精品解析：福建省莆田市荔城区2024-2025学年八年级下学期期末数学质量检测数学试题

2024-2025 学年荔城区八年级下学期期末质量检测 数学试题 一．选择题 1. 下列各数中，能使二次根式在实数范围内有意义的是（　　） A. B. 0 C. π D. 7 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件． 根据二次根式有意义的条件求出，再验证选项即可． 【详解】解：要使二次根式在实数范围内有意义，需满足被开方数，解得． 选项A：，不符合； 选项B：，不符合； 选项C：，不符合； 选项D：，符合条件； 故选：D． 2. 若y关于x的函数是正比例函数，则m应满足的条件是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正比例函数的定义．根据正比例函数的定义，形如（为常数且）的函数是正比例函数作答即可． 【详解】∵y关于x的函数是正比例函数， ∴ 故选：B 3. 在学校开展的环保主题实践活动中，某小组的5位同学捡拾废弃塑料袋的个数分别为：4，6，8，7，7，这组数据的众数，中位数分别为（ ） A. 6，7 B. 7，6 C. 7，7 D. 7，8 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中位数、众数，解题的关键是掌握中位数、众数的概念，并会求一组数值的中位数、众数．将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数，一组数据中出现次数最多的数值，叫众数．根据这两个定义解答即可． 【详解】解：这组数据中出现次数最多的是数据7， 所以这组数据的众数为7， 将数据重新排列为4，6，7，7，8， 则这组数据的中位数为7， 故选：C． 4. 如图，数学兴趣小组想测量湖面的宽度，在湖面外任意取点，先连接和，接着分别取和的中点，，测得的长为，则的宽度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形中位线定理中的数量关系：三角形的中位线等于第三边的一半．先确定是的中位线，则． 【详解】解：点，是和的中点， 是的中位线， ， 故选：B． 5. 下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查直角三角形的判定方法． 根据勾股定理逆定理和三角形内角和定理计算即可． 【详解】A． 由可知总份数为12，最大角，是锐角三角形，不能判定为直角三角形； B． 由，符合勾股定理逆定理，c为斜边，能判定为直角三角形； C． ，代入内角和得，故，能判定为直角三角形； D． 边比为，验证得，满足勾股定理，能判定为直角三角形； 故选A． 6. 下列命题中正确的是（　　） A. 对角线互相垂直的平行四边形是矩形 B. 对角线相等的平行四边形是菱形 C. 对角线相等的菱形是正方形 D. 对角线相等的四边形是平行四边形 【答案】C 【解析】 【分析】根据特殊四边形的判定方法逐一判断即可． 【详解】解：A、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，本选项错误，不符合题意; B、对角线相等的平行四边形是矩形，本选项错误，不符合题意， C、对角线相等的菱形是正方形，正确，符合题意 D、对角线相等的四边形不一定是平行四边形，本选项错误，不符合题意， 故选：C． 【点睛】本题考查矩形的判定、菱形的判定、正方形的判定、平行四边形的判定，熟练掌握特殊四边形的判定方法是解答的关键． 7. 如图，在中，对角线、相交于点O，经过点O，交于E，交于F，若，，，则四边形的周长为（　　） A. 10 B. 12 C. 14 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的性质与判定，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．根据平行四边形的性质推出，得出，，再结合，即可求解． 【详解】解：， ，，，， ， 又， ， ，， ， 的周长为20， 四边形的周长 ． 故选：C． 8. 某食用油的沸点温度远高于水的沸点温度．为了了解其沸点，小聪先在锅中倒入一些这种食用油并均匀加热，然后测量锅中油温，得到了时间（）与油温（）对应关系如下表：当加热到时食用油沸腾了，那么该食用油的沸点温度是（　　） 时间t/ 0 10 20 30 40 油温y/ 10 30 50 70 90 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用．由表格数据可知，油温随时间呈线性变化，设油温y与时间t的函数关系为，利用表格中数据求出k和b，再代入计算即可． 【详解】观察表格，可知油温随时间呈线性变化，设油温y与时间t的函数关系为， 将，代入得： ， 解得：， 即油温y与时间t的函数关系为， 将代入得， 故选：C． 9. 如图，小浙同学用长度相等的四根木条制作了可活动的四边形学具，改变其内角度数，四边形可变为四边形，若，，则的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了正方形，菱形的判定与性质，勾股定理，含角直角三角形的性质，分母有理化等知识，解题的关键是掌握以上知识点．首先证明出四边形是正方形，设正方形的边长为a，然后利用勾股定理求出，连接，过点作交的延长线于点E，得到，然后利用勾股定理求出，进而求解即可． 【详解】解：∵小浙同学用长度相等的四根木条制作了可活动的四边形学具， ∴四边形是菱形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴设正方形的边长为a ∴ ∴ 如图所示，连接，过点作交的延长线于点E ∵， ∴ ∴ ∴ ∴， ∴ ∴． 故选：A． 10. 某校开展数学文化节，向同学们征集文化节，小明利用古希腊医学家希波克拉底所画图形进行设计．如图，分别以的边，，为直径向外画半圆．若要求的面积，只要知道（　　） A. 月形图形的面积 B. 月形图形的面积 C. 月形图案的面积与月形图案的面积之差 D. 月形图案的面积与月形图案的面积之和 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了圆的面积公式、三角形的面积公式、勾股定理、解方程等知识，熟记面积公式，利用割补法和整体思想解决问题是解答的关键．记，，，，再分别表示三个半圆面积，结合勾股定理可得答案． 【详解】解：记，，，， 以为的直径的半圆面积 以为直径的半圆面积， 以为直径的半圆面积 ∵， ∴ ∴(阴影阴影) ∴阴影阴影， ∴要求的面积，只要知道月形图案的面积与月形图案的面积之和． 故选D 二．填空题 11. 将直线向上平移2个单位长度，平移后直线的解析式为______． 【答案】 【解析】 【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的平移规律求解即可． 【详解】解：将直线y=2x向上平移2个单位长度，平移后直线的解析式为y=2x+2． 故答案为：y=2x+2． 【点睛】本题考查图形的平移变换和函数解析式之间的关系，在平面直角坐标系中，平移后解析式有这样一个规律“左加右减，上加下减”． 12. 命题“如果两个实数相等，那么它们的平方相等”的逆命题是________命题．（填“真”或“假”）． 【答案】假 【解析】 【分析】根据逆命题的概念写出逆命题，再根据实数的平方的概念判断即可． 【详解】解：命题“如果两个实数相等，那么它们的平方相等”的逆命题是“如果两个实数的平方相等，那么这两个实数也相等”，则这个逆命题是假命题； 例如：，但； 故答案为：假． 【点睛】本题考查的是命题的真假判断、逆命题的概念，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题；判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 13. 在学校运动会跳高比赛中，新手的表现通常不太稳定，小李对五轮比赛后甲、乙两位选手的比赛成绩进行了收集和分析，并绘制了如图所示的折线统计图，则根据图中信息判断可能是新手的是_______（填“甲”或“乙”） 【答案】乙 【解析】 【分析】本题考查了方差的意义、折线统计图等知识点，理解方差是用来衡量一组数据波动大小的量是解题的关键． 根据方差的意义即数据波动越小，数据越稳定即可求解即可． 【详解】解：通过折线统计图中数据的波动范围可知，乙的波动范围较大，所以，乙可能是新手，通过方差进行验证如下： （分） （分） ∵ ∴可能是新手的是乙， 故答案为：乙． 14. 如图，直线与直线相交于点，则关于x的不等式的解集是_________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根据一次函数的图象确定不等式的解集，解题关键是能根据不等式结合函数图象求解． 根据不等式的意义，及它们的交点，即可得出不等式的解集． 【详解】解：由两个一次函数图象的交点可知，交点的左侧直线在直线的上方， ∴当时，， 故答案为：． 15. 我国南宋著名数学家秦九韶和古希腊几何学家海伦分别提出利用三角形的三边求面积的公式并加以证明，人们把这个公式称为海伦﹣秦九韶公式．即如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么三角形的面积．若的三边长分别为4，5，7，利用海伦﹣秦九韶公式可求出的面积为______________ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的应用和数学常识，解题的关键是读懂题意，利用材料中提供的公式解答，难度不大．根据a，b，c的值求得，然后将其代入三角形的面积求值即可． 【详解】解：由的三边长分别为4，5，7， 得． ∴三角形的面积． 故答案为：． 16. 如图，在中，相交于点O，，过点B作于点E，若，则_______ 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，勾股定理，过点A 作垂直交延长线于点F，设为x，为y，则为，证明四边形为平行四边形，得到，，用勾股定理表示出，根据，列出方程进行求解即可． 【详解】解：过点A 作垂直交延长线于点F， 设为x，为y，则为， ∵， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∴ ， ∵ ∴， 解得，即， 故答案为：5． 三．解答题 17. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法和除法混合运算．先算二次根式乘除法，再算减法即可求解． 【详解】解： ． 18. 如图，在中，点E，F分别在，上，且．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，掌握平行四边形的性质与判定是解题的关键． 根据平行四边形的性质推出，再结合即可证明四边形是平行四边形． 【详解】四边形是平行四边形， ，即， 又， 四边形是平行四边形． 19. 已知关于的一次函数： （1）若随的增大而增大，求的取值范围； （2）若该一次函数与正比例函数的图象交于点，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查一次函数综合，涉及一次函数图象与性质、一次函数与正比例函数图象交点问题等，熟练掌握一次函数图象与性质及一次函数相关题型的解法是解决问题的关键． （1）由一次函数中随的增大而增大，得到，求不等式的解集即可得到答案； （2）由一次函数与正比例函数的图象交于点，先由待定系数法求出，再将坐标代入一次函数解方程求出的值． 【小问1详解】 解：∵关于的一次函数中，随的增大而增大， ∴ ， 解得； 【小问2详解】 解：正比例函数的图象过点， ∴，即， ∵一次函数与正比例函数的图象交于点， ∴， 解得． 20. 2025年6月6日是第30个全国“爱眼日”，某数学兴趣小组开展了“笔记本电脑的张角大小、顶部边缘离桌面的高度与用眼舒适度关系”的实践探究活动． （1）如图，当张角时，顶部边缘A处离桌面的高度的长为，此时用眼舒适度不太理想，求笔记本电脑屏幕宽度的长； （2）小组成员调整张角大小继续探索，当张角调整为某个特定角时（点是点A的对应点），用眼舒适度较为理想．调整后，此时顶部边缘与A的水平距离，求此时顶部边缘处离桌面的高度的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理的应用，含30度角直角三角形的性质，解题的关键是掌握以上知识点． （1）首先求出，然后利用含30度角直角三角形的性质求解即可； （2）勾股定理求出，然后求出，然后利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：∵ ∴ 在中， ∵ ∴ ∴笔记本电脑屏幕宽度为； 【小问2详解】 在中，根据勾股定理得 ∵ ∴ ∵ 且 在中根据勾股定理得 ∴此时顶部边缘处离桌面的高度的长为． 21. 为了庆祝中国共产党建党100周年，某校开展了学党史知识竞赛．参加知识竞赛的学生分为甲乙两组，每组学生均为20名，赛后根据竞赛成绩得到尚不完整的统计图表（如图），已知竞赛成绩满分为100分，统计表中a，b满足． 请根据所给信息，解答下列问题： 甲组20名学生竞赛成绩统计表 成绩（分） 70 80 90 100 人数 3 a b 5 （1）求统计表中a，b的值； （2）小明按以下方法计算甲组20名学生竞赛成绩的平均分是：（分）．根据所学统计知识判断小明的计算是否正确，若不正确，请写出正确的算式并计算出结果； （3）如果依据平均成绩确定竞赛结果，那么竞赛成绩较好的是哪个组？请说明理由． 【答案】（1）； （2）不正确， 正确的算法：甲组20名学生竞赛成绩的平均分是： （分） （3）甲组成绩好，理由： 根据扇形统计图可知，乙组学生竞赛成绩为70分，80分，90分，100分的人数占乙组总人数的百分比分别为40%，25%，25%，10%． 所以乙组20名学生竞赛成绩的平均分是：（分） 因为，所以甲组竞赛成绩较好． 【解析】 【分析】（1）根据总人数为20人与，求出a，b的值； （2）根据加权平均数公式 判断出原结果是错误的，计算出正确结果； （3）算出甲乙两组的平均成绩进行比较，得出结论． 【详解】解：（1）根据题意，得，解得， （2）略 （3）略 【点睛】此题主要考查了扇形统计图、统计表的意义和表示数据的特征，理解平均数的意义是正确解答的前提． 22. 2025年6月，全国各地持续高温催生“清凉消费”热潮，空调、冰箱等制冷家电需求激增，某商城为积极响应群众迫切需求，切实保障市场供应，计划批量采购冰箱和空调．已知每台冰箱的进价比每台空调的进价多400元，商城购进6台冰箱和10台空调刚好花费28000元． （1）求每台冰箱与空调的进价分别是多少？ （2）已知冰箱的销售价为每台2100元，空调的销售价为每台1750元，现商城准备购进这两种家电共100台，要求购进空调数量不超过冰箱数量的3倍，则该商城购进冰箱、空调各多少台才能获得最大利润？最大利润为多少？ 【答案】（1）每台电冰箱进价为2000元，每台空调进价为1600元 （2）当购进冰箱25台，空调75台获利最大，最大利润为13750元 【解析】 【分析】本题主要考查一元一次方程和一次函数的应用，根据题意确定相等关系并据此列出方程和函数解析式是解题的关键． （1）设每台冰箱的进价为x元，每台空调的进价为元，根据题意，列出方程，即可求解； （2）设购进冰箱a台，利润为y元，根据题意，列出函数关系式，再求出a的取值范围，然后根据一次函数解析式解答，即可． 【小问1详解】 解：设每台冰箱的进价为x元，每台空调的进价为元， 由题意得，， 解得 ， 此时， 答：每台电冰箱进价为2000元，每台空调进价为1600元． 【小问2详解】 解：设购进冰箱a台，利润为y元， 由题意可得， ， 根据题意得： ， 解得：， ∵， ∴y随a的增大而减小， ∴当时，y取得最大值，最大值为元 ， 此时台， 答：当购进冰箱25台，空调75台获利最大，最大利润为13750元． 23. 阅读与思考：下面是小逸同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务． 作矩形的最大内接菱形的方法 顶点在矩形边上的菱形叫做矩形的内接菱形．在实践活动课上，数学老师提出来一个问题“如何从一张矩形纸片中制作出一个最大的内接菱形”．实践小组成员经过思考后，分别给了3种不同的方法． 方法一：通过折，将矩形纸片横对折后再竖对折，沿对角线剪一刀得到一个直角三角形，展开后就是菱形（如图1），则四边形是矩形的内接菱形． 方法二：通过叠，取两个大小一样的矩形纸片，让两矩形的长两两相交，重叠的部分形成四边形，则四边形也是矩形的内接菱形．（如图2） 方法三：通过尺规作图，作矩形的对角线的垂直平分线，与边交于点E，与边交于F，连接，，则四边形是矩形的内接菱形． 实践小组通过三种方法得到的菱形进行分析，讨论，计算，对比，从而得出矩形的最大内接菱形． 任务： （1）图一菱形的面积与矩形的面积之比为 （2）尺规作图：请你在图3中完成日记中的“方法三”的作图过程．（保留作图痕迹，不要求写作法） （3）若在矩形中，，，请你根据日记中三种方法，通过计算求出此矩形的内接菱形的面积最大值． 【答案】（1） （2） 四边形即为所求： （3）60 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，菱形的性质，尺规作图作垂直平分线，勾股定理解三角形，由勾股定理求解出菱形边长，并熟练掌握菱形面积的求法，“底乘高”与“对角线乘积的一半”求解菱形的面积是解决本题的关键． （1）由矩形和菱形的面积公式计算即可； （2）根据垂直平分线的尺规作图的方法，以线段的两个端点为圆心，大于线段一半长度为半径画弧，连接两弧交点，即可画出垂直平分线； （3）方法一：根据（1）中结论，计算出矩形矩形的面积即可得菱形的面积；方法二：根据勾股定理求出菱形的边长，由底乘高计算菱形的面积即可；方法三：由方法二同理可求菱形的面积，比较三种方法菱形的面积即可得． 【小问1详解】 解：∵，， ∴，， ∴菱形的面积与矩形的面积之比为； 故答案为：； 【小问2详解】 解：先连接对角线， 以点A为圆心，大于线段一半长度为半径画弧， 以点C为圆心，同样长度为半径画弧，两弧交于M，N两点， 连接M，N两点，所得直线与边交于点E，与边交于点F， 【小问3详解】 解：方法一：在矩形中，，， ∴， 由（1）可知，菱形的面积与矩形的面积之比为， ∴菱形的面积为； 方法二：设菱形边长为x，即， ∵，， ∴， 在中，， 即，解得， ∴菱形边长为10， ∴菱形的面积为； 方法三：由方法二可知，同理可得菱形边长为10， ∴菱形的面积为； ∵， ∴此矩形的内接菱形的面积最大值为60． 24. 定义：一次函数是一次函数的“倍函数”，已知直线的解析式为，直线是直线的“倍函数”． （1）请直接写出的解析式； （2）如图，直线与轴，轴分别交于点，，直线与轴交于点． ①直线上有一点且在第一象限，若直线，直线与轴无法围成三角形，，求点的坐标； ②若点是轴上一个动点，当时，求直线的解析式 【答案】（1） （2）①；②或 【解析】 【分析】（1）根据新定义可得函数表达式； （2）①根据直线，直线与轴无法围成三角形，得，即，证明四边形为平行四边形，得，，确定，得，求出，，再根据在第一象限，可得结论； ②分两种情况：点在轴负半轴上；点在轴的正半轴上，分别求解即可． 【小问1详解】 解：∵直线是直线的“倍函数”， ∴的解析式为； 【小问2详解】 ① ∵直线，直线与轴无法围成三角形，直线上有一点且在第一象限， ∴，即，如图， 又∵， ∴四边形为平行四边形， ∴，， ∵直线与轴交于点， 当时，得：， ∴， ∴， ∵直线与轴，轴分别交于点，， 当时，得：；当时，得：， ∴，， 又∵在第一象限， ∴； ②若点在轴负半轴上， ∵，，，，， ∴， ∴ 是等腰直角三角形， ∴， 过点作交于点，过点作轴的平行线，过点作于点，过点作于点， ∴是等腰直角三角形，，， ∴，，，， ∵， ∴， 在和中，， ∴ ， ∴，， 又∵点在第三象限， ∴， 设直线的解析式为， 代入点，，得， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，得：， ∴， ∴； 若点在轴的正半轴上，设为点，则， ∵，即， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 代入点，，得， 解得：， ∴直线的解析式为， 综上所述，直线的函数解析式为或． 【点睛】本题考查新定义，坐标与图形，待定系数法确定函数解析式，一次函数与坐标轴的交点，平行四边形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识点，正确理解题意，利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键． 25. 如图1，在正方形中，，点P为线段上一个动点，连接，线段的垂直平分线分别交，对角线于点E，F，连接． （1）求证：； （2）如图2，连接． ①若，求的值； ②设的面积为，的面积为，试探究的变化情况，请从以下结论中选择一个正确的并证明； （i）随x的增大而增大； （ii）随x的增大而减少； （iii）为定值． 【答案】（1） 证明：∵ 是线段的垂直平分线， ∴ ， ∵四边形是正方形， ∴． 在中， ， ∴， ∴； （2）① ②选（iii）证明：过点E作交于点N， 由（1）得， ∵ ， ， ， 过点F作交于点R， 过点E作交于点T， 易证得四边形为正方形， 四边形为矩形， ∴， ∴ ， ∴保持不变． 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，直角三角形斜边中线定理，三角形外角定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活作出辅助线． （1）利用正方形的性质，直角三角形斜边中线定理以及三角形外角定理即可证明； （2）①连接，过点F作交于点M，证明，通过条件得出，最后利用等腰直角三角形的性质求出线段长度即可； ②：过点E作交于点N，过点F作交于点R，过点E作交于点T，根据条件求出相关线段的长度，证明四边形为正方形， 四边形为矩形，然后表示出面积和即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①连接 ，过点 F 作交于点M， 在正方形中，， 又∵， ∴ ， ∴ ， ∵是线段的垂直平分线， ∴ ， ∴， ∴ ， ∵，且， ， ∴ ， 在等腰中和等腰中， ， ∴ ， ； ② 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025 学年荔城区八年级下学期期末质量检测 数学试题 一．选择题 1. 下列各数中，能使二次根式在实数范围内有意义的是（　　） A. B. 0 C. π D. 7 2. 若y关于x的函数是正比例函数，则m应满足的条件是（　　） A. B. C. D. 3. 在学校开展的环保主题实践活动中，某小组的5位同学捡拾废弃塑料袋的个数分别为：4，6，8，7，7，这组数据的众数，中位数分别为（ ） A. 6，7 B. 7，6 C. 7，7 D. 7，8 4. 如图，数学兴趣小组想测量湖面的宽度，在湖面外任意取点，先连接和，接着分别取和的中点，，测得的长为，则的宽度为（ ） A. B. C. D. 5. 下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（　　） A. B. C. D. 6. 下列命题中正确的是（　　） A. 对角线互相垂直的平行四边形是矩形 B. 对角线相等的平行四边形是菱形 C. 对角线相等的菱形是正方形 D. 对角线相等的四边形是平行四边形 7. 如图，在中，对角线、相交于点O，经过点O，交于E，交于F，若，，，则四边形的周长为（　　） A. 10 B. 12 C. 14 D. 16 8. 某食用油的沸点温度远高于水的沸点温度．为了了解其沸点，小聪先在锅中倒入一些这种食用油并均匀加热，然后测量锅中油温，得到了时间（）与油温（）对应关系如下表：当加热到时食用油沸腾了，那么该食用油的沸点温度是（　　） 时间t/ 0 10 20 30 40 油温y/ 10 30 50 70 90 A. B. C. D. 9. 如图，小浙同学用长度相等的四根木条制作了可活动的四边形学具，改变其内角度数，四边形可变为四边形，若，，则的值为（　　） A. B. C. D. 10. 某校开展数学文化节，向同学们征集文化节，小明利用古希腊医学家希波克拉底所画图形进行设计．如图，分别以的边，，为直径向外画半圆．若要求的面积，只要知道（　　） A. 月形图形的面积 B. 月形图形的面积 C. 月形图案的面积与月形图案的面积之差 D. 月形图案的面积与月形图案的面积之和 二．填空题 11. 将直线向上平移2个单位长度，平移后直线的解析式为______． 12. 命题“如果两个实数相等，那么它们的平方相等”的逆命题是________命题．（填“真”或“假”）． 13. 在学校运动会跳高比赛中，新手的表现通常不太稳定，小李对五轮比赛后甲、乙两位选手的比赛成绩进行了收集和分析，并绘制了如图所示的折线统计图，则根据图中信息判断可能是新手的是_______（填“甲”或“乙”） 14. 如图，直线与直线相交于点，则关于x的不等式的解集是_________ 15. 我国南宋著名数学家秦九韶和古希腊几何学家海伦分别提出利用三角形的三边求面积的公式并加以证明，人们把这个公式称为海伦﹣秦九韶公式．即如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么三角形的面积．若的三边长分别为4，5，7，利用海伦﹣秦九韶公式可求出的面积为______________ 16. 如图，在中，相交于点O，，过点B作于点E，若，则_______ 三．解答题 17. 计算： 18. 如图，在中，点E，F分别在，上，且．求证：四边形是平行四边形． 19. 已知关于的一次函数： （1）若随的增大而增大，求的取值范围； （2）若该一次函数与正比例函数的图象交于点，求的值． 20. 2025年6月6日是第30个全国“爱眼日”，某数学兴趣小组开展了“笔记本电脑的张角大小、顶部边缘离桌面的高度与用眼舒适度关系”的实践探究活动． （1）如图，当张角时，顶部边缘A处离桌面的高度的长为，此时用眼舒适度不太理想，求笔记本电脑屏幕宽度的长； （2）小组成员调整张角大小继续探索，当张角调整为某个特定角时（点是点A的对应点），用眼舒适度较为理想．调整后，此时顶部边缘与A的水平距离，求此时顶部边缘处离桌面的高度的长． 21. 为了庆祝中国共产党建党100周年，某校开展了学党史知识竞赛．参加知识竞赛的学生分为甲乙两组，每组学生均为20名，赛后根据竞赛成绩得到尚不完整的统计图表（如图），已知竞赛成绩满分为100分，统计表中a，b满足． 请根据所给信息，解答下列问题： 甲组20名学生竞赛成绩统计表 成绩（分） 70 80 90 100 人数 3 a b 5 （1）求统计表中a，b的值； （2）小明按以下方法计算甲组20名学生竞赛成绩的平均分是：（分）．根据所学统计知识判断小明的计算是否正确，若不正确，请写出正确的算式并计算出结果； （3）如果依据平均成绩确定竞赛结果，那么竞赛成绩较好的是哪个组？请说明理由． 22. 2025年6月，全国各地持续高温催生“清凉消费”热潮，空调、冰箱等制冷家电需求激增，某商城为积极响应群众迫切需求，切实保障市场供应，计划批量采购冰箱和空调．已知每台冰箱的进价比每台空调的进价多400元，商城购进6台冰箱和10台空调刚好花费28000元． （1）求每台冰箱与空调的进价分别是多少？ （2）已知冰箱的销售价为每台2100元，空调的销售价为每台1750元，现商城准备购进这两种家电共100台，要求购进空调数量不超过冰箱数量的3倍，则该商城购进冰箱、空调各多少台才能获得最大利润？最大利润为多少？ 23. 阅读与思考：下面是小逸同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务． 作矩形的最大内接菱形的方法 顶点在矩形边上的菱形叫做矩形的内接菱形．在实践活动课上，数学老师提出来一个问题“如何从一张矩形纸片中制作出一个最大的内接菱形”．实践小组成员经过思考后，分别给了3种不同的方法． 方法一：通过折，将矩形纸片横对折后再竖对折，沿对角线剪一刀得到一个直角三角形，展开后就是菱形（如图1），则四边形是矩形的内接菱形． 方法二：通过叠，取两个大小一样的矩形纸片，让两矩形的长两两相交，重叠的部分形成四边形，则四边形也是矩形的内接菱形．（如图2） 方法三：通过尺规作图，作矩形的对角线的垂直平分线，与边交于点E，与边交于F，连接，，则四边形是矩形的内接菱形． 实践小组通过三种方法得到的菱形进行分析，讨论，计算，对比，从而得出矩形的最大内接菱形． 任务： （1）图一菱形的面积与矩形的面积之比为 （2）尺规作图：请你在图3中完成日记中的“方法三”的作图过程．（保留作图痕迹，不要求写作法） （3）若在矩形中，，，请你根据日记中三种方法，通过计算求出此矩形的内接菱形的面积最大值． 24. 定义：一次函数是一次函数的“倍函数”，已知直线的解析式为，直线是直线的“倍函数”． （1）请直接写出的解析式； （2）如图，直线与轴，轴分别交于点，，直线与轴交于点． ①直线上有一点且在第一象限，若直线，直线与轴无法围成三角形，，求点的坐标； ②若点是轴上一个动点，当时，求直线的解析式 25. 如图1，在正方形中，，点P为线段上一个动点，连接，线段的垂直平分线分别交，对角线于点E，F，连接． （1）求证：； （2）如图2，连接． ①若，求的值； ②设的面积为，的面积为，试探究的变化情况，请从以下结论中选择一个正确的并证明； （i）随x的增大而增大； （ii）随x的增大而减少； （iii）为定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $