精品解析：河南省驻马店市正阳县2024-2025学年下学期八年级期末数学试卷

2024-2025学年河南省驻马店市正阳县八年级（下）期末数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 要使式子有意义，字母x取值范围必须满足（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组数中，能构成直角三角形的是（　　） A. 1 B. 2 C. 5 D. 6 3. 如图，要使成为矩形，则可添加一个条件（　　） A. B. C. D. 4. 已知点在直线上，则与的大小关系是（　　） A. B. C. D. 无法确定 5. 某校八年级名学生一周的体育锻炼时间小时为这组数据的众数和中位数分别是（　　） A. 8 B. 8 C. 8 D. 9 6. 下列运算中正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知平行四边形ABCD中，∠B＝5∠A，则∠D的度数为（　　） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 8. 如图，点在数轴上，其表示数为，过点作，且，以点为圆心，为半径作弧，与数轴正半轴交于点，则点表示的实数为（ ） A. B. C. D. 4 9. 在测浮力的实验中，将一长方体石块由玻璃器皿的上方，向下缓慢移动浸入水里的过程中，弹簧测力计的示数（N）与石块下降的高度之间的关系如图所示（温馨提示：当石块位于水面上方时，，当石块入水后，）．则以下说法不正确的是（ ） A. 当时，（N）与之间的函数表达式为 B. 石块的高度为 C. 当弹簧测力计的示数为时，此时石块距离水底 D. 石块下降高度时，此时石块所受浮力是 10. 甲无人机从地面起飞，乙无人机从距离地面高的楼顶起飞，两架无人机同时匀速上升．甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度（单位：）与无人机上升的时间（单位：）之间的关系如图所示．下列说法：①甲无人机上升的速度为；②时，两架无人机都上升了；③时，乙无人机距离地面的高度是；④时，两架无人机的高度差为．正确的是（ ） A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④ 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 请写出一个图象不经过第二象限的一次函数解析式_____． 12. 如图，在中，是中点，则的长是：___________． 13. 甲、乙两名射击运动员参加预选赛，他们每人10次射击成绩的平均数都是9环，方差分别是s2甲＝1.2，s2乙＝2.4，如果从这两名运动员中选取成绩稳定的一人参赛，那么应选____（填“甲”或“乙”）． 14. 如图，在中，，点为斜边上的一个动点，过分别作于点，作于点，连接，则线段的最小值为___________． 15. 如图，四边形是边长为4的正方形，F为边上一点且，E为边上一点，把沿着折叠，得到，若为直角三角形，则的长为______． 三、解答题：本题共7小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16 计算： （1）； （2）． 17. 如图，一艘轮船向正东方向航行，在处测得灯塔在的北偏东方向，航行40海里到达处，此时测得灯塔在的北偏东方向上． （1）直接写出的度数； （2）小刚想知道轮船行驶到处时，该轮船距灯塔的距离，他过做于点．请帮小刚画出图形并求的长． 18. 如图，在平面直角坐标系中，点A（6，n）为直线上一点，以OA为边作菱形OABC，点C在轴上，直线AC的解析式为． （1）求出n的值； （2）求直线AC的解析式； （3）根据图象，写出的解集． 19. 如图，在矩形中，点是对角线的中点，过点作直线交于点，交于点，连接、． （1）请你判断四边形的形状，并说明理由； （2）若，求四边形的面积． 20. 某社区拟建A，B两类摊位以搞活“地摊经济”，每个A类摊位的占地面积比每个B类摊位的占地面积多2平方米，建A类摊位每平方米的费用为20元，建B类摊位每平方米的费用为40元，用150平方米建A类摊位的个数恰好等于用90平方米建B类摊位个数． （1）求每个A，B类摊位占地面积各为多少平方米？ （2）该社区拟建A，B两类摊位共100个，且B类摊位的数量不少于A类摊位数量的2倍，建造多少个A类摊位，多少个B类摊位，才能使总费用最少？并求出建造这100个摊位的最少费用． 21. 在进行二次根式化简时，我们有时会碰上形如 的式子，这样的式子我们可以将其进一步化简， ，，这种化简的方法叫做分母有理化，请利用分母有理化解答下列问题： （1）化简： ______；______； （2）矩形的面积为 ，一边长为 ，求这个矩形的周长； （3）当时，化简：． 22. 综合与实践 问题背景： 我们知道，三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半，如何证明三角形中位线定理呢？ 已知：如图1，在中，D、E分别是的中点，求证：，． 思路分析：问题中既要证明两条线段所在直线平行，又要证明其中一条线段的长等于另一条线段长的一半，我们可以用“倍长法”将延长一倍：即延长到F，使得，连接，通过证明四边形与四边形是平行四边形从而得出最后结论． 问题解决： （1）上述材料中“倍长法”体现的数学思想主要是______．（填入选项前的字母代号即可） A．数形结合思想　B．转化思想　C．分类讨论思想　D．方程思想 （2）请根据以上思路分析，完成“三角形中位线定理”的证明过程． 方法迁移： （3）如图3，四边形和均为正方形，连接，N是的中点，连接，已知线段．请求出线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年河南省驻马店市正阳县八年级（下）期末数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 要使式子有意义，字母x的取值范围必须满足（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数，是解题的关键． 根据二次根式的被开方数是非负数，列出不等式，即可求解． 【详解】要使式子有意义， ∴ ∴． 故选：B． 2. 下列各组数中，能构成直角三角形的是（　　） A. 1 B. 2 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．根据勾股定理的逆定理，若三角形三边满足（其中为最长边），则该三角形为直角三角形，逐一验证各选项即可． 【详解】解：A.∵，∴能构成直角三角形，故选项符合题意； B. ∵，∴不能构成直角三角形，故本选项不符合题意； C. ∵，∴不能构成直角三角形，故本选项不符合题意； D. ∵，∴不能构成直角三角形，故本选项不符合题意． 故选：A． 3. 如图，要使成为矩形，则可添加一个条件是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了矩形的判定以及平行四边形的性质，熟练掌握矩形的判定方法是解答本题的关键．由矩形的判定分别对各个选项进行判断即可． 【详解】解：根据矩形的判定方法， A、添加，根据邻边相等的平行四边形是菱形，不能得到平行四边形为矩形，所以本选项错误，不符合题意； B、添加，不能得到平行四边形为矩形，所以本选项错误，不符合题意； C、由平行四边形的性质得到，添加多余，不能得到平行四边形为矩形，所以本选项错误，不符合题意； D、添加，根据对角线相等的平行四边形是矩形，能得到平行四边形为矩形，所以本选项正确，符合题意； 故选：D． 4. 已知点在直线上，则与的大小关系是（　　） A. B. C. D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了比较一次函数函数值的大小，熟知一次函数的增减性是解题的关键，对于一次函数，当时，y随x增大而增大，时，y随x增大而减小．根据一次函数的增减性进行求解即可． 【详解】解：∵一次函数解析式为，， ∴y随x增大而减小， ∵点在直线上，， ∴， 故选：A． 5. 某校八年级名学生一周体育锻炼时间小时为这组数据的众数和中位数分别是（　　） A. 8 B. 8 C. 8 D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了众数和中位数的定义．众数是数据中出现次数最多的数；中位数是将数据按大小顺序排列后位于中间位置的数，根据众数和中位数的定义即可求解． 【详解】解：数据为7，8，8，9，10，其中8出现2次，次数最多，因此众数为8． 数据已按顺序排列为7，8，8，9，10，共有5个数据．中间位置为第3个数，即8，因此中位数为8． 综上，众数和中位数均为8， 故选：A． 6. 下列运算中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了二次根式的运算，根据二次根式的加法、减法、除法分别进行进行计算即可得到答案． 【详解】解：A. 与不是同类二次根式，不能合并，故选项错误，不符合题意； B. ，故选项错误，不符合题意； C. ，故选项错误，不符合题意； D. ，故选项正确，符合题意； 故选：D 7 已知平行四边形ABCD中，∠B＝5∠A，则∠D的度数为（　　） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据平行四边形的性质可得∠A=∠C,∠A+∠B=180°,再由已知条件计算出∠A的度数,即可得出∠D的度数 【详解】∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AD∥BC,∠A=∠C ∴∠A+∠B=180° ∵∠B=5∠A ∴∠A+5∠A=180° 解得:∠A=30° ∴.∠D=150° 故选D 【点睛】此题考查平行四边形的性质，解题关键在于得出∠A=∠C,∠A+∠B=180° 8. 如图，点在数轴上，其表示的数为，过点作，且，以点为圆心，为半径作弧，与数轴正半轴交于点，则点表示的实数为（ ） A. B. C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】勾股定理求得的长，结合数轴即可求解． 【详解】解：在中，， ∴， ∴以点为圆心，为半径作弧，与数轴正半轴交于点，则点表示的实数为， 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理，实数与数轴，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 9. 在测浮力的实验中，将一长方体石块由玻璃器皿的上方，向下缓慢移动浸入水里的过程中，弹簧测力计的示数（N）与石块下降的高度之间的关系如图所示（温馨提示：当石块位于水面上方时，，当石块入水后，）．则以下说法不正确的是（ ） A. 当时，（N）与之间的函数表达式为 B. 石块的高度为 C. 当弹簧测力计的示数为时，此时石块距离水底 D. 石块下降高度时，此时石块所受浮力是 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了函数图象应用，对物理常识的掌握及数形结合的思想是解题关键． 观察图象，解出的函数关系式，利用关系式判断出相关结论即可解题． 【详解】解：A、当时，设，代入，得，故A不符题意； B、由图得，当石块下降时，拉力才变化，故石块的高度为，故B不符合题意； C、将代入，得，故C不符合题意； D、，将代入，得，故D符合题意； 故选：D． 10. 甲无人机从地面起飞，乙无人机从距离地面高的楼顶起飞，两架无人机同时匀速上升．甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度（单位：）与无人机上升的时间（单位：）之间的关系如图所示．下列说法：①甲无人机上升的速度为；②时，两架无人机都上升了；③时，乙无人机距离地面的高度是；④时，两架无人机的高度差为．正确的是（ ） A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了从函数图象获取信息，根据题意和函数图象中数据，可以计算出甲、乙两架无人机的速度，然后即可判断各个选项中的说法是否正确． 【详解】解：由函数图象可知，甲无人机上升的速度为，故①正确； 由函数图象可知，时，甲、乙两架无人机距离底面的高度都为，则甲无人机上升了，乙无人机上升了，故②错误； 乙无人机的速度为：， ∴时，乙无人机距离地面的高度是，故③错误； 时，两架无人机的高度差为：，故④正确； 故选：B． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 请写出一个图象不经过第二象限的一次函数解析式_____． 【答案】y=x﹣2等（k＞0，b≤0即可） 【解析】 【详解】试题分析：因为一次函数y=kx+b的图象不经过第二象限，所以k＞0，b＜0．所以满足条件的解析式有很多，如y=x﹣2，y=10x﹣1等． 考点： 一次函数的性质． 12. 如图，在中，是中点，则的长是：___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线，准确熟练地进行计算是解题的关键． 先在中，利用勾股定理求出的长，然后利用直角三角形斜边上的中线性质进行计算，即可解答． 【详解】解：在中，， ， 是中点， ， 故答案为：． 13. 甲、乙两名射击运动员参加预选赛，他们每人10次射击成绩的平均数都是9环，方差分别是s2甲＝1.2，s2乙＝2.4，如果从这两名运动员中选取成绩稳定的一人参赛，那么应选____（填“甲”或“乙”）． 【答案】甲 【解析】 【分析】根据方差的意义求解即可． 【详解】解：∵s2甲＝1.2，s2乙＝2.4， ∴s2甲＜s2乙， 则甲的成绩比较稳定， 故答案为：甲． 【点睛】此题考查方差的实际应用，掌握方差的大小对数据稳定性的决定性作用是解题的关键． 14. 如图，在中，，点为斜边上的一个动点，过分别作于点，作于点，连接，则线段的最小值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查动点最值问题点线模型，涉及矩形的判定与性质、点到直线距离的最小值、勾股定理及等面积法求线段长等知识，熟练掌握矩形判定与性质、点到直线距离最值是解决问题的关键． 先由矩形的判定与性质，将线段的最小值转化为线段的最小值，再由点到直线距离中垂线段最短，过作，如图所示，再利用勾股定理求出长，最后利用等面积法求解即可得到答案． 【详解】解：连接，如图所示： 在中，， 四边形是矩形， ， 点为斜边上的一个动点， 线段的最小值为线段的最小值，由点到直线的距离中垂线段最短，过作，如图所示： 在中，， ∴， 由等面积法可得，即， 解得， 故答案为：． 15. 如图，四边形是边长为4的正方形，F为边上一点且，E为边上一点，把沿着折叠，得到，若为直角三角形，则的长为______． 【答案】3或 【解析】 【分析】分，，三种情况讨论解答即可， 【详解】解：当时，如图， 则， ∵是折叠得到的， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）当时，如图， ∵是折叠得到的， ∴，，， ∴， ∴点在上， 在中， 由勾股定理，得， ∴， 设，则， 在中， 由勾股定理，得， 即， 解得， ∴； （3）当时， ∵E为边上一点， ∴此时点应在上， ∴， 这与折叠时矛盾， ∴此种情况不存在， 综上所述，或． 故答案为：3或． 【点睛】本题考查了翻折变换，解决本题的关键是利用正方形的性质，等腰三角形的判定，勾股定理．分情况讨论是解题的关键． 三、解答题：本题共7小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则和乘法公式是解决问题的关键． （1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可； （2）先根据完全平方公式和平方差公式计算，然后合并即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 如图，一艘轮船向正东方向航行，在处测得灯塔在的北偏东方向，航行40海里到达处，此时测得灯塔在的北偏东方向上． （1）直接写出的度数； （2）小刚想知道轮船行驶到处时，该轮船距灯塔的距离，他过做于点．请帮小刚画出图形并求的长． 【答案】（1） （2）的长为海里，图见解析 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、含角的直角三角形的性质、三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线，构造直角三角形是解此题的关键． （1）由题意得出，，，，求出，的度数，再利用三角形内角和定理计算即可得出答案； （2）根据题意画出图即可，由题意得出海里，根据含角的直角三角形的性质得出的长，再由勾股定理计算即可得出答案． 【小问1详解】 解：由题意得：，，，， ∴，， ∴； 【小问2详解】 解：如图，过做于点，则， 由题意得：海里， 由（1）可得，， ∴海里， ∴海里， ∴海里， ∴的长为海里． 18. 如图，在平面直角坐标系中，点A（6，n）为直线上一点，以OA为边作菱形OABC，点C在轴上，直线AC的解析式为． （1）求出n的值； （2）求直线AC的解析式； （3）根据图象，写出的解集． 【答案】（1）8；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）直接把点A坐标代入直线解析式即可求出n的值； （2）求出点C的坐标，再运用待定系数法求解即可； （3）观察图象，可直接得出x的取值范围． 【详解】解：(1)把代入得y=8 ∴n的值为8． （2）过点A作AD⊥OC于点D，由（1）得A（6，8） ∴OD＝6，AD＝8 在Rt△OAD中， OA＝＝＝10 ∵四边形OABC为菱形 ∴OC＝OA＝10 ∴C（10，0） 把A（6，8）、C（10，0）代入函数解析式，得 解得 ∴直线AC的函数解析式为 （3）由图象可得，当x>6时，， 所以，的解集为：x>6 【点睛】本题考查了求一次函数解析式以及一次函数与一元一次不等式 ，要熟练掌握相关知识． 19. 如图，在矩形中，点是对角线的中点，过点作直线交于点，交于点，连接、． （1）请你判断四边形的形状，并说明理由； （2）若，求四边形的面积． 【答案】（1）四边形是菱形，理由见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，菱形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，掌握菱形的判定方法是解题的关键． （1）由“”可证，可得，再根据可证四边形是平行四边形，再结合可得结论； （2）由勾股定理列式可求的长，即可求解． 【小问1详解】 解：四边形是菱形，理由如下： 四边形是矩形， ， ． 点是中点， ， 在和中， ， ≌， ， ， 四边形是平行四边形， ， 平行四边形是菱形； 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形，， ， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 解得：， ∴， ∴． 20. 某社区拟建A，B两类摊位以搞活“地摊经济”，每个A类摊位的占地面积比每个B类摊位的占地面积多2平方米，建A类摊位每平方米的费用为20元，建B类摊位每平方米的费用为40元，用150平方米建A类摊位的个数恰好等于用90平方米建B类摊位个数． （1）求每个A，B类摊位占地面积各为多少平方米？ （2）该社区拟建A，B两类摊位共100个，且B类摊位的数量不少于A类摊位数量的2倍，建造多少个A类摊位，多少个B类摊位，才能使总费用最少？并求出建造这100个摊位的最少费用． 【答案】（1）每个A类摊位占地面积为5平方米，每个B类摊位占地面积为3平方米； （2）建造33个A类摊位、67个B类摊位时，费用最小，最小费用为11340元 【解析】 【分析】（1）设B类摊位占地面积平方米，则A类占地面积平方米，根据题意列分式方程求解并检验即可； （2）设建类摊位个，则类个，设费用为，由（1）得A类和B类摊位的建设费用，列出总费用的表达式，根据一次函数的性质进行讨论即可． 【小问1详解】 解：设B类摊位占地面积平方米，则A类占地面积平方米， 根据题意，得：， 解得，， 经检验，是上述分式方程的解，且符合题意， ∴， 答：每个A类摊位占地面积为5平方米，每个B类摊位占地面积为3平方米； 【小问2详解】 解：设建造A类摊位a个，则建造B类摊位个， 根据题意，得，解得：， ∵a是整数， ∴， 设建造这100个摊位的费用为， ∴， ∵， ∴随着的增大而减小， ∴要想使建造费用最小，需使a取最大值， ∴当时，最小，此时，， ∴建造33个A类摊位、67个B类摊位时，费用最小，最小费用为11340元． 【点睛】本题考查分式方程以及一次函数的实际应用问题，熟练的掌握各个量之间的关系进行列式计算，以及熟练运用一次函数的性质是解题关键． 21. 在进行二次根式化简时，我们有时会碰上形如 的式子，这样的式子我们可以将其进一步化简， ，，这种化简的方法叫做分母有理化，请利用分母有理化解答下列问题： （1）化简： ______；______； （2）矩形的面积为 ，一边长为 ，求这个矩形的周长； （3）当时，化简：． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算， 按照二次根式的混合运算法则求解即可 （1）根据分母有理化的步骤进行计算即可． （2）首先求出矩形的另外一边长，再按矩形的周长公式计算即可． （3）把各分母先有理化再进行加减运算． 【小问1详解】 解：， 【小问2详解】 矩形的另外一边长为： ∴矩形的周长为：． 【小问3详解】 当时 22. 综合与实践 问题背景： 我们知道，三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半，如何证明三角形中位线定理呢？ 已知：如图1，在中，D、E分别是的中点，求证：，． 思路分析：问题中既要证明两条线段所在的直线平行，又要证明其中一条线段的长等于另一条线段长的一半，我们可以用“倍长法”将延长一倍：即延长到F，使得，连接，通过证明四边形与四边形是平行四边形从而得出最后结论． 问题解决： （1）上述材料中“倍长法”体现的数学思想主要是______．（填入选项前的字母代号即可） A．数形结合思想　B．转化思想　C．分类讨论思想　D．方程思想 （2）请根据以上思路分析，完成“三角形中位线定理”的证明过程． 方法迁移： （3）如图3，四边形和均为正方形，连接，N是的中点，连接，已知线段．请求出线段的长． 【答案】（1）B；（2）见解析；（3）4． 【解析】 【分析】(1)根据解题方法知, 将证明“, 的问题转化为平行四边形性质的问题，即可得到答案； (2)延长到.使得, 连接, 证明四边形是平行四边形, 得,又是中点，可证四边形是平行四边形，故,,即得; (3)延长到点, 使得, 连接,证明四边形是平行四边形，结合该平行四边形和图中正方形的性质, 证得, 故, 从而. 【详解】解：（1）述材料中“倍长法”体现的数学思想主要是转化思想， 故选B． （2）证明：延长到F，使得，连接， ∵E是的中点， ∴ ∵ ∴四边形为平行四边形， ∴，， ∵D是的中点， ∴ ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∴，， ∵ ∴， （3）延长到M，使得，连接， ∵N是的中点， ∴ ∴ ∴四边形是平行四边形 ∴，， ∴， ∵四边形和都是正方形， ∴ ∴， ∴ ∴ ∴． 【点睛】本题考查了四边形综合应用，涉及三角形的中位线定理的证明，关键在于作辅助线构造成全等三角形和平行四边形，文字叙述性命题的证明思路和方法需熟练掌握. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$