备考2026年中考数学一轮复习 锐角三角函数

中考数学一轮复习 锐角三角函数 一．选择题（共4小题） 1．（2025•深圳）如图为人行天桥的示意图，若高BC长为10米，斜道AC长为30米，则sinA的值为（　　） A． B．3 C． D． 2．（2025•广西）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝7，AC＝3，则sinB＝（　　） A． B． C． D． 3．（2025•云南）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°．若AB＝13，BC＝5，则sinA＝（　　） A． B． C． D． 4．（2025•自贡）如图，在平面直角坐标系中，将△ABO平移，得到△EFG，点E，F在坐标轴上．若∠A＝90°，tanB，A（﹣4，3），则点G坐标为（　　） A．（11，﹣4） B．（10，﹣3） C．（12，﹣3） D．（9，﹣4） 二．填空题（共7小题） 5．（2025•绥化）如图，某水库堤坝横断面迎水坡AB的斜面坡度i＝1：（斜面坡度是指坡面的铅直高度BC与水平宽度AC的比），堤坝高BC＝15m，则迎水坡面AB的长度是　 　 ． 6．（2025•内蒙古）如图，因地形原因，湖泊两端A，B的距离不易测量，某科技小组需要用无人机进行测量，他们将无人机上升并飞行至距湖面90m的点C处，从C点测得A点的俯角为60°，测得B点的俯角为30°（A，B，C三点在同一竖直平面内），则湖泊两端A，B的距离为　 　 m（结果保留根号）． 7．（2025•河北）2025年3月是第10个全国近视防控宣传教育月，活动主题为“抓早抓小抓关键，更快降低近视率”．如图是一幅眼肌运动训练图，其中数字1﹣12对应的点均匀分布在一个圆上，数字0对应圆心．图中以数字0～12对应的点为端点的所有线段中，有一条线段的长与其他的都不相等．若该圆的半径为1，则这条线段的长为 　 　 ． （参考数据：sin15°，sin75°） 眼肌运动训练图 使用方法：以0，1，2，3，…的顺序沿着箭头方向移动眼球．移动一圈后再回到原点，反复进行． 8．（2025•浙江）无人机警戒在高速公路场景中的应用，是我国低空经济高质量发展的重要实践方向．如图，在高速公路上，交警在A处操控无人机巡查，无人机从点A处飞行到点P处悬停，探测到它的正下方公路上点B处有汽车发生故障．测得A处到P处的距离为500m，从点A观测点P的仰角为α，cosα＝0.98，则A处到B处的距离为　 　 m． 9．（2025•扬州）如图1，棱长为9cm的密封透明正方体容器水平放置在桌面上，其中水面高度BM＝7cm．将此正方体放在坡角为α的斜坡上，此时水面MN恰好与点A齐平，其主视图如图2所示，则tanα＝ 　 　 ． 10．（2025•眉山）人字梯为现代家庭常用的工具．如图，若AB、AC的长都为2m，当α＝65°时，人字梯顶端离地面的高度是　 　 m．（结果精确到0.1m，参考依据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14） 11．（2025•上海）如图，某公司安装了一个人脸打卡器，AB是高2.7m的门框，某人CD高1.8m，只有当∠CAB＝53°时，他才能开门，那么BD长为　 　 ．（参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.33，保留1位小数） 三．解答题（共4小题） 12．（2025•长沙）如图，某景区内两条互相垂直的道路a，b交于点M，景点A，B在道路a上，景点C在道路b上．为了进一步提升景区品质，景区管委会在道路b上又开发了风景优美的景点D．经测得景点C位于景点B的北偏东60°方向上，位于景点A的北偏东30°方向上，景点B位于景点D的南偏西45°方向上．已知AB＝800m． （1）求∠ACB的度数； （2）求景点C与景点D之间的距离．（结果保留根号） 13．（2025•广东）综合与实践 【阅读材料】 如图1，在锐角△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边长分别为a，b，c，则有．这是解三角形的重要结论，可用于解决实际问题． 【问题提出】 万绿湖是广东省重要的生态屏障和饮用水水源地．某综合与实践小组要绘制一幅万绿湖局部平面示意图，现需要知道湖中A，B两岛间的实际距离．由于地形原因，无法利用洲距仪直接测量，该小组对这一问题进行了探究． 【方案设计】 工具：测角仪、测距仪、无人机（只能测角度、水平面高度）． 测量过程： 步骤1：如图2，在空旷地找一点C； 步骤2：利用无人机多次测量并取平均值测得∠A≈43°，∠B≈51°； 步骤3：利用测距仪多次测量并取平均值测得BC≈341m，AC≈388.5m． 【问题解决】 （1）请你利用【阅读材料】中的结论计算A，B两岛间的距离． （参考数据：sin43°≈0.682，sin51°≈0.777，sin86°≈0.998） 【评价反思】 （2）设计其他方案计算A，B两岛间的距离．要求：选用【方案设计】中的工具，写出你的方案和所用的数学知识． 14．（2025•吉林）综合与实践：确定建筑物的3D打印模型的高度项目提出：如图是某城市规划展览馆，树人中学的3D打印社团为展示城市文化，准备制作该城市规划展览馆的3D打印模型，需要测量并计算展览馆高度，为制作3D打印模型提供数据． 项目报告表 时间：2025年5月29日 项目分析 活动目标 测量该城市规划展览馆的实际高度并换算其3D打印模型的高度 测量工具 测角仪、皮尺 灰⁢实施 任务一 测量数据 以下是测得的相关数据，并画出了如图所示的测量草图． 1．测出测角仪的高CD＝1.4m． 2．利用测角仪测出展览馆顶端A的仰角∠ACE＝61°． 3．测出测角仪CD底端D处到展览馆AB底端B处之间的距离DB＝42m． 任务二 计算实际高度 根据上述测得的数据，计算该城市规划展览馆AB的高度．（结果精项到1m） （参考数据：sin61°≈0.875，cos61°≈0.485，tan61°≈1.804） 任务三 换算模型高度 将该城市规划展览馆AB的高度按1：400等比例缩小，得到其3D打即模型的高度约为　 　 cm．（结果精确到1cm） 项目结果 为社团制作城市规划展览馆的3D打印模型提供数据 请结合上表中的测量草图和相关数据，帮助该社团完成任务二和任务三． 15．（2025•陕西）小涵和小宇想测量公园山坡上一个信号杆的高度．在征得家长同意后，他们带着工具前往测量．测量示意图如图所示，他们在坡面FB上的点D处安装测角仪DE，测得信号杆顶端A的仰角α为45°，DE与坡面的夹角β为72.5°，又测得点D与信号杆底端B之间的距离DB为22m．已知DE＝1.7m，点A，B，C在同一条直线上，AB，DE均与水平线FC垂直．求信号杆的高AB．（参考数据：sin72.5°≈0.95，cos72.5°≈0.30，tan72.5°≈3.17） 中考数学一轮复习 锐角三角函数 参考答案与试题解析 一．选择题（共4小题） 1．（2025•深圳）如图为人行天桥的示意图，若高BC长为10米，斜道AC长为30米，则sinA的值为（　　） A． B．3 C． D． 【考点】解直角三角形的应用． 【专题】解直角三角形及其应用；运算能力． 【答案】D 【分析】根据正弦三角函数的概念，结合图形，可得到结果． 【解答】解：在Rt△ABC中，∠CBA＝90°，BC＝10米，AC＝30米， ∴sinA． 故选：D． 【点评】本题考查了正弦三角函数的应用，熟练掌握正弦三角函数的概念是解题的关键． 2．（2025•广西）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝7，AC＝3，则sinB＝（　　） A． B． C． D． 【考点】锐角三角函数的定义． 【专题】解直角三角形及其应用；模型思想． 【答案】B 【分析】直接利用正弦的定义求解． 【解答】解：∵∠C＝90°， ∴sinB． 故选：B． 【点评】本题考查了锐角三角函数的定义：熟练掌握正弦的定义是解决问题的关键． 3．（2025•云南）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°．若AB＝13，BC＝5，则sinA＝（　　） A． B． C． D． 【考点】锐角三角函数的定义． 【专题】解直角三角形及其应用；几何直观． 【答案】D 【分析】根据正弦的定义即可求得答案． 【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°．若AB＝13，BC＝5， ∴sinA， 故选：D． 【点评】本题考查锐角三角函数定义，熟练掌握其定义是解题的关键． 4．（2025•自贡）如图，在平面直角坐标系中，将△ABO平移，得到△EFG，点E，F在坐标轴上．若∠A＝90°，tanB，A（﹣4，3），则点G坐标为（　　） A．（11，﹣4） B．（10，﹣3） C．（12，﹣3） D．（9，﹣4） 【考点】解直角三角形；坐标与图形变化﹣平移． 【专题】一次方程（组）及应用；平面直角坐标系． 【答案】B 【分析】过点A作AH⊥y轴，作BK⊥AH交HA的延长线于点K，证明△AHO∽△BKA，得到，根据点A的坐标，结合tan∠ABO的值，求出BK＝8，AK＝6，平移求出E点坐标，进而得到平移规则，再求出G点坐标即可． 【解答】解：过点A作AH⊥y轴，作BK⊥AH交HA的延长线于点K，则∠AHO＝∠BKA＝90°＝∠BAO， ∴∠BAK＝∠AOH＝90°﹣∠HAO， ∴△AHO∽△BKA， ∴， ∴∠A＝90°，ta，A（﹣4，3）， ∴OH＝3，AH＝4，， ∴， ∴BK＝8，AK＝6， ∵将△ABO平移， ∴OF＝BK＝8，OE＝AK＝6， ∴E（6，0）， ∴将点A先向右平移10个单位，再向下平移3个单位得到点E， ∴将点O（0，0）先向右平移10个单位，再向下平移3个单位得到点G， ∴G（10，﹣3）； 故选：B． 【点评】本题考查解直角三角形，相似三角形的判定和性质，坐标与图形变换一平移，熟练掌握相关知识点，添加辅助线构造相似三角形是解题的关键． 二．填空题（共7小题） 5．（2025•绥化）如图，某水库堤坝横断面迎水坡AB的斜面坡度i＝1：（斜面坡度是指坡面的铅直高度BC与水平宽度AC的比），堤坝高BC＝15m，则迎水坡面AB的长度是　15m　 ． 【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题． 【专题】解直角三角形及其应用；应用意识． 【答案】15m． 【分析】根据坡度的概念求出AC，再根据勾股定理求出AB． 【解答】解：∵斜坡AB的斜面坡度i＝1：， ∴BC：AC＝1：， ∵BC＝15m， ∴AC＝15m， 由勾股定理得：AB15（m）， 故答案为：15m． 【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，熟记坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比是解题的关键． 6．（2025•内蒙古）如图，因地形原因，湖泊两端A，B的距离不易测量，某科技小组需要用无人机进行测量，他们将无人机上升并飞行至距湖面90m的点C处，从C点测得A点的俯角为60°，测得B点的俯角为30°（A，B，C三点在同一竖直平面内），则湖泊两端A，B的距离为　120　 m（结果保留根号）． 【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题． 【专题】解直角三角形及其应用；运算能力． 【答案】120． 【分析】过点C作CD⊥AB，垂足为D，根据题意可得：EF∥AB，从而可得∠FCA＝∠CAB＝60°，∠ECB＝∠CBA＝30°，然后分别在Rt△ACD和Rt△BCD中，利用锐角三角函数的定义求出AD和BD的长，最后进行计算即可解答． 【解答】解：如图：过点C作CD⊥AB，垂足为D， 由题意得：EF∥AB， ∴∠FCA＝∠CAB＝60°，∠ECB＝∠CBA＝30°， 在Rt△ACD中，CD＝90m， ∴AD30（m）， 在Rt△BCD中，BD90（m）， ∴AB＝AD+BD＝120（m）， ∴湖泊两端A，B的距离为120m， 故答案为：120． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 7．（2025•河北）2025年3月是第10个全国近视防控宣传教育月，活动主题为“抓早抓小抓关键，更快降低近视率”．如图是一幅眼肌运动训练图，其中数字1﹣12对应的点均匀分布在一个圆上，数字0对应圆心．图中以数字0～12对应的点为端点的所有线段中，有一条线段的长与其他的都不相等．若该圆的半径为1，则这条线段的长为 　　 ． （参考数据：sin15°，sin75°） 眼肌运动训练图 使用方法：以0，1，2，3，…的顺序沿着箭头方向移动眼球．移动一圈后再回到原点，反复进行． 【考点】解直角三角形的应用；规律型：图形的变化类． 【专题】规律型；解直角三角形及其应用． 【答案】． 【分析】如图所示，设数字0记为圆心O，数字6记为A，数字7记为B，过点O作OD⊥AB于点D，首先得到线段AB的长与其他的都不相等，然后求出∠BOD＝75°，解直角三角形求出，然后利用三线合一求解即可． 【解答】解：如图所示，设数字0记为圆心O，数字6记为A，数字7记为B，过点O作OD⊥AB于点D， 眼肌运动训练图 使用方法：以0，1，2，3，…的顺序沿着箭头方向移动眼球．移动一圈后再回到原点，反复进行． 由图可得，线段AB的长与其他的都不相等， ∵其中数字1﹣12对应的点均匀分布在一个圆上， ∴360°÷12＝30°， ∴相邻两个数字与圆心O组成的圆心角为30°， ∴∠AOB＝30°×5＝150°， ∴， ∵OD⊥AB， ∴∠BOD＝75°， ∴， 即， ∴， ∵OA＝OB，OD⊥AB， ∴， ∴这条线段的长为， 故答案为：． 【点评】此题考查了圆心角，解直角三角形，等边对等角，三线合一性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 8．（2025•浙江）无人机警戒在高速公路场景中的应用，是我国低空经济高质量发展的重要实践方向．如图，在高速公路上，交警在A处操控无人机巡查，无人机从点A处飞行到点P处悬停，探测到它的正下方公路上点B处有汽车发生故障．测得A处到P处的距离为500m，从点A观测点P的仰角为α，cosα＝0.98，则A处到B处的距离为　490　 m． 【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题． 【专题】解直角三角形及其应用；应用意识． 【答案】490． 【分析】根据三角函数的定义即可得到结论． 【解答】解：在Rt△ABP中，∵∠B＝90°，AP＝500m，∠A＝α， ∴AB＝AP•cosα＝500×0.98＝490（m）， 答：A处到B处的距离为490m． 故答案为：490． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键． 9．（2025•扬州）如图1，棱长为9cm的密封透明正方体容器水平放置在桌面上，其中水面高度BM＝7cm．将此正方体放在坡角为α的斜坡上，此时水面MN恰好与点A齐平，其主视图如图2所示，则tanα＝ 　　 ． 【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题． 【专题】解直角三角形及其应用；运算能力． 【答案】． 【分析】延长AN，交直线BC于点E，设DN＝x cm，则 CN＝CD﹣DN＝（9﹣x）cm，先根据水的体积不变建立方程，解方程可得x的值，再根据平行线的性质可得∠DAN＝∠AEF＝α，然后根据正切的定义计算即可得． 【解答】解：如图，延长AN，交直线BC于点E， 由题意得：AD＝BC＝CD＝9cm，∠D＝90°，AD∥BC，AN∥FG， 设DN＝x cm，则CN＝CD﹣DN＝（9﹣x）cm， ∵密封透明正方体容器水平放置在桌面上与放在坡角为α的斜坡上，容器里水的体积不变；且放在坡角为α的斜坡上时，水的体积等于长为9cm、宽为9cm、高为 （9﹣x）cm的长方体的体积与长为9cm、宽为9cm、高为x cm的长方体的体积的一半之和， ∴， 解得x＝4， 即DN＝4cm， ∵AN∥FG， ∴∠AEF＝∠F＝α， ∵AD∥BC， ∴∠DAN＝∠AEF＝α， ∴， 故答案为：． 【点评】本题考查了求角的正切值、一元一次方程的几何应用、主视图、平行线的性质等知识，熟练掌握正切的定义是解题关键． 10．（2025•眉山）人字梯为现代家庭常用的工具．如图，若AB、AC的长都为2m，当α＝65°时，人字梯顶端离地面的高度是　1.8　 m．（结果精确到0.1m，参考依据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14） 【考点】解直角三角形的应用． 【专题】解直角三角形及其应用；推理能力． 【答案】1.8． 【分析】过点A作AD⊥BC，在Rt△ADC中，求出AD即可． 【解答】解：∵AB＝AC＝2m，AD⊥BC， ∴∠ADC＝90°， ∴AD＝AC•sin65°＝2×0.91≈1.8（m）， ∴人字梯顶端离地面的高度1.8m． 故答案为：1.8． 【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 11．（2025•上海）如图，某公司安装了一个人脸打卡器，AB是高2.7m的门框，某人CD高1.8m，只有当∠CAB＝53°时，他才能开门，那么BD长为　1.2　 ．（参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.33，保留1位小数） 【考点】解直角三角形的应用． 【专题】计算题；解直角三角形及其应用；应用意识． 【答案】1.2m． 【分析】过点C作CE⊥AB，利用矩形的性质和判定先得到BD与CE、CD与EB间关系，再利用线段的和差关系求出AE的长，最后利用直角三角形的边角间关系得结论． 【解答】解：过点C作CE⊥AB，垂足为E． 由题意易知四边形CDBE是矩形， ∴CD＝BE＝1.8m，BD＝CE． ∴AE＝AB﹣BE＝2.7﹣1.8＝0.9m． 在Rt△ACE中， ∵tanA， ∴CE＝tanA•AE≈1.33×0.9＝1.197≈1.2（m）． ∴BD＝1.2m． 故答案为：1.2m． 【点评】本题主要考查了解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系、矩形的性质和判定是解决本题的关键． 三．解答题（共4小题） 12．（2025•长沙）如图，某景区内两条互相垂直的道路a，b交于点M，景点A，B在道路a上，景点C在道路b上．为了进一步提升景区品质，景区管委会在道路b上又开发了风景优美的景点D．经测得景点C位于景点B的北偏东60°方向上，位于景点A的北偏东30°方向上，景点B位于景点D的南偏西45°方向上．已知AB＝800m． （1）求∠ACB的度数； （2）求景点C与景点D之间的距离．（结果保留根号） 【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题；勾股定理的应用． 【专题】解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力． 【答案】（1）30°； （2）景点C与景点D之间的距离为（）m． 【分析】（1）由题意可得∠CBE＝60°，∠CAF＝30°，∠BDM＝45°，BM⊥DM，BE∥AF∥DM，进而可以解决问题； （2）根据锐角三角函数定义和勾股定理即可解决问题． 【解答】解：（1）如图，由题意点C位于景点B的北偏东60°方向上，位于景点A的北偏东30°方向上，景点B位于景点D的南偏西45°方向上， ∴∠CBE＝60°，∠CAF＝30°，∠BDM＝45°，BM⊥DM，BE∥AF∥DM， ∴∠BCM＝∠CBE＝60°，∠ACM＝∠CAF＝30°， ∴∠ACB＝∠BCM﹣∠ACM＝60°﹣30°＝30°； （2）方法一： ∵∠CBE＝60°， ∴∠CBM＝90°﹣∠CBE＝90°﹣60°＝30°， 由（1）得∠ACB＝30°， ∴∠ABC＝∠ACB＝30°， 又∵AB＝800m， ∴AB＝AC＝800m， 在Rt△ACM中，， ∴（m）， （m）， ∴BM＝BA+AM＝800+400＝1200（m）， ∵∠BDM＝45°，BM⊥DM， ∴DM＝BM＝1200m， ∴， ∴景点C与景点D之间的距离为． 方法二： ∵∠CBE＝60°，∠CAF＝30°，BE∥AF∥DM， ∴∠BCM＝∠CBE＝60°，∠ACM＝∠CAF＝30°． 设AM＝x m， ∴AC＝2x m， ∴CMAMx（m）， 在Rt△BCM中， ， 即， 解得x＝400， 经检验得x＝400是原方程的解， ∴BM＝BA+AM＝800+400＝1200（m）， ∵∠BDM＝45°，BM⊥DM， ∴BM＝DM＝1200m， ∴． ∴景点C与景点D之间的距离为（）m． 【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣方向角问题，解决本题的关键是掌握方向角定义． 13．（2025•广东）综合与实践 【阅读材料】 如图1，在锐角△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边长分别为a，b，c，则有．这是解三角形的重要结论，可用于解决实际问题． 【问题提出】 万绿湖是广东省重要的生态屏障和饮用水水源地．某综合与实践小组要绘制一幅万绿湖局部平面示意图，现需要知道湖中A，B两岛间的实际距离．由于地形原因，无法利用洲距仪直接测量，该小组对这一问题进行了探究． 【方案设计】 工具：测角仪、测距仪、无人机（只能测角度、水平面高度）． 测量过程： 步骤1：如图2，在空旷地找一点C； 步骤2：利用无人机多次测量并取平均值测得∠A≈43°，∠B≈51°； 步骤3：利用测距仪多次测量并取平均值测得BC≈341m，AC≈388.5m． 【问题解决】 （1）请你利用【阅读材料】中的结论计算A，B两岛间的距离． （参考数据：sin43°≈0.682，sin51°≈0.777，sin86°≈0.998） 【评价反思】 （2）设计其他方案计算A，B两岛间的距离．要求：选用【方案设计】中的工具，写出你的方案和所用的数学知识． 【考点】解直角三角形的应用． 【专题】解直角三角形及其应用． 【答案】（1）499m；（2）见解析． 【分析】（1）利用三角形内角和定理求出∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝86°，根据题意可得，代入数据求出AB的长，即可解答； （2）运用解直角三角形、勾股定理等数学知识设计方案即可． 【解答】解：（1）∵∠A≈43°，∠B≈51°， ∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B≈180°﹣43°﹣51°＝86°， 由题意得，， 又∵BC≈341m， ∴， 答：A，B两岛间的距离为499m； （2）工具：测角仪、测距仪、无人机（只能测角度、水平面高度）． 测量过程：步骤1：如图，在空旷地找一点C，使得△ABC是锐角三角形； 步骤2：利用无人机多次测量并取平均值测得∠C的度数； 步骤3：利用测距仪多次测量并取平均值测得BC＝a m，AC＝b m． 计算过程：过点A作AD⊥BC，则∠ADC＝∠ADB＝90°， ∵在 Rt△ACD中，，， ∴AD＝bsinC（m），CD＝bcosC（m）， ∴BD＝BC﹣CD＝（a﹣bcosC）（m）， ∵在Rt△ACD 中，AD2+BD2＝AB2， ∴， 答：A，B两岛间的距离为 【点评】本题考查了解直角三角形的应用，理解题意是解题的关键． 14．（2025•吉林）综合与实践：确定建筑物的3D打印模型的高度项目提出：如图是某城市规划展览馆，树人中学的3D打印社团为展示城市文化，准备制作该城市规划展览馆的3D打印模型，需要测量并计算展览馆高度，为制作3D打印模型提供数据． 项目报告表 时间：2025年5月29日 项目分析 活动目标 测量该城市规划展览馆的实际高度并换算其3D打印模型的高度 测量工具 测角仪、皮尺 灰⁢实施 任务一 测量数据 以下是测得的相关数据，并画出了如图所示的测量草图． 1．测出测角仪的高CD＝1.4m． 2．利用测角仪测出展览馆顶端A的仰角∠ACE＝61°． 3．测出测角仪CD底端D处到展览馆AB底端B处之间的距离DB＝42m． 任务二 计算实际高度 根据上述测得的数据，计算该城市规划展览馆AB的高度．（结果精项到1m） （参考数据：sin61°≈0.875，cos61°≈0.485，tan61°≈1.804） 任务三 换算模型高度 将该城市规划展览馆AB的高度按1：400等比例缩小，得到其3D打即模型的高度约为　19　 cm．（结果精确到1cm） 项目结果 为社团制作城市规划展览馆的3D打印模型提供数据 请结合上表中的测量草图和相关数据，帮助该社团完成任务二和任务三． 【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题． 【专题】解直角三角形及其应用；运算能力． 【答案】任务一，该城市规划展览馆AB的高度约为77m； 任务二，19． 【分析】任务一，在Rt△AEC中利用三角函数求出AE长，结合测角仪的高度，得到结果； 任务二，利用所给的比例对计算出的结果进行换算即可． 【解答】解：任务二，计算实际高度， ∵依题意，四边形EBDC为矩形， ∴CE＝DB＝42m，EB＝CD＝1.4m， ∵在Rt△AEC中，∠AEC＝90°，∠ACE＝61°， ∴AE＝CE•tan∠ACE＝42×tan61°≈75.8（m）， ∴AB＝AE+EB＝75.8+1.4＝77（m）， 答：该城市规划展览馆AB的高度约为77m； 任务三，换算模型高度， 设3D打即模型的高度为x m， ∵x：77＝1：400， 解得x＝0.1925， ∴3D打即模型的高度为0.1925m， ∵0.1925m＝19.25cm≈19cm， ∴3D打即模型的高度约为19cm， 故答案为：19． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形是解题的关键． 15．（2025•陕西）小涵和小宇想测量公园山坡上一个信号杆的高度．在征得家长同意后，他们带着工具前往测量．测量示意图如图所示，他们在坡面FB上的点D处安装测角仪DE，测得信号杆顶端A的仰角α为45°，DE与坡面的夹角β为72.5°，又测得点D与信号杆底端B之间的距离DB为22m．已知DE＝1.7m，点A，B，C在同一条直线上，AB，DE均与水平线FC垂直．求信号杆的高AB．（参考数据：sin72.5°≈0.95，cos72.5°≈0.30，tan72.5°≈3.17） 【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题；解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题． 【专题】解直角三角形及其应用． 【答案】信号杆的高AB为16m． 【分析】理解题意，得出∠DBH＝∠BDE＝72.5°，再在Rt△DBH 中，运用HD＝BD×sin72.5°，BH＝BD×cos72.5°，代入数值进行计算，得出HD，BH的值，然后证明四边形EDHI是矩形，故EI＝HD＝20.9m，根据∠AEI＝45°，∠AIE＝90°，得∠EAI＝45°，AI＝EI＝20.9m，把数值代入AB＝AI+IH﹣BH进行计算，即可作答． 【解答】解：过点E作EI⊥AC于点I，过点D作DH⊥AC于点H，如图所示： ∵AB，DE均与水平线FC垂直， ∴DE∥AC， ∴∠DBH＝∠BDE＝72.5°， ∵DH⊥AC， ∴∠DHI＝90°， 在Rt△DBH中，， 则HD＝BD×sin72.5°＝22×0.95＝20.9（m）， 在Rt△DBH中，BD＝22m，， 则BH＝BD×cos72.5°＝22×0.30＝6.6（m）， ∵过点E作EI⊥AC于点I，过点D作DH⊥AC于点H，DE∥AC， ∴∠EDH＝∠DHI＝∠HIE＝90°， ∴四边形EDHI是矩形， ∴EI＝HD＝20.9m， ∴∠AEI＝45°，∠AIE＝90°， ∴∠EAI＝45°， ∴AI＝EI＝20.9m， ∴AB＝AI+IH﹣BH＝20.9+1.7﹣6.6＝16（m）， 信号杆的高AB为16m． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用，三角形内角和性质，矩形的判定与性质，等角对等边，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$