 将点向左平移2个单位，向上平移4个单位得到点Q，则点Q的坐标是（　　） A. B. C. D. 6. 一个正n边形的每一个内角都是，则n的值为（） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 7. 在中，的对边分别为．下列所给数据中，不能判断是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，把绕C点顺时针旋转，得到，交于点D，若，则的度数（ ） A. B. C. D. 9. 如图，面积为S的菱形ABCD中，点O为对角线的交点，点E是线段BC单位中点，过点E作EF⊥BD于F，EG⊥AC于G，则四边形EFOG的面积为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在四边形中， ．以点为圆心，长为半径画弧，交于点，再分别以点为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点．若，则的长为（　　） A. 10 B. 12 C. 13 D. 6 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 因式分解：______． 12. 若分式的值为零，则______． 13. 如图所示，一次函数与正比例函数相交于点，则不等式的解集是________． 14. 如图，在正方形中，点E是边的中点，分别交，边于点F，G．若，则的长为_________． 15. 如图，在中，，，是的中点，是上一点，若平分的周长，则的长等于_____． 三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 计算 （1）因式分解： （2）计算： 17. 解不等式组：． 18. 甲、乙两人加工同一种零件，甲比乙每小时多加工10个这种零件，甲加工150个这种零件所用的时间与乙加工120个这种零件所用的时间相等，求乙每小时加工多少个这种零件？ 19. 如图，在边长为1的正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的三个顶点都在方格纸的格点上，坐标分别为：点，，． （1）将绕点顺时针旋转后得到，请画出； （2）将向右移动3个单位后得到，请画出； （3）与是否中心对称，若是中心对称，直接写出对称中心的坐标；若不是中心对称，说明理由． 20. 如图，在中，点是延长线上的一点，连接，，交于点． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）若，，求的度数． 21. 我市某商场计划购进甲、乙两种商品共80件，其进价、售价如下表所示： 进价（元/件） 售价（元/件） 甲种商品 15 20 乙种商品 25 35 设甲种商品购进件，售完此两种商品总利润为元． （1）求与的函数关系式； （2）若该商场计划最多投入1500元，则最大利润是多少元？ 22. 如图①，已知矩形，为对角线，，延长到点，使，连接． （1）求证：为等边三角形； （2）点是边上一动点（不与点，点重合），连接，将绕点逆时针旋转得，连接、． ①在图②中，求证：； ②取中点，连接和，当，时，直接写出线段的长度． 23. 定义：在平面直角坐标系中，函数图象上到一条坐标轴的距离等于，到另一条坐标轴的距离不大于的点叫做该函数图象的“阶界点”．例如：直线上的点到轴的距离为，到轴的距离为，，所以点是它的“3阶界点”． （1）若三点的坐标分别为，则三点中，是直线的“1阶界点”的有点 （直接填空）； （2）如图，直线与直线相交于点． ①求点的坐标； ②已知直线上有两个“阶界点”和，点在点的下方，直线上有两个“阶界点”和，点在点的下方，连接．设的面积为，求与之间的函数表达式，并写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $