备考2026年中考数学一轮复习 因式分解

中考数学一轮复习 因式分解 一．选择题（共2小题） 1．（2025•广西）因式分解：a2﹣1＝（　　） A．（a+1）（a﹣1） B．a（a+1） C．（a+1）2 D．（a﹣1）2 2．（2025•台湾）已知a、b、c皆为正整数，且a、b两数的最大公因数与最小公倍数分别为11与88．关于a、b、c三数的最大公因数与最小公倍数，甲、乙两人分别提出看法如下： 甲：a、b、c三数的最大公因式可能比11大 乙：a、b、c三数的最小公倍数可能比88小 对于甲、乙两人的看法，下列判断何者正确？（　　） A．甲、乙皆正确 B．甲、乙皆错误 C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确 二．填空题（共22小题） 3．（2025•长沙）分解因式：mx﹣2my＝　 　 ． 4．（2025•北京）分解因式：7m2﹣28＝　 　 ． 5．（2025•绥化）分解因式：2mx2﹣4mxy+2my2＝　 　 ． 6．（2025•广东）因式分解：a2b+ab2＝　 　 ． 7．（2025•连云港）分解因式：x2﹣9＝　 　 ． 8．（2025•吉林）因式分解：a2﹣ab＝　 　 ． 9．（2025•扬州）分解因式：a2﹣4＝　 　 ． 10．（2025•山西）因式分解：m2﹣16＝　 　 ． 11．（2025•湖南）因式分解：a2+13a＝ 　 　 ． 12．（2025•新疆）分解因式：x2﹣x＝　 　 ． 13．（2025•宜宾）分解因式：a2﹣a＝　 　 ． 14．（2025•江西）因式分解：a2﹣a＝　 　 ． 15．（2025•苏州）因式分解：x2﹣9＝　 　 ． 16．（2025•甘肃）因式分解：x2﹣6x+9＝　 　 ． 17．（2025•云南）分解因式：x2+x＝　 　 ． 18．（2025•烟台）因式分解：2x2﹣12xy+18y2＝ 　 　 ． 19．（2025•上海）分解因式：a2b+ab2＝　 　 ． 20．（2025•内江）分解因式：a2﹣1＝　 　 ． 21．（2025•钱塘区三模）因式分解：m2+2m＝　 　 ． 22．（2025•重庆）我们规定：一个四位数M，若满足a+b＝c+d＝10，则称这个四位数为“十全数”．例如：四位数1928，因为1+9＝2+8＝10，所以1928是“十全数”．按照这个规定，最小的“十全数”是　 　 ；一个“十全数”M，将其千位数字与个位数字调换位置，百位数字与十位数字调换位置，得到一个新的数M'，记F（M），G（M）．若与均是整数，则满足条件的M的值是　 　 ． 23．（2025•自贡）若2a+b＝﹣1，则4a2+2ab﹣b的值为　 　 ． 24．（2025•自贡）分解因式：m2﹣4m＝　 　 ． 三．解答题（共2小题） 25．（2025•齐齐哈尔）（1）计算：|1|+2sin45°； （2）分解因式：2x3﹣8x． 26．（2025•福建）阅读材料，回答问题． 【主题】两个正数的积与商的位数探究． 【提出问题】小明是一位爱思考的小学生．一次，在完成多位数的乘法时，他根据提出算式“46×2＝92；35×21＝735；663×11＝7293；186×362＝67332”，猜想：m位的正整数与n位的正整数的乘积是一个（m+n﹣1）位的正整数． 【分析探究】问题1 小明的猜想是否正确？若正确，请给予证明；否则，请举出反例． 【推广延伸】 小明的猜想激发了初中生小华的探究热情．为了使问题的研究推广到有理数的乘法，进而迁移到对除法的研究，小华将数的“位数”与“数字”的概念进行推广，规定：如果一个正数用科学记数法表示为a×10n，则称这个数的位数是n+1，数字是a． 借此，小华研究了两个数乘积的位数问题，提出并证明了以下命题． 命题：若正数A，B，C的位数分别为m，n，p，数字分别为a，b，c，且A×B＝C，则必有c≥a且c≥b，或c＜a且c＜b．并且，当c≥a且c≥b时，p＝m+n﹣1；当c＜a且c＜b时，p＝m+n． 证明：依题意知，A，B，C用科学记数法可分别表示为a×10m﹣1，b×10n﹣1，c×10p﹣1，其中a，b，c均为正数．由A×B＝C，得ab×10m+n﹣2＝c×10p﹣1， 即．（*） 当c≥a且c≥b时，1，所以b＜10，又，所以10．由（*）知，1，所以p＝m+n﹣1； 当c≥a且c＜b时，，所以，所以110，与（*）矛盾，不合题意； 当c＜a且c≥b时，①　 　 ； 当c＜a且c＜b时，②　 　 ． 综上所述，命题成立． 【拓展迁移】问题2 若正数A、B的位数分别为m，n，那么的位数是多少？证明你的结论． （1）解决问题1； （2）请把①②所缺的证明过程补充完整； （3）解决问题2． 中考数学一轮复习 因式分解 参考答案与试题解析 一．选择题（共2小题） 1．（2025•广西）因式分解：a2﹣1＝（　　） A．（a+1）（a﹣1） B．a（a+1） C．（a+1）2 D．（a﹣1）2 【考点】因式分解﹣运用公式法． 【专题】整式；运算能力． 【答案】A 【分析】根据平方差公式进行计算即可． 【解答】解：a2﹣1＝（a+1）（a﹣1）． 故答案为：（a+1）（a﹣1）． 故选：A． 【点评】本题考查公式法分解因式，掌握平方差公式是正确解答的关键． 2．（2025•台湾）已知a、b、c皆为正整数，且a、b两数的最大公因数与最小公倍数分别为11与88．关于a、b、c三数的最大公因数与最小公倍数，甲、乙两人分别提出看法如下： 甲：a、b、c三数的最大公因式可能比11大 乙：a、b、c三数的最小公倍数可能比88小 对于甲、乙两人的看法，下列判断何者正确？（　　） A．甲、乙皆正确 B．甲、乙皆错误 C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确 【考点】公因式． 【专题】实数；推理能力． 【答案】B 【分析】由题可设设a＝11m，b＝11n（m、n互质），进而推出mn＝8，进而得到a、b为11、88或88、11．据此求解即可． 【解答】解：∵a、b最大公因数为11， ∴设a＝11m，b＝11n（m、n互质）， ∵a、b最小公倍数为88， ∴11mn＝88，即mn＝8， 所以（m，n）可能为（1，8）或（2，4）（舍去，因需互质）或（8，1）， 故a、b为11、88或88、11． 甲的看法：a、b的最大公因数为11，则a、b、c的最大公因数必为11的因数，不可能大于11， 故甲看法错误． 乙的看法：若c为11的因数（如11），则a、b、c的最小公倍数仍为88；若c与88有更小公倍数（如c＝88，最小公倍数不变），无法比88小， 故乙看法错误． 综上，甲乙皆错误； 故选：B． 【点评】本题主要考查了最大公因数和最小公倍数，熟练掌握相关知识是解题的关键． 二．填空题（共22小题） 3．（2025•长沙）分解因式：mx﹣2my＝　m（x﹣2y）　 ． 【考点】因式分解﹣提公因式法． 【专题】整式；运算能力． 【答案】m（x﹣2y）． 【分析】提取公因式m进行因式分解即可． 【解答】解：原式＝m•x﹣m•2y ＝m（x﹣2y）， 故答案为：m（x﹣2y）． 【点评】本题考查提公因式法因式分解，找到正确的公因式是解题的关键． 4．（2025•北京）分解因式：7m2﹣28＝　7（m+2）（m﹣2）　 ． 【考点】提公因式法与公式法的综合运用． 【专题】整式；运算能力． 【答案】7（m+2）（m﹣2）． 【分析】提公因式后利用平方差公式因式分解即可． 【解答】解：原式＝7（m2﹣4） ＝7（m+2）（m﹣2）， 故答案为：7（m+2）（m﹣2）． 【点评】本题考查因式分解，熟练掌握分解因式的方法是解题的关键． 5．（2025•绥化）分解因式：2mx2﹣4mxy+2my2＝　2m（x﹣y）2　 ． 【考点】提公因式法与公式法的综合运用． 【专题】因式分解；运算能力． 【答案】2m（x﹣y）2． 【分析】先提公因式，再利用完全平方公式分解因式即可． 【解答】解：2mx2﹣4mxy+2my2 ＝2m（x2﹣2xy+y2） ＝2m（x﹣y）2， 故答案为：2m（x﹣y）2． 【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握这两种因式分解的方法是解题的关键． 6．（2025•广东）因式分解：a2b+ab2＝　ab（a+b）　 ． 【考点】因式分解﹣提公因式法． 【答案】见试题解答内容 【分析】观察发现多项式的各项有公因式ab，直接提取公因式ab即可． 【解答】解：a2b+ab2＝ab•a+ab•b＝ab（a+b）， 故答案为：ab（a+b）． 【点评】此题主要考查了提公因式法分解因式，关键是掌握找公因式的方法：①系数应取各项系数的最大公约数；②字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；③取相同的多项式，多项式的次数取最低的． 7．（2025•连云港）分解因式：x2﹣9＝　（x+3）（x﹣3）　 ． 【考点】因式分解﹣运用公式法；平方差公式． 【答案】（x+3）（x﹣3）． 【分析】本题中两个平方项的符号相反，直接运用平方差公式分解因式． 【解答】解：x2﹣9＝（x+3）（x﹣3）． 故答案为：（x+3）（x﹣3）． 【点评】主要考查平方差公式分解因式，熟记能用平方差公式分解因式的多项式的特征，即“两项、异号、平方形式”是避免错用平方差公式的有效方法． 8．（2025•吉林）因式分解：a2﹣ab＝　a（a﹣b）　 ． 【考点】因式分解﹣提公因式法． 【专题】整式；运算能力． 【答案】a（a﹣b）． 【分析】直接提公因式a即可． 【解答】解：原式＝a（a﹣b）， 故答案为：a（a﹣b）． 【点评】本题考查提公因式法分解因式，掌握提公因式法是正确解答的关键． 9．（2025•扬州）分解因式：a2﹣4＝　（a+2）（a﹣2）　 ． 【考点】因式分解﹣运用公式法． 【专题】整式；运算能力． 【答案】见试题解答内容 【分析】直接用公式法分解，即可得出答案． 【解答】解：a2﹣4＝（a+2）（a﹣2）， 故答案为：（a+2）（a﹣2）． 【点评】本题考查了公式法分解因式，直接用公式法分解即可． 10．（2025•山西）因式分解：m2﹣16＝　（m+4）（m﹣4）　 ． 【考点】因式分解﹣运用公式法． 【专题】整式；运算能力． 【答案】（m+4）（m﹣4）． 【分析】根据平方差公式分解因式即可． 【解答】解：根据平方差公式：m2﹣16＝（m+4）（m﹣4）， 故答案为：（m+4）（m﹣4）． 【点评】本题主要考查了运用公式法因式分解，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 11．（2025•湖南）因式分解：a2+13a＝ 　a（a+13）　 ． 【考点】因式分解﹣提公因式法． 【专题】整式；运算能力． 【答案】a（a+13）． 【分析】提取公因式a，进行分解因式即可． 【解答】解：a2+13a＝a（a+13）， 故答案为：a（a+13）． 【点评】本题主要考查了分解因式，解题关键是熟练掌握几种常见的分解因式的方法． 12．（2025•新疆）分解因式：x2﹣x＝　x（x﹣1）　 ． 【考点】因式分解﹣提公因式法． 【专题】整式；运算能力． 【答案】x（x﹣1）． 【分析】提取公因式x进行因式分解即可． 【解答】解：原式＝x（x﹣1）， 故答案为：x（x﹣1）． 【点评】本题考查提公因式法因式分解，找到正确的公因式是解题的关键． 13．（2025•宜宾）分解因式：a2﹣a＝　a（a﹣1）　 ． 【考点】因式分解﹣提公因式法． 【专题】因式分解． 【答案】见试题解答内容 【分析】这个多项式含有公因式a，分解因式时应先提取公因式． 【解答】解：a2﹣a＝a（a﹣1）． 【点评】本题考查了提公因式法分解因式，比较简单，注意不要漏项． 14．（2025•江西）因式分解：a2﹣a＝　a（a﹣1）　 ． 【考点】因式分解﹣提公因式法． 【答案】见试题解答内容 【分析】直接提取公因式a，进而分解因式得出即可． 【解答】解：a2﹣a＝a（a﹣1）． 故答案为：a（a﹣1）． 【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键． 15．（2025•苏州）因式分解：x2﹣9＝　（x+3）（x﹣3）　 ． 【考点】因式分解﹣运用公式法；平方差公式． 【专题】计算题；因式分解． 【答案】（x+3）（x﹣3）． 【分析】原式利用平方差公式分解即可． 【解答】解：原式＝（x+3）（x﹣3）， 故答案为：（x+3）（x﹣3）． 【点评】此题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键． 16．（2025•甘肃）因式分解：x2﹣6x+9＝　（x﹣3）2　 ． 【考点】因式分解﹣运用公式法． 【答案】见试题解答内容 【分析】直接运用完全平方公式进行因式分解即可． 【解答】解：x2﹣6x+9＝（x﹣3）2． 【点评】本题考查了公式法分解因式，熟记完全平方公式的结构特点是解题的关键． 17．（2025•云南）分解因式：x2+x＝　x（x+1）　 ． 【考点】因式分解﹣提公因式法． 【专题】整式；运算能力． 【答案】x（x+1）． 【分析】提取公因式x进行因式分解即可． 【解答】解：原式＝x（x+1）， 故答案为：x（x+1）． 【点评】本题考查因式分解，熟练掌握分解因式的方法是解题的关键． 18．（2025•烟台）因式分解：2x2﹣12xy+18y2＝ 　2（x﹣3y）2　 ． 【考点】提公因式法与公式法的综合运用． 【专题】整式；运算能力． 【答案】2（x﹣3y）2． 【分析】先提取公因式，再利用完全平方公式继续分解． 【解答】解：2x2﹣12xy+18y2＝2（x2﹣6xy+9y2）＝2（x﹣3）2， 故答案为：2（x﹣3y）2． 【点评】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解是关键． 19．（2025•上海）分解因式：a2b+ab2＝　ab（a+b）　 ． 【考点】因式分解﹣提公因式法． 【专题】因式分解；运算能力． 【答案】ab（a+b）． 【分析】先确定公因式，再提取即可． 【解答】解：a2b+ab2＝ab（a+b）， 故答案为：ab（a+b）． 【点评】本题考查了因式分解﹣提公因式法，熟练掌握公因式的确定方法是解题的关键． 20．（2025•内江）分解因式：a2﹣1＝　（a+1）（a﹣1）　 ． 【考点】因式分解﹣运用公式法． 【答案】见试题解答内容 【分析】符合平方差公式的特征，直接运用平方差公式分解因式．平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）． 【解答】解：a2﹣1＝（a+1）（a﹣1）． 故答案为：（a+1）（a﹣1）． 【点评】本题主要考查平方差公式分解因式，熟记公式是解题的关键． 21．（2025•钱塘区三模）因式分解：m2+2m＝　m（m+2）　 ． 【考点】因式分解﹣提公因式法． 【专题】实数；运算能力． 【答案】m（m+2）． 【分析】根据因式分解的定义，用提公因式法得m2+2m＝m（m+2）． 【解答】解：m2+2m＝m（m+2）． 故答案为：m（m+2）． 【点评】本题主要考查提公因式法进行因式分解，熟练掌握公因式的找法是解题的关键． 22．（2025•重庆）我们规定：一个四位数M，若满足a+b＝c+d＝10，则称这个四位数为“十全数”．例如：四位数1928，因为1+9＝2+8＝10，所以1928是“十全数”．按照这个规定，最小的“十全数”是　1919　 ；一个“十全数”M，将其千位数字与个位数字调换位置，百位数字与十位数字调换位置，得到一个新的数M'，记F（M），G（M）．若与均是整数，则满足条件的M的值是　3782　 ． 【考点】因式分解的应用． 【专题】新定义． 【答案】1919，3782． 【分析】根据要求最小的“十全数”，得到a＝1，c＝1，然后求出b＝10﹣1＝9，d＝10﹣1＝9，即可得到最小的“十全数”是1919；根据题意表示出M＝900a+9c+1010，M'＝﹣9a﹣900c+10100，然后表示出，，然后表示出，，然后根据题意得到与均是整数，得到7a+c﹣3能被13整除，8a+8c﹣3能被17整除，然后由1≤a≤9，1≤c≤9，求出5≤7a+c﹣3≤69，进而求解即可． 【解答】解：设四位数M， 要求最小的“十全数”， ∴a＝1，c＝1， ∴b＝10﹣1＝9，d＝10﹣1＝9， ∴最小的“十全数”是1919； ∵一个“十全数”M， ∴a+b＝c+d＝10， ∴b＝10﹣a，d＝10﹣c， ∴M1000a+100（10﹣a）+10c+10﹣c＝900a+9c+1010， ∴M'1000（10﹣c）+100c+10（10﹣a）+a＝﹣9a﹣900c+10100， ∴F（M）a+c﹣10 ∴G（M）81a﹣81c+10104 ∴ ， ∴， ∵与均是整数， ∴与均是整数， ∴7a+c﹣3能被13整除，8a+8c﹣3能被17整除， ∵1≤a≤9，1≤c≤9， ∴7≤7a≤63，﹣2≤c﹣3≤6， ∴5≤7a+c﹣3≤69， ∴7a+c﹣3的值可以为13，26，39，52，65， ∴依次代入可得，当a＝3，c＝8时，2，均是整数，符合题意， ∴b＝10﹣a＝7，d＝10﹣c＝2， ∴满足条件的M的值是3782． 故答案为：1919，3782． 【点评】此题考查了整式的加减的应用，读懂并理解题意是解题的关键． 23．（2025•自贡）若2a+b＝﹣1，则4a2+2ab﹣b的值为　1　 ． 【考点】因式分解的应用． 【专题】计算题． 【答案】1． 【分析】由题意可得b＝﹣1﹣2a，整体代入计算即可得解． 【解答】解：∵2a+b＝﹣1， ∴b＝﹣1﹣2a， ∴4a2+2ab﹣b＝4a2+2a（﹣1﹣2a）﹣（﹣1﹣2a）＝4a2﹣2a﹣4a2+1+2a＝1， 故答案为：1． 【点评】本题考查了求代数式的值、整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 24．（2025•自贡）分解因式：m2﹣4m＝　m（m﹣4）　 ． 【考点】提公因式法与公式法的综合运用． 【答案】见试题解答内容 【分析】提取公因式m，即可求得答案． 【解答】解：m2﹣4m＝m（m﹣4）． 故答案为：m（m﹣4）． 【点评】本题考查了提公因式法分解因式．题目比较简单，解题需细心． 三．解答题（共2小题） 25．（2025•齐齐哈尔）（1）计算：|1|+2sin45°； （2）分解因式：2x3﹣8x． 【考点】提公因式法与公式法的综合运用；特殊角的三角函数值；实数的运算． 【专题】因式分解；实数；运算能力． 【答案】（1）﹣5； （2）2x（x+2）（x﹣2）． 【分析】（1）先根据算术平方根、绝对值、特殊角的三角函数值、负整数指数幂的运算法则计算，再合并即可； （2）先提公因式，再利用平方差公式分解因式即可． 【解答】解：（1） ＝﹣5； （2）2x3﹣8x ＝2x（x2﹣4） ＝2x（x+2）（x﹣2）． 【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，实数的运算，正确计算是解题的关键． 26．（2025•福建）阅读材料，回答问题． 【主题】两个正数的积与商的位数探究． 【提出问题】小明是一位爱思考的小学生．一次，在完成多位数的乘法时，他根据提出算式“46×2＝92；35×21＝735；663×11＝7293；186×362＝67332”，猜想：m位的正整数与n位的正整数的乘积是一个（m+n﹣1）位的正整数． 【分析探究】问题1 小明的猜想是否正确？若正确，请给予证明；否则，请举出反例． 【推广延伸】 小明的猜想激发了初中生小华的探究热情．为了使问题的研究推广到有理数的乘法，进而迁移到对除法的研究，小华将数的“位数”与“数字”的概念进行推广，规定：如果一个正数用科学记数法表示为a×10n，则称这个数的位数是n+1，数字是a． 借此，小华研究了两个数乘积的位数问题，提出并证明了以下命题． 命题：若正数A，B，C的位数分别为m，n，p，数字分别为a，b，c，且A×B＝C，则必有c≥a且c≥b，或c＜a且c＜b．并且，当c≥a且c≥b时，p＝m+n﹣1；当c＜a且c＜b时，p＝m+n． 证明：依题意知，A，B，C用科学记数法可分别表示为a×10m﹣1，b×10n﹣1，c×10p﹣1，其中a，b，c均为正数．由A×B＝C，得ab×10m+n﹣2＝c×10p﹣1， 即．（*） 当c≥a且c≥b时，1，所以b＜10，又，所以10．由（*）知，1，所以p＝m+n﹣1； 当c≥a且c＜b时，，所以，所以110，与（*）矛盾，不合题意； 当c＜a且c≥b时，①　当c＜a且c≥b时，可得，得，不合题意　 ； 当c＜a且c＜b时，②　当c＜a且c＜b时，可得，可得，得，即得 p＝m+n　 ． 综上所述，命题成立． 【拓展迁移】问题2 若正数A、B的位数分别为m，n，那么的位数是多少？证明你的结论． （1）解决问题1； （2）请把①②所缺的证明过程补充完整； （3）解决问题2． 【考点】因式分解的应用；不等式的性质；命题与定理． 【专题】因式分解． 【答案】（1）小明的猜想不正确，反例：3×4＝12； （2）见解析； （3）当A的数字大于或等于B的数字时，的位数是m﹣n+1；当A的数字小于B的数字时，的位数是m﹣n． 【分析】（1）举反例即可； （2）①当c＜a且c≥b时，可得，得，不合题意； ②当c＜a且c＜b时，可得，可得，得，即得 p＝m+n； （3）设，A，B，C的数字分别为a，b，c，C的位数为x，则B×C＝A．当a≥b时，必有a≥c，m＝n+x﹣1，即x＝m﹣n+1；当a＜b时，必有a＜c，m＝n+x，即x＝m﹣n． 【解答】解：（1）小明的猜想不正确， 反例：3×4＝12； （2）①，所以，所以，与（*）矛盾，不合题意； ②所以，又，所以， 由（*）知所以 p＝m+n； （3）当A的数字大于或等于B的数字时，的位数是m﹣n+1， 当A的数字小于B的数字时，的位数是m﹣n． 证明如下：由已知，A，B的位数分别为m，n， 设，A，B，C的数字分别为a，b，c，C的位数为x，则B×C＝A， 由小华的命题知，当a≥b时，必有a≥c， 此时，m＝n+x﹣1，所以x＝m﹣n+1， 当a＜b时，必有a＜c， 此时，m＝n+x，所以x＝m﹣n， 综上所述，当A的数字大于或等于B的数字时，的位数是m﹣n+1， 当A的数字小于B的数字时，的位数是m﹣n． 【点评】本小题考查判断命题的真假，科学记数法，整数指数幂，幂的运算，不等式的基本性质，代数推理等基础知识，熟练掌握是解题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$