备考2026年中考数学一轮复习 一元二次方程

中考数学一轮复习 一元二次方程 一．选择题（共16小题） 1．（2025•广东）广东省统计局的相关数据显示，近年来高技术制造业呈现快速增长态势．某公司工业机器人在今年5月产值达到2500万元，预计7月产值将增至9100万元．设该公司6，7两个月产值的月均增长率为x，可列出的方程为（　　） A．2500（1+x）2＝9100 B．2500（1﹣x）2＝9100 C．2500（1﹣2x）2＝9100 D．2500（1+2x）2＝9100 2．（2025•北京）若关于x的一元二次方程ax2+2x+1＝0有两个相等的实数根，则实数a的值为（　　） A．﹣4 B．﹣1 C．1 D．4 3．（2025•黑龙江）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车已经逐渐成为人们喜爱的交通工具．某品牌新能源汽车的月销售量由一月份的8000辆增加到三月份的12000辆，设该汽车一月至三月销售量平均每月增长率为x，则可列方程为（　　） A．8000（1+2x）＝1200 B．8000（1+x）2＝12000 C．8000+8000（1+x）+8000（1+x）2＝12000 D．8000×2（1+x）＝12000 4．（2025•广西）已知x1，x2是方程x2﹣20x﹣25＝0的两个实数根，则x1+x2＝（　　） A．﹣25 B．﹣20 C．20 D．25 5．（2025•内江）若关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+2x+1＝0有实数根，则实数a的取值范围是（　　） A．a≤2 B．a＜2 C．a≤2且a≠1 D．a＜2且a≠1 6．（2025•河南）一元二次方程x2﹣2x＝0的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 7．（2025•河北）若一元二次方程x（x+2）﹣3＝0的两根之和与两根之积分别为m，n，则点（m，n）在平面直角坐标系中位于（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 8．（2025•湖北）一元二次方程x2﹣4x+3＝0的两个实数根为x1，x2，下列结论正确的是（　　） A．x1+x2＝﹣4 B．x1+x2＝3 C．x1x2＝4 D．x1x2＝3 9．（2025•新疆）如图，小明在数学综合实践活动中，利用一面墙（墙足够长）和24m长的围栏围成一个面积为40m2的矩形场地．设矩形的宽为x m，根据题意可列方程（　　） A．x（24﹣2x）＝40 B．x（24﹣x）＝40 C．2x（24﹣2x）＝40 D．2x（24﹣x）＝40 10．（2025•新疆）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+a＝0无实数根，则实数a的取值范围是（　　） A．a＜1 B．a＞1 C．a≤1 D．a≥1 11．（2025•福建）为加强劳动教育，增加学生实践机会，某校拟用总长为5米的篱笆，在两边都足够长的直角围墙的一角，围出一块6平方米的矩形菜地作为实践基地，如图所示．设矩形的一边长为x米，根据题意可列方程（　　） A．5x2＝6 B．5（1+x2）＝6 C．x（5﹣x）＝6 D．5（1+x）2＝6 12．（2025•德阳）若关于x的一元二次方程﹣2x2+4x+k＝0有两个相等的实数根，则k的值是（　　） A．2 B．0 C．﹣2 D．﹣4 13．（2025•扬州）关于一元二次方程x2﹣3x+1＝0的根的情况，下列结论正确的是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断根的情况 14．（2025•甘肃）关于x的一元二次方程3x2﹣6x+m＝0有两个实数根，则m的取值范围是（　　） A．m＜3 B．m≤3 C．m＞3 D．m≥3 15．（2025•安徽）下列方程中，有两个不相等的实数根的是（　　） A．x2+1＝0 B．x2﹣2x+1＝0 C．x2+x+1＝0 D．x2+x﹣1＝0 16．（2025•云南）某书店今年3月份盈利6000元，5月份盈利6200元．设该书店每月盈利的平均增长率为x．根据题意，下列方程正确的是（　　） A．6000（1+x）2＝6200 B．6000（1﹣x）2＝6200 C．6000（1+2x）＝6200 D．6000x2＝6200 中考数学一轮复习 一元二次方程 参考答案与试题解析 一．选择题（共16小题） 1．（2025•广东）广东省统计局的相关数据显示，近年来高技术制造业呈现快速增长态势．某公司工业机器人在今年5月产值达到2500万元，预计7月产值将增至9100万元．设该公司6，7两个月产值的月均增长率为x，可列出的方程为（　　） A．2500（1+x）2＝9100 B．2500（1﹣x）2＝9100 C．2500（1﹣2x）2＝9100 D．2500（1+2x）2＝9100 【考点】由实际问题抽象出一元二次方程． 【专题】一元二次方程及应用；应用意识． 【答案】A 【分析】设该公司6，7两个月产值的月均增长率为x，根据今年5月产值达到2500万元，预计7月产值将增至9100万元．即可得到结论． 【解答】解：设该公司6，7两个月产值的月均增长率为x， 根据题意得：2500（1+x）2＝9100． 故选：A． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 2．（2025•北京）若关于x的一元二次方程ax2+2x+1＝0有两个相等的实数根，则实数a的值为（　　） A．﹣4 B．﹣1 C．1 D．4 【考点】根的判别式． 【专题】计算题；一元二次方程及应用；应用意识． 【答案】C 【分析】先计算根的判别式，再根据方程解的情况得关于a的方程，求解即可． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程ax2+2x+1＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝0且a≠0． ∴22﹣4a＝0且a≠0． ∴a＝1． 故选：C． 【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，掌握一元二次方程根的判别式和方程解的关系是解决本题的关键． 3．（2025•黑龙江）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车已经逐渐成为人们喜爱的交通工具．某品牌新能源汽车的月销售量由一月份的8000辆增加到三月份的12000辆，设该汽车一月至三月销售量平均每月增长率为x，则可列方程为（　　） A．8000（1+2x）＝1200 B．8000（1+x）2＝12000 C．8000+8000（1+x）+8000（1+x）2＝12000 D．8000×2（1+x）＝12000 【考点】由实际问题抽象出一元二次方程． 【专题】一元二次方程及应用；运算能力． 【答案】B 【分析】根据题意和题目中的数据，可以列出相应的方程． 【解答】解：由题意可得， 8000（1+x）2＝12000， 故选：B． 【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程． 4．（2025•广西）已知x1，x2是方程x2﹣20x﹣25＝0的两个实数根，则x1+x2＝（　　） A．﹣25 B．﹣20 C．20 D．25 【考点】根与系数的关系． 【专题】一元二次方程及应用；模型思想． 【答案】C 【分析】直接利用根与系数的关系求解． 【解答】解：根据根与系数的关系得x1+x220． 故选：C． 【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2． 5．（2025•内江）若关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+2x+1＝0有实数根，则实数a的取值范围是（　　） A．a≤2 B．a＜2 C．a≤2且a≠1 D．a＜2且a≠1 【考点】根的判别式；一元二次方程的定义． 【专题】判别式法；一元二次方程及应用；运算能力． 【答案】C 【分析】根据二次项系数非零及根的判别式Δ≥0，可列出关于a的一元一次不等式组，解之即可得出实数a的取值范围． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+2x+1＝0有实数根， ∴， 解得：a≤2且a≠1， ∴实数a的取值范围是a≤2且a≠1． 故选：C． 【点评】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，利用二次项系数非零及根的判别式Δ≥0，找出关于a的一元一次不等式组是解题的关键． 6．（2025•河南）一元二次方程x2﹣2x＝0的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【考点】根的判别式． 【专题】一元二次方程及应用；运算能力． 【答案】A 【分析】根据Δ＞0，即可判断根的情况． 【解答】解：由条件可得Δ＝（﹣2）2﹣4×1×0＝4＞0， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 【点评】本题考查了一元二次方程跟的判别式，熟练掌握该知识点是解题关键． 7．（2025•河北）若一元二次方程x（x+2）﹣3＝0的两根之和与两根之积分别为m，n，则点（m，n）在平面直角坐标系中位于（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【考点】根与系数的关系；点的坐标． 【专题】一元二次方程及应用；推理能力． 【答案】C 【分析】先求出两根之和、两根之积，从而判断m，n的符号可以得解． 【解答】解：由方程x（x+2）﹣3＝0， 得到x2+2x﹣3＝0． 两根之和：， 两根之积：3． ∴m，n都为负数， ∴点（m，n）在第三象限． 故选：C． 【点评】本题主要考查了根与系数的关系、点的坐标，解题时要熟练掌握根与系数的关系是解题关键． 8．（2025•湖北）一元二次方程x2﹣4x+3＝0的两个实数根为x1，x2，下列结论正确的是（　　） A．x1+x2＝﹣4 B．x1+x2＝3 C．x1x2＝4 D．x1x2＝3 【考点】根与系数的关系． 【专题】一元二次方程及应用；运算能力；推理能力． 【答案】D 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，直接求解即可． 【解答】解：根据一元二次方程根与系数的关系，x2﹣4x+3＝0， a＝1，b＝﹣4，c＝3， ∴x1+x24，x1•x23， 故选：D． 【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握该知识点是解题的关键． 9．（2025•新疆）如图，小明在数学综合实践活动中，利用一面墙（墙足够长）和24m长的围栏围成一个面积为40m2的矩形场地．设矩形的宽为x m，根据题意可列方程（　　） A．x（24﹣2x）＝40 B．x（24﹣x）＝40 C．2x（24﹣2x）＝40 D．2x（24﹣x）＝40 【考点】由实际问题抽象出一元二次方程． 【专题】一元二次方程及应用；应用意识． 【答案】A 【分析】根据围栏的长度及矩形的宽，可得出矩形的长为（24﹣2x）m，结合矩形场地的面积为40m2，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：∵围栏的长度为24m，矩形的宽为x m， ∴矩形的长为（24﹣2x）m． 根据题意得：x（24﹣2x）＝40． 故选：A． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 10．（2025•新疆）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+a＝0无实数根，则实数a的取值范围是（　　） A．a＜1 B．a＞1 C．a≤1 D．a≥1 【考点】根的判别式． 【专题】判别式法；运算能力． 【答案】B 【分析】由方程无实数根，可得出Δ＝（﹣2）2﹣4×1×a＜0，解之即可得出实数a的取值范围． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+a＝0无实数根， ∴Δ＝（﹣2）2﹣4×1×a＜0， 解得：a＞1， ∴实数a的取值范围是a＞1． 故选：B． 【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当Δ＜0时，方程无实数根”是解题的关键． 11．（2025•福建）为加强劳动教育，增加学生实践机会，某校拟用总长为5米的篱笆，在两边都足够长的直角围墙的一角，围出一块6平方米的矩形菜地作为实践基地，如图所示．设矩形的一边长为x米，根据题意可列方程（　　） A．5x2＝6 B．5（1+x2）＝6 C．x（5﹣x）＝6 D．5（1+x）2＝6 【考点】由实际问题抽象出一元二次方程． 【专题】一元二次方程及应用；应用意识． 【答案】C 【分析】设矩形的一边长为x米，根据矩形的面积公式即可得到结论． 【解答】解：由题意可得，x（5﹣x）＝6， 故选：C． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，正确地理解题意列出方程是解题的关键． 12．（2025•德阳）若关于x的一元二次方程﹣2x2+4x+k＝0有两个相等的实数根，则k的值是（　　） A．2 B．0 C．﹣2 D．﹣4 【考点】根的判别式． 【专题】判别式法；运算能力． 【答案】C 【分析】根据方程的系数，结合根的判别式Δ＝0，可得出42﹣4×（﹣2）×k＝0，解之即可得出k的值． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程﹣2x2+4x+k＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝42﹣4×（﹣2）×k＝0， 解得：k＝﹣2， ∴k的值是﹣2． 故选：C． 【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键． 13．（2025•扬州）关于一元二次方程x2﹣3x+1＝0的根的情况，下列结论正确的是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断根的情况 【考点】根的判别式． 【专题】一元二次方程及应用；运算能力． 【答案】A 【分析】根据根的判别式即可求出答案． 【解答】解：∵Δ＝（﹣3）2﹣4×1×1＝5＞0， ∴方程x2﹣3x+1＝0有两个不相等的实数根． 故选：A． 【点评】本题考查了根的判别式，熟知一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；（2）Δ＝0，方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0，方程没有实数根是解题的关键． 14．（2025•甘肃）关于x的一元二次方程3x2﹣6x+m＝0有两个实数根，则m的取值范围是（　　） A．m＜3 B．m≤3 C．m＞3 D．m≥3 【考点】根的判别式． 【专题】一元二次方程及应用；运算能力． 【答案】B 【分析】根据判别式的意义得到Δ≥0，然后解关于m的不等式即可． 【解答】解：∵一元二次方程3x2﹣6x+m＝0有两个实数根， ∴Δ＝（﹣6）2﹣4×3m≥0， ∴m≤3． 故选：B． 【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根． 15．（2025•安徽）下列方程中，有两个不相等的实数根的是（　　） A．x2+1＝0 B．x2﹣2x+1＝0 C．x2+x+1＝0 D．x2+x﹣1＝0 【考点】根的判别式． 【专题】一元二次方程及应用；运算能力． 【答案】D 【分析】分别计算四个方程的根的判别式，然后根据根的判别式的意义判断根的情况． 【解答】解：A、由根的判别式可知：Δ＝02﹣4×1×0＝0， ∴方程有两个相等的实数根，不符合题意； B、由根的判别式可知：Δ＝（﹣2）2﹣4×1×1＝0， ∴方程有两个相等的实数根，不符合题意； C、由根的判别式可知：Δ＝12﹣4×1×1＜0， ∴方程有无实数根，不符合题意； D、由根的判别式可知：Δ＝12﹣4×1×（﹣1）＝5＞0， ∴方程有两个不相等的实数根，符合题意； 故选：D． 【点评】此题考查了根据一元二次方程的根的判别式判断一元二次方程的根的情况，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程没有实数根是解题的关键． 16．（2025•云南）某书店今年3月份盈利6000元，5月份盈利6200元．设该书店每月盈利的平均增长率为x．根据题意，下列方程正确的是（　　） A．6000（1+x）2＝6200 B．6000（1﹣x）2＝6200 C．6000（1+2x）＝6200 D．6000x2＝6200 【考点】由实际问题抽象出一元二次方程． 【专题】一元二次方程及应用；运算能力． 【答案】A 【分析】根据题意和题目中的数据，可以列出方程6000（1+x）2＝6200，然后即可判断哪个选项符合题意． 【解答】解：由题意可得， 6000（1+x）2＝6200， 故选：A． 【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程． 考点卡片 1．一元二次方程的定义 （1）一元二次方程的定义： 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程． （2）概念解析： 一元二次方程必须同时满足三个条件： ①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数是2． （3）判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”． 2．根的判别式 利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况． 一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系： ①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根； ②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根； ③当△＜0时，方程无实数根． 上面的结论反过来也成立． 3．根与系数的关系 （1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数． （2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2，反过来也成立，即（x1+x2），x1x2． （3）常用根与系数的关系解决以下问题： ①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件． 4．由实际问题抽象出一元二次方程 在解决实际问题时，要全面、系统地审清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程． 5．点的坐标 （1）我们把有顺序的两个数a和b组成的数对，叫做有序数对，记作（a，b）． （2）平面直角坐标系的相关概念 ①建立平面直角坐标系的方法：在同一平面内画；两条有公共原点且垂直的数轴． ②各部分名称：水平数轴叫x轴（横轴），竖直数轴叫y轴（纵轴），x轴一般取向右为正方向，y轴一般取象上为正方向，两轴交点叫坐标系的原点．它既属于x轴，又属于y轴． （3）坐标平面的划分 建立了坐标系的平面叫做坐标平面，两轴把此平面分成四部分，分别叫第一象限，第二象限，第三象限，第四象限．坐标轴上的点不属于任何一个象限． （4）坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的关系． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$