精品解析： 安徽省阜阳市颍上县2024—2025学年下学期七年级末数学试卷

2024-2025学年安徽省阜阳市颍上县七年级（下）期末数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列实数中，最小的数是（ ） A. B. C. D. 2. 的图标设计以鲸鱼为核心元素，象征着在人工智能领域的深度探索精神，以下四个图标，其中可以由如图平移得到的是（ ） A. B. C. D. 3. 若，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 要使分式有意义，应满足的条件是（ ） A B. C. D. 6. 在（相邻两个1之间2的个数依次加1），3.14这些数中，无理数的个数为（ ）． A 2 B. 3 C. 4 D. 5 7. 下列能用完全平方公式进行因式分解的是（ ） A. B. C. D. 8. 请阅读以下“预防近视”知识卡 读书、写字、看书姿势要端正．一般人正常的阅读角度约为俯角（如图视线与水平线的夹角）40度． 在学习和工作中，要保持读写姿势端正，可概括为“三个一”；身体与桌子距离1拳；握笔时，手指离笔尖１寸，书本与课桌的角度保持在30度至45度 已知如图，桌面和水平面平行，与书本所在平面重合，请判断正常情况下，坐姿正确且座椅高度适合时,视线和书本所在平面所成角度不可能为以下哪个角度（ ） A. B. C. D. 9. 年月日，神舟十三号载人飞船返回舱成功着陆，三名航天员平安归来，神舟十三号任务取得圆满成功．某航模店购进了“神舟”和“天宫”两款航空模型．已知每个“神舟”模型比“天宫”模型的进价多元，且同样花费元，购进“天宫”模型的数量比“神舟”模型多个．设“天宫”模型进价为每个元，则下列方程正确的是（　　） A. B. C. D. 10. 我们用 来表示不大于的最大整数 ．例如， ．若 ，则的取值范围是( ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 11. 2025年中国迎来了诸多科技成果的爆发，人形机器人便是其中之一．据称，某前沿科技公司研发的人形机器人的交互反应的时间在秒左右，将用科学记数法表示为______． 12. 如图是一把剪刀的示意图，我们可想象成一个相交线模型，若，则______． 13. 已知是关于，的二元一次方程，则的值_______（填“是”或“不是”）不等式的解． 14. 我们规定一个新数“”，使其满足，并进一步规定：一切有理数可以与新数进行四则运算，且原有的运算律和运算法则仍然成立，于是有 那么___________，___________． 三、解答题：本题共9小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15 分解因式：． 16 请阅读下列材料，并回答问题： 在解分式方程时，小统的解法如下： 解：方程两边同乘以，得：① 去括号，得：② 解得． 检验：当时，③ 所以，原方程解是． （1）出现错误的步骤是______（填序号）； （2）写出上述分式方程的正确解法． 17. 先化简，再求值：，其中． 18. 作图题．（要求：用直尺铅笔作图）如图，已知 （1）作点到的垂线段，垂足为； （2）过点作，垂足为； （3）过作的平行线； （4）比较与大小，并说明理由． 19. 某公司生产、两种机械设备，每台种设备的成本是种设备的倍，公司若投入万元生产种设备，万元生产种设备，则可生产两种设备共台，请解答下列问题： （1）、两种设备每台的成本分别是多少万元？ （2）、两种设备每台的售价分别是万元、万元，且该公司生产两种设备各30台，现公司决定对两种设备优惠出售，种设备按原来售价折出售，种设备在原来售价的基础上优惠，若设备全部售出，该公司一共获利多少万元？ 20. 近两年，“今生簪花，来世漂亮”一句话可谓火遍全网．簪花其实是中国古代佩戴头饰的一种，也称戴花，簪戴，通常是由筷子状的象牙簪固定在螺旋状的发髻上，再由鲜花或其他材料制成的花朵缠绕起来．簪花文化距今已有两至三千年的历史，是国家非物质文化遗产之一．李阿姨去簪花店去簪花，它挑选了颜色鲜艳的16朵玫瑰花和15朵石榴花，共支付203元，每朵石榴花的价格比每朵玫瑰花的价格便宜3元． （1）求石榴花与玫瑰花单价分别是多少元？ （2）李阿姨发现簪花时如果花朵再多一些，整个头型更好看些，所以计划下次来簪花时，两种花的数量为45朵，且总费用不得高于300元．请你帮李阿姨算一算，最多能选多少朵玫瑰？ 21. 如图，点O在直线上，点F在射线上，平分，平分． （1）判断与的位置关系，并说明理由； （2）如果与互余，那么与平行吗？请说明理由． 22. 【阅读理解】 若满足，求的值． 解：设，则， ， 我们把这种方法叫做换元法．利用换元法达到简化方程的目的，体现了转化的数学思想． 【解决问题】 （1）若满足，则 ； （2）若满足，求的值； （3）如图，在长方形中，，点是边上的点，，且，分别以为边在长方形外侧作正方形和，若长方形的面积为，求图中阴影部分的面积和． 23. 数学课上，老师要求同学们利用三角尺设计数学问题． （1）小安的设计：如图①，利用三角尺画平行线：①将含角的三角尺的最长边与直线重合，另一块三角尺长直角边与含角的三角尺的直角边紧贴：②将含角的三角尺沿贴合边平移一段距离，画出最长边所在直线，则，小安这样画图的依据是______； （2）小徽的设计：如图②，将含角的直角三角尺放在含角的直角三角尺上、使两直角顶点与重合，转动三角尺，始终保持三角尺有重合部分，当的大小为多少时，可使？请说明理由； （3）小皖的设计：如图③，，将一副直角三角尺作如上摆放：，，求的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年安徽省阜阳市颍上县七年级（下）期末数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列实数中，最小的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了实数的大小比较，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据负数总比正数小解答即可． 【详解】解：负数总比正数小， 最小， 故选：D． 2. 的图标设计以鲸鱼为核心元素，象征着在人工智能领域的深度探索精神，以下四个图标，其中可以由如图平移得到的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平移变换的定义判断即可． 本题考查的是利用平移设计图案，熟知图形平移变换、旋转、翻折变换的性质是解答此题的关键． 【详解】解：能通过如图平移得到的是选项C， 故选：C． 3. 若，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用不等式的性质逐项判断即可． 本题考查不等式的性质，熟练掌握其性质是解题的关键． 【详解】解：若， 两边同时乘以得，则A不符合题意， 两边同时乘以得，则B不符合题意， 两边同时减去得，则C符合题意， 当时，，则D不符合题意， 故选：C． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】本题考查整式的运算，涉及合并同类项、同底数幂的乘除法、幂的乘方等基本法则，需逐一验证各选项的正确性即可 【分析】解：A、，合并同类项时，系数相加，字母部分不变，，而非，故A错误； B、，同底数幂相除，指数相减：，结果应为，而非固定值3，故B错误； C、，同底数幂相乘，指数相加：，符合运算法则，故C正确； D、，幂的乘方，指数相乘：，而非，故D错误； 故选：C 5. 要使分式有意义，应满足的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了分式有意义的条件，根据分式有意义分母不为零，进行计算即可，解题的关键是列出不等式并正确求解． 【详解】解：∵要使分式有意义， ∴，即， 故选：． 6. 在（相邻两个1之间2的个数依次加1），3.14这些数中，无理数的个数为（ ）． A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了无理数和有理数的定义，理解无限不循环小数是无理数是解答关键．根据有理数和无理数的定义分别进行分类来求解． 【详解】解：，在（相邻两个1之间2的个数依次加1），3.14这些数中，无理数有，，（相邻两个1之间2的个数依次加1），共3个， 故选：B． 7. 下列能用完全平方公式进行因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据完全平方公式：进行计算． 【详解】解：A．不能用完全平方公式进行因式分解，故不符合题意； B．不能用完全平方公式进行因式分解，故不符合题意； C．，能用完全平方公式因式分解，故符合题意； D．只有两项，不能用完全平方公式进行因式分解，故不符合题意； 故选C． 【点睛】本题考查了因式分解—运用公式法，熟悉完全平方公式是解题的关键． 8. 请阅读以下“预防近视”知识卡 读书、写字、看书姿势要端正．一般人正常阅读角度约为俯角（如图视线与水平线的夹角）40度． 在学习和工作中，要保持读写姿势端正，可概括为“三个一”；身体与桌子距离1拳；握笔时，手指离笔尖１寸，书本与课桌的角度保持在30度至45度 已知如图，桌面和水平面平行，与书本所在平面重合，请判断正常情况下，坐姿正确且座椅高度适合时,视线和书本所在平面所成角度不可能为以下哪个角度（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】过C作，由平行线的性质得，，由，可得，即可得到结论， 本题主要考查了平行线的性质，正确作出辅助线是解决问题的关键． 【详解】解：由题意得，， ∴， 过C作， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 9. 年月日，神舟十三号载人飞船返回舱成功着陆，三名航天员平安归来，神舟十三号任务取得圆满成功．某航模店购进了“神舟”和“天宫”两款航空模型．已知每个“神舟”模型比“天宫”模型的进价多元，且同样花费元，购进“天宫”模型的数量比“神舟”模型多个．设“天宫”模型进价为每个元，则下列方程正确的是（　　） A. B. C D. 【答案】D 【解析】 【分析】每个“神舟”模型比“天宫”模型的进价多元，同样花费元，购进“天宫”模型的数量比“神舟”模型多个．设“天宫”模型进价为每个元，根据数量关系列方程即可． 【详解】解：根据题意，设“天宫”模型进价为每个元，则“神舟”模型的价格为元， ∴花费元购进“天宫”模型的数量是，购进“神舟”模型的数量是， ∵“天宫”模型数量比“神舟”模型多个 ∴， 故选：． 【点睛】本题主要考查分式方程在实际问题中的运用，理解题目中的数量关系，正确列出方程是解题的关键． 10. 我们用 来表示不大于的最大整数 ．例如， ．若 ，则的取值范围是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 分析】本题考查解一元一次不等式组，由知，结合新定义即可求解． 【详解】， ， ， 故选：A． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 11. 2025年中国迎来了诸多科技成果的爆发，人形机器人便是其中之一．据称，某前沿科技公司研发的人形机器人的交互反应的时间在秒左右，将用科学记数法表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查科学记数法表示绝对值较小的数的方法，掌握科学记数法表示的方法是解题的关键． 根据“科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．”解答即可． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 如图是一把剪刀的示意图，我们可想象成一个相交线模型，若，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了对顶角的定义及性质，即两个角有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角，且对顶角相等，熟练掌握知识点是解题的关键．根据对顶角相等即可求解． 【详解】解：由题意得，为对顶角， ， ， 故答案为：． 13. 已知是关于，的二元一次方程，则的值_______（填“是”或“不是”）不等式的解． 【答案】不是 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程的定义，解一元一次不等式；根据二元一次方程的定义求得，再解不等式，进而即可求解． 【详解】解：∵是关于，的二元一次方程， ∴，解得：， 解不等式 解得： ∴不是不等式的解． 故答案为：不是． 14. 我们规定一个新数“”，使其满足，并进一步规定：一切有理数可以与新数进行四则运算，且原有的运算律和运算法则仍然成立，于是有 那么___________，___________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了新定义下实数运算，数字变化规律， ①根据题中给出的运算法则将变形为，再代入计算即可； ②先找到规律，发现每四个数为一个周期，相加和为，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：， ， 故答案为：①；②． 三、解答题：本题共9小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 分解因式：． 【答案】 【解析】 【分析】提公因式，再用完全平方公式因式分解． 本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解，注意分解要彻底． 【详解】解： ． 16. 请阅读下列材料，并回答问题： 在解分式方程时，小统的解法如下： 解：方程两边同乘以，得：① 去括号，得：② 解得． 检验：当时，③ 所以，原方程的解是． （1）出现错误的步骤是______（填序号）； （2）写出上述分式方程的正确解法． 【答案】（1）①②； （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键． （1）根据去分母、去括号法则可以判断出出现错误的步骤是①②； （2）方程两边同乘以，将分式方程化为整式方程求解即可． 【小问1详解】 解：出现错误的步骤是， 故答案为：①②； 【小问2详解】 解：， 方程两边同乘以，得：， 去括号，得：， 解得， 检验：当时，， 所以，原方程的解是． 17. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，1 【解析】 【分析】先因式分解，再算括号，最后计算除法，化简后代入求值即可． 【详解】原式 当时， 原式. 【点睛】本题考查了分式的化简求值，能正确根据分式的运算法则进行计算是解此题的关键，注意运算顺序． 18. 作图题．（要求：用直尺铅笔作图）如图，已知 （1）作点到的垂线段，垂足为； （2）过点作，垂足为； （3）过作的平行线； （4）比较与大小，并说明理由． 【答案】（1）见解析； （2）见解析； （3）见解析； （4），垂线段最短． 【解析】 【分析】本题主要考查了作三角形三边上的高、过直线外一点作已知直线的平行线、垂线段最短． 借助直尺上的直角，过点作； 借助直尺上的直角，过点作； 用两个直尺，利用平行移动的方法作； 根据垂线段最短，可知． 【小问1详解】 解：如下图所示， 线段即为所求； 【小问2详解】 解：线段即为所求； 【小问3详解】 解：如下图所示， 【小问4详解】 解：， ． 19. 某公司生产、两种机械设备，每台种设备的成本是种设备的倍，公司若投入万元生产种设备，万元生产种设备，则可生产两种设备共台，请解答下列问题： （1）、两种设备每台的成本分别是多少万元？ （2）、两种设备每台的售价分别是万元、万元，且该公司生产两种设备各30台，现公司决定对两种设备优惠出售，种设备按原来售价折出售，种设备在原来售价的基础上优惠，若设备全部售出，该公司一共获利多少万元？ 【答案】（1）、两种设备每台的成本分别是万元和万元 （2）该公司共获利为万元 【解析】 【分析】（1）设种设备每台成本为元，则种设备每台设备成本为元，根据题意列出方程即可求出答案． （2）根据题意列出算式即可求出答案． 本题考查分式方程，解题的关键是正确找出题中的等量关系，本题属于基础题型． 【小问1详解】 解：设种设备每台成本为万元，则种设备每台设备成本为万元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：、两种设备每台的成本分别是万元和万元． 【小问2详解】 由题意知：种设备共有台，种设备台， 种设备获利为：（万元）， 种设备获利为：（万元）， 该公司共获利为（万元）， 答：该公司共获利为万元． 20. 近两年，“今生簪花，来世漂亮”一句话可谓火遍全网．簪花其实是中国古代佩戴头饰的一种，也称戴花，簪戴，通常是由筷子状的象牙簪固定在螺旋状的发髻上，再由鲜花或其他材料制成的花朵缠绕起来．簪花文化距今已有两至三千年的历史，是国家非物质文化遗产之一．李阿姨去簪花店去簪花，它挑选了颜色鲜艳的16朵玫瑰花和15朵石榴花，共支付203元，每朵石榴花的价格比每朵玫瑰花的价格便宜3元． （1）求石榴花与玫瑰花单价分别是多少元？ （2）李阿姨发现簪花时如果花朵再多一些，整个头型更好看些，所以计划下次来簪花时，两种花的数量为45朵，且总费用不得高于300元．请你帮李阿姨算一算，最多能选多少朵玫瑰？ 【答案】（1）石榴花每朵5元，玫瑰花每朵8元 （2）李阿姨最多能选25朵玫瑰 【解析】 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用； （1）设石榴花每朵元，玫瑰花每朵元，根据16朵玫瑰花和15朵石榴花，共支付203元，再建立方程求解即可； （2）设玫瑰花朵，石榴花朵，根据两种花的数量为45朵，且总费用不得高于300元，再建立不等式求解即可. 【小问1详解】 解：设石榴花每朵元，玫瑰花每朵元， 根据题意得：， 解得：， ∴， 答：石榴花每朵5元，玫瑰花每朵8元； 【小问2详解】 解：设玫瑰花朵，石榴花朵， 根据题意得，解得， ∴最大值为25， 答：李阿姨最多能选25朵玫瑰． 21. 如图，点O在直线上，点F在射线上，平分，平分． （1）判断与的位置关系，并说明理由； （2）如果与互余，那么与平行吗？请说明理由． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先判定，再说理，利用角平分的意义得出，，再利用邻补角的意义证得，从而可得； （2）先判定，再说理，利用角平分线的意义得出，，再结合，得出，再根据与互余，证得，从而可得． 【小问1详解】 解：∵平分，平分 ∴，， ∴， ∴； 【小问2详解】 ， 理由：∵平分，平分 ∴，， ∵， ∴， ∵与互余， ∴， ∴， ∴． 22. 【阅读理解】 若满足，求的值． 解：设，则， ， 我们把这种方法叫做换元法．利用换元法达到简化方程的目的，体现了转化的数学思想． 【解决问题】 （1）若满足，则 ； （2）若满足，求的值； （3）如图，在长方形中，，点是边上的点，，且，分别以为边在长方形外侧作正方形和，若长方形的面积为，求图中阴影部分的面积和． 【答案】（1）15 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题目提供的方法，进行计算即可． （2）根据题意可得，设，，则，，将化成的形式，代入求值即可． （3）根据题意可得，设，，则，，再由阴影部分的面积，即可求出阴影部分的面积． 【小问1详解】 解：设； 则，， ∴， 故答案为：． 【小问2详解】 解：设，， 则，， ∴ ， 故答案为：． 【小问3详解】 解：由题意得，，， ∵长方形的面积为， ∴， 设，，则，， ∴阴影部分的面积， ， ∴阴影部分面积和为． 【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，阅读理解题目中提供的方法，是类比、推广的前提和关键． 23. 数学课上，老师要求同学们利用三角尺设计数学问题． （1）小安的设计：如图①，利用三角尺画平行线：①将含角的三角尺的最长边与直线重合，另一块三角尺长直角边与含角的三角尺的直角边紧贴：②将含角的三角尺沿贴合边平移一段距离，画出最长边所在直线，则，小安这样画图的依据是______； （2）小徽的设计：如图②，将含角的直角三角尺放在含角的直角三角尺上、使两直角顶点与重合，转动三角尺，始终保持三角尺有重合部分，当的大小为多少时，可使？请说明理由； （3）小皖的设计：如图③，，将一副直角三角尺作如上摆放：，，求的度数． 【答案】（1）同位角相等，两直线平行； （2）当时，，理由见解析部分； （3）． 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． （1）结合图①，得到时，因为同位角相等，两直线平行，得到； （2）当时，得到，求出的度数，利用同旁内角互补，两直线平行得到结果； （3）结合图③，先求出，再利用平角，求出的度数即可． 【小问1详解】 解：如图①，将含角的三角尺沿贴合边平移一段距离， ， （同位角相等，两直线平行）， 故答案为：同位角相等，两直线平行； 【小问2详解】 解：如图②，当时，，理由如下： ， ， ， ， （同旁内角互补，两直线平行）， 【小问3详解】 解：如图③，过点作， ， ， ， ， ， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$