精品解析：广东省深圳市盐田区2024-2025学年下学期八年级期末数学试卷

广东省深圳市盐田区2024−2025学年下学期八年级期末数学试卷 一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分） 1. 近几年，我国人工智能技术迅猛发展，各种AI工具层出不穷，包含AI聊天、AI搜索、AI编程、AI绘画等多项功能．下列AI工具图标中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形，关键是掌握中心对称图形的定义． 把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，由此即可判断． 【详解】解：A、不是中心对称图形，不符合题意； B、不是中心对称图形，不符合题意； C、不是中心对称图形，不符合题意； D、是中心对称图形，符合题意． 故选：D． 2. 若，则下列不等式中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查不等式的性质，根据不等式的基本性质“不等式的两边同时加上或减去同一个数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等号的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变”，逐一分析各选项即可． 【详解】解：A. 由，两边减3，得，故A错误； B. 由，两边乘正数3，得，故B正确； C. 由，移项得，故C错误； D. 由，两边乘负数，不等号方向改变，得，故D错误； 故选：B． 3. 若分式有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件．熟练掌握分式有意义的条件是解题的关键． 根据，求解作答即可． 【详解】解：由题意知，， 解得：， 故选：D． 4. 为双减赋能，某校开展劳动实践课程，协助工人测量公园假山两点A、B之间的距离.如图所示，在地面上取一点C，使C到A、B两点均可直接到达，找到和的中点D、E，测得的长为，则假山两点A、B之间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是三角形中位线定理，根据三角形中位线定理解答即可．掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键． 【详解】解：∵点D、E分别为和的中点， ∴是的中位线， ∴， 故选：D． 5. 下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的定义，根据因式分解的定义，逐一判断选项是否符合“将多项式分解为几个整式乘积的形式”，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：A、右边为，包含加法运算，未写成乘积形式，不是因式分解； B、左边是 的乘积形式，右边是展开后的多项式，属于整式乘法，而非因式分解； C、左边为多项式 ，右边写成，即两个的乘积，符合因式分解的定义； D、左边是单项式，因式分解的对象应为多项式，故不符合要求； 故选：C 6. 海盗船是游乐园中的热门项目．巨大的海盗船围绕顶端横梁左右摇摆，给人们带来非常刺激的体验．小明同学绘制了海盗船在不同时刻的摇摆状态，如图所示，若将横梁视为一点，那么在小明的绘画中，横梁应在图中哪个位置？ A. 点M B. 点N C. 点P D. 点Q 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握旋转对称的定义． 根据旋转中心在对应点所连线段的中垂线上进行逐一判断即可． 【详解】解：由题意可知，四边形与四边形成旋转对称，其旋转中心为M． 故选：A． 7. 一个烧杯内盛有克糖水（糖完全溶解），其中含糖克．为了将糖水的含糖百分比提高到原来的倍，小丽根据这一情景列出方程，则未知数表示的意义是（ ） A. 加入的水量 B. 蒸发掉的水量 C. 增加的糖量 D. 减少的糖量 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查百分数，一元一次方程的运用，根据题意，原糖水含糖20克，总质量250克，目标是将含糖百分比提高到原来的2倍，方程左边为原浓度的两倍，右边分子为，分母为，说明是加入的糖量． 【详解】解：原含糖百分比为，目标百分比为， ∴设加入克糖后，糖的总量为克，糖水总质量变为克，此时浓度应等于目标百分比， 故表示增加的糖量， 故选：C． 8. 如图，四边形中，，，，边上一点E满足，连接D，E．现将沿折叠，点C恰好落在边上的点处．若，，则点E到边的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查四边形中的翻折问题，涉及勾股定理及应用，平行四边形的判定与性质，三角形面积等，解题的关键是掌握翻折的性质． 过D作于F，证明四边形是平行四边形，可得，，即可得，求出，，故，设点E到边的距离为h，即可得，解得． 【详解】解：过D作于F，如图： ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵将沿折叠，点C恰好落在边上的点处， ∴， 设点E到边的距离为h，由可知点到边的距离为h， ∴， ∴， 解得， ∴点E到边的距离为； 故选：B． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 9. 因式分解：________ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解，灵活运用提取公因式法进行因式分解是解题的关键． 直接运用提取公因式法解答即可． 【详解】解：． 故答案为：． 10. 如图，一次函数（a，b为常数，）的图像分别与x轴，y轴交于点，B（0，1），则关于x的不等式的解集为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数及图像与一元一次不等式．解题的关键是从函数图像的角度看，通过比较两函数图像的高低，即比较两个函数值的大小得到对应的自变量的范围，从而确定不等式的解集．结合函数图像，写出一次函数图像不在x轴下方所对应的自变量的取值范围即可． 【详解】解：∵一次函数（a，b为常数，）的图像与x轴交于点， 即时，， ∴当时，， ∴关于x的不等式的解集为． 故答案为：． 11. 已知关于的分式方程有增根，则的值是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式方程的增根，将原方程去分母得，将其整理后再把增根代入解得的值即可．解题的关键是掌握依据分式方程的增根确定字母参数的值的一般步骤：①先将分式方程转化为整式方程；②由题意求出增根；③将增根代入所化得的整式方程，解之就可得到字母参数的值． 【详解】解：在方程两边同时乘，得：， 整理得：， ∵分式方程有增根， ∴，即， 把代入，得：， 解得：， 即的值是． 故答案为：． 12. 如图，点P在正六边形的边上运动，若，写出一个符合条件的x的值为_______． 【答案】70（答案不唯一） 【解析】 【分析】此题重点考查等边三角形的判定与性质、正多边形的性质等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 设正六边形的对称中心为点O，连接，则，所以是等边三角形，则，可证明B、O、E三点在同一条直线上，由，得，由，求得，则，推导出，写出一个满足条件的x值即可． 【详解】解：设正六边形的对称中心为点O，连接， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴B、O、E三点在同一条直线上， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵当与重合时，； 当与重合时，∠，且， ∴， 故答案为：70（答案不唯一）． 13. 如图，在中，，，，M是边上一动点，连接，将线段绕点A逆时针旋转到线段，连接，当线段最短时，线段的长度为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．由旋转的性质可得，，，即点N在过点H且与成的直线上运动，则当时，有最小值，由直角三角形的性质可求解． 【详解】解：如图，将绕点A逆时针旋转得到， ∵，，， ∴， ∴， ∵旋转， ∴，，， ∴点N在过点H且与成的直线上运动，， ∴当时，有最小值， 此时：， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题共7个小题，共61分） 14. 解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】，数轴见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，解题关键是熟练掌握解一元一次不等式组的一般步骤． 按照解一元一次不等式的一般步骤求出各个不等式的解集，然后把解集表示在数轴上，从而求出不等式组的解集． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：． 解集在数轴上表示出来为： ， 15. 先化简，再求值：，其中， 【答案】； 【解析】 【分析】本题考查的是分式的化简求值，先计算括号内分式的减法运算，再计算除法运算，最后把代入计算即可． 【详解】解： ． 当时，原式． 16. 如图是一个由24个全等的正三角形组成的正六边形网格，正三角形的顶点称为格点． （1）已知线段经过平移后，点A的对应点为图中的点，请画出平移后的线段（A，B，均在格点上）； （2）请画出线段绕点A沿顺时针方向旋转后的线段； （3）已知点M在格点上，请在网格中（包含边界）找一个格点N，连接，使得直线平分四边形的面积． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查作图−旋转变换，平移变换，等边三角形的性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题． （1）利用平移变换的性质画出图形； （2）利用旋转变换的性质画出图形； （3）经过平行四边形的中心，作出线段即可． 【小问1详解】 解：如图，线段即为所求； 【小问2详解】 如图，线段即为所求； 【小问3详解】 如图，线段即为所求． 17. 某学校为开展“阳光体育”活动，计划采购一批羽毛球拍和乒乓球拍．已知一副羽毛球拍的价格是一副乒乓球拍价格的倍，用元购买乒乓球拍的数量比购买羽毛球拍的数量多副． （1）求一副乒乓球拍的单价； （2）若学校计划购买两种球拍共副，且总费用不超过元，最多可购买多少副羽毛球拍？ 【答案】（1）元 （2）副 【解析】 【分析】本题考查了分式方程及一元一次不等式的应用，找准各数量之间的关系，正确地列出分式方程及一元一次不等式是解题的关键． （1）设一副乒乓球拍的单价是x元，则一副羽毛球拍的单价是元，由“用元购买乒乓球拍的数量比购买羽毛球拍的数量多副”列出分式方程，解方程即可； （2）设可购买m副羽毛球拍，则购买的乒乓球拍为副，根据总费用不超过元，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【小问1详解】 设一副乒乓球拍的单价是元，则一副羽毛球拍的单价是元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：一副乒乓球拍的单价是元； 【小问2详解】 由（1）可知，一副羽毛球拍的单价是（元）， 设可购买m副羽毛球拍，则购买的乒乓球拍为副， 由题意得：， 解得：， 答：最多可购买副羽毛球拍． 18. 如图，在平行四边形中，与相交于点O，延长至点E，使，连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若平分，，，求平行四边形的面积． 【答案】（1） 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵，即， ∴四边形是平行四边形； （2） 【解析】 【分析】（1）证明，，即可得出结论； （2）连接，由平行四边形的性质得出，，，再证，得出，则，然后证，由勾股定理求出，最后由三角形面积公式即可得出结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得： ， ∴， ∴平行四边形的面积为． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、平行线的性质、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理、三角形面积计算等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质、等腰三角形的性质和勾股定理是解题的关键． 19. 阅读下列材料，完成相应任务． 材料 某数学兴趣小组成员学习了平行四边形后发现：用无刻度的直尺就能画出一条平分平行四边形周长的直线．由此引发了思考：平面内其它封闭图形的周长能被一条直线平分吗？经过思考，他们认为答案是肯定的．由于一个平面图形的周长是可以度量的，那就一定能度量其一半，过这一半的两个端点就能作出这条直线．小组成员继续思考，如何通过尺规作图，作出一条直线平分任意三角形的周长呢？他们打算分以下两种情况来探究： 情况1：当直线经过三角形的一个顶点时； 情况2：当直线不经过三角形的顶点时． 【实验操作】 针对情况1，小明的想法：如图2，假设这条直线经过的顶点A，在直线上截取（点D在点B的左侧），再……将平分周长的问题转化为平分线段的问题． 针对情况2，小亮的做法：如图3，用尺规分别作出线段的中点D、E，连接，在线段上截取，连接，则直线平分的周长． 【发现结论】 通过实验操作可以发现：一个平面图形存在无数条可将其周长平分的直线． 请你根据上述材料，完成以下任务． 任务 【任务一】如图1，四边形是平行四边形，请你用无刻度的直尺画出一条平分周长的直线； 【任务二】图2是小明用尺规所作的不完整的图形，请你按小明的思路补全图形，并画出这条平分周长的直线（保留作图痕迹，不写作法，指出所求）； 【任务三】如图3，请你帮小亮同学完成证明． 【答案】【任务一】见解析；【任务二】见解析；【任务三】见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，线段中点及中位线定理等知识点，熟练掌握基本作图方法是解答本题的关键． 任务一：根据平行四边形为中心对称图形，先连接对角线找出对称中心，过对称中心的直线即平分平行四边形的周长． 任务二：通过在直线BC上截取，把三角形的周长转变为线段的长度，然后作线段的垂直平分线平分线段，得出即可为所求． 任务三：根据中位线定理得出，然后根据线段中点的性质，由证得结论． 【详解】解：任务一：如图，连接平行四边形的两条对角线和，交点为O，在平行四边形上任选点E，连接并延长交于F，根据平行四边形中心对称的性质，则平分平行四边形的周长． 任务二：根据小明的思路，如图在直线上截取，然后做线段的中垂线交为点F，过A、F两点做直线，则直线即可所求． 任务三：证明：∵D、E分别是和的中点， ∴，，， ∴， ∴平分的周长． 20. 如图1，在等腰三角形中，，D为上一点．过点B作，且，过点E作的平行线分别与的延长线交于点G，点F，连接． （1）①四边形的形状为 ； ②线段与的数量关系为 ；判断这一数量关系时，需要用到的全等三角形是 ； （2）在（1）的条件下判断与的位置关系，并证明； （3）如图2，其他条件不变，若射线恰好过的中点O，且，求证：． 【答案】（1）①平行四边形；②；； （2），证明见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】（1）①根据题意平行四边形的判定定理解答即可； ②证明，即可解答； （2）根据平行四边形的性质可得，从而得到，进而得，再由，可得，，然后结合，可得，从而得到，然后根据等腰三角形的性质解答即可； （3）连接，结合平行四边形的性质可得，从而得到四边形是矩形，再证出是线段的垂直平分线，即可解答． 【小问1详解】 解：①四边形是平行四边形；理由如下： ∵， ∴， ， ∴， ∴四边形是平行四边形， 故答案为：平行四边形； ②∵， ∵， ， ∴； 故答案为：；；； 【小问2详解】 解：与的位置关系为；理由如下： ∵四边形是平行四边形， ∴， ， ∴， ， ∵， ，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问3详解】 证明：连接， ∵四边形是平行四边形，点O是的中点， ∴点O也是的中点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ， ∵， ∴， ∴是线段的垂直平分线， ∴． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质等知识；熟练掌握以上知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广东省深圳市盐田区2024−2025学年下学期八年级期末数学试卷 一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分） 1. 近几年，我国人工智能技术迅猛发展，各种AI工具层出不穷，包含AI聊天、AI搜索、AI编程、AI绘画等多项功能．下列AI工具图标中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若，则下列不等式中正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 若分式有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 为双减赋能，某校开展劳动实践课程，协助工人测量公园假山两点A、B之间的距离.如图所示，在地面上取一点C，使C到A、B两点均可直接到达，找到和的中点D、E，测得的长为，则假山两点A、B之间的距离为（ ） A. B. C. D. 5. 下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 6. 海盗船是游乐园中的热门项目．巨大的海盗船围绕顶端横梁左右摇摆，给人们带来非常刺激的体验．小明同学绘制了海盗船在不同时刻的摇摆状态，如图所示，若将横梁视为一点，那么在小明的绘画中，横梁应在图中哪个位置？ A. 点M B. 点N C. 点P D. 点Q 7. 一个烧杯内盛有克糖水（糖完全溶解），其中含糖克．为了将糖水的含糖百分比提高到原来的倍，小丽根据这一情景列出方程，则未知数表示的意义是（ ） A. 加入的水量 B. 蒸发掉的水量 C. 增加的糖量 D. 减少的糖量 8. 如图，四边形中，，，，边上一点E满足，连接D，E．现将沿折叠，点C恰好落在边上的点处．若，，则点E到边的距离为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 9. 因式分解：________ 10. 如图，一次函数（a，b为常数，）的图像分别与x轴，y轴交于点，B（0，1），则关于x的不等式的解集为___________． 11. 已知关于的分式方程有增根，则的值是_______． 12. 如图，点P在正六边形的边上运动，若，写出一个符合条件的x的值为_______． 13. 如图，在中，，，，M是边上一动点，连接，将线段绕点A逆时针旋转到线段，连接，当线段最短时，线段的长度为_________． 三、解答题（本大题共7个小题，共61分） 14. 解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来． 15. 先化简，再求值：，其中， 16. 如图是一个由24个全等的正三角形组成的正六边形网格，正三角形的顶点称为格点． （1）已知线段经过平移后，点A的对应点为图中的点，请画出平移后的线段（A，B，均在格点上）； （2）请画出线段绕点A沿顺时针方向旋转后的线段； （3）已知点M在格点上，请在网格中（包含边界）找一个格点N，连接，使得直线平分四边形的面积． 17. 某学校为开展“阳光体育”活动，计划采购一批羽毛球拍和乒乓球拍．已知一副羽毛球拍的价格是一副乒乓球拍价格的倍，用元购买乒乓球拍的数量比购买羽毛球拍的数量多副． （1）求一副乒乓球拍的单价； （2）若学校计划购买两种球拍共副，且总费用不超过元，最多可购买多少副羽毛球拍？ 18. 如图，在平行四边形中，与相交于点O，延长至点E，使，连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若平分，，，求平行四边形的面积． 19. 阅读下列材料，完成相应任务． 材料 某数学兴趣小组成员学习了平行四边形后发现：用无刻度的直尺就能画出一条平分平行四边形周长的直线．由此引发了思考：平面内其它封闭图形的周长能被一条直线平分吗？经过思考，他们认为答案是肯定的．由于一个平面图形的周长是可以度量的，那就一定能度量其一半，过这一半的两个端点就能作出这条直线．小组成员继续思考，如何通过尺规作图，作出一条直线平分任意三角形的周长呢？他们打算分以下两种情况来探究： 情况1：当直线经过三角形的一个顶点时； 情况2：当直线不经过三角形的顶点时． 【实验操作】 针对情况1，小明的想法：如图2，假设这条直线经过的顶点A，在直线上截取（点D在点B的左侧），再……将平分周长的问题转化为平分线段的问题． 针对情况2，小亮的做法：如图3，用尺规分别作出线段的中点D、E，连接，在线段上截取，连接，则直线平分的周长． 【发现结论】 通过实验操作可以发现：一个平面图形存在无数条可将其周长平分的直线． 请你根据上述材料，完成以下任务． 任务 【任务一】如图1，四边形是平行四边形，请你用无刻度的直尺画出一条平分周长的直线； 【任务二】图2是小明用尺规所作的不完整的图形，请你按小明的思路补全图形，并画出这条平分周长的直线（保留作图痕迹，不写作法，指出所求）； 【任务三】如图3，请你帮小亮同学完成证明． 20. 如图1，在等腰三角形中，，D为上一点．过点B作，且，过点E作的平行线分别与的延长线交于点G，点F，连接． （1）①四边形的形状为 ； ②线段与的数量关系为 ；判断这一数量关系时，需要用到的全等三角形是 ； （2）在（1）的条件下判断与的位置关系，并证明； （3）如图2，其他条件不变，若射线恰好过的中点O，且，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $