专题09 绝对值的几何意义（最值问题）与化简专训（8大题型+15道拓展培优题）-2025-2026学年六年级数学上册重难点专题提升讲练（沪教版五四制2024）

专题09 绝对值的几何意义（最值问题）与化简专训 （8大题型+15道拓展培优题） 题型一 两个绝对值的和的最值 题型二 两个绝对值的差的最值 题型三 多个绝对值的和的最值 题型四 绝对值中最值问题的应用 题型五 已知范围的绝对值化简 题型六 未知范围的绝对值化简 题型七 绝对值化简的新定义问题 题型八 绝对值化简问题综合 【经典例题一 两个绝对值的和的最值】 目的是在数轴上找一点x，使x到a和b的距离和的最小值： 分类情况（的取值范围） 图示 取值情况 当时 无法确定 当时 的值为定值，即为 当 无法确定 结论：式子在时，取得最小值为. 【例1】（24-25六年级上·上海闵行·期末）已知，则的最大值为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】C 【分析】本题考查有理数的运算，根据，得到的符号为2正1负，或者2负1正，根据绝对值的意义，以及式子的特点得到，时，式子的值最大，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴的符号为2正1负，或者2负1正， ∴，，为2个1，1个或1个，2个 ∵最大， ∴，， ∴ 的最大值为； 故选C． 1．（24-25六年级上·上海闵行·阶段练习）规定．如：．下列结论中：①若，则；②若，则；③当时，有最大值5；④式子的最小值是5，以上结论正确的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题以新定义题型为背景，考查了绝对值的非负性、化简绝对值以及绝对值的几何意义等知识点，熟练掌握绝对值的相关结论是解题关键． 【详解】解：①若，则， ∴ ∴ 故①错误； ②若，则 ∴ ∴ 故②错误； ③∵， 又， ∴ 即：当时，有最大值5 故③正确； 由绝对值的几何意义可知：表示数轴上对应的点到、对应的点之间的距离之和， 故当时，有最小值， 故④正确； 故选：B 2．（24-25六年级上·上海闵行·期中）设是八个不同的正整数，取值于．记，则S的最大值为 【答案】32 【分析】本题考查了绝对值的意义及最值问题，首先明确数a的绝对值一定是非负数，其次要知道S的最大值就是让每个绝对值的取值最大是解题的关键． 【详解】解：依题意可知，要使S为最大值，则每个绝对值需取最大值， 当 当 当 当 当 当 当 ， ， 故答案为：32． 3．（24-25六年级上·上海金山·期中）阅读材料： 数轴是学习有理数的一种重要工具，运用数形结合的方法可以解决许多问题．例如，两个有理数在数轴上对应的点之间的距离可以用这两个数的差的绝对值表示：如，在数轴上，有理数3与1对应的两点之间的距离为；有理数与对应的两点之间的距离为； 如图，在数轴上有理数对应的点为点A，有理数对应的点为点B，A、B两点之间的距离表示为或，记为． 解决问题： （1）数轴上有理数与3对应的两点之间的距离： ； （2）若有理数与2对应的两点之间的距离为5，即，则等于 ； 运用拓广： （3）如图，点是数轴上的三点，点表示的数为4，点表示的数为，动点P表示的数为． ①若点P在点两点之间，则 ； ②若点P在不点两点之间，且，则点P表示的数为 ； （4）当取最小值时，整数x的所有取值的和为 ． 【答案】（1）9（2）或（3）①6②或（4）22 【分析】本题考查两点间的距离公式，数轴上的动点问题，绝对值的几何意义，熟练掌握两点间的距离公式是解题的关键： （1）根据两点间的距离公式进行计算即可； （2）根据两点间的距离公式得到在2的左侧5个单位处或2的右侧5个单位处，进行计算即可； （3）①根据两点间的距离公式列出代数式进行计算即可； ②分点在的左侧和点在点的右侧，两种情况进行讨论求解即可； （4）根据绝对值的几何意义，得到当在和7之间，包括和7时，取得最小值，进行求解即可． 【详解】解：（1）； （2）由题意，得：或； 故答案为：或； （3）①； 故答案为：6； ②； 当点在的左侧时，，解得：； 当点在的右侧时，，解得：； 故答案为：或； （4）表示数轴上表示的点到和到的距离和， ∴当在和7之间，包括和7时，取得最小值， ∴； 故答案为：22． 【经典例题二 两个绝对值的差的最值】 目的是在数轴上找一点x，使x到a和b的距离差的最大值和最小值： 分类情况（的取值范围） 图示 取值情况 当时 的值为定值，即为— 当时 当 的值为定值，即为 结论：式子在时，取得最小值为；在时，取得最大值. 【例2】（24-25六年级上·上海金山·期中）当取最小值时，（    ） A．0 B．-1 C．0或-1 D．以上都不对 【答案】A 【分析】由平方数的非负性求得m+n=0时取得最小值，然后根据互为相反数的平方相等、绝对值相等解答即可． 【详解】解：∵（m+n）2≥0， ∴当m+n=0时，取得最小值， ∴m2=n2，∣m∣=∣n∣， ∴0， 故选：A． 【点睛】本题考查了代数式求值、平方数的非负性、相反数的性质、绝对值、幂的乘方，根据平方数的非负性确定出m+n=0是解答的关键． 1．（24-25六年级上·上海青浦·期中）已知，求的最大值（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了绝对值的意义，整式的加减运算，弄清题意是解本题的关键．分，，和四种情况，化简绝对值，计算比较即可． 【详解】解：当时， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 当时， ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 当时， ， ∵， ∴， ∴； 当时， ； ∵，即， ∴， ∴； 综上，的最大值， 故选：B． 2．（2024六年级上·上海长宁·专题练习）先阅读，后探究相关的问题： 【阅读】表示与差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示与的差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． （1）数轴上表示和的两点和之间的距离表示为 ；如果，那么为 ； （2）若点表示的数为，则当为 时，与的值相等； （3）若数轴上表示数的点位于与之间，则的值为 ． 【答案】 或 【分析】本题考查了绝对值的几何意义和数轴上两点的距离；弄清题意熟知数轴上两点之间的距离与绝对值的关系是解题的关键． （1）根据数轴上两点间的距离公式即可解答； （2）根据到两点距离相等的点是这两个点的中点，可得答案； （3）根据题意结合数轴计算可得答案． 【详解】解：（1）数轴上表示和的两点和之间的距离表示为：， 如果，即， 或， 那么为或， 故答案为：，或； （2），表示点到和的距离相等，即点为其中点， 若点表示的数为，则当为时，与的值相等， 故答案为：； （3）如图， 若数轴上表示数的点位于与之间，由题意可得：， 的值为， 故答案为：． 3．（24-25六年级上·上海松江·期中）【问题背景】在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答问题． 已知．求x的值，我们采用分类讨论的方法： ①当时，，． ②当时，，． 所以或． 【解决问题】若a与b的乘积不等于0，求的值． ①a，b均是正数时，________； ②当a，b均是负数时，________； ③当a，b是一正一负时，________； 【探究拓展】 （1）已知a，b，c是有理数，当a，b，c三数的乘积小于0时，求的值； （2）根据以上解题思路，请探究： （其中，，均为不等于0的实数）， x共有________个不同的值，在这些不同的值中，最大的值减去最小的值的差等于________． 【答案】[解决问题]2，，0；[探究拓展]：（1）①1或；（2）2025，4048 【分析】本题主要考查化简绝对值、有理数的加减和分类讨论思想的应用， [解决问题]①根据问题背景可知化简后均为1，相加即可； ②根据问题背景可知化简后均为，相加即可； ③根据问题背景可知化简后为1和，相加即可； [探究拓展] （1）根据题意可得有两个正数和一个负数，或三个都未负数，结合问题背景相加即可； （2）利用分类讨论思想可得有0个正数、1个正数、……2024个正数，则有2025种不同情况，对应有2025个不同的值，且当，，均为正数时，x取得最大值为2024，当，，均为负数时，x取得最小值为，并相减即可． 【详解】解：[解决问题] ①a，b均是正数时，由[问题背景]可知，则； ②当a，b均是负数时，由[问题背景]可知，则； ③当a，b是一正一负时，由[问题背景]可知当时， ，当时，，则； 故答案为：2，，0； [探究拓展] （1）∵a，b，c三数的乘积小于0 ∴有两个正数和一个负数，或三个都未负数， 则，或， （2）当有0个正数、1个正数、……2024个正数，则有2025种不同情况，故有2025个不同的值， 当，，均为正数时，x取得最大值为2024， 当，，均为负数时，x取得最小值为， 则． 【经典例题三 多个绝对值的和的最值】 最小值规律： ①当有两个绝对值相加： 若已知，的最小值为，且数的点在数，的点的中间； ②当有三个绝对值相加： 若已知，的最小值为，且数的点与数的点重合； ③当有（奇数）个绝对值相加： ，且，则取中间数，即当时，取得最小值为； ④当有（偶数）个绝对值相加： ，且，则取中间段， 即当时，取得最小值为. 【例3】（24-25六年级上·上海长宁·阶段练习）关于有理数，下列说法不正确的是（    ） A．若，那么必有 B．一个有理数和它的相反数的乘积必为负数 C．任何一个有理数同0相加的和等于这个数同1相乘的积 D．如果两个有理数的积是负数，和是正数，那么它们符号相反，且正数的绝对值大 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数加减乘除的运算方法，绝对值的含义和求法，以及互为相反数的两个数的性质和应用，根据有理数加减乘除的运算方法，绝对值的含义和求法，以及互为相反数的两个数的性质和应用，逐项判断即可；理解有理数加减乘除的运算法则是解题的关键． 【详解】解：A．若，必有，结论正确，故不符合题意； B．一个有理数和它的相反数的乘积为负数或零，结论错误，故符合题意； C． ，，，结论正确，故不符合题意； D．如果两个有理数的积是负数，和是正数，那么它们符号相反，且正数的绝值大，结论正确，故不符合题意； 故选：B． 1．（24-25六年级上·上海静安·阶段练习）已知，从中随机取两个字母作差后取绝对值，记为；将剩下两个字母中任意一个与作差后取绝对值，记为；再对进行化简运算，称为“调整和差操作”．例如：如果且，则为一次“调整和差操作”，为“调整和差操作”的一种运算结果．下列说法： ①存在“调整和差操作”运算结果的和为； ②不存在“调整和差操作”运算结果的差为； ③所有的“调整和差操作”共有11种不同运算结果． 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了新定义运算，化简绝对值符号，整式的加减运算，化简绝对值，列举出所有可能结果，逐项判断即可． 【详解】解：根据题意，所有的“调整和差操作”共有12种形式，运算A时，需考虑6种情况；运算B时，需考虑12种情况．得出： （1）当，时，； （2）当，时，； （3）当，时，； （4）当，时，； （5）当，时，； （6）当，时，； （7）当，时，； （8）当，时，； （9）当，时，； （10）当，时，； （11）当，时，； （12）当，时，； 综上，得8种不同运算结果，因此题目的说法③不正确； 不存在“调整和差操作”运算结果的和为，因此题目的说法①不正确； 不存在“调整和差操作”运算结果的差为，因此题目的说法②正确； 故选：B． 2．（24-25六年级上·上海徐汇·期中）将1，2，3，…，100这100个自然数，任意分为50组，每组两个数，现将每组的两个数中任一数值记作a，另一个记作b，代入代数式中进行计算，求出其结果，50 组数代入后可求得50个值，则这 50个值的和的最大值是 ． 【答案】3775 【分析】本题考查绝对值的意义，有理数的加法运算，假设两个数中较大的数为，则：，得到50个值的和为50组数中较大的数的和，进而得到最大值为从51开始到100这50个数的和最大，进行计算即可． 【详解】解：设两个数中较大的数为，即：， ∴， ∴50个值的和为50组数中较大的数的和， ∴这 50个值的和的最大值是； 故答案为：3775． 3．（2024六年级上·上海长宁·专题练习）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式的几何意义是数轴上所对应的点与2所对应的点之间的距离；因为．所以的几何意义就是数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离． 发现问题：代数式的最小值是多少？ 探究问题：如图，点，，分别表示的是，，，， ∵的几何意义是线段与的长度之和， ∴当点在线段上时，；当点在点的左侧或点的右侧时，， ∴的最小值是． （1）解决问题，的值是 ． （2）的最小值是 ． （3）若的最小值是，则的值为 ．    拓展提升： （4）的最小值是 ，最大值是 ． （5）的最小值是 ． （6）若的最小值是，则的值是 ． （7）若，且为整数，则的值为 ． （8）若，则的值为 ． 【答案】（）；（）；（）或；（），；（）；（）或；（），，，；（）或． 【分析】（）根据绝对值的几何意义解答即可； （）根据绝对值的几何意义解答即可； （）根据绝对值的几何意义解答即可； （）根据绝对值代数意义解答即可； （）根据绝对值的几何意义解答即可； （）根据绝对值的几何意义解答即可； （）根据绝对值的几何意义解答即可； （）根据绝对值的几何意义解答即可； 本题主要考查了数轴上的动点问题及数轴上两点之间的距离，熟练掌握数轴上两点之间的距离问题是解题的关键． 【详解】解：（）解决问题，的值是， 故答案为：； （）的最小值是， 故答案为：； （）若的最小值是，则的值为或， 故答案为：或；    拓展提升： （）的最小值是，最大值是，理由如下： 令， 当时，； 当时，， ∴， 当时，， 综上可知：， 故答案为：，； （）由可知：的几何意义就是数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离，的几何意义就是数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离，的几何意义就是数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离， 则当与重合时，有最小值， 故答案为：； （）若的最小值是， 则当时，有最小值， 所以，则； 当时，有最小值， 所以，则； 则的值是或， 故答案为：或； （）∵，且为整数， ∴， 则的值为，，，， 故答案为：，，，； （）∵， ∴时，，则； 时，，则； 所以的值为或， 故答案为：或． 【经典例题四 绝对值中最值问题的应用】 【例4】（24-25六年级上·上海奉贤·期末）已知：，且abc＞0，a+b+c＝0，m的最大值是x，最小值为y，则x+y＝（　　） A．﹣4 B．2 C．﹣2 D．﹣6 【答案】A 【分析】利用有理数的性质，由abc＞0，a+b+c＝0可判断a、b、c中有两个负数，一个正数，由于，则当a＜0，c＜0，b＞0，m有最大值，当c＞0，a＜0，b＜0，m有最小值，然后利用绝对值的意义计算出x、y即可． 【详解】解：∵abc＞0，a+b+c＝0， ∴a、b、c中有两个负数，一个正数， ∵＝， ∴当a＜0，c＜0，b＞0，m有最大值，即m＝﹣1﹣2+3＝0； 当c＞0，a＜0，b＜0，m有最小值，即m＝1﹣2﹣3＝﹣4， ∴x+y＝0+（﹣4）＝﹣4． 故选：A． 【点睛】本题考查了绝对值：若a＞0，则|a|＝a；若a＝0，则|a|＝0；若a＜0，则|a|＝−a． 1．（24-25六年级上·上海长宁·单元测试）有一台特殊功能计算器，对任意两个整数只能完成求差后再取绝对值的运算，其运算过程是：输入第一个整数，只显示不运算，接着再输入整数后则显示的结果．比如依次输入1，2，则输出的结果是；此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差后再取绝对值的运算．有如下结论：①依次输入1，2，3，4，则最后输出的结果是3；②若将1，2，3，4这4个整数任意地一个一个输入，全部输入完毕后显示的结果的最大值是2；③若将1，2，3，4这4个整数任意地一个一个地输入，全部输入完毕后显示的结果的最小值是0；④若随意地一个一个地输入三个互不相等的正整数2，a，b，全部输入完毕后显示的最后结果设为k，若k的最大值为10，那么k的最小值是6．上述结论中，正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查绝对值有关的问题，根据输入数据与输出结果的规则进行计算，判断①②③；只有三个数字时，当最后输入最大数时得到的结果取最大值，当最先输入最大数时得到的结果取最小值，由此通过计算判断④． 【详解】解：根据题意，依次输入1，2，3，4时， ， ， ， 最后输出的结果是2，故①错误； 按照1，3，2，4的顺序输入时， ， ， 此时输出结果为4，故②错误； 按照1，3，4，2的顺序输入时， ， ， ， 此时输出结果为0，为最小值，故③正确； 若随意地一个一个地输入三个互不相等的正整数2，a，b，全部输入完毕后显示的最后结果设为k，若k的最大值为10， 设b为较大数字，当时， ， 解得(负值舍去)， 故此时任意输入后得到的最小数是： ， 设b为较大数字，当时， ， 则，即， 故此时任意输入后得到的最小数是： ， 综上可知，k的最小值是6，故④正确； ③④正确，正确的个数是2个， 故选B． 2．（24-25六年级上·上海奉贤·期中）已知a，b，c，d分别是一个四位数的千位，百位，十位，个位上的数字，且低位上的数字不小于高位上的数字，当取得最大值时，这个四位数的最小值是 ． 【答案】1119 【分析】要使取得最大值，则保证两正数之差最大，于是a＝1，d＝9，再根据低位上的数字不小于高位上的数字解答. 【详解】若使的值最大，则最低位数字最大为d＝9，最高位数字最小为a＝1即可，同时为使|c－d|最大，则c应最小，且使低位上的数字不小于高位上的数字，所以c为1，此时b只能为1，所以此数为1119，故答案为1119. 【点睛】此题考查了绝对值的性质，根据低位上的数字不小于高位上的数字进行逻辑推理是解题关键. 3．（24-25六年级上·上海长宁·期中）将1、2、、20这20个自然数，任意分为10组，每组两个数，现将每组的两个数中任一数值记作x，另一个记作y，代入代数式中进行计算，求出其结果，10组数代入后可求得10个值，则这10个值的和的最小值是 ． 【答案】55. 【分析】先分别讨论x和y的大小关系，分别得出代数式的值，进而得出规律，然后以此规律可得出符合题意的组合，求解即可． 【详解】若，则代数式中绝对值符号可直接去掉， 代数式等于x， 若则绝对值内符号相反， 代数式等于y， 由此一来，只要20个自然数里面最小的十个数字从1到10任意俩个数字不同组， 这样最终求得十个数之和最小值就是十个数字从1到10的和， ． 【点睛】本题考查了绝对值、有理数的加减混合运算，通过假设，把所给代数式化简，然后判断出各组中的a值恰好是11到20这10个数时取得最小值时解题的关键． 4．（2025六年级上·上海徐汇· 模拟预测）数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作，数轴上表示数的点与表示数的点的距离记作，如数轴上表示数5的点与表示数7的点的距离为，表示数轴上表示数5的点与表示数的点的距离，表示数轴上表示数的点与表示数5的点的距离．根据以上材料回答下列问题： (1)①若，则_____， ②，则的取值为_____； (2)最小值为_____； (3)求的最小值，并求出此时的取值范围． 【答案】(1)①5或；② (2)4 (3)15，当时其和取得最小值 【分析】本题考查绝对值的几何意义，数轴上两点之间的距离，正确掌握数轴上两点之间的距离的计算方法是解题的关键． （1）①根据绝对值的几何意义，以及数轴上两点之间的距离求解，即可解题； ②根据绝对值的几何意义，以及数轴上两点之间的距离求解，即可解题； （2）在数轴上表示x的点到三个点表示的数之间的距离之和最小，即x取三个数中间的数时，距离之和取最小值，据此求解即可； （3）根据绝对值的几何意义，以及数轴上两点之间的距离，结合数轴直观可得当时其和取得最小值，即可解题． 【详解】（1）解：①表示数轴上表示x的点到的距离为3， 或， 解得或， 故答案为：5或． ②，表示的意义是数轴上表示x的点到表示3和两点的距离之和为5，可得， 故答案为：． （2）解：表示的意义是数轴上表示x的点到表示，和三点的距离之和， ，当时取得最小值4， ，当时为0， 当时，取得最小值， 其最小值为：， 故答案为：； （3）解：表示的意义是数轴上表示x的点到表示的点的距离，个表示x的点到表示的点的距离，个表示x的点到表示的点的距离，个表示x的点到表示的点的距离，个表示x的点到表示的点的距离之和， 相当于有个分段点， 第8个分段点是2023， 当时其和取得最小值， 即． 【经典例题五 已知范围的绝对值化简】 已知范围的绝对值化简步骤： ①判断绝对值符号里式子的正负； 两数相减：大的数-小的数＞0，转化到数轴上：右-左＞0；小的数-大的数＜0，转化到数轴上：左-右＜0. 两数相加：正数＋正数＞0，转化到数轴上：原点右侧两数相加＞0； 负数＋负数＜，转化到数轴上：原点左侧两数相加＜0； 正数＋负数：取绝对值较大数的符号，转化到数轴上：原点两侧两数相加，取离原点远的符号. ②将绝对值符号改为小括号： 若正数，绝对值前的正负号不变（即本身）；若负数，绝对值前的正负号改变（即相反数）. ③去括号：括号前是“＋”，去括号，括号内不变；括号前是“－”，去括号，括号内各项要变号. ④化简. 【例5】（24-25六年级上·上海金山·期中）已知a，b是有理数，若a在数轴上的对应点的位置如图所示，且，下列结论不正确的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查数轴以及绝对值，熟练掌握数轴是解题的关键．根据题意得到在数轴的位置判断即可． 【详解】解： a在数轴上的对应点的位置如图所示，且， 故在数轴上的对应点的位置如图所示， ， ，选项A正确，不符合题意； ，选项B错误，符合题意； ，选项C正确，不符合题意； ，选项D正确，不符合题意；    故选B． 1．（24-25六年级上·上海长宁·期中）下列说法正确的有（   ） ①已知是有理数，，，则的值为； ②若为非零有理数，且，则的值为或； ③已知，则的最大值是，最小值是； ④若且，则式子． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值的性质，由可得同时为正数或两负一正，进而由，，代入计算即可判断①；由得同时为负数或两正一负，分别计算即可判断②；分和化简代数式，进而求出最大值和最小值即可判断③；由得或，再分别计算可判断④，综上即可求解，解题的关键是熟练应用绝对值的性质化简含有绝对值的式子． 【详解】解：①∵， ∴，，， 又∵， ∴同时为正数或两负一正， 当同时为正数时， ； 当两负一正时， ； ∴的值为或，故①错误； ②∵， ∴同时为负数或两正一负， 当同时为负数时， ； 当两正一负时， ， ∴的值为或，故②正确； ③当时， ， 此时最大值为，最小值为； 当时， ； ∴时，的最大值是，最小值是，故③正确； ④当时，则或， 当时，，与矛盾，不合题意； 当时，，， ∴，或，， ∴，， ∴，故④正确； 综上，说法正确的有个， 故选：． 2．（24-25六年级上·上海杨浦·期中）已知a，m，n均为有理数，且满足|a−m|=6，|n−a|=4，那么|m−n|的最大值为 . 【答案】10 【分析】根据绝对值的几何意义，即可得到答案. 【详解】|a−m|=6表示数轴上m所对应的点到a所对应的点之间的距离为6； |n−a|=4表示数轴上n所对应的点到a所对应的点之间的距离为4； ∴数轴上m所对应的点到n所对应的点之间的距离的最大值为10， 即，|m−n|的最大值为10. 【点睛】绝对值的几何意义是，数轴上表示两个实数对应点之间的距离，这种观点，就把代数问题巧妙地转化到了几何问题上，是数形结合思想的体现. 3．（24-25六年级上·上海奉贤·阶段练习）已知数轴上A、B两点表示的数分别为a，b，且a，b满足． （1）________，________，点A，点B之间的距离长为________；（直接写出来） （2）若点M以每秒3个单位的速度从点A出发向正方向运动，同时点N以每秒1个单位的速度从点B出发向正方向运动，经过多少秒，点M，点N之间的距离为2个单位？ （3）【问题背景】：已知可理解为数轴上表示数a、b的点之间的距离，可以理解为数轴上表示数a的点到表示数b，c的点的距离之和． 【解决问题】：①若点P在数轴上表示的数为x．则的最小值是________； 【问题拓展】：②若，则的最大值为________． 【答案】（1）；；；（2）4秒或6秒；（3）①；② 【分析】（1）根据非负数的性质得到，则，再根据数轴上两点距离计算公式求解即可； （2）设经过t秒，点M，点N之间的距离为2个单位，则，解方程即可得到答案； （3）①根据绝对值的几何应用可得当时，有最小值，最小值为；②同理可得当时，有最小值，最小值为，再根据题意得到，，则，，再用y的最大值减去x的最小值即可得到答案． 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：；；； （2）设经过t秒，点M，点N之间的距离为2个单位， 由题意得，， ∴， ∴， ∴或， 解得或， ∴经过4秒或6秒，点M，点N之间的距离为2个单位； （3）①∵表示的是数轴上表示数x的点到表示数的点的距离之和， ∴当时，有最小值，最小值为， 故答案为：； ②同理可得当时，有最小值，最小值为， ∵，，， ∴，， ∴，， ∵， ∴的最大值为7， 故答案为：7． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，解绝对值方程，绝对值的几何意义，数轴上两点距离计算，非负数的性质等等，熟知数轴上两点距离计算公式是解题的关键． 【经典例题六 未知范围的绝对值化简】 绝对值的性质：①正数的绝对值是它本身，即； ②0的绝对值是0，即；③负数的绝对值是它的相反数，即；④绝对值具有非负性，即. 【例6】（24-25六年级上·上海宝山·期中）在有理数的绝对值的学习中，我们知道是在数轴上表示数a的点到原点的距离，即表示，类比绝对值的意义，可知就是在数轴上表示数x的点到表示数的点的距离，当取得最小值时，x的取值范围是（    ） A． B．或 C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了绝对值的含义和应用．根据题意，就是在数轴上表示数x的点到表示数的点的距离，就是在数轴上表示数x的点到表示数2的点的距离，可得出当x的取值范围是时，取的最小值 【详解】解：∵就是在数轴上表示数x的点到表示数的点的距离， 就是在数轴上表示数x的点到表示数2的点的距离， ∴当x的取值范围是时，取的最小值． 故选：C． 1．（24-25六年级上·上海虹口·阶段练习）已知点在数轴上分别表示有理数两点的距离表示为．例如，有理数7与对应的两点之间的距离为．数轴上有一个点表示数，则关于的代数式的最小值是（    ） A．1 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，绝对值的意义，分析出的意义，继而找到符合条件的的范围，进而即可求解． 【详解】解： 则表示数轴上到的距离和到的距离之和， 那么只有在和之间时（包含端点），距离之和最小， 即的最小值为， 故选D． 2．（2024六年级上·上海长宁·专题练习）已知是非负数，且非负数中最小的数是0． （1）已知，则的值是 ； （2）当 时，有最小值，最小值是 ． 【答案】 3 1 2 【分析】本题考查绝对值的意义： （1）由绝对值的非负性可以得出，由此可解． （2）根据绝对值的非负性解题即可． 【详解】解：（1）∵，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：3； （2）∵， ∴当时，，此时有最小值， ∴当时有最小值，最小值是2， 故答案为：1，2． 3．（24-25六年级上·上海嘉定·期中）点、在数轴上分别表示实数、，在数轴上、两点之间的距离． (1)数轴上2和6两点之间的距离是_____，数轴上和1两点之间的距离为_____； (2)实数满足，化简：； (3)的最小值为_____； (4)求的最大值． 【答案】(1)4； (2)6 (3)6 (4)6 【分析】此题主要考查了绝对值意义、数轴等知识，用几何方法借助数轴来求解，非常直观，体现了数形结合的优点． （1）根据数轴上两点间距离公式计算即可； （2）根据去绝对值，进行计算即可； （3）根据绝对值意义可知x对应点在3时，值最小； （4）分三种情况：当时，当时，当时，三种情况分别化简，从而求出最大值． 【详解】（1）解：数轴上2和6两点之间的距离是，数轴上和1两点之间的距离为， 故答案为：4；； （2）解：∵， ∴ 故答案为：6； （3）解：∵表示数x到1，2，3，4，5的距离之和， ∴当x对应点是3时，有最小值，且最小值为： ； 故答案为：6； （4）解：当时，， ∴， 当时，， 当时，， 综上分析可知：的最大值为6． 【经典例题七 绝对值化简的新定义问题】 【例7】（2024六年级上·上海闵行·专题练习）对于有理数a、b，定义一种新运算※，规定：，则等于（   ） A．4 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，熟练掌握新定义的运算形式，以及对有理数混合运算的运算法则是解题的关键． 根据新定义的运算，把相应的数值代入运算即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：C． 1．（24-25六年级上·上海宝山·阶段练习）对于有理数，定义一种新运算“”，规定．当在数轴上的位置如图所示时，化简得（   ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查绝对值与数轴，合并同类项等知识．根据数轴判断绝对值中式子的正负情况，然后去绝对值，再合并同类项即可． 【详解】解：根据题意可知：，， ∴，， 则． 故选：B． 2．（24-25六年级上·上海青浦·阶段练习）新定义如下：， ； 例如：， ；根据上述知识， 若， 则x的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了新定义，求代数式的值，化简绝对值，绝对值方程，正确理解新定义是解题的关键．根据得出含绝对值的方程，解方程可得答案． 【详解】解：由题可得：， 当时，，解得； 当时，，方程无解； 当时，，解得； 故答案为：或． 3．（24-25六年级上·上海虹口·期中）用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定． 例如：． 从，，，，，，，，0，1，2，3，4，5，6，7，8，中任选两个有理数做a，b（）的值，并计算，那么所有运算结果中的最大值是 ． 【答案】8 【分析】本题考查了新定义下的实数运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 根据题意分与两种情况计算确定出运算结果的最大值即可． 【详解】解：当时，，a最大为8，即的最大值为8； 当时，，b最大为8，即的最大值为8． 综上所述， 的最大值为8． 故答案为：8． 4．（24-25六年级上·上海杨浦·期中）对于有理数、，定义一种新运算“”，规定 (1)计算的值． (2)当、在数轴上的位置如图所示时，化简． (3)当时，是否一定有或者？若是，则说明理由；若不是，则举例说明． 【答案】(1) (2) (3)不一定，举例见解析 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据题中的新定义计算即可得到答案； （2）根据、在数轴上的位置判断正负进行化简即可； （3）根据题意进行举例即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：根据题意可得， 故； （3）解：不一定， 时，即， 当时， 此时，等式成立，但， 故不一定有或者． 【经典例题八 绝对值化简问题综合】 【例8】（2025·上海普陀·模拟预测）若代数式可以按照如下的方式化简，则x的值可以是（    ） ． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查绝对值的化简规则以及无理数的估算．根据绝对值内式子的正负性来去掉绝对值符号，是解题的关键． 先依据绝对值性质，分别分析与在何种情况下可化为给定化简式中的形式，确定的取值范围，再据此判断选项中符合该范围的值． 【详解】原式的化简过程为： 要使该化简成立，需满足以下两个条件： 且解得， A：，不满足条件． B：，不满足条件． C：，介于2和3之间，满足条件． D：，不满足条件． 故选：C 1．（2025·上海静安·模拟预测）已知，对多项式任意添加绝对值（不可添加为单个字母的绝对值或绝对值中含有绝对值的情况）后仍只含加减法运算，称这种操作为“添绝对值操作”，例如：，等，下列结论正确的个数是（    ） ①至少存在一种“添绝对值操作”，使化简其结果与原多项式相等； ②存在某种“添绝对值操作”，使其结果与原多项式之和为0； ③若只添加一个绝对值，则所有可能的化简结果共有8种． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】根据绝对值的意义求解． 【详解】解：①， 故①正确； ②， 则，添绝对值变为16，则之和为0， 故②正确； ③， 可得：的符号不变，、、、的符号会发生变化， 列举法得到化简后的结果为：，，，，，，，，共八种， 故③正确， 综上，正确的有①②③海，共3个， 故选：D． 【点睛】本题考查了绝对值的化简、相反数的定义，理解新定义及绝对值是的意义是解题关键． 2．（24-25六年级上·上海松江·期末）已知a，b两数在数轴上对应的点的位置如图，则化简的结果是 ． 【答案】a 【分析】本题主要考查了根据数轴上点的位置判断式子符号，化简绝对值，整式的加减计算，根据数轴上点的位置可得到，，，据此去绝对值再去括号求解即可． 【详解】解：由数轴知：，， ∴，， ∴ ， 故答案为：a． 3．（24-25六年级上·宝山·阶段练习）设是一个四位数，是的自然数，且，则式子化简的结果为 ，其最大值是 ． 【答案】 16 【分析】根据绝对值的性质化简式子，得到原式，再根据条件得出的最小值为1，的最大值为9，进而求解即可． 【详解】解：， ， 是一个四位数，、、、是阿拉伯数字，且， 最小值为1，最大值为9， 的最大值为， 即的最大值为16． 故答案为：，16． 【点睛】此题考查了绝对值，要使的值最大，则最低位数字最大，最高位数字最小，再根据低位上的数字不小于高位上的数字解答． 4．（24-25六年级上·上海杨浦·期末）对于有理数a、b，定义一种新运算“※”，规定． (1)计算的值． (2)当a、b在数轴上的位置如图所示时，化简． (3)当时，是否一定有或者？若是，则说明理由；若不是，请举例说明． 【答案】(1) (2) (3)不一定有或者，理由见解析 【分析】本题考查了有理数的混合运算、绝对值的意义、数轴，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据题干的运算法则计算即可得解； （2）由数轴可得：，，从而得出，，再根据运算法则结合绝对值的意义求解即可； （3）举出反例即可得解． 【详解】（1）解：， ； （2）解：由数轴可得：，， ∴，， ∴； （3）解：不一定有或者，理由如下： 若，，， 则，， ∴，但此时或． 1．（24-25六年级上·上海杨浦·期末）用数轴上的点表示下列各数，其中与原点距离最近的是（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】A 【分析】本题考查了绝对值的定义，一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离．到原点距离最近的点，即绝对值最小的点，首先求出各个数的绝对值，即可作出判断． 【详解】解：∵，，，，， ∴与原点距离最近的是1， 故选：A． 2．（2025六年级上·上海松江·专题练习）在带箭头的直线上有四个点，分别表示，，，，这四个点中，与“0”的位置最接近的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】该题考查了有理数比较大小，绝对值的定义，要确定哪个数离0最近，只需比较各数的绝对值大小，绝对值最小的数离0最近． 【详解】解：将四个数分别取绝对值：的绝对值为 ； 的绝对值为 ； 的绝对值为； 的绝对值为． 比较绝对值：，因此绝对值最小的数是 ，对应的点与0的位置最接近． 故选：B． 3．（2025六年级上·上海闵行·专题练习）有理数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）．（注：表示a到0的距离） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了在数轴上表示有理数，运用数轴表示有理数的大小，绝对值与距离，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先由数轴得，再得出，，，，进行分析，即可作答． 【详解】解：由数轴得， ∴，故A选项不符合题意； 则，故B选项不符合题意； ∴，故C选项符合题意； 则，故D选项不符合题意； 故选：C 4．（24-25六年级上·上海虹口·阶段练习）在下列说法中：如果，则有；既不是正数，也不是负数；一个有理数的绝对值是它本身，则这个数是正数；表示没有温度．正确的个数有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值的定义，的意义，解题的关键是熟练掌握有关概念和性质． 根据绝对值的定义，的意义逐一判断即可． 【详解】解：如果，则有，故原说法错误； 既不是正数，也不是负数，故原说法正确； 一个有理数的绝对值是它本身，则这个数是正数或，故原说法错误； 有温度，温度为度，温度可以为负数（零下）也可以为正数（零上），故原说法错误； 综上可得：正确，共个， 故选：． 5．（24-25六年级上·上海静安·期中）若，且，，，……，，这个数中有个正数，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数的除法运算，绝对值的意义，根据个数中有个正数，则有个负数，进而推出中，有个1，个，进行计算即可． 【详解】解：由题意，得：个数中有个负数， ∴中，有个1，个， ∴； 故选：D． 6．（24-25六年级上·上海奉贤·期末） ； 的倒数为 ； ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的意义，倒数，有理数的乘方，根据相关定义与性质即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：， 的倒数为， ， 故答案为：，，． 7．（24-25六年级上·上海虹口·期中）在直线上表示、、、时，离0最近的数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数大小比较，根据绝对值的定义解答即可． 【详解】解：∵， ∴在直线上表示、、、时，离0最近的数是． 故答案为：． 8．（24-25六年级上·上海徐汇·阶段练习）已知整数同时满足下列两个条件，写出一个符合条件的的值： ． ①在数轴上位于原点左侧；②绝对值大于3且小于5． 【答案】 【分析】本题考查在数轴上表示有理数，绝对值的意义，根据题意，得到，写出一个符合条件的一个m的值即可． 【详解】解：由题意，得， ∴符合条件的m的值为； 故答案为： 9．（24-25六年级上·上海宝山·期末）党和国家非常重视青少年的身心健康，采取多种举措增强青少年体质，数据显示，近几年，青少年身体健康状况有一定提升，但肥胖问题仍不容忽视．一种少年儿童的标准体重单位：的计算公式为：标准体重年龄．如表是七年级某小组位同学的体重情况，其中超出标准体重的千克数记为正数，少于标准体重的千克数记为负数，那么表中编号为 的同学的体重最符合标准体重． 编号 体重情况 【答案】 【分析】本题考查了正负数的意义、绝对值的应用．首先分别求出这6位同学体重的绝对值，根据绝对值越小的体重与标准体重越接近判断哪位同学的体重最接近标准体重． 【详解】解：，，，，， ∵ 号同学的体重最接近标准体重． 故答案为： ． 10．（24-25六年级上·上海长宁·期末）阅读：已知点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为． 理解：（1）数轴上表示2和的两点之间的距离是 ； （2）数轴上表示x和的两点A和B之间的距离是 ； （3）当代数式取最小值时，相应的x的取值范围是 ，最小值是 ． 应用：某环形道路上顺次排列有四家快递公司：A、B、C、D，它们顺次有快递车16辆，8辆，4辆，12辆，为使各快递公司的车辆数相同，允许一些快递公司向相邻公司调出，问共有 种调配方案，使调动的车辆数最少． 【答案】 5 / 4 5 【分析】本题考查了数轴与绝对值，掌握绝对值的意义和性质是解题的关键． 理解：（1）根据两点之间的距离即可求解； （2）根据两点之间的距离即可求解； （3）由可得代数式表示到和的距离之和，据此即可求解； 应用：根据题意画出图形，再根据图形即可求解； 【详解】解：理解：（1）由题意得，数轴上表示数和的两点之间的距离是， 故答案为：； （2）数轴上表示数和的两点之间的距离是， 故答案为：； （3）∵， ∴代数式表示到和的距离之和，当在和之间，即时，和最小，最小值为， 故答案为：，； 应用：根据题意，画图如下，共有种调配方案： 故答案为：． 11．（24-25六年级上·上海嘉定·期末）如果，互为倒数，，互为相反数，到原点的距离为1个单位长度，求代数式的值． 【答案】0 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，结合已知条件求得，，是解题的关键．根据倒数及相反数的定义可得，，再由到原点的距离为1个单位长度可得，然后计算 的值即可． 【详解】解：，互为倒数，，互为相反数，到原点的距离为1个单位长度， ，，， ． 12．（24-25六年级上·上海长宁·期末）已知a，b，c为有理数，且它们在数轴上的位置如图所示． (1)用“> ”或“< ”填空：a 0 ，b 0 ，c 0； (2)在数轴上标出a，b，c相反数的位置； (3)若，求a，b，c的值． 【答案】(1)<；>；> (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了数轴的应用，相反数的概念，绝对值的性质等，熟练掌握各知识点是解答本题的关键． （1）观察数轴，即可得出答案； （2）运用相反数的概念在数轴上表示出相应的点； （3）根据绝对值的性质即可得出答案． 【详解】（1）由图可知： 故答案为：， （2）如图所示： （3）， 又， 13．（24-25六年级上·上海普陀·期末）给出下列9个有理数，按下列要求解答： 3，，0，，0.45，，，， (1)把上面的9个数用“”排列起来； (2)把数3，0，，，表示在数轴上． (3)9个数中，①绝对值最小的数是______；②整数有______；③的倒数是______． 【答案】(1) (2)见详解； (3)①0；②3，0，，；③ 【分析】本题考查了数轴、有理数的大小比较，绝对值及倒数、有理数的分类等知识点．熟知相关定义是正确解题的关键． （1）根据“正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数”的法则即可结果； （2）根据数轴是用直线上的点表示数的一条直线，可把数在数轴上表示出来； （3）根据绝对值、整数、倒数的意义可得答案． 【详解】（1）解：将3，，0，，0.45，，，，用“”排列如下： ； （2）解：把数3，0，，，表示在数轴上，如下： （3）解：9个数中，①绝对值最小的数是0；②整数有3，0，，；③的倒数是． 故答案为：①0；②3，0，，；③． 14．（24-25六年级上·上海虹口·期中）在活动课上，有6名学生用橡皮泥做了6个实心球，直径可以有毫米的误差，超过规定直径的毫米数记作正数，不足的记作负数，检查结果如表： 做实心球的同学 李明 张兵 王敏 余佳 赵平 蔡伟 检测结果 (1)请你指出哪些同学做的实心球是合乎要求的？ (2)哪个同学做的质量最接近标准质量？ 【答案】(1)张兵和蔡伟同学做的实心球是合乎要求的 (2)蔡伟同学做的质量最接近标准质量 【分析】本题主要考查了绝对值的意义、正负数的意义等知识点，正确掌握正负数的实际意义是解题的关键． （1）比较各个数据的绝对值，绝对值小于0.02是实心球是合乎要求，据此即可解答； （2）比较各个数据的绝对值，绝对值最小的实心球的质量最接近标准质量，据此即可解答． 【详解】（1）解：∵，． ∴张兵和蔡伟同学做的实心球是合乎要求的． （2）解：，， ∵， ∴蔡伟同学做的质量最接近标准质量． 15．（24-25六年级上·上海宝山·期中）某数学兴趣小组的同学类比绝对值的几何意义的学习，对数轴上两点之间的距离展开了进一步的探究学习． 【特例感知】 （1）结合数轴和绝对值的知识将下表补充完整． 在数轴上点表示的数 2 4 4 … 在数轴上点表示的数 0 0 1 5 … ，两点之间的距离 ① ② … ①________________，②________________； 【总结归纳】 （2）观察上表：在数轴上点，表示的数分别为，，则，两点之间的距离可以表示为________； 【拓展应用】 （3）利用你发现的结论，结合数轴和绝对值的知识解决下列问题： ①式子的几何意义可以理解为数轴上表示数的点与表示数________的点之间的距离； ②根据等式的几何意义，求的值； ③式子表示数轴上表示数的点与表示数3的点和表示数的点距离之和为7，请直接写出符合条件的的值． 【答案】（1）①；②；（2）；（3）①4；或；③或 【分析】本题考查了数轴和绝对值，解题的关键是掌握数轴知识和绝对值的定义． （1）根据数轴知识和绝对值的定义解答； （2）根据数轴知识和绝对值的定义解答； （3）利用（1）（2）得出的规律以及数轴知识，绝对值的定义解答． 【详解】解：[特例感知]①；②； 故答案为：①；②； [总结归纳] 在数轴上点表示的数分别为，则两点之间的距离可以表示为； 故答案为：； [拓展应用] ①式子的几何意义可以理解为数轴上表示数的点与表示数4的点之间的距离； 故答案为：4； ②的意义是表示数的点到表示数的点的距离是5， ∴或， ∴的值是3或； ③∵表示数轴上表示数的点与表示数3的点和表示数的点距离之和为7， ∴数轴上表示数的点在表示数3的点的右边或在表示数的点左边， ∴，解得； 或， ，解得； ∴符合条件的x的值是4或． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09 绝对值的几何意义（最值问题）与化简专训 （8大题型+15道拓展培优题） 题型一 两个绝对值的和的最值 题型二 两个绝对值的差的最值 题型三 多个绝对值的和的最值 题型四 绝对值中最值问题的应用 题型五 已知范围的绝对值化简 题型六 未知范围的绝对值化简 题型七 绝对值化简的新定义问题 题型八 绝对值化简问题综合 【经典例题一 两个绝对值的和的最值】 目的是在数轴上找一点x，使x到a和b的距离和的最小值： 分类情况（的取值范围） 图示 取值情况 当时 无法确定 当时 的值为定值，即为 当 无法确定 结论：式子在时，取得最小值为. 【例1】（24-25六年级上·上海闵行·期末）已知，则的最大值为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 1．（24-25六年级上·上海闵行·阶段练习）规定．如：．下列结论中：①若，则；②若，则；③当时，有最大值5；④式子的最小值是5，以上结论正确的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（24-25六年级上·上海闵行·期中）设是八个不同的正整数，取值于．记，则S的最大值为 3．（24-25六年级上·上海金山·期中）阅读材料： 数轴是学习有理数的一种重要工具，运用数形结合的方法可以解决许多问题．例如，两个有理数在数轴上对应的点之间的距离可以用这两个数的差的绝对值表示：如，在数轴上，有理数3与1对应的两点之间的距离为；有理数与对应的两点之间的距离为； 如图，在数轴上有理数对应的点为点A，有理数对应的点为点B，A、B两点之间的距离表示为或，记为． 解决问题： （1）数轴上有理数与3对应的两点之间的距离： ； （2）若有理数与2对应的两点之间的距离为5，即，则等于 ； 运用拓广： （3）如图，点是数轴上的三点，点表示的数为4，点表示的数为，动点P表示的数为． ①若点P在点两点之间，则 ； ②若点P在不点两点之间，且，则点P表示的数为 ； （4）当取最小值时，整数x的所有取值的和为 ． 【经典例题二 两个绝对值的差的最值】 目的是在数轴上找一点x，使x到a和b的距离差的最大值和最小值： 分类情况（的取值范围） 图示 取值情况 当时 的值为定值，即为— 当时 当 的值为定值，即为 结论：式子在时，取得最小值为；在时，取得最大值. 【例2】（24-25六年级上·上海金山·期中）当取最小值时，（    ） A．0 B．-1 C．0或-1 D．以上都不对 1．（24-25六年级上·上海青浦·期中）已知，求的最大值（    ） A． B． C． D． 2．（2024六年级上·上海长宁·专题练习）先阅读，后探究相关的问题： 【阅读】表示与差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示与的差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． （1）数轴上表示和的两点和之间的距离表示为 ；如果，那么为 ； （2）若点表示的数为，则当为 时，与的值相等； （3）若数轴上表示数的点位于与之间，则的值为 ． 3．（24-25六年级上·上海松江·期中）【问题背景】在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答问题． 已知．求x的值，我们采用分类讨论的方法： ①当时，，． ②当时，，． 所以或． 【解决问题】若a与b的乘积不等于0，求的值． ①a，b均是正数时，________； ②当a，b均是负数时，________； ③当a，b是一正一负时，________； 【探究拓展】 （1）已知a，b，c是有理数，当a，b，c三数的乘积小于0时，求的值； （2）根据以上解题思路，请探究： （其中，，均为不等于0的实数）， x共有________个不同的值，在这些不同的值中，最大的值减去最小的值的差等于________． 【经典例题三 多个绝对值的和的最值】 最小值规律： ①当有两个绝对值相加： 若已知，的最小值为，且数的点在数，的点的中间； ②当有三个绝对值相加： 若已知，的最小值为，且数的点与数的点重合； ③当有（奇数）个绝对值相加： ，且，则取中间数，即当时，取得最小值为； ④当有（偶数）个绝对值相加： ，且，则取中间段， 即当时，取得最小值为. 【例3】（24-25六年级上·上海长宁·阶段练习）关于有理数，下列说法不正确的是（    ） A．若，那么必有 B．一个有理数和它的相反数的乘积必为负数 C．任何一个有理数同0相加的和等于这个数同1相乘的积 D．如果两个有理数的积是负数，和是正数，那么它们符号相反，且正数的绝对值大 1．（24-25六年级上·上海静安·阶段练习）已知，从中随机取两个字母作差后取绝对值，记为；将剩下两个字母中任意一个与作差后取绝对值，记为；再对进行化简运算，称为“调整和差操作”．例如：如果且，则为一次“调整和差操作”，为“调整和差操作”的一种运算结果．下列说法： ①存在“调整和差操作”运算结果的和为； ②不存在“调整和差操作”运算结果的差为； ③所有的“调整和差操作”共有11种不同运算结果． 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（24-25六年级上·上海徐汇·期中）将1，2，3，…，100这100个自然数，任意分为50组，每组两个数，现将每组的两个数中任一数值记作a，另一个记作b，代入代数式中进行计算，求出其结果，50 组数代入后可求得50个值，则这 50个值的和的最大值是 ． 3．（2024六年级上·上海长宁·专题练习）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式的几何意义是数轴上所对应的点与2所对应的点之间的距离；因为．所以的几何意义就是数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离． 发现问题：代数式的最小值是多少？ 探究问题：如图，点，，分别表示的是，，，， ∵的几何意义是线段与的长度之和， ∴当点在线段上时，；当点在点的左侧或点的右侧时，， ∴的最小值是． （1）解决问题，的值是 ． （2）的最小值是 ． （3）若的最小值是，则的值为 ．    拓展提升： （4）的最小值是 ，最大值是 ． （5）的最小值是 ． （6）若的最小值是，则的值是 ． （7）若，且为整数，则的值为 ． （8）若，则的值为 ． 【经典例题四 绝对值中最值问题的应用】 【例4】（24-25六年级上·上海奉贤·期末）已知：，且abc＞0，a+b+c＝0，m的最大值是x，最小值为y，则x+y＝（　　） A．﹣4 B．2 C．﹣2 D．﹣6 1．（24-25六年级上·上海长宁·单元测试）有一台特殊功能计算器，对任意两个整数只能完成求差后再取绝对值的运算，其运算过程是：输入第一个整数，只显示不运算，接着再输入整数后则显示的结果．比如依次输入1，2，则输出的结果是；此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差后再取绝对值的运算．有如下结论：①依次输入1，2，3，4，则最后输出的结果是3；②若将1，2，3，4这4个整数任意地一个一个输入，全部输入完毕后显示的结果的最大值是2；③若将1，2，3，4这4个整数任意地一个一个地输入，全部输入完毕后显示的结果的最小值是0；④若随意地一个一个地输入三个互不相等的正整数2，a，b，全部输入完毕后显示的最后结果设为k，若k的最大值为10，那么k的最小值是6．上述结论中，正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（24-25六年级上·上海奉贤·期中）已知a，b，c，d分别是一个四位数的千位，百位，十位，个位上的数字，且低位上的数字不小于高位上的数字，当取得最大值时，这个四位数的最小值是 ． 3．（24-25六年级上·上海长宁·期中）将1、2、、20这20个自然数，任意分为10组，每组两个数，现将每组的两个数中任一数值记作x，另一个记作y，代入代数式中进行计算，求出其结果，10组数代入后可求得10个值，则这10个值的和的最小值是 ． 4．（2025六年级上·上海徐汇· 模拟预测）数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作，数轴上表示数的点与表示数的点的距离记作，如数轴上表示数5的点与表示数7的点的距离为，表示数轴上表示数5的点与表示数的点的距离，表示数轴上表示数的点与表示数5的点的距离．根据以上材料回答下列问题： (1)①若，则_____， ②，则的取值为_____； (2)最小值为_____； (3)求的最小值，并求出此时的取值范围． 【经典例题五 已知范围的绝对值化简】 已知范围的绝对值化简步骤： ①判断绝对值符号里式子的正负； 两数相减：大的数-小的数＞0，转化到数轴上：右-左＞0；小的数-大的数＜0，转化到数轴上：左-右＜0. 两数相加：正数＋正数＞0，转化到数轴上：原点右侧两数相加＞0； 负数＋负数＜，转化到数轴上：原点左侧两数相加＜0； 正数＋负数：取绝对值较大数的符号，转化到数轴上：原点两侧两数相加，取离原点远的符号. ②将绝对值符号改为小括号： 若正数，绝对值前的正负号不变（即本身）；若负数，绝对值前的正负号改变（即相反数）. ③去括号：括号前是“＋”，去括号，括号内不变；括号前是“－”，去括号，括号内各项要变号. ④化简. 【例5】（24-25六年级上·上海金山·期中）已知a，b是有理数，若a在数轴上的对应点的位置如图所示，且，下列结论不正确的是（   ）    A． B． C． D． 1．（24-25六年级上·上海长宁·期中）下列说法正确的有（   ） ①已知是有理数，，，则的值为； ②若为非零有理数，且，则的值为或； ③已知，则的最大值是，最小值是； ④若且，则式子． A．个 B．个 C．个 D．个 2．（24-25六年级上·上海杨浦·期中）已知a，m，n均为有理数，且满足|a−m|=6，|n−a|=4，那么|m−n|的最大值为 . 3．（24-25六年级上·上海奉贤·阶段练习）已知数轴上A、B两点表示的数分别为a，b，且a，b满足． （1）________，________，点A，点B之间的距离长为________；（直接写出来） （2）若点M以每秒3个单位的速度从点A出发向正方向运动，同时点N以每秒1个单位的速度从点B出发向正方向运动，经过多少秒，点M，点N之间的距离为2个单位？ （3）【问题背景】：已知可理解为数轴上表示数a、b的点之间的距离，可以理解为数轴上表示数a的点到表示数b，c的点的距离之和． 【解决问题】：①若点P在数轴上表示的数为x．则的最小值是________； 【问题拓展】：②若，则的最大值为________． 【经典例题六 未知范围的绝对值化简】 绝对值的性质：①正数的绝对值是它本身，即； ②0的绝对值是0，即；③负数的绝对值是它的相反数，即；④绝对值具有非负性，即. 【例6】（24-25六年级上·上海宝山·期中）在有理数的绝对值的学习中，我们知道是在数轴上表示数a的点到原点的距离，即表示，类比绝对值的意义，可知就是在数轴上表示数x的点到表示数的点的距离，当取得最小值时，x的取值范围是（    ） A． B．或 C． D． 1．（24-25六年级上·上海虹口·阶段练习）已知点在数轴上分别表示有理数两点的距离表示为．例如，有理数7与对应的两点之间的距离为．数轴上有一个点表示数，则关于的代数式的最小值是（    ） A．1 B．3 C．4 D．5 2．（2024六年级上·上海长宁·专题练习）已知是非负数，且非负数中最小的数是0． （1）已知，则的值是 ； （2）当 时，有最小值，最小值是 ． 3．（24-25六年级上·上海嘉定·期中）点、在数轴上分别表示实数、，在数轴上、两点之间的距离． (1)数轴上2和6两点之间的距离是_____，数轴上和1两点之间的距离为_____； (2)实数满足，化简：； (3)的最小值为_____； (4)求的最大值． 【经典例题七 绝对值化简的新定义问题】 【例7】（2024六年级上·上海闵行·专题练习）对于有理数a、b，定义一种新运算※，规定：，则等于（   ） A．4 B． C． D． 1．（24-25六年级上·上海宝山·阶段练习）对于有理数，定义一种新运算“”，规定．当在数轴上的位置如图所示时，化简得（   ） A．0 B． C． D． 2．（24-25六年级上·上海青浦·阶段练习）新定义如下：， ； 例如：， ；根据上述知识， 若， 则x的值为 ． 3．（24-25六年级上·上海虹口·期中）用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定． 例如：． 从，，，，，，，，0，1，2，3，4，5，6，7，8，中任选两个有理数做a，b（）的值，并计算，那么所有运算结果中的最大值是 ． 4．（24-25六年级上·上海杨浦·期中）对于有理数、，定义一种新运算“”，规定 (1)计算的值． (2)当、在数轴上的位置如图所示时，化简． (3)当时，是否一定有或者？若是，则说明理由；若不是，则举例说明． 【经典例题八 绝对值化简问题综合】 【例8】（2025·上海普陀·模拟预测）若代数式可以按照如下的方式化简，则x的值可以是（    ） ． A． B． C． D． 1．（2025·上海静安·模拟预测）已知，对多项式任意添加绝对值（不可添加为单个字母的绝对值或绝对值中含有绝对值的情况）后仍只含加减法运算，称这种操作为“添绝对值操作”，例如：，等，下列结论正确的个数是（    ） ①至少存在一种“添绝对值操作”，使化简其结果与原多项式相等； ②存在某种“添绝对值操作”，使其结果与原多项式之和为0； ③若只添加一个绝对值，则所有可能的化简结果共有8种． A．0 B．1 C．2 D．3 2．（24-25六年级上·上海松江·期末）已知a，b两数在数轴上对应的点的位置如图，则化简的结果是 ． 3．（24-25六年级上·宝山·阶段练习）设是一个四位数，是的自然数，且，则式子化简的结果为 ，其最大值是 ． 4．（24-25六年级上·上海杨浦·期末）对于有理数a、b，定义一种新运算“※”，规定． (1)计算的值． (2)当a、b在数轴上的位置如图所示时，化简． (3)当时，是否一定有或者？若是，则说明理由；若不是，请举例说明． 1．（24-25六年级上·上海杨浦·期末）用数轴上的点表示下列各数，其中与原点距离最近的是（   ） A． B．2 C． D．4 2．（2025六年级上·上海松江·专题练习）在带箭头的直线上有四个点，分别表示，，，，这四个点中，与“0”的位置最接近的是（ ） A． B． C． D． 3．（2025六年级上·上海闵行·专题练习）有理数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）．（注：表示a到0的距离） A． B． C． D． 4．（24-25六年级上·上海虹口·阶段练习）在下列说法中：如果，则有；既不是正数，也不是负数；一个有理数的绝对值是它本身，则这个数是正数；表示没有温度．正确的个数有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 5．（24-25六年级上·上海静安·期中）若，且，，，……，，这个数中有个正数，则的值为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25六年级上·上海奉贤·期末） ； 的倒数为 ； ． 7．（24-25六年级上·上海虹口·期中）在直线上表示、、、时，离0最近的数是 ． 8．（24-25六年级上·上海徐汇·阶段练习）已知整数同时满足下列两个条件，写出一个符合条件的的值： ． ①在数轴上位于原点左侧；②绝对值大于3且小于5． 9．（24-25六年级上·上海宝山·期末）党和国家非常重视青少年的身心健康，采取多种举措增强青少年体质，数据显示，近几年，青少年身体健康状况有一定提升，但肥胖问题仍不容忽视．一种少年儿童的标准体重单位：的计算公式为：标准体重年龄．如表是七年级某小组位同学的体重情况，其中超出标准体重的千克数记为正数，少于标准体重的千克数记为负数，那么表中编号为 的同学的体重最符合标准体重． 编号 体重情况 10．（24-25六年级上·上海长宁·期末）阅读：已知点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为． 理解：（1）数轴上表示2和的两点之间的距离是 ； （2）数轴上表示x和的两点A和B之间的距离是 ； （3）当代数式取最小值时，相应的x的取值范围是 ，最小值是 ． 应用：某环形道路上顺次排列有四家快递公司：A、B、C、D，它们顺次有快递车16辆，8辆，4辆，12辆，为使各快递公司的车辆数相同，允许一些快递公司向相邻公司调出，问共有 种调配方案，使调动的车辆数最少． 11．（24-25六年级上·上海嘉定·期末）如果，互为倒数，，互为相反数，到原点的距离为1个单位长度，求代数式的值． 12．（24-25六年级上·上海长宁·期末）已知a，b，c为有理数，且它们在数轴上的位置如图所示． (1)用“> ”或“< ”填空：a 0 ，b 0 ，c 0； (2)在数轴上标出a，b，c相反数的位置； (3)若，求a，b，c的值． 13．（24-25六年级上·上海普陀·期末）给出下列9个有理数，按下列要求解答： 3，，0，，0.45，，，， (1)把上面的9个数用“”排列起来； (2)把数3，0，，，表示在数轴上． (3)9个数中，①绝对值最小的数是______；②整数有______；③的倒数是______． 14．（24-25六年级上·上海虹口·期中）在活动课上，有6名学生用橡皮泥做了6个实心球，直径可以有毫米的误差，超过规定直径的毫米数记作正数，不足的记作负数，检查结果如表： 做实心球的同学 李明 张兵 王敏 余佳 赵平 蔡伟 检测结果 (1)请你指出哪些同学做的实心球是合乎要求的？ (2)哪个同学做的质量最接近标准质量？ 15．（24-25六年级上·上海宝山·期中）某数学兴趣小组的同学类比绝对值的几何意义的学习，对数轴上两点之间的距离展开了进一步的探究学习． 【特例感知】 （1）结合数轴和绝对值的知识将下表补充完整． 在数轴上点表示的数 2 4 4 … 在数轴上点表示的数 0 0 1 5 … ，两点之间的距离 ① ② … ①________________，②________________； 【总结归纳】 （2）观察上表：在数轴上点，表示的数分别为，，则，两点之间的距离可以表示为________； 【拓展应用】 （3）利用你发现的结论，结合数轴和绝对值的知识解决下列问题： ①式子的几何意义可以理解为数轴上表示数的点与表示数________的点之间的距离； ②根据等式的几何意义，求的值； ③式子表示数轴上表示数的点与表示数3的点和表示数的点距离之和为7，请直接写出符合条件的的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$