精品解析：湖南省岳阳市平江县2024—2025学年下学期八年级期末数学试卷

2024-2025学年湖南省岳阳市平江县八年级（下）期末数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 满足下列条件不是直角三角形的是（    ） A. ，， B. C. D. 2. 在平面直角坐标系中，点在（ ） A 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 下列图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列说法错误的是（ ） A. 角平分线上的点到角的两边的距离相等 B. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 C. 菱形的对角线相等 D. 平行四边形是中心对称图形 5. 一个班有40名学生，在一次身体素质测试中，将全班学生的测试结果分为优秀、合格、不合格．测试结果达到优秀的有18人，合格的有17人，则在这次测试中，测试结果不合格的频率是（　　　） A. 0.125 B. 0.30 C. 0.45 D. 1.25 6. 若点，，在一次函数（是常数）的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，两个灯笼的位置的坐标分别是，将点向右平移2个单位，再向上平移1个单位得到点，则关于点的位置描述正确是（ ） A. 关于轴对称 B. 关于轴对称 C. 关于原点对称 D. 关于直线对称 8. 甲、乙两车沿同一路线从A城出发前往B城，在整个行程中，汽车离开A城的距离y与时刻t的对应关系如图所示，关于下列结论：①A，B两城相距；②甲车的平均速度是，乙车的平均速度是；③乙车先出发，先到达B城；④甲车在追上乙车．正确的有（ ） A. ①② B. ①③ C. ②④ D. ①④ 9. 如图，在中，，将经点顺时针旋转得到，连接，则的长为（ ） A. 5 B. 8 C. 10 D. 12 10. 如图，小好同学用计算机软件绘制函数的图象，发现它关于点中心对称．若点，，，……，，都在函数图象上，这个点的横坐标从开始依次增加，则的值是（ ） A. B. C. 0 D. 1 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11. 在平面直角坐标系的第二象限内有一点M，点M到x轴的距离为3，到y轴的距离为5，则点M的坐标是____． 12. 如图1是我国古建筑墙上常用八角形空窗，其轮廓是一个正八边形，窗外之境如同镶嵌于一个画框之中，如图2是八角形空窗的示意图，它的一个内角的度数是______． 13. 如图，在中，D是的中点，，，则的长是______． 14. 将直线向下平移2个单位，所得直线的表达式是_______． 15. 函数中，自变量的取值范围是_______. 16. 如图，直线 y＝kx+b（k≠0）经过点 A（﹣3，2），则关于 x 的不等式 kx+b＜2 解集是____． 17. 如图，把正方形AOBC 放在直角坐标系内，对角线AB、OC相交于点D．点C的坐标是（-4，4），将正方形AOBC沿x轴向右平移，当点D落在直线y=-2x+4上时，线段AD扫过的面积为_______ ． 18. 一次函数的图象与y轴交于点A，与x轴交于点B，过点B作线段且，直线交x轴于点．则点D的坐标为_____． 三、解答题：本题共8小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 如图，在四边形中，，点E在边上， ．请从“①；②，”这两组条件中任选一组作为已知条件，填在横线上（填序号），再解决下列问题： （1）求证：四边形平行四边形； （2）若，，，求线段的长． 20. 图是1个碗和4个整齐叠放成一摞的碗的示意图，碗的规格都是相同的．小亮尝试结合学习函数的经验，探究整齐叠放成一摞的这种规格的碗的总高度（单位：）随着碗的数量（单位：个）的变化规律．下表是小亮经过测量得到的与之间的对应数据： 个 1 2 3 4 6 8.4 10.8 13.2 （1）依据小亮测量的数据，写出与之间的函数表达式，并说明理由； （2）若整齐叠放成一摞的这种规格的碗的总高度不超过，求此时碗的数量最多为多少个？ 21. 如图,菱形ABCD的对角线AC和BD交于点O,分别过点C. D作CE∥BD,DE∥AC，CE和DE交于点E. （1）求证：四边形ODEC是矩形； （2）当∠ADB=60°,AD=2时，求EA的长． 22. 某校对八年级学生进行了一次视力调查，绘制出频数分布表和频数直方图的一部分如下： 视力 频数（人数） 频率 4 0.08 8 0.16 12 0.24 0.4 6 请根据图表信息回答下列问题： （1）在频数分布表中，的值为______，的值为______； （2）将频数直方图补充完整； （3）甲同学说：“我的视力情况是此次抽样调查所得数据的中位数”，问甲同学的视力情况在哪个范围内？ （4）若视力在4.9以上（含4.9）均属正常，求视力正常的人数占被调查人数的百分比． 23. 如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD ＝CD、BE＝CF． （1）求证：AD平分∠BAC； （2）已知AB＝5，AC＝8，求BE的长． 24. 某校“综合与实践”小组开展了测量本校旗杆高度的实践活动，他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量，测量结果如下表（不完整）． 课题 测量学校旗杆的高度 成员 组长：XXX组员：XXX，XXX，XXX 工具 皮尺等 测量示意图 说明： 线段表示学校旗杆，垂直地面于点B． 第一次操作：如图①，将系在旗杆顶端的绳子自然下垂到地面，绳子多出的一段在地面拉直后记作，用皮尺测出的长度；第二次操作：如图②，将绳子拉直，绳子末端落在地面的点D处，用皮尺测出的长度． 测量数据 测量项目 数值（单位：米） 图①中的长度 2 图②中的长度 8 … … （1）根据以上测量结果，请你帮助这个小组求出学校旗杆的高度． （2）如图③，某同学进行第三次操作：沿射线方向前行至点F处，再次将绳子拉直，此时测得绳子末端E到地面距离，得到的长度为2米，则该同学所站位置F与旗杆底端B的距离为_______米．（结果保留根号） 25. 综合与实践： 综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动． 【操作判断】 如图1，正方形纸片，将沿过点A的直线折叠，使点B落在正方形的内部，得到折痕，点B的对应点为M，连接；将沿过点A的直线折叠，使与重合，得到折痕，将纸片展平，连接． （1）根据以上操作，易得点E，M，F三点共线，且①______°； ②线段，，之间的数量关系为______． 【深入探究】 如图2，将沿所在直线折叠，使点C落在正方形的内部，点C的对应点为N，将纸片展平，连接，．同学们在折纸的过程中发现，当点E的位置不同时，点N的位置也不同，当点E在边上某一位置时（点E不与点B，C重合），点N恰好落在折痕上，此时交于点P，如图3所示． （2）小明通过观察图形，得出．请判断其是否正确，并说明理由． 【拓展应用】 （3）若正方形纸片的边长为3，当点N落在折痕上时，求出线段的长． 26. 如图，已知的顶点为坐标原点，顶点在轴的负半轴上且，点，连接并延长交轴于点． （1）求直线的解析式； （2）若点从出发以个单位/秒的速度沿轴向右运动，同时点从出发，以个单位/秒的速度沿轴向左运动，过点，分别作轴的垂线交射线和射线于点，，试猜想四边形的形状(点，重合除外)，并证明你的猜想； （3）在（2）的条件下，四边形能为正方形吗？如果能，请求出所有满足条件的点运动的时间；如果不能，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年湖南省岳阳市平江县八年级（下）期末数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 满足下列条件的不是直角三角形的是（    ） A. ，， B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查直角三角形判定方法，掌握直角三角形的判定方法是解题的关键，主要有勾股定理的逆定理，有一个角为直角的三角形．根据勾股定理的逆定理可判定、，由三角形内角和可判定、，可得出答案． 【详解】解：、当，，时， 满足， 所以为直角三角形； B、当：：：：时， 设，，， 满足， 所以为直角三角形； C、当时，且， 所以，所以为直角三角形； D、当：：：：时，可设，，， 由三角形内角和定理可得，解得， 所以，，， 所以为锐角三角形， 故选D． 2. 在平面直角坐标系中，点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】根据各象限内点的坐标特征解答． 【详解】点（1，2）所在的象限是第一象限． 故选：A． 【点睛】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（＋，＋）；第二象限（−，＋）；第三象限（−，−）；第四象限（＋，−）． 3. 下列图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形的识别，熟练掌握中心对称图形的定义是解题关键．在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．据此逐项分析判断即可． 【详解】解：A.不是中心对称图形，不符合题意； B. 不是中心对称图形，不符合题意； C. 不是中心对称图形，不符合题意； D. 是中心对称图形，符合题意． 故选：D． 4. 下列说法错误的是（ ） A. 角平分线上的点到角的两边的距离相等 B. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 C. 菱形的对角线相等 D. 平行四边形是中心对称图形 【答案】C 【解析】 【分析】A：根据角平分线的性质，可得角平分线上的点到角的两边的距离相等．B：根据直角三角形斜边上的中线的性质，可得直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．C：根据菱形的性质，菱形的对角线互相垂直，但是不一定相等．D：根据中心对称图形的性质，可得常见的中心对称图形有：平行四边形、圆形、正方形、长方形，据此判断即可． 【详解】解：∵角平分线上的点到角的两边的距离相等，∴选项A正确； ∵直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，∴选项B正确； ∵菱形的对角线互相垂直，但是不一定相等，∴选项C不正确； ∵平行四边形是中心对称图形，∴选项D正确． 故选C． 【点睛】本题考查的是角平分线的性质，直角三角形斜边上的中线，菱形的性质，平行四边形的性质，熟记以上基本图形的性质是解本题的关键． 5. 一个班有40名学生，在一次身体素质测试中，将全班学生的测试结果分为优秀、合格、不合格．测试结果达到优秀的有18人，合格的有17人，则在这次测试中，测试结果不合格的频率是（　　　） A. 0.125 B. 0.30 C. 0.45 D. 1.25 【答案】A 【解析】 【分析】先求得不合格人数，再根据频率的计算公式求得不合格人数的频率即可． 【详解】解：不合格人数为（人， 不合格人数的频率是， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了频率与概率，解题的关键是掌握频率是指每个对象出现的次数与总次数的比值（或者百分比）． 6. 若点，，在一次函数（是常数）的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数图象的性质，掌握一次函数的增减性是解题的关键． 根据题意可得，随的增大而减小，由此即可求解． 【详解】解：∵一次函数（是常数），， ∴随的增大而减小， ∵， ∴， 故选：． 7. 如图，两个灯笼的位置的坐标分别是，将点向右平移2个单位，再向上平移1个单位得到点，则关于点的位置描述正确是（ ） A. 关于轴对称 B. 关于轴对称 C. 关于原点对称 D. 关于直线对称 【答案】B 【解析】 【分析】先根据平移方式求出，再根据关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相同进行求解即可． 【详解】解：∵将向右平移2个单位，再向上平移1个单位得到点， ∴， ∵， ∴点关于y轴对称， 故选B． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形变化—平移和轴对称，正确根据平移方式求出是解题的关键． 8. 甲、乙两车沿同一路线从A城出发前往B城，在整个行程中，汽车离开A城的距离y与时刻t的对应关系如图所示，关于下列结论：①A，B两城相距；②甲车的平均速度是，乙车的平均速度是；③乙车先出发，先到达B城；④甲车在追上乙车．正确的有（ ） A. ①② B. ①③ C. ②④ D. ①④ 【答案】D 【解析】 【分析】根据图象逐项分析判断即可． 【详解】解：由图象知： ①A，B两城相距，故此项正确； ②甲车的平均速度是，乙车的平均速度是，故此项错误； ③乙车先出发，才到达B城，甲车后出发，就到达B城，故此项错误； ④两车在时，行驶路程一样，即甲车在追上乙车，故此项正确． 综上，①④说法正确， 故选：D． 【点睛】本题考查了函数的图象，正确识别图象并能提取相关信息是解答的关键． 9. 如图，在中，，将经点顺时针旋转得到，连接，则的长为（ ） A. 5 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】A 【解析】 【分析】由旋转的性质可得，再结合可得，然后运用勾股定理即可解答． 【详解】解：∵将经点顺时针旋转得到， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选A． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质、勾股定理等知识点，根据题意得到是解答本题的关键． 10. 如图，小好同学用计算机软件绘制函数的图象，发现它关于点中心对称．若点，，，……，，都在函数图象上，这个点的横坐标从开始依次增加，则的值是（ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】本题是坐标规律题，求函数值，中心对称的性质，根据题意得出，进而转化为求，根据题意可得，，即可求解． 【详解】解：∵这个点的横坐标从开始依次增加， ∴， ∴， ∴，而即， ∵， 当时，，即， ∵关于点中心对称的点为， 即当时，， ∴， 故选：D． 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11. 在平面直角坐标系的第二象限内有一点M，点M到x轴的距离为3，到y轴的距离为5，则点M的坐标是____． 【答案】(-5，3) 【解析】 【分析】先根据点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，点到y轴的距离等于横坐标的绝对值，再根据第二象限点坐标的特征解答即可． 【详解】解：∵点M到x轴的距离为3，到y轴的距离为5 ∴， ∵点M在第二象限 ∴x=-5，y=3 ∴M（-5,3） 故答案为：（-5,3）． 【点睛】本题考考了直角坐标系中点坐标，掌握每个象限点坐标的特征和横坐标、纵坐标的意义是解答本题的关键． 12. 如图1是我国古建筑墙上常用的八角形空窗，其轮廓是一个正八边形，窗外之境如同镶嵌于一个画框之中，如图2是八角形空窗的示意图，它的一个内角的度数是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是正多边形的内角与外角问题，由正八边形的外角和为，结合正八边形的每一个外角都相等，再列式计算即可． 【详解】解：正八边形的外角和为， ∴正八边形的每一个外角为， ∴正八边形的每一个内角为， 故答案为：． 13. 如图，在中，D是的中点，，，则的长是______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等边三角形的判定与性质，根据在中，D是的中点，得，再结合，证明是等边三角形，即可作答． 【详解】解：∵在中，D是的中点， ∴， 即， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 故答案为：3 14. 将直线向下平移2个单位，所得直线的表达式是_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据一次函数图象的平移规律“上加下减，左加右减”即可得出平移后的直线的表达式． 【详解】将直线向下平移2个单位，所得直线的表达式是， 即为． 故答案为：． 【点睛】本题考查一次函数图象的平移．熟练掌握一次函数图象的平移规律是解题关键． 15. 函数中，自变量的取值范围是_______. 【答案】 【解析】 【分析】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，二次根式有意义的条件是：被开方数为非负数． 【详解】依题意，得x-3≥0， 解得：x≥3． 【点睛】本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数． 16. 如图，直线 y＝kx+b（k≠0）经过点 A（﹣3，2），则关于 x 的不等式 kx+b＜2 解集是____． 【答案】x＞﹣3 【解析】 【分析】一次函数与一元一次不等式的关系从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值小于2的自变量x的取值范围． 【详解】解：由图中可以看出，当x＞﹣3时，kx+b＜2， 故答案为：x＞﹣3． 【点睛】本题主要考查了一次函数与不等式的解集，从图象中获取关键信息是解题的关键． 17. 如图，把正方形AOBC 放在直角坐标系内，对角线AB、OC相交于点D．点C的坐标是（-4，4），将正方形AOBC沿x轴向右平移，当点D落在直线y=-2x+4上时，线段AD扫过的面积为_______ ． 【答案】6 【解析】 【分析】根据题意，线段AD扫过的面积应为平行四边形的面积，其高是点D到x轴的距离，底为点C平移的距离，求出点C 的横坐标坐标及当点C落在直线y=-2x+4上时的横坐标即可求出底的长度． 【详解】解：∵四边形AOBC为正方形，对角线AB、OC相交于点D， 又∵点C(-4,4)， ∴点D(-2,2)， 如图所示，DE=2， 设正方形AOBC沿x轴向右平移，当点D落在直线y=-2x+4上点为D´， 则点D´的纵坐标为2，将纵坐标代入y=-2x+4，得 2=-2x+4， 解得x=1， ∴DD´=1-(-2)=3 由图知，线段AD扫过的面积应为平行四边形AA´D´D的面积， ∴S平行四边形AA´D´D=DD´DE=3×2=6． 故答案为6． 【点睛】本题考查了正方形的性质，平移的性质，平行四边形的面积及一次函数的综合应用．解题的关键是明确线段AD扫过的面积应为平行四边形的面积． 18. 一次函数的图象与y轴交于点A，与x轴交于点B，过点B作线段且，直线交x轴于点．则点D的坐标为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形、全等三角形的判定与性质以及待定系数法求出一次函数解析式，通过构造全等三角形，求出点C的坐标是解题的关键． 利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出点A，B的坐标，进而可得出的长，过点C作轴于点E，易证≌，利用全等三角形的性质，可得出的长，进而可得出点C的坐标，由点A，C的坐标，利用待定系数法，可求出直线的解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出点D的坐标． 【详解】解：当时，， 点A的坐标为， ； 当时，， 解得：， 点B的坐标为， 过点C作轴于点E，如图所示． ，， ， 在和中， ， ≌， ，， ， 点C的坐标为， 设直线的解析式为， 将，代入 得：， 解得：， 直线的解析式为 当时，， 解得：， 点D的坐标为， 故答案为：． 三、解答题：本题共8小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 如图，在四边形中，，点E在边上， ．请从“①；②，”这两组条件中任选一组作为已知条件，填在横线上（填序号），再解决下列问题： （1）求证：四边形为平行四边形； （2）若，，，求线段的长． 【答案】（1）①或②，证明见解析； （2）6 【解析】 【分析】题目主要考查平行四边形的判定和性质，勾股定理解三角形，理解题意，熟练掌握平行四边形的判定和性质是解题关键． （1）选择①或②，利用平行四边形的判定证明即可； （2）根据平行四边形的性质得出，再由勾股定理即可求解． 【小问1详解】 解：选择①， 证明：∵， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形； 选择②， 证明：∵，， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形； 【小问2详解】 解：由（1）得， ∵，， ∴． 20. 图是1个碗和4个整齐叠放成一摞的碗的示意图，碗的规格都是相同的．小亮尝试结合学习函数的经验，探究整齐叠放成一摞的这种规格的碗的总高度（单位：）随着碗的数量（单位：个）的变化规律．下表是小亮经过测量得到的与之间的对应数据： 个 1 2 3 4 6 8.4 10.8 13.2 （1）依据小亮测量的数据，写出与之间的函数表达式，并说明理由； （2）若整齐叠放成一摞的这种规格的碗的总高度不超过，求此时碗的数量最多为多少个？ 【答案】（1） （2）10个 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是： （1）求出每只碗增加的高度，然后列出表达式即可解答； （2）根据（1）中y和x的关系式列出不等式求解即可． 【小问1详解】 解：由表格可知，每增加一只碗，高度增加， ∴， 检验∶当时，； 当时，； 当时，； 当时，； ∴； 【小问2详解】 解：根据题意，得， 解得， ∴碗的数量最多为10个． 21. 如图,菱形ABCD的对角线AC和BD交于点O,分别过点C. D作CE∥BD,DE∥AC，CE和DE交于点E. （1）求证：四边形ODEC是矩形； （2）当∠ADB=60°,AD=2时，求EA的长． 【答案】（1）见解析；（2） 【解析】 【分析】（1）先证四边形ODEC是平行四边形，然后根据菱形的对角线互相垂直，得到∠DOC=90°，根据矩形的定义即可判定四边形ODEC是矩形． （2）根据含30度角直角三角形的性质、勾股定理来求EA的长度即可． 【详解】（1）∵CE∥BD　　DE∥AC ∴四边形ODEC是平行四边形 又∵菱形ABCD ∴AC⊥BD ∴∠DOC=90° ∴四边形ODEC是矩形 （2）∵Rt△AOD中,∠ADO=60° ∴∠OAD=30° ∴OD=AD= ∴AO==3 ∴AC=6 ∵四边形ODEC是矩形 ∴EC=OD=　　∠ACE=90° ∴AE== 【点睛】本题考查了平行四边形的判定、菱形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理等，熟练掌握和灵活运用相关的性质定理与判定定理是解题的关键． 22. 某校对八年级学生进行了一次视力调查，绘制出频数分布表和频数直方图的一部分如下： 视力 频数（人数） 频率 4 0.08 8 016 12 0.24 0.4 6 请根据图表信息回答下列问题： （1）在频数分布表中，的值为______，的值为______； （2）将频数直方图补充完整； （3）甲同学说：“我的视力情况是此次抽样调查所得数据的中位数”，问甲同学的视力情况在哪个范围内？ （4）若视力在4.9以上（含4.9）均属正常，求视力正常的人数占被调查人数的百分比． 【答案】（1）； （2）答案见解析 （3） （4） 【解析】 【分析】（1）根据频数分布表中的数据，可以计算出本次调查的人数，然后即可计算出和的值； （2）根据（1）可以将频数分布直方图补充完整； （3）根据中位数的定义直接解答即可； （4）用视力在4.9以上（含的人数除以总人数即可． 【小问1详解】 解：抽取的总人数是：（人， 则（人， ， 故答案为：50，0.12． 【小问2详解】 解：如图所示， 【小问3详解】 解：；， 中位数落在第3组内， 即甲同学的视力情况在范围内； 【小问4详解】 解：视力正常的人数占被调查人数的百分比是． 本题考查频数分布表、频数分布直方图，用样本估计总体知识，解题的关键是熟练掌握基本概念． 23. 如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD ＝CD、BE＝CF． （1）求证：AD平分∠BAC； （2）已知AB＝5，AC＝8，求BE的长． 【答案】（1）见解析；（2） 【解析】 【分析】（1）可先根据已知条件证明，得到，再结合,，根据角平分线判定定理，即可证明； （2）先证明，得到，所以，结合条件，代入即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵, ∴, 又∵ ∴ ∴ 又∵, ∴点在的角平分线上 ∴平分 （2）解：∵ ∴ 又∵，， ∴ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ 【点睛】本题考查角平分线的判定定理，直角三角形的全等判定，正确理解题意是解题关键． 24. 某校“综合与实践”小组开展了测量本校旗杆高度的实践活动，他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量，测量结果如下表（不完整）． 课题 测量学校旗杆的高度 成员 组长：XXX组员：XXX，XXX，XXX 工具 皮尺等 测量示意图 说明： 线段表示学校旗杆，垂直地面于点B． 第一次操作：如图①，将系在旗杆顶端的绳子自然下垂到地面，绳子多出的一段在地面拉直后记作，用皮尺测出的长度；第二次操作：如图②，将绳子拉直，绳子末端落在地面的点D处，用皮尺测出的长度． 测量数据 测量项目 数值（单位：米） 图①中的长度 2 图②中的长度 8 … … （1）根据以上测量结果，请你帮助这个小组求出学校旗杆的高度． （2）如图③，某同学进行第三次操作：沿射线方向前行至点F处，再次将绳子拉直，此时测得绳子末端E到地面的距离，得到的长度为2米，则该同学所站位置F与旗杆底端B的距离为_______米．（结果保留根号） 【答案】（1）学校旗杆的高度为15米 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）设学校旗杆的高度为米，则绳子的长度为米，在中，由勾股定理列出方程，解方程即可； （2）点作，交的延长线于点，则米，得米，由（1）可知，米，然后在中，由勾股定理求出的长，即可得出结论． 【小问1详解】 解：设学校旗杆的高度为米，则绳子的长度为米， 在中，由勾股定理得：，即， 解得：， 答：学校旗杆的高度为15米； 【小问2详解】 解：如图（3），过点作，交的延长线于点， 则米， （米）， 由（1）可知，（米）， 在中，由勾股定理得：（米）， ∴米， 即该同学所站位置与旗杆底端的距离为米， 故答案为：． 25. 综合与实践： 综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动． 【操作判断】 如图1，正方形纸片，将沿过点A的直线折叠，使点B落在正方形的内部，得到折痕，点B的对应点为M，连接；将沿过点A的直线折叠，使与重合，得到折痕，将纸片展平，连接． （1）根据以上操作，易得点E，M，F三点共线，且①______°； ②线段，，之间的数量关系为______． 【深入探究】 如图2，将沿所在直线折叠，使点C落在正方形的内部，点C的对应点为N，将纸片展平，连接，．同学们在折纸的过程中发现，当点E的位置不同时，点N的位置也不同，当点E在边上某一位置时（点E不与点B，C重合），点N恰好落在折痕上，此时交于点P，如图3所示． （2）小明通过观察图形，得出．请判断其是否正确，并说明理由． 【拓展应用】 （3）若正方形纸片的边长为3，当点N落在折痕上时，求出线段的长． 【答案】（1）①45；②；（2）成立，见解析；（3） 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、折叠的性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）①由正方形的性质得出，由折叠的性质可得：，，即可求解；②由折叠的性质即可求解； （2）根据正方形的性质和折叠的性质得到是等腰直角三角形，再根据全等三角形的判定和性质求解即可； （3）证明是等腰直角三角形，求出，再由含角的性质以及勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）①∵四边形是正方形， ∴， 由折叠的性质可得：，， ∴，即； ②由折叠的性质可得：，， ∵， ∴； （2）结论：成立，理由如下： 将沿所在直线折叠，使点落在正方形的内部，点的对应点为， ∵四边形是正方形， ∴， 由折叠的性质可得：，，， ∴， ∵， ∴， 由（1）得：， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）∵点落在折痕上， ∴，，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 26. 如图，已知的顶点为坐标原点，顶点在轴的负半轴上且，点，连接并延长交轴于点． （1）求直线的解析式； （2）若点从出发以个单位/秒的速度沿轴向右运动，同时点从出发，以个单位/秒的速度沿轴向左运动，过点，分别作轴的垂线交射线和射线于点，，试猜想四边形的形状(点，重合除外)，并证明你的猜想； （3）在（2）的条件下，四边形能为正方形吗？如果能，请求出所有满足条件的点运动的时间；如果不能，请说明理由． 【答案】（1） （2）四边形是矩形，证明见解析 （3）四边形能为正方形；点的运动时间为秒或秒 【解析】 【分析】（1）先利用平行四边形的性质求得点，然后设直线的解析式为，再将点、的坐标代入建立关于、的二元一次方程组，求解即可； （2）先确定直线的解析式，进而求出点，坐标，推出，即可得出结论； （3）分两种情况：点在点左侧或右侧，分别求出，利用建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：如图，延长交y轴于点G， ∵的顶点为坐标原点，顶点在轴的负半轴上且，点， ∴，即轴， ∴，轴， ∴，， ∴， ∴， 设直线的解析式为，过点，， ∴， 解得：， ∴直线AC的解析式为； 【小问2详解】 四边形是矩形． 证明：如图， 设直线的解析式为，过点， ∴，解得：， ∴直线的解析式为， ∵点从出发，以个单位/秒的速度沿轴向左运动，设运动时间为秒， ∴，则， ∴，则， ∵点从出发，以个单位/秒的速度沿轴向右运动， ∴， ∴， 由（1）知：直线AC解析式为， ∴，则， ∴， ∵轴，轴， ∴，， ∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形； 【小问3详解】 四边形EPQF能为正方形． 理由：∵，，， ∴， 点在点的右侧时， 得：， ∵四边形EPQF能为正方形， ∴， ∴， 解得：； 点在点的左侧时， 得：， ∵四边形EPQF能为正方形， ∴， ∴， 解得：； 综上所述，四边形能为正方形；点的运动时间为秒或秒． 【点睛】本题属于一次函数综合题，考查了待定系数法确定函数解析式，平行四边形的判定和性质，矩形的性质，正方形的性质，能够将函数问题与几何问题相结合是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $