1.3 勾股定理的应用 导学案 2025-2026学年北师大版数学八年级上册

1.3 勾股定理的应用 导学案 ► 学习目标与重难点 学习目标： 1． 准确运用勾股定理及逆定理。 2． 经历勾股定理的应用过程，熟练掌握其应用方法，应用“数形结合”的思想来解决。 3． 培养合情推理能力，提高合作交流意识，体会勾股定理的应用 学习重点：掌握勾股定理及其逆定理，应用“数形结合”的思想来解决 学习难点：正确运用勾股定理及其逆定理。 ► 预习自测 一、知识链接 勾股定理及逆定理的具体内容是什么？ 2、 自学自测 1．已知一个Rt△的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（　） A．25 B．14 C．7 D．7或25 2．下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是（　　） A．1.5，2，3 B．7，24，25 C．6，8，10 D．9，12，15 3 .∆ABC的三边长为AB＝26，AC＝10，BC＝24，　则∆ABC的面积为　　　 4．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，下列结论中不正确的是（　） A．如果a2＝b2﹣c2，那么△ABC是直角三角形且∠A＝90° B．如果∠A：∠B：∠C＝1：2：3，那么△ABC是直角三角形 C．如果a2：b2：c2＝9：16：25，那么△ABC是直角三角形 D．如果∠A﹣∠B＝∠C，那么△ABC是直角三角形 ► 教学过程 一、创设情境、导入新课 问题导入 装修师傅离叔叔要检测装饰板AD和CB是否分别垂直AB (1)如果只带了一把圈尺，能替他完成任务吗？ （2）现测得AB长40cm,AD长30cm,B、D之间的距离50cm,AD垂直AB 吗？ （3）如果离叔叔只带了一把20cm的刻度尺，那么他能检测出AD和AB是否垂直？ 二、合作交流、新知探究 1尝试与思考 如图1--17，正方形ABCD的边长是8厘米，E是AD边上的中点，将这张纸翻折使点C刚好落在E点，折痕交AB于G,交CD于F,能否求出DF的长？ 2、 典例精析 ：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池的中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？ 【强调】：构建直角三角形，找准直角边和斜边，建立方程。 3、 课堂练习、巩固提高 基础达标： 1．一根竹子高一丈，折断后竹子顶端落在离竹子底端6尺处，折断处离地面的高度是多少？（这是我国古代《九章算术》中的“折竹抵地问题．其中的丈、尺是长度单位，一丈＝10尺）设折断处离地面的高度为x尺，则可列方程为（    ） A．x＋6＝（10﹣x） B．x﹣6＝（10﹣x） C．x＋6＝（10﹣x） D．x﹣6＝（10﹣x） 2．如图，一个梯子斜靠在一竖直的墙AO上，测得AO＝4m，若梯子的顶端沿墙下滑1m，这时梯子的底端也下滑1m，则梯子AB的长度为（　　） A．5m B．6m C．3m D．7m 第2题 第3题 第4题 3．如图，在一次测绘活动中，某同学站在点A的位置观测停放于B，C两处的小船，测得船B在点A北偏东75°方向900米处，船C在点A南偏东15°方向1200米处，则船B与船C之间的距离为（   ） A．1500m B．1200mC．1000mD．800m 4．如图，是一段楼梯，高BC是1.5m，斜边AC是2.5m，如果在楼梯上铺地毯，那么至少需要地毯（　　） A．2.5m B．3m C．3.5m D．4m 能力提升： 5.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D、E是边AB上的点，连接CD、CE，先将边AC沿CD折叠，使点A的对称点A′落在边AB上；再将边BC沿CE折叠，使点B的对称点B′落在CA′的延长线上，若AC＝15，BC＝20，则线段B′E的长为 . 拓展迁移： 6．如图，A、B两点相距14km，C、D为两村庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA=8km，CB=6km，现在要在AB上建一个供水站E，使得C、D两村到供水站E站的距离相等，则： （1）E站应建在距A站多少千米处？ （2）DE和EC垂直吗？说明理由． 4、 总结反思、拓展升华 【课堂总结】 1、数学思想：建模思想、方程思想 2、注意：运用勾股定理解决实际问题时， ①、没有图的要按题意画好图并标上字母； ②、有时必须设好未知数，并根据勾股定理列出相应的方程式才能做出答案。 五、【作业布置】 基础达标： 1. 一座桥长12m,一艘小船自桥北岸出发,向正南方向驶去,因水流原因,到达南岸后,发现已偏离桥南岸9m,则小船实际行驶了          m. 2.如图,在一次冰雪灾害中,一棵树在离地面3m处被折断,树的顶端落在离树干底部4m处,那么这棵树折断之前的高度是          m. 3.一根长18cm的牙刷置于底面半径为5cm，高为12cm的圆柱形水杯中，牙刷露在杯子外面的长度为h，则h的值不可能是( ) A. 3cm B. πcm C. 6cm D. 8cm 4如图：一个长、宽、高分别为4cm、3cm、12cm的长方体盒子能容下 的最长木棒长为（　　） A、11cm B、12cm C、13cm D、14cm​ 5.如图所示，在长方形ABCD中，AD=6,AB=10，，若将长方形ABCD沿DE折叠，使点C落在AB边上的点F处，则线段CE的长为( ) A. B. C. D. 能力提升： 6. 如图,某工厂大门的上面是半圆,下面是长方形.一辆装满货物的卡车,高2.5m,宽1.6m.这辆卡车能否通过厂门?请说明理由. 拓展迁移： 7.如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且∠QPN=30°，在A处有一所中学，AP=120米米，此时有一辆消防车在公路MN上沿PN方向以每秒5米的速度行驶，假设消防车行驶时周围100米以内有噪音影响． (1)学校是否会受到影响？请说明理由． (2)如果受到影响，则影响时间是多长？ 课堂练习参考答案： 1、 A 2、 A 3、 A 4、 C 5、 4 解答提示:根据翻折性质AC=CA′,BC=CB′,AD=DA′, B′E=BE，∠ADC=90°，∠DCE=45°△CD是等腰直角三角形，CD=DE,在△ABC中用勾股定理求出AB=25,根据一面积两算法求出CD=15×20÷25=12，在△CDA中用勾股定理求出DA=9,,BE=AB-AD-DE=4,故B′E=4 6. 解答提示：（1）设AE=X千米，利用勾股定理根据DE=EC建立方程求解。 （2） 过D点作CE∥AB，交AD于E，连接DC，求出DC,利用勾股定理逆定理证明DE⊥EC. 也可用△AED ≌△BCE来证明∠AED+∠ BEC=90°，因而说明DE⊥EC. 课外作业参考答案： 1、15 2、8 3、 D 4、 C 5、 C 6、解:这辆卡车能通过厂门. 理由如下: 如图,M,N为卡车的宽度,过点M,N作AB的垂线交半圆于点C,D,过点O作OECD,垂足为E,连接OC, 则CD=MN=1.6m,AB=2m, 所以CE=DE=0.8m,OC=OA=AB=1m. 在RtOCE中,=-=-=,所以OE=0.6m. 所以CM=2.3+0.6=2.9m>2.5m. ​所以这辆卡车能通过厂门. 7、解：（1）学校受到噪音影响．理由如下： 作AB⊥MN于B，如图， ∵PA=120m，∠QPN=30°，∴AB=PA=60m， 而60m＜100m， ∴消防车在公路MN上沿PN方向行驶时，学校受 到噪音影响； （2）以点A为圆心，100m为半径作⊙A交MN于C、D，如图， ∵AB⊥CD， ∴CB=BD， 在Rt△ABC中，AC=100m，AB=60m， CB=80m， ∴CD=2BC=160m， ∵消防车的速度5m/s， ∴消防车在线段CD上行驶所需要的时间=160÷5=32（秒）， ∴学校受影响的时间为32秒． www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 1 学科网（北京）股份有限公司 $$