备考2026年中考数学一轮复习 一元一次方程

中考数学一轮复习 一元一次方程 一．选择题（共5小题） 1．（2025•天津）《算学启蒙》是我国古代的数学著作，其中有一道题：“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里．驽马先行一十二日，问良马几何日追及之．”意思是：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里．慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？设快马x天可以追上慢马，则可以列出的方程为（　　） A．240x＝150（x+12） B．240x＝150（x﹣12） C．150x＝240（x+12） D．150x＝240（x﹣12） 2．（2025•德阳）在2000多年前的《九章算术》中记载了“共买鸡问题”：“今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数，物价各几何？”题意是：有若干人一起买鸡，如果每人出9文钱，就多11文钱；如果每人出6文钱，就差16文钱．问买鸡的人数，鸡的价钱各是多少？设买鸡的人数为x人，则x为（　　） A．5 B．7 C．8 D．9 3．（2025•烟台）某商场打折销售一款风扇，若按标价的六折出售，则每台风扇亏损10元；若按标价的九折出售，则每台风扇盈利95元．这款风扇每台的标价为（　　） A．350元 B．320元 C．270元 D．220元 4．（2025•内江）学校准备添置一批课桌椅，原订购60套，每套100元．店方表示：如果多购，可以优惠．结果校方购了72套，每套减价3元，但商店获得同样多的利润．求每套课桌椅的成本．设每套课桌椅的成本为x元，则可列方程为（　　） A．72（100﹣x）＝60（100+3﹣x） B．60（100﹣x）＝72（100﹣3﹣x） C．60（100+x）＝72（100﹣3+x） D． 5．（2025•连云港）《九章算术》中有一个问题：“今有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海．今凫雁俱起，问何日相逢？”（凫：野鸭．所提问题即“野鸭与大雁从南海和北海同时起飞，经过多少天能够相遇？”）如果设经过x天能够相遇，根据题意，得（　　） A． B． C．7x+9x＝1 D．9x﹣7x＝1 二．填空题（共6小题） 6．（2025•深圳）若关于x的方程x+a＝5的解为x＝1，则a＝　 　 ． 7．（2025•吉林）《孙子算经》中记载了这样一道题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问车几何？其译文为：有若干人乘车，若每3人同乘一车，最终剩余2辆空车；若每2人同乘一车，最终剩下9人因无车可乘而步行．问有多少辆车？为解决此问题，设共有x辆车，可列方程为　 　 ． 8．（2025•陕西）草莓熟了，学校组织同学们参加劳动实践，帮助果农采摘草莓．小康和小悦采摘的时长相同，采摘结束后，小康采摘的草莓比小悦多2.4kg．已知小康平均每小时采摘6kg，小悦平均每小时采摘4kg，小康采摘的时长是 　 　 小时． 9．（2025•宜宾）已知a1、a2、a3、a4、a5是五个正整数，去掉其中任意一个数，剩余四个数相加有五种情况，和却只有四个不同的值，分别是45、46、47、48，则a1+a2+a3+a4+a5＝　 　 ． 10．（2025•遂宁）已知x＝2是方程3a﹣2x＝2的解，则a＝ 　 　 ． 11．（2025•重庆）若实数x，y同时满足x﹣|y|＝2，|x|﹣y＝4，则xy的值为　 　 ． 三．解答题（共3小题） 12．（2025•北京）北京风筝制作技艺是国家级非物质文化遗产．为制作一只京燕风筝，小明准备了五根直竹条（如图1）；一根门条、两根等长的膀条和两根等长的尾条．他将门条和膀条分别烤弯后与尾条一起扎成风筝的骨架（如图2），其头部高、胸腹高与尾部高的比是1：1：2．已知单根膀条长是胸腹高的5倍，门条比单根膀条短10cm，图1中BC的长是门条长的，AB．CD的长均等于胸腹高．求这只风筝的骨架的总高． 13．（2025•广西）自2025年5月9日起至2025年12月31日，周末自驾游广西的外省籍小客车，可享受高速公路车辆通行费（以下简称高速费）优惠．小悦一家5月中旬从湖南自驾到广西探亲游玩，此次全程所产生的高速费享受的优惠如下： 湖南境内路段 广西境内特定路段 广西境内其他路段 周一至周四 9.5折 周五至周日 9.5折 全免 5折 （1）周六小悦一家从湖南Z市到广西A市，所经湖南境内路段、广西境内特定路段和其他路段的高速费原价分别为a元、b元和c元．求此行程的高速费实付多少元？比原价优惠了多少元？（用代数式表示） （2）周日他们从A市到K市（全程在广西境内），高速费实付27.55元；周一从K市原路返回到A市，高速费实付95.95元．求此行程中A市与K市间广西境内特定路段和其他路段的单程高速费原价分别是多少元． 14．（2025•湖北）幻方起源于中国，月历常用于生活，它们有很多奥秘，探究并完成填空． 主题 探究月历与幻方的奥秘 活动一 图1是某月的月历，用方框选取了其中的9个数． （1）移动方框，若方框中的部分数如图2所示，则a是 　 　 ，b是 　 　 ； （2）移动方框，若方框中的部分数如图3所示，则c是 　 　 ，d是 　 　 ； （注：用含n的代数式表示c和d．） 活动二 移动方框选取月历中的9个数，调整它们的位置，使其满足“三阶幻方”分布规律：每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的三个数的和都相等． （3）若方框选取的数如图4所示，调整后，部分数的位置如图5所示，则e是 　 　 ，f是 　 　 ； （4）若方框选取的数中最小的数是n，调整后，部分数的位置如图6所示，则g是 　 　 （用含n的代数式表示g）． 中考数学一轮复习 一元一次方程 参考答案与试题解析 一．选择题（共5小题） 1．（2025•天津）《算学启蒙》是我国古代的数学著作，其中有一道题：“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里．驽马先行一十二日，问良马几何日追及之．”意思是：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里．慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？设快马x天可以追上慢马，则可以列出的方程为（　　） A．240x＝150（x+12） B．240x＝150（x﹣12） C．150x＝240（x+12） D．150x＝240（x﹣12） 【考点】由实际问题抽象出一元一次方程；数学常识． 【专题】一次方程（组）及应用；应用意识． 【答案】A 【分析】设快马x天可以追上慢马，根据路程＝速度×时间，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解． 【解答】解：依题意，得：240x＝150（x+12）． 故选：A． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 2．（2025•德阳）在2000多年前的《九章算术》中记载了“共买鸡问题”：“今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数，物价各几何？”题意是：有若干人一起买鸡，如果每人出9文钱，就多11文钱；如果每人出6文钱，就差16文钱．问买鸡的人数，鸡的价钱各是多少？设买鸡的人数为x人，则x为（　　） A．5 B．7 C．8 D．9 【考点】一元一次方程的应用． 【专题】一次方程（组）及应用；应用意识． 【答案】D 【分析】根据“如果每人出9文钱，就多11文钱；如果每人出6文钱，就差16文钱”，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：根据题意得：9x﹣11＝6x+16， 解得：x＝9． 故选：D． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 3．（2025•烟台）某商场打折销售一款风扇，若按标价的六折出售，则每台风扇亏损10元；若按标价的九折出售，则每台风扇盈利95元．这款风扇每台的标价为（　　） A．350元 B．320元 C．270元 D．220元 【考点】一元一次方程的应用． 【专题】一次方程（组）及应用；应用意识． 【答案】A 【分析】利用成本价＝售价﹣利润，结合成本价不变，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：设这款风扇每台的标价为x元， 根据题意得：0.6x+10＝0.9x﹣95， 解得：x＝350， ∴这款风扇每台的标价为350元． 故选：A． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 4．（2025•内江）学校准备添置一批课桌椅，原订购60套，每套100元．店方表示：如果多购，可以优惠．结果校方购了72套，每套减价3元，但商店获得同样多的利润．求每套课桌椅的成本．设每套课桌椅的成本为x元，则可列方程为（　　） A．72（100﹣x）＝60（100+3﹣x） B．60（100﹣x）＝72（100﹣3﹣x） C．60（100+x）＝72（100﹣3+x） D． 【考点】由实际问题抽象出一元一次方程． 【专题】一次方程（组）及应用；应用意识． 【答案】B 【分析】利用总利润＝每套的销售利润×销售数量，结合总利润不变，即可列出关于x的一元一次方程，此题得解． 【解答】解：根据题意得：60（100﹣x）＝72（100﹣3﹣x）． 故选：B． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 5．（2025•连云港）《九章算术》中有一个问题：“今有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海．今凫雁俱起，问何日相逢？”（凫：野鸭．所提问题即“野鸭与大雁从南海和北海同时起飞，经过多少天能够相遇？”）如果设经过x天能够相遇，根据题意，得（　　） A． B． C．7x+9x＝1 D．9x﹣7x＝1 【考点】由实际问题抽象出一元一次方程；数学常识． 【专题】一次方程（组）及应用；运算能力． 【答案】A 【分析】根据野鸭和大雁到达目的地所需时间，可得出野鸭每天飞行全程的，大雁每天飞行全程的，利用总路程＝野鸭的飞行速度×时间+大雁的飞行速度×时间，即可列出关于x的一元一次方程，此题得解． 【解答】解：根据题意得：xx＝1． 故选：A． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 二．填空题（共6小题） 6．（2025•深圳）若关于x的方程x+a＝5的解为x＝1，则a＝　4　 ． 【考点】一元一次方程的解；解一元一次方程． 【专题】一次方程（组）及应用；运算能力． 【答案】4． 【分析】把x＝1代入方程x+a＝5，得1+a＝5，根据解一元一次方程的方法求解即可． 【解答】解：∵关于x的方程x+a＝5的解为x＝1， ∴1+a＝5， 解得：a＝4． 故答案为：4． 【点评】本题考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，掌握一元一次方程解的定义，解一元一次方程的方法是解题的关键． 7．（2025•吉林）《孙子算经》中记载了这样一道题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问车几何？其译文为：有若干人乘车，若每3人同乘一车，最终剩余2辆空车；若每2人同乘一车，最终剩下9人因无车可乘而步行．问有多少辆车？为解决此问题，设共有x辆车，可列方程为　3（x﹣2）＝2x+9　 ． 【考点】由实际问题抽象出一元一次方程． 【专题】一次方程（组）及应用；运算能力． 【答案】3（x﹣2）＝2x+9． 【分析】根据人数不变，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解． 【解答】解：依题意，得：3（x﹣2）＝2x+9． 故答案为：3（x﹣2）＝2x+9． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 8．（2025•陕西）草莓熟了，学校组织同学们参加劳动实践，帮助果农采摘草莓．小康和小悦采摘的时长相同，采摘结束后，小康采摘的草莓比小悦多2.4kg．已知小康平均每小时采摘6kg，小悦平均每小时采摘4kg，小康采摘的时长是 　1.2　 小时． 【考点】一元一次方程的应用． 【专题】一元一次不等式（组）及应用． 【答案】1.2． 【分析】利用小康采摘的草莓比小悦多2.4kg得出等式求出答案． 【解答】解：设两小组采摘了x小时， 依题意：6x﹣4x＝2.4， 解得：x＝1.2， 因此，两小组采摘了1.2小时， 故答案为：1.2． 【点评】此题主要考查了一元一次方程的应用，根据采摘的质量得出等式是解题关键． 9．（2025•宜宾）已知a1、a2、a3、a4、a5是五个正整数，去掉其中任意一个数，剩余四个数相加有五种情况，和却只有四个不同的值，分别是45、46、47、48，则a1+a2+a3+a4+a5＝　58　 ． 【考点】一元一次方程的应用；整式的加减． 【专题】一次方程（组）及应用． 【答案】58． 【分析】设a1+a2+a3+a4+a5＝m，由题意可知已知这五个和只有四个不同的值，不妨设m﹣ai＝m﹣aj（i≠j），那么这四个不同的值可以表示为m﹣a1，m﹣a2，m﹣a3，m﹣a4（假设a5与前面某一个数相等）且为这四个值分别是45、46、47、48；再说明3m+a5＝186，然后分四种情况解答即可． 【解答】解：设a1+a2+a3+a4+a5＝m，那么去掉a1后和为m﹣a1，去掉a2后和为m﹣a2，去掉a3后和为m﹣a3，去掉a4后和为m﹣a4，去掉a5后和为m﹣a5； ∵已知这五个和只有四个不同的值， ∴不妨设m﹣ai＝m﹣aj（i≠j）， 那么这四个不同的值可以表示为m﹣a1，m﹣a2，m﹣a3，m﹣a4（假设a5与前面某一个数相等）， ∵这四个值分别是45、46、47、48， ∴（m﹣a1）+（m﹣a2）+（m﹣a3）+（m﹣a4）＝45+46+47+48＝186，即4m﹣（a1+a2+a3+a4）＝186， ∵a1+a2+a3+a4+a5＝m， ∴a1+a2+a3+a4＝m﹣a5， ∴4m﹣（m﹣a5）＝186，即3m+a5＝186， 当m﹣a5＝m﹣a1＝45时，即a5＝m﹣45， ∴3m+m﹣45＝186，解得：，不是整数，不符合题意， 当m﹣a5＝m﹣a2＝46时，a5＝m﹣46， ∴3m+m﹣46＝186，解得：m＝58，符合题意， 当m﹣a5＝m﹣a3＝47时，即a5＝m﹣47， ∴3m+m﹣47＝186，解得：，不是整数，不符合题意； 当m﹣a5＝m﹣a4＝48时，a5＝m﹣48， ∴3m+m﹣48＝186，解得：，不是整数，不符合题意； 综上，m＝58，即a1+a2+a3+a4+a5＝58， 方法2：设a1+a2+a3+a4+a5＝m，令a1+a2+a3+a4＝45，a1+a2+a3+a5＝46，a1+a2+a4+a5＝47，a1+a3+a4+a5＝48，a2+a3+a4+a5＝x， ∴4（a1+a2+a3+a4+a5）＝45+46+47+48+x， ∴4m＝186+x， ∵x是45、46、47、48中的一个，并且m是整数， ∴x＝46， ∴a1+a2+a3+a4+a5＝58， 故答案为：58． 【点评】本题主要考查了整式的加减运算、一元一次方程的应用等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键． 10．（2025•遂宁）已知x＝2是方程3a﹣2x＝2的解，则a＝ 　2　 ． 【考点】一元一次方程的解；解一元一次方程． 【专题】一次方程（组）及应用；运算能力． 【答案】2． 【分析】把x＝2代入方程3a﹣2x＝2，可得3a﹣4＝2，解一元一次方程即可得出答案． 【解答】解：把x＝2代入方程3a﹣2x＝2，得3a﹣2×2＝2，即3a﹣4＝2， 移项、合并同类项，得3a＝6， 将系数化为1，得a＝2． 故答案为：2． 【点评】本题考查了解一元一次方程，一元一次方程的解，掌握解一元一次方程的方法，一元一次方程解的定义是解题的关键． 11．（2025•重庆）若实数x，y同时满足x﹣|y|＝2，|x|﹣y＝4，则xy的值为　　 ． 【考点】解一元一次方程；绝对值；负整数指数幂． 【专题】一次方程（组）及应用． 【答案】． 【分析】根据绝对值的非负性，得到x＝|y|+2＞0，|x|＝y+4≥0，进而得到y≥﹣4，进而得到关于y的一元一次方程，求出y的值，进而求出x的值，再根据负整数指数幂的法则，进行计算即可． 【解答】解：∵x﹣|y|＝2，|x|﹣y＝4， ∴x＝|y|+2＞0，|x|＝y+4≥0， ∴y≥﹣4， ∴|x|＝x＝|y|+2＝y+4， 当y≥0时，方程无解， 当﹣4≤y＜0时，﹣y+2＝y+4， ∴y＝﹣1， ∴x＝|y|+2＝3， ∴， 故答案为：． 【点评】本题考查绝对值的非负性，解一元一次方程，负整数指数幂，掌握以上性质是解题的关键． 三．解答题（共3小题） 12．（2025•北京）北京风筝制作技艺是国家级非物质文化遗产．为制作一只京燕风筝，小明准备了五根直竹条（如图1）；一根门条、两根等长的膀条和两根等长的尾条．他将门条和膀条分别烤弯后与尾条一起扎成风筝的骨架（如图2），其头部高、胸腹高与尾部高的比是1：1：2．已知单根膀条长是胸腹高的5倍，门条比单根膀条短10cm，图1中BC的长是门条长的，AB．CD的长均等于胸腹高．求这只风筝的骨架的总高． 【考点】一元一次方程的应用；分数混合运算的应用；比的应用． 【专题】一次方程（组）及应用． 【答案】80cm． 【分析】设胸腹高为x cm，则单根膀条长为5x cm，门条AD的长度为 （5x﹣10）cm，，AB＝CD＝x cm，头部高为x cm，尾部高为2x cm，这只风筝的骨架的总高为4x cm；由AD＝AB+BC+CD列方程求出 x＝20，进而求出风筝的骨架的总高即可． 【解答】解：设胸腹高为x cm，则单根膀条长为5x cm，门条AD的长度为（5x﹣10）cm，，AB＝CD＝x，头部高为x，尾部高为2x cm，这只风筝的骨架的总高为4x cm， 由AD＝AB+BC+CD， 可得， 解得：x＝20； 所以这只风筝的骨架的总高4x＝80cm， 答：这只风筝的骨架的总高80cm． 【点评】本题主要考查了一元一次方程的应用，弄清量之间的关系、列出一元一次方程是解题的关键． 13．（2025•广西）自2025年5月9日起至2025年12月31日，周末自驾游广西的外省籍小客车，可享受高速公路车辆通行费（以下简称高速费）优惠．小悦一家5月中旬从湖南自驾到广西探亲游玩，此次全程所产生的高速费享受的优惠如下： 湖南境内路段 广西境内特定路段 广西境内其他路段 周一至周四 9.5折 周五至周日 9.5折 全免 5折 （1）周六小悦一家从湖南Z市到广西A市，所经湖南境内路段、广西境内特定路段和其他路段的高速费原价分别为a元、b元和c元．求此行程的高速费实付多少元？比原价优惠了多少元？（用代数式表示） （2）周日他们从A市到K市（全程在广西境内），高速费实付27.55元；周一从K市原路返回到A市，高速费实付95.95元．求此行程中A市与K市间广西境内特定路段和其他路段的单程高速费原价分别是多少元． 【考点】一元一次方程的应用；列代数式． 【答案】（1）实际支付高速费用（0.95a+0.5c）元，优惠了（0.05a+b+0.5c）元； （2）此行程中A市与K市间广西境内特定路段和其他路段的单程高速费原价分别是45.9元和55.1元． 【分析】（1）根据题意列出代数式即可； （2）根据题意列出方程组求解即可． 【解答】解：（1）此次行程高速费原价总共为：a+b+c元， 实际支付高速费用：0.95a+0+0.5c＝（0.95a+0.5c）元， 优惠了a+b+c﹣（0.95a+0.5c）＝（0.05a+b+0.5c）元； （2）设特定路段和其他路段的单程高速费原价分别x元和y元， ， 解得：， 故此行程中A市与K市间广西境内特定路段和其他路段的单程高速费原价分别是45.9元和55.1元． 【点评】本题考查了代数式、二元一次方程组，掌握二元一次方程是解题的关键． 14．（2025•湖北）幻方起源于中国，月历常用于生活，它们有很多奥秘，探究并完成填空． 主题 探究月历与幻方的奥秘 活动一 图1是某月的月历，用方框选取了其中的9个数． （1）移动方框，若方框中的部分数如图2所示，则a是 　5　 ，b是 　11　 ； （2）移动方框，若方框中的部分数如图3所示，则c是 　n+1　 ，d是 　n+7　 ； （注：用含n的代数式表示c和d．） 活动二 移动方框选取月历中的9个数，调整它们的位置，使其满足“三阶幻方”分布规律：每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的三个数的和都相等． （3）若方框选取的数如图4所示，调整后，部分数的位置如图5所示，则e是 　11　 ，f是 　3　 ； （4）若方框选取的数中最小的数是n，调整后，部分数的位置如图6所示，则g是 　n+8　 （用含n的代数式表示g）． 【考点】一元一次方程的应用；列代数式；规律型：数字的变化类． 【专题】规律型；整式；一次方程（组）及应用；应用意识． 【答案】（1）5，11； （2）n+1，n+7； （3）11，3； （4）n+8． 【分析】（1）利用“月历表中左右相差1，上下相差7”，即可求出a，b的值； （2）利用“月历表中左右相差1，上下相差7”，即可用含n的代数式表示出c，d的值； （3）根据每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的三个数的和都相等，可列出关于e（f）的一元一次方程，解之可得出e（f）的值； （4）根据9的数的和是中间数的9倍，可列出关于g的一元一次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：（1）根据题意得：a＝4+1＝5，b＝4+7＝11． 故答案为：5，11； （2）根据题意得：c＝n+1，d＝n+7． 故答案为：n+1，n+7； （3）根据题意得：17+2+e＝2+10+18，17+10+f＝2+10+18， 解得：e＝11，f＝3． 故答案为：11，3； （4）根据题意得：9g＝n+n+1+n+2+n+7+n+8+n+9+n+14+n+15+n+16， 解得：g＝n+8． 故答案为：n+8． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用、列代数式以及规律型：数字的变化类，解题的关键是：（1）根据各数之间的关系，求出a，b的值；（2）根据各数之间的关系，用含n的代数式表示出c，d的值；（3）（4）找准等量关系，正确列出一元一次方程． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$