精品解析：四川省泸州市合江县中学校2024-2025学年高一上学期期末考试数学试题

泸州市合江中学高2024级高一上学期期末考试 数 学 试 题 本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．第I卷第1至2页，第II卷第3至4页，满分150分，考试时间共120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题的答案标号涂黑． 3．填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，作图题可先用铅笔绘出，确认后，再用0.5毫米黑色签字笔描清楚，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将答题卡上交，试题卷自留． 第I卷（选择题 共58分） 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 计算（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数过定点P，幂函数的图象经过点P，则该幂函数的大致图象是（ ） A B. C. D. 4. 下列不等式中正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知定义域为R的函数满足，当时，，则满足 的实数x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的图象关于点对称 B. 函数图象的一条对称轴是直线 C. 是奇函数 D. 若，则 7. 在不考虑空气阻力的条件下，飞行器在某星球的最大速度v（单位：）和所携带的燃料的质量M（单位：kg）与飞行器（除燃料外）的质量m（单位：kg）的函数关系式近似满足（a为常数）．当携带的燃料的质量和飞行器（除燃料外）的质量相等时，v约等于2.9，当携带的燃料的质量是飞行器（除燃料外）的质量的13倍时，v约等于5.8，则常数b的值为（ ） A 3 B. 4 C. 5 D. 6 8. 已知函数，，．则下列说法正确是（ ） A. 函数与函数互为反函数 B. 函数在区间内没有零点 C. 若a，b，c均为正实数，且满足，则 D. 若函数的图象与函数的图象和函数的图象在第一象限内交点的横坐标分别为，则 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题为假命题的是（ ） A. 不等式的解集是 B. 用二分法求方程在上的近似解时，经计算，，，则下一步应计算的正负 C. 函数零点是， D. 若，，则 10. 已知，，则下列结论正确是（ ） A. 为第二象限角 B. C. D. 11. 已知偶函数的定义域为，且，，则以下说法正确的是（ ） A. B. 函数的图像关于直线对称 C. D. 第II卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知弧长为的弧所对的圆心角为，则该弧所在的扇形面积为_______． 13. 若正数a，b满足：，则的最小值为______． 14. 已知函数，若关于x的方程有六个相异的实数根，则实数a的取值范围是______． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设全集，，． （1）求； （2）已知，若“”的充分条件是“”，求实数a的取值范围． 16. 设函数的周期为． （1）求函数的单调递增区间； （2）当时，求方程的所有根的和． 17. 已知定义在上的函数图象关于原点对称． （1）求的解析式； （2）判断并用定义证明的单调性； （3）解不等式． 18. 学校数学学习小组在假期社会实践活动中，对某公司的一种产品销售情况的调查发现：受不可抗力因素影响，该种产品在2022年8月份（价格浮动较大的一个月，以31天计）的最后7天无法进行销售，日销售单价（单位：千元/千克）与第天（，）的函数关系满足（k为正实数）．因公司数据保存不当，只能查到该产品的日销售量（单位：千克）与的如下数据：，，，已知第4天该产品的日销售收入为256千元（日销售收入日销售单价日销售量）． （1）给出以下三种函数模型：①；②；③，请你根据上述数据，帮助这组同学从中选择最合适的一种函数模型来描述该产品在2022年8月份的日销售量与的关系，并求出该函数的解析式； （2）在（1）的基础上，求出该公司在2022年8月份第1天到第12天中，该产品日销售收入（单位，千元）的最小值． 19. 已知函数满足． （Ⅰ）当时，解不等式； （Ⅱ）若关于x的方程的解集中有且只有一个元素，求a的取值范围 （Ⅲ）设，若对，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 泸州市合江中学高2024级高一上学期期末考试 数 学 试 题 本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．第I卷第1至2页，第II卷第3至4页，满分150分，考试时间共120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题的答案标号涂黑． 3．填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，作图题可先用铅笔绘出，确认后，再用0.5毫米黑色签字笔描清楚，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将答题卡上交，试题卷自留． 第I卷（选择题 共58分） 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据集合的交集以及并集运算，可判断A，C；根据集合的元素可判断A，B之间的关系，判断B；求得，确定集合的元素，可判断D. 【详解】因为集合， 故，A错误； 由于，但，故A不是B的子集，B错误， ，C错误； ，D正确， 故选：D 2. 计算（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据诱导公式，以及特殊角对应的三角函数值，可直接得出结果. 【详解】. 故选：B. 3. 已知函数过定点P，幂函数的图象经过点P，则该幂函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据对数型函数恒过定点求出，代入幂函数解析式得，进而可得图象. 【详解】因为，当时，，所以过定点， 设幂函数，幂函数的图象经过点P，代入，即，解得， 所以幂函数为，定义域，结合定义域和图象，可知C正确， 故选：C. 4. 下列不等式中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用单调性比较A；利用，比较B；利用中间值1比较C；利用，单调性比较D. 【详解】对于A，函数，在上单调递减，因为，所以，故A错误； 对于B， ，，所以，故B错误； 对于C，，，所以，故C正确； 对于D，函数，在上单调递增，， ，所以，故D错误； 故选：C. 5. 已知定义域为R的函数满足，当时，，则满足 的实数x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据偶函数概念得是定义域为的偶函数，再根据指数函数的单调性及偶函数性质将不等式转化为，即可求解. 【详解】因为函数满足，所以是定义域为的偶函数， 当时，，此时在上单调递减， 则在上单调递增， 所以，即，解得. 故选：D 6. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的图象关于点对称 B. 函数图象的一条对称轴是直线 C. 是奇函数 D. 若，则 【答案】B 【解析】 【分析】将选项A，B，C中的条件分别代入函数的解析式中，计算判断对应结论；取特值计算判断D作答. 【详解】对于A，因，则函数的图象关于点不对称，A不正确； 对于B，因，而，则数图象的一条对称轴是直线，B正确； 对于C，， 令，，，所以不是奇函数，C不正确； 对于D，取，显然有，而，，此时，D不正确. 故选：B 7. 在不考虑空气阻力的条件下，飞行器在某星球的最大速度v（单位：）和所携带的燃料的质量M（单位：kg）与飞行器（除燃料外）的质量m（单位：kg）的函数关系式近似满足（a为常数）．当携带的燃料的质量和飞行器（除燃料外）的质量相等时，v约等于2.9，当携带的燃料的质量是飞行器（除燃料外）的质量的13倍时，v约等于5.8，则常数b的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意得到方程组，联立求出，进而求出. 【详解】由题意得，当时，①， 当时，②， ②-①得，，解得，负值舍去， 所以，解得. 故选：A. 8. 已知函数，，．则下列说法正确的是（ ） A. 函数与函数互为反函数 B. 函数在区间内没有零点 C. 若a，b，c均为正实数，且满足，则 D. 若函数的图象与函数的图象和函数的图象在第一象限内交点的横坐标分别为，则 【答案】AD 【解析】 【分析】求函数的反函数，判断A，根据零点存在性定理判断B，取特殊值判断C，根据反函数的性质判断D. 【详解】函数的反函数为， 所以函数与函数互为反函数，A正确； 由已知， 因当时，， 当时，， 所以函数在区间内至少有一个零点，B错误； 取，可得，，， 所以，，，故，C错误； 因为函数，互为反函数， 所以函数，的图象关于直线对称， 又函数图象关于直线对称， 又函数与函数的图象的交点为， 函数与函数图象的交点为，且 所以点和点关于对称， 所以，故， 所以，D正确. 故选：AD. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题为假命题的是（ ） A. 不等式的解集是 B. 用二分法求方程在上的近似解时，经计算，，，则下一步应计算的正负 C. 函数的零点是， D 若，，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据正切函数的图象和性质判断A；根据二分法的定义判断B；根据零点定义，零点不是点，判断C；取特殊值验证，判断D. 【详解】对于A，的解集为，故A错误； 对于B，因为，，即， 所以在存在零点，根据二分法，下一次应计算，故B正确； 对于C，函数的零点是和，故C错误； 对于D，当时，满足，，此时，故D错误； 故选：ACD. 10. 已知，，则下列结论正确的是（ ） A. 为第二象限角 B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用同角三角函数的基本关系计算求解即可判断各选项. 【详解】由同角三角函数平分关系可得， ，因为，所以，解得，, 因为，所以是第二象限角，故选项，正确， 有同角三角函数商数关系可得，，故选项错误， 因为，故选项正确. 故选：. 11. 已知偶函数的定义域为，且，，则以下说法正确的是（ ） A. B. 函数的图像关于直线对称 C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据奇偶性结合得出，由判断B；由对称性判断C；根据周期性判断D. 【详解】因为是偶函数，且，所以，即，所以，周期为，故A正确； 因为是偶函数，所以，即函数的图像关于直线对称，故B正确； 因为，且函数的图像关于直线对称，所以，故C错误； 因为，所以，故D正确； 故选：ABD 第II卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知弧长为的弧所对的圆心角为，则该弧所在的扇形面积为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据弧长及扇形面积公式计算求解即可. 【详解】设扇形的半径为，弧长为的弧所对的圆心角为，所以，所以， 则该弧所在的扇形面积为. 故答案为：. 13. 若正数a，b满足：，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据基本不等式求最值的条件，结合“1”的妙用，即可求解. 【详解】因为正数a，b满足：，即， 所以， 当，且，得时等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：. 14. 已知函数，若关于x的方程有六个相异的实数根，则实数a的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】作出函数的图象，令，分析可知关于的方程在内有两个不同实数根，根据二次方程根的分布可得出关于实数的不等式组，解之即可. 【详解】画出函数的图象如下图所示， 令，则方程可化为. 由图可知：当时，与有个交点， 关于x的方程有六个相异的实数根， 则方程在内有两个不同实数根，所以， 解得，因此，实数取值范围为. 故答案为：. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设全集，，． （1）求； （2）已知，若“”充分条件是“”，求实数a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出，，再根据补集和交集运算求解； （2）根据题意转化为，根据集合间的基本关系求解. 【小问1详解】 因为，所以，即，所以，， 因为，所以，所以， 所以； 【小问2详解】 因为“”的充分条件是“”， 所以， 若，则，所以； 若，则，所以， 综上所述：． 16. 设函数的周期为． （1）求函数的单调递增区间； （2）当时，求方程的所有根的和． 【答案】（1）单调递增区间为 （2） 【解析】 【分析】（1）根据周期公式求出，即，再根据正弦函数单调区间求法求单调区间； （2），则，根据，求得或，分别在，，研究根的情况，得到答案. 【小问1详解】 因为函数的周期为， 所以周期，解得，即函数； 由正弦函数的单调性，可令， 解得，，即的单调递增区间为； 【小问2详解】 由，可得或， 因为，可得， 当时，，设方程的解为，， 则，可得； 当时，，则，可得， 综上所述：方程的所有根的和为． 17. 已知定义在上的函数图象关于原点对称． （1）求的解析式； （2）判断并用定义证明的单调性； （3）解不等式． 【答案】（1） （2）在上单调递增，证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由关于原点对称可得，再结合关于原点对称，计算即可； （2）借助定义法证明即可得； （3）结合奇函数性质及函数单调性计算即可得. 【小问1详解】 由题意可得， 即，，故， 即，此时有， 故关于原点对称，故， 即的解析式为； 【小问2详解】 在上单调递增；证明如下： 令，则 ， 由，则，，， 故，即在上单调递增； 【小问3详解】 由题意可得为奇函数，则有， 又因为在上单调递增，则有，解得， 所以原不等式的解集为． 18. 学校数学学习小组在假期社会实践活动中，对某公司的一种产品销售情况的调查发现：受不可抗力因素影响，该种产品在2022年8月份（价格浮动较大的一个月，以31天计）的最后7天无法进行销售，日销售单价（单位：千元/千克）与第天（，）的函数关系满足（k为正实数）．因公司数据保存不当，只能查到该产品的日销售量（单位：千克）与的如下数据：，，，已知第4天该产品的日销售收入为256千元（日销售收入日销售单价日销售量）． （1）给出以下三种函数模型：①；②；③，请你根据上述数据，帮助这组同学从中选择最合适的一种函数模型来描述该产品在2022年8月份的日销售量与的关系，并求出该函数的解析式； （2）在（1）的基础上，求出该公司在2022年8月份第1天到第12天中，该产品日销售收入（单位，千元）的最小值． 【答案】（1）； （2）最小值为250千元. 【解析】 【分析】（1）由第4天该产品的日销售收入及求出k，再由销量的变化关系及函数模型选择函数的关系式，再代入计算作答. （2）利用（1）的函数模型求出的表达式，再求出当时，的最小值作答. 【小问1详解】 当时，由，得，即，（，）， 因为，，则，而，即日销售量数据有增有减， 显然，模型①②都是单调函数，不符合题意，选择模型③， 将，代入模型③得：，解得， 所以模型③的函数解析式为. 【小问2详解】 由（1）知，当时，， ， 因此 ，当且仅当，即时取等号， 所以当时，该产品日销售收入最小，最小值为250千元. 【点睛】思路点睛：涉及实际应用问题，在理解题意的基础上，找出分散的数量关系，联想与题意有关的数学知识和方法，恰当引入变量，将实际问题转化、抽象为数学问题作答. 19. 已知函数满足． （Ⅰ）当时，解不等式； （Ⅱ）若关于x的方程的解集中有且只有一个元素，求a的取值范围 （Ⅲ）设，若对，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求a的取值范围． 【答案】（Ⅰ）； （Ⅱ）或；（Ⅲ）. 【解析】 【分析】（Ⅰ）当时等价于解出即可． （Ⅱ）的解集中有且只有一个元素，等价于有且仅有一正解的问题． （Ⅲ）当时，，所以在上单调递减函数，在区间上的最大值与最小值分别为，，即转化成对任意 恒成立的问题． 【详解】（Ⅰ）由题意可得，得，解得． （Ⅱ）方程有且仅有一解， 等价于有且仅有一正解， 当时，符合题意； 当时，，此时方程有一正、一负根，满足题意， 当时，要使得有且仅有一正解，则：， 解得：，则方程的解为，满足题意． 综上，或 （Ⅲ）当时，， 所以在上单调递减 函数在区间上的最大值与最小值分别为，， 即对任意 恒成立， 因为， 所以函数在区间上单调递增， 所以时，y有最小值， 由，得 故的取值范围为 【点睛】本题主要考查了解对数不等式、方程解的根的个数问题以及复合函数的单调性与最值的问题，其中解对数不等式主要注意两点一是真数大于0．二是对数函数的单调性．方程的根的个数问题一般转化成一元二次方程根的问题或函数图像交点的问题．复合函数单调性：同增异减． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$