精品解析：辽宁省盘锦市双台子区2024-2025学年七年级下学期期末数学试卷

双台子区2024—2025学年度第二学期期末质量检测 七年级数学试卷 （考试时间： 120分钟 试卷满分：120分） 注意：所有试题必须在答题卡上作答，在本试卷上作答无效． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列数中，比小的实数是（ ） A. B. C. D. 0 2. 随着电影《哪吒之魔童闹海》爆火，许多同学对动画设计产生了浓厚的兴趣．下列选项中，左边的图案通过平移能得到右边图案的是（ ） A. B. C. D. 3.  已知，，是实数，若，，则( ) A. B. C. D. 4. 如图是天安门广场周围的景点分布示意图的一部分，若表示“故宫”的点的坐标为，表示“电报大楼”的点的坐标为，则表示“人民大会堂”的点的坐标是( ) A B. C. D. 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列命题中，是真命题的是（ ） A. 两条直线被第三条直线所截，同位角相等 B. 相等的两个角是对顶角 C. 在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行 D. 互补的角是邻补角 7. 光线在不同介质中的传播速度不同，从一种介质射向另一种介质时会发生折射．如图是一块玻璃的、两面，且，现有一束光线从玻璃中射向空气时发生折射，折射后光线变成，为射线延长线上一点，当，时，的度数为（ ） 光线从一种介质射向另一种介质时会发生折射．如图是一块玻璃的a，b两面，且，现有一束光线从玻璃中射向空气时发生折射，光线变成，F为射线延长线上的一点．已 A. B. C. D. 8. 甲乙两家公司在去年1～8月份期间的盈利情况统计图如图所示，下列结论不正确的是（ ） A. 1～8月间甲公司的利润一直在下跌 B. 1～4月间乙公司的利润在上升 C. 在8月份，两家公司获得相同的利润 D. 乙公司在9月份的利润一定比甲公司多 9. 北魏数学家张丘建所著的《张丘建算经》中有这样一个问题：“今有客不知其数．两人共盘，少两盘；三人共盘，长三盘．问客及盘各几何？”意思为：“现有若干名客人．若2个人共用1个盘子，则少2个盘子；若3个人共用1个盘子，则多出来3个盘子．问客人和盘子各有多少？”设有x个客人，y个盘子．则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 10. 对一个实数x按如图所示的程序进行操作，计算机运行从“输入一个实数x”到“判断结果是否大于167”为一次操作，如果操作恰好进行两次停止，那么x的取值范围是（ ） A B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 36的平方根是________． 12. 在平面直角坐标系中，点在第__________象限． 13. 已知下列表格中的每组x，y的值分别是关于x，y的二元一次方程的解，则关于x的不等式的解集为_______． x … 0 1 … y … 0 1 2 3 … 14. 如图，在中，，将以每秒的速度沿所在直线向右平移，所得图形对应为，设平移时间为t，若要使成立，则t的值为_______． 15. 如图是按一定规律排成的三角形数阵，按数阵中数的排列规律，第28行从左至右第22个数是_______． 1 2 3 … … … … … 三、解答题（本大题共8小题，共75分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16. （1）计算：； （2）解方程组：． 17. （1）解不等式，并把解集在数轴上表示出来； （2）解不等式组． 18. 在平面直角坐标系中，三角形经过平移得到三角形，如图所示． （1）分别写出点，的坐标： ， ； （2）请说明三角形是由三角形经过怎样的平移得到的； （3）若点是三角形内部一点，经过平移后，点在三角形中的对应点的坐标为，求和的值． 19. 如图，直线，点在直线上，点在直线上，连接，点射线上一点． （1）求证：； （2）当时，求的度数． 20. 中国新能源产业异军突起．中国车企在政策引导和支持下，瞄准纯电、混动和氢燃料等多元技术路线，加大研发投入形成了领先的技术优势．2024年，中国新能源汽车产销量均突破1200万辆，连续10年位居全球第一．在某次汽车展览会上，工作人员随机抽取了部分参展人员进行了“我最喜欢的汽车类型”的调查活动（每人限选其中一种类型），并将数据整理后，绘制成有待完成的统计表、条形统计图和扇形统计图． 类型 人数 百分比 纯电 混动 氢燃料 油车 请根据以上信息，解答下列问题： （1）本次调查活动随机抽取了 人，表中 ， ； （2）请补全条形统计图； （3）请计算扇形统计图中“混动”类所在扇形的圆心角的度数； （4）若此次汽车展览会的参展人员共有人，请你估计喜欢新能源（纯电、混动、氢燃料）汽车的有多少人． 21. 如图所示，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，且a，b满足． （1）填空： ， ； （2）若在第四象限内有一点，用含m的式子表示三角形的面积； （3）在（2）的条件下，线段与y轴相交于点，当时，P是y轴上一动点，当满足，试求点P的坐标． 22. 根据以下素材，探索完成任务． 如何选择购买方案 素材1 某校30位同学要去参观航天展览馆，已知展览馆分为A、B、C三个场馆，且购买2张A场馆门票和3张B场馆门票共需220元，购买3张A场馆门票和2张B场馆门票共需230元，C场馆门票每张15元． 素材2 由于场地原因，每位同学只能选择一个场馆参观，且每个场馆都需要有人参观．参观当天刚好有优惠活动：每购买1张A场馆门票就赠送1张C场馆门票． 问题解决 任务1 确定场馆门票价格 （1）求A场馆和B场馆门票的价格； 任务2 设计购买方案 （2）在出发前，班长统计大家的参观意向，有一些同学的意向不确定，通过几次举手表决，发现每次统计的结果想参观B场馆的人数都是想参观A场馆人数的2倍，且想参观A场馆的人数不少于3人，而想参观C场馆的人数多于想参观A场馆的人数，由于班级可用经费仅有750元，请你帮班长算一算能符合上述条件的所有购买方案； 任务3 选择最优购买方案 （3）如果仅从经费使用情况角度来分析，你觉得选择任务2中的哪个方案更好，请说明理由． 23. 长江汛期来临之前，为了便于夜间查看江水及两岸河堤的情况，在笔直且平行的长江两岸河堤，上安装了两盏激光探照灯如图所示．光线按顺时针方向以每秒的速度从旋转至便立即回转；光线按顺时针方向以每秒的速度从旋转至便立即回转． （1）若两灯同时旋转，灯发出的光线顺时针旋转到，然后回转到时，两灯同时停止旋转． ① 当两灯旋转秒时，判断光线所在直线与光线所在直线的位置关系，并说明理由； ② 除①中情况之外，两灯发出光线所在直线还能否形成与①相同的位置关系？若能，请求出此时灯的旋转时间；若不能，请说明理由． （2）如果灯先旋转秒，灯才开始旋转．在灯发出的光束第一次到达之前，请直接写出灯旋转多少秒时，光线所在直线与光线所在直线平行． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 双台子区2024—2025学年度第二学期期末质量检测 七年级数学试卷 （考试时间： 120分钟 试卷满分：120分） 注意：所有试题必须在答题卡上作答，在本试卷上作答无效． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列数中，比小的实数是（ ） A. B. C. D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了实数比较大小，比较各选项与的大小关系，再逐一判断各选项是否更小． 详解】解： ∴比小的实数是 故选：A． 2. 随着电影《哪吒之魔童闹海》的爆火，许多同学对动画设计产生了浓厚的兴趣．下列选项中，左边的图案通过平移能得到右边图案的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查图形的平移，解题的关键是掌握：平移的特征：平移由移动方向和距离决定，不改变方向、形状以及大小．据此判断即可． 【详解】解：A．右边图案不是左边图案平移得到，故此选项不符合题意； B．右边图案不是左边图案平移得到的，故此选项不符合题意； C．左边的图案通过平移能得到右边图案，故此选项符合题意； D．右边图案不是左边图案平移得到的，故此选项不符合题意． 故选：C． 3.  已知，，实数，若，，则( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．根据不等式的进行判定即可． 【详解】解：是实数，若，， ，故选项A错误； ，故选项B错误； 若，，则，则，故选项C正确； ，故选项D错误． 故选C． 4. 如图是天安门广场周围的景点分布示意图的一部分，若表示“故宫”的点的坐标为，表示“电报大楼”的点的坐标为，则表示“人民大会堂”的点的坐标是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了坐标确定位置，直接利用已知点坐标得出原点位置进而得出答案． 【详解】解：如图所示：表示“人民大会堂”的点的坐标为：． 故选：B． 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】本题考查算术平方根与立方根的性质．根据算术平方根的非负性及立方根的符号性质，逐一分析各选项即可． 【分析】解：A． ，故该选项不正确，不符合题意； B． ，故该选项不正确，不符合题意； C． ，故该选项不正确，不符合题意； D． ，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 6. 下列命题中，是真命题的是（ ） A. 两条直线被第三条直线所截，同位角相等 B. 相等的两个角是对顶角 C. 在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行 D. 互补的角是邻补角 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了判断真假命题；根据平行线的性质、对顶角、邻补角的定义以及平行线的判定定理逐一分析各选项的正确性． 【详解】解：A． 两条直线被第三条直线所截，只有当这两条直线平行时，同位角才相等．若直线不平行，同位角不一定相等，故A是假命题． B． 对顶角一定相等，但相等的角未必是对顶角（如平行线中的同位角），故B是假命题． C． 在同一平面内，若两条直线都垂直于同一条直线，则它们的方向相同，根据平行线判定定理可知这两条直线互相平行，故C是真命题． D． 互补的角指两角之和为，但邻补角还需满足相邻且有公共边的条件．互补的角不一定相邻（如平行线间的同旁内角），故D是假命题． 综上，只有选项C为真命题． 故选：C． 7. 光线在不同介质中的传播速度不同，从一种介质射向另一种介质时会发生折射．如图是一块玻璃的、两面，且，现有一束光线从玻璃中射向空气时发生折射，折射后光线变成，为射线延长线上一点，当，时，的度数为（ ） 光线从一种介质射向另一种介质时会发生折射．如图是一块玻璃的a，b两面，且，现有一束光线从玻璃中射向空气时发生折射，光线变成，F为射线延长线上的一点．已 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，解题的关键是掌握两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补．先根据平行线的性质得出，进而得出，即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 8. 甲乙两家公司在去年1～8月份期间的盈利情况统计图如图所示，下列结论不正确的是（ ） A. 1～8月间甲公司的利润一直在下跌 B. 1～4月间乙公司的利润在上升 C. 在8月份，两家公司获得相同的利润 D. 乙公司在9月份的利润一定比甲公司多 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查从折线统计图中获取数据做出分析的能力，正确识图获取数据是做出判断的前提和关键．根据折线统计图中所反映的数据增减变化情况，做出判断即可． 【详解】解：A、由图可知甲公司的盈利一直在下跌，说法正确，故选项不符合题意； B、由图可知乙公司的盈利在1月份至4月份期间持续上升，说法正确，故选项不符合题意； C、在8月份，两家公司获得相同的盈利，说法正确，故选项不符合题意； D、因为折线统计图不能预测趋势，所以乙公司在9月份的盈利不一定比甲的多，说法错误，故选项符合题意． 故选：D． 9. 北魏数学家张丘建所著的《张丘建算经》中有这样一个问题：“今有客不知其数．两人共盘，少两盘；三人共盘，长三盘．问客及盘各几何？”意思为：“现有若干名客人．若2个人共用1个盘子，则少2个盘子；若3个人共用1个盘子，则多出来3个盘子．问客人和盘子各有多少？”设有x个客人，y个盘子．则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程的应用，设有x个客人，y个盘子，根据题意列二元一次方程组即可，找到正确的等量关系是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得， 故选D． 10. 对一个实数x按如图所示的程序进行操作，计算机运行从“输入一个实数x”到“判断结果是否大于167”为一次操作，如果操作恰好进行两次停止，那么x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了程序流程图，一元一次不等式组的应用，根据程序运行一次的结果小于等于，运行两次的结果大于，可得出关于的一元一次不等式组，求解即可，正确列出一元一次不等式组是解题的关键． 【详解】解：根据题意可得， ， 解得：， 故选：D． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 36的平方根是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求一个数的平方根． 根据平方根的定义求解即可． 【详解】解：36的平方根是， 故答案为：． 12. 在平面直角坐标系中，点在第__________象限． 【答案】一 【解析】 【分析】本题主要考查平面直角坐标系中各象限内点的坐标的符号．记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限． 【详解】解：点的横坐标，纵坐标， 点在第一象限． 故答案为：一． 13. 已知下列表格中的每组x，y的值分别是关于x，y的二元一次方程的解，则关于x的不等式的解集为_______． x … 0 1 … y … 0 1 2 3 … 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程的解以及一元一次不等式的求解，解题的关键是先求出的值，确定方程的表达式，再解不等式． 先选取两组的值代入二元一次方程，求出，得到的表达式，再解不等式． 详解】解：选取表格中两组值，比如当时，；当时，， 代入中，得到方程组， 把代入，得，解得， 所以二元一次方程为，即为， 解不等式， 移项可得，即， 综上，关于的不等式的解集为， 故答案为：． 14. 如图，在中，，将以每秒的速度沿所在直线向右平移，所得图形对应为，设平移时间为t，若要使成立，则t的值为_______． 【答案】3或9 【解析】 【分析】本题考查平移的性质，根据平移的性质，得到，分点在线段上，点在线段的延长线上，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：由平移可得， 当点在线段上时，则：， ∵， ∴， ∴； 当点在线段的延长线上时，则：， ∵ ∴， ∴； 综上：或． 故答案为：3或9． 15. 如图是按一定规律排成的三角形数阵，按数阵中数的排列规律，第28行从左至右第22个数是_______． 1 2 3 … … … … … 【答案】20 【解析】 【分析】本题主要考查数字的变化规律类，解题的关键是根据题意得出第n行最后一个数为．图形可知，第n行最后一个数为=，据此可得答案． 【详解】解：由图形可知，第n行最后一个数为=， ∴第27行最后一个数为， 则第28行从左至右第22个数， 故答案为：20． 三、解答题（本大题共8小题，共75分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16. （1）计算：； （2）解方程组：． 【答案】（1）0；（2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算和解二元一次方程组，解题的关键是掌握立方根、绝对值的性质以及解方程组的消元方法。 （1）分别计算立方根、绝对值，再进行乘法和加减运算； （2）使用加减消元法求解即可。 【详解】解： 解：（1） ； （2） ，得：③ ，得：， 解得：， 把代入，得， 解得：， 所以这个方程组的解是． 17. （1）解不等式，并把解集在数轴上表示出来； （2）解不等式组． 【答案】（1），见解析；（2） 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式及一元一次不等式组的求解，解题的关键是掌握解不等式（组）的基本步骤，即去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1． （1）解一元一次不等式，按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解，再在数轴上表示解集； （2）分别解不等式组中的两个不等式，再取它们的公共部分得到不等式组的解集． 【详解】解：（1） ， 这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示： （2） 解不等式，得：， 解不等式，得：， 把不等式和的解集在数轴上表示出来． 所以该不等式组的解集为． 18. 在平面直角坐标系中，三角形经过平移得到三角形，如图所示． （1）分别写出点，的坐标： ， ； （2）请说明三角形是由三角形经过怎样的平移得到的； （3）若点是三角形内部一点，经过平移后，点在三角形中的对应点的坐标为，求和的值． 【答案】（1），； （2）是由先向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到的； （3）， ． 【解析】 【分析】本题主要考查了图形的平移、用坐标表示点的位置． 由网格图可知，点的坐标为，点的坐标为； 根据点的坐标为，点的坐标为，可得是由先向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到的； 根据点的坐标和平移的方向、距离，可知平移后点的对应点的坐标为，又因为对应点的坐标为，可以得到关于、的方程，解方程即可求出和的值． 【小问1详解】 解：由图可知，点的坐标为，点的坐标为， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：，， 是由先向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到的； 【小问3详解】 解：点向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度， 随着平移后的横坐标为，纵坐标为， 平移后点的坐标为， 又点的坐标为， 可得：， 解得：． 19. 如图，直线，点在直线上，点在直线上，连接，点是射线上一点． （1）求证：； （2）当时，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，以及角度的计算，解题的关键是利用平行线的性质找到角之间的关系，通过设未知数来求解角度． （1）利用平行线的性质和已知角的关系，证明，从而得出； （2）根据平行线的性质以及求出，再根据，求解出，进而求出的度数． 【小问1详解】 证明：∵ ， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， ， 由（1）知， ， ， ， ， ， ， 答：的度数为． 20. 中国新能源产业异军突起．中国车企在政策引导和支持下，瞄准纯电、混动和氢燃料等多元技术路线，加大研发投入形成了领先的技术优势．2024年，中国新能源汽车产销量均突破1200万辆，连续10年位居全球第一．在某次汽车展览会上，工作人员随机抽取了部分参展人员进行了“我最喜欢的汽车类型”的调查活动（每人限选其中一种类型），并将数据整理后，绘制成有待完成的统计表、条形统计图和扇形统计图． 类型 人数 百分比 纯电 混动 氢燃料 油车 请根据以上信息，解答下列问题： （1）本次调查活动随机抽取了 人，表中 ， ； （2）请补全条形统计图； （3）请计算扇形统计图中“混动”类所在扇形的圆心角的度数； （4）若此次汽车展览会的参展人员共有人，请你估计喜欢新能源（纯电、混动、氢燃料）汽车的有多少人． 【答案】（1），，； （2）见解析 （3） （4）人 【解析】 【分析】本题考查统计表、条形统计图和扇形统计图的综合，理解题意，能从统计图中获取有用信息是解答的关键． （1）用喜欢油车人数除以其所占的百分比可求得调查人数，用喜欢纯电人数除以调查人数可求得，进而求得的值，再求得的值，即可求解； （2）根据（1）的结论，即可补全条形统计图； （3）用度乘以喜欢混动所占的百分比即可求解； （4）用总人数乘以样本中喜欢新能源汽车所占的百分比即可求解． 【小问1详解】 解：本次调查活动随机抽职人数为（人）， ∴，则， ， ∴，则 故答案为：，，； 【小问2详解】 解：由（1）得，本次调查活动随机抽取人数为人， “混动”类人数为（人）， 补全条形统计图如图， 【小问3详解】 解：由（1）得，“混动”类所占比为， ∴“混动”类所在扇形的圆心角的度数为； 【小问4详解】 解：（人）， 答：估计喜欢新能源（纯电、混动、氢燃料）汽车的有人． 21. 如图所示，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，且a，b满足． （1）填空： ， ； （2）若在第四象限内有一点，用含m的式子表示三角形的面积； （3）在（2）的条件下，线段与y轴相交于点，当时，P是y轴上一动点，当满足，试求点P的坐标． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查了非负数的性质、平面直角坐标系中三角形面积的计算，解题的关键是利用非负数性质求出a、b的值，再结合坐标与图形性质计算三角形面积． （1）根据非负数的性质，两个非负数的和为0，则这两个非负数分别为0，求出a、b的值； （2）先求出的长度，再根据点的坐标确定三角形的高，最后利用三角形面积公式计算； （3）设出点坐标，求出，由（2）知，再结合已知面积关系求出，利用三角形面积公式列方程求解． 【小问1详解】 解：由题意可得： 解，得， 解，得， 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵点在第四象限， ， ∵点A，B的坐标分别为 ； 【小问3详解】 解：设点的坐标为， 点， ∵ ∴ 由（2）知， ， ， ， ， ， 解得：或，故点的坐标为或． 22. 根据以下素材，探索完成任务． 如何选择购买方案 素材1 某校30位同学要去参观航天展览馆，已知展览馆分为A、B、C三个场馆，且购买2张A场馆门票和3张B场馆门票共需220元，购买3张A场馆门票和2张B场馆门票共需230元，C场馆门票每张15元． 素材2 由于场地原因，每位同学只能选择一个场馆参观，且每个场馆都需要有人参观．参观当天刚好有优惠活动：每购买1张A场馆门票就赠送1张C场馆门票． 问题解决 任务1 确定场馆门票价格 （1）求A场馆和B场馆门票的价格； 任务2 设计购买方案 （2）在出发前，班长统计大家的参观意向，有一些同学的意向不确定，通过几次举手表决，发现每次统计的结果想参观B场馆的人数都是想参观A场馆人数的2倍，且想参观A场馆的人数不少于3人，而想参观C场馆的人数多于想参观A场馆的人数，由于班级可用经费仅有750元，请你帮班长算一算能符合上述条件的所有购买方案； 任务3 选择最优购买方案 （3）如果仅从经费的使用情况角度来分析，你觉得选择任务2中的哪个方案更好，请说明理由． 【答案】（1）A场馆和B场馆门票的价格分别为50元/张、40元/张； （2）有两种购买方案，见解析； （3）选择方案一省钱，见解析 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的求解，正确列出二元一次方程组以及不等式是解决本题的关键． （1）先设出未知数，根据题目已知信息列二元一次方程组求解即可． （2）先设出未知数，根据题目已知信息可知，再具体求解a的取值范围，由此可得a取3或4，再根据a的取值即可求解方案． （3）分别计算出方案一和方案二的花费，即可判断． 【详解】（1）解：设A场馆和B场馆门票的价格分别为x元/张、y元/张， 购买2张A场馆门票和3张B场馆门票共需220元， 购买3张A场馆门票和2张B场馆门票共需230元， 依题意得：， 解得：， 答：A场馆和B场馆门票的价格分别为50元/张、40元/张． （2）解：设采购买A场馆门票a张，则购买B场馆门票2a张，购买C场馆门票张． ∵想去A场馆的人数不少于3人， ∴， ∵想参观C场馆的人数多于想参观A场馆的人数， ∴，解得， 依题意得：， 解得：， ∴， ∵a是整数， ∴a取3或4， ∴有两种购买方案， 方案一：购买A场馆门票3张，则购买B场馆门票6张，购买C场馆门票张； 方案二：购买A场馆门票4张，则购买B场馆门票8张，购买C场馆门票张． （3）解：选方案一，理由如下， 理由：方案一：元， 方案二：元， ∵， ∴选择方案一省钱． 23. 长江汛期来临之前，为了便于夜间查看江水及两岸河堤的情况，在笔直且平行的长江两岸河堤，上安装了两盏激光探照灯如图所示．光线按顺时针方向以每秒的速度从旋转至便立即回转；光线按顺时针方向以每秒的速度从旋转至便立即回转． （1）若两灯同时旋转，灯发出的光线顺时针旋转到，然后回转到时，两灯同时停止旋转． ① 当两灯旋转秒时，判断光线所在直线与光线所在直线的位置关系，并说明理由； ② 除①中情况之外，两灯发出光线所在直线还能否形成与①相同的位置关系？若能，请求出此时灯的旋转时间；若不能，请说明理由． （2）如果灯先旋转秒，灯才开始旋转．在灯发出的光束第一次到达之前，请直接写出灯旋转多少秒时，光线所在直线与光线所在直线平行． 【答案】（1）①，理由见解析；②能，秒或秒 （2）秒或秒或秒或秒 【解析】 【分析】（）①设与相交于点，过点作，可得，利用平行线的性质可得，即可求解；②设灯的旋转时间为秒，分回转时和回到时两种情况解答即可求解； （）设灯旋转秒，光线所在直线与光线所在直线平行，分四种情况，利用平行线的性质列出方程解答即可； 本题考查了平行线的判定和性质，一元一次方程的应用，理解题意是解题的关键． 【小问1详解】 解：①，理由如下： 如图，设与相交于点，过点作， ∵， ∴， 两灯旋转秒时，，， ∵， ∴，， ∴， ∴； ②能．设灯的旋转时间为秒， 如图，当回转时，，设与相交于点，过点作， ∵， ∴， 由题意可得，，， ∵， ∴，， ∵， ∴， 即， 解得； 当回到时，如图， ， ∴，此时； 综上，除①中情况之外，当灯的旋转秒或秒时，两灯发出光线所在直线还能垂直； 【小问2详解】 解：设灯旋转秒，光线所在直线与光线所在直线平行， 如图，当到达前与平行，设与相交于点， 由题意得，，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 解得； 如图，当到达后回转时与平行，设与相交于点， 则，， 同理上可得，， 即， 解得； 如图，当回转到后再次往旋转与平行，设与相交于点， 则，， 同理可得，， 即， 解得； 如图，当再次到达后回转与平行，设与相交于点， 则，， 同理可得，， 即， 解得； 综上，灯旋转秒或秒或秒或秒时，光线所在直线与光线所在直线平行． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$