精品解析：山东省青岛市市北区2024-2025学年下学期八年级期末数学试卷

山东省青岛市市北区八年级（下）期末数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列四种标志图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项判断即可得． 【详解】A、不是轴对称图形，是中心对称图形，则此项不符题意； B、既是轴对称图形又是中心对称图形，则此项符合题意； C、不是轴对称图形，是中心对称图形，则此项不符题意； D、既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，则此项不符题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了轴对称图形和中心对称图形，熟记定义是解题关键． 2. 若，那么下列各式中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据不等式的性质判断即可． 【详解】A：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号方向不变，a-3<b-3不成立，故此选项不符合题意； B：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，4a>4b成立，故此选项符合题意； C：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，-2a>-2b不成立，故此选项不符合题意； D：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，不成立，故此选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】此题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键． 3. 把分式（x≠0，y≠0）中的分子、分母的x、y同时扩大为原来的2倍，那么分式的值（ ） A. 扩大为原来的2倍 B. 扩大为原来的4倍 C. 缩小为原来的 D. 不改变 【答案】D 【解析】 【分析】根据分式的基本性质即可求出答案． 【详解】解：，分式的值不改变， 故选：D． 【点睛】本题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质，本题属于基础题型． 4. 若多项式因式分解后的结果是，则k的值是（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的意义，利用整式的乘法与因式分解的关系得出方程是解题关键．根据因式分解与整式的乘法互为逆运算，可得答案． 【详解】解：， ∴， 解得． 故选：D． 5. 如图，已知的面积为8，在上截取，作的平分线交于点，连接，则的面积为（ ） A. 2 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】根据等腰三角形底边上的三线合一的性质可得AP＝PD，然后根据等底等高的三角形面积相等求出△BPC的面积等于△ABC面积的一半，代入数据计算即可得解． 【详解】解：∵BD＝BA，BP是∠ABC的平分线， ∴AP＝PD， ∴S△BPD＝S△ABD，S△CPD＝S△ACD， ∴S△BPC＝S△BPD＋S△CPD＝S△ABD＋S△ACD＝S△ABC， ∵△ABC的面积为8， ∴S△BPC＝×8＝4． 故选：B． 【点睛】本题考查了等腰三角形底边上的三线合一的性质，三角形的面积的运用，利用等底等高的三角形的面积相等求出△BPC的面积与△ABC的面积的关系是解题的关键． 6. 如图，的对角线相交于点O，的平分线与边相交于点P，E是中点，连接，若，则的长为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定以及三角形的中位线定理等知识，熟练掌握相关图形的判定与性质是解题的关键． 根据平行四边形的性质、平行线的性质、角平分线的定义以及等腰三角形的判定可得，进而可得，再根据三角形的中位线解答即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，． ∴． ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴． 是的中点，， ∴是的中位线， ， 故选：C． 7. 若关于的分式方程有增根，则的值是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的主要是分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．根据增根的定义可得出，然后去分母得出：，把代入得，即可得出m的值． 【详解】解：∵分式方程有增根， ∴， 原方程去分母可得：， 把代入可得：， 解得：． 故选：A． 8. 如图，在中，，平分，于E，则下列结论：①平分；②；③平分；④；⑤A、D两点一定在线段的垂直平分线上，其中正确的有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形判定和性质，由条件可证明，从而可判断①、④正确；利用直角三角形的两锐角互余可判断②；利用角平分线的定义可判断③；利用线段垂直平分线的判定可判断⑤；从而可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∴平分 故①正确； ∵，且， ∴； 故④正确； ∵， ∴A、D都在线段的垂直平分线上， ∴是线段的垂直平分线， 故⑤正确； ∵， ∴， 故②正确； 若平分，则E应为中点，由条件无法得出， 故③不正确； 综上可知正确的结论有：①②④⑤，共四个， 故选：C． 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 9. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解-提公因式法，熟练掌握公因式的确定方法是解题的关键． 先确定公因式，再提取公因式即可． 【详解】解：， 故答案为： 10. 如果一个多边形的内角和为720°，那么它的边数是___________． 【答案】六 【解析】 【分析】本题考查多边形内角和，设它的边数为n，根据多边形的内角和公式列方程求解即可． 【详解】解：设它的边数为n，根据题意，得， 解得， 所以这是一个六边形． 故答案为：六． 11. 将含角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置，已，点，表示的刻度分别为，则线段的长为_______cm． 【答案】 【解析】 【分析】根据平行线的性质得出，进而可得是等边三角形，根据等边三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵直尺的两边平行， ∴， 又， ∴是等边三角形， ∵点，表示的刻度分别为， ∴， ∴ ∴线段长为, 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线的性质，等边三角形的性质与判定，得出是解题的关键． 12. 给出下列分式：①、②、③、④，其中最简分式是 ___（填序号）． 【答案】②④ 【解析】 【分析】直接利用分式的性质分别化简，再结合最简分式的定义得出答案． 【详解】解：∵， ， ∴最简分式是，； 故答案为：②④． 【点睛】本题主要考查了分式的化简，平方差公式，熟悉掌握分式的性质是解题的关键． 13. 现有四种地面砖，它们的形状分别是：正三角形、正方形、正六边形、正八边形，且它们的边长都相等，同时选择其中两种地面砖密铺地面，选择的方式有___________种． 【答案】3 【解析】 【分析】正多边形的组合能否铺满地面，关键是看位于同一顶点处的几个角之和能否为360°．若能，则说明能铺满；反之，则说明不能铺满．因为正三角形、正方形、正六边形、正八边形的内角分别为60°、90°、120°、135°，根据多边形镶嵌成平面图形的条件可知． 【详解】解：①正三角形、正方形，由于60°×3+90°×2=360°，故能铺满； ②正三角形、正六边形，由于 60°×2+120°×2=360°，或60°×4+120°×1=360°，故能铺满； ③正三角形、正八边形，显然不能构成360°的周角，故不能铺满； ④正方形、正六边形，显然不能构成360°的周角，故不能铺满； ⑤正方形、正八边形，由于90°+135°×2=360°，故能铺满； ⑥正六边形、正八边形，显然不能构成360°的周角，故不能铺满． 故选择的方式有3种． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了平面镶嵌，解决本题的关键是掌握平面镶嵌定义．用形状，大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接．彼此之间不留空隙，不重叠地铺成一片，这就是平面图形的镶嵌． 14. 如图，将正方形先向右平移，使点B与原点O重合，再将所得正方形绕原点O顺时针方向旋转，得到四边形，则点A的对应点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化一旋转和平移，正方形的性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．先根据题意得到平移方式为向右平移3个单位长度，则可得平移后点A的对应点坐标为；如图所示，设绕原点O顺时针旋转90度后的对应点为F，分别过E、F作x轴的垂线，垂足分别为G、H，证明≌，得到，，则，即点A的对应点的坐标是 【详解】解：由题意得，平移前，， 将正方形先向右平移，使点B与原点O重合， 平移方式为向右平移3个单位长度， 平移后点A的对应点的坐标为， 如图所示，设绕原点O顺时针旋转90度后的对应点为F，分别过E、F作x轴的垂线，垂足分别为G、H， ， 由旋转的性质可得，， ， ， ≌， ，， ， ，， ， 点A的对应点的坐标是 故答案为： 15. 如图，是五边形的外角，且，则的度数是_______． 【答案】##120度 【解析】 【分析】根据多边形的外角和为，计算即可． 【详解】解：∵多边形的外角和为，， ∴， ∴ 故答案为：． 【点睛】本题是对多边形外角和的考查，熟练掌握多边形外角和的知识是解决本题的关键． 16. 如图，一次函数与的图象交于点下列结论：①；②；③；④当时，；⑤正确的有______填写序号 【答案】③ 【解析】 【分析】结合一次函数的性质、一次函数与系数的关系、一次函数与不等式的关系，根据图象观察，得出结论． 本题是两条直线相交问题．考查了一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，一次函数与一元一次不等式，数形结合是解题的关键． 【详解】解：一次函数图象过第一、二、四象限， ，，故①错误； 一次函数的图象过第一、二、三象限， ，， ，故②错误； 一次函数与的图象交于点M，且M的横坐标为1， ， ，故③正确； 由图象可知，当时，，故④错误； 一次函数的图象过点， ， ，故⑤错误． 故答案为：③． 三、解答题：本题共9小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 已知： 求作：一点，使得点在边的高上且到与的距离相等． 【答案】作图见解析 【解析】 【分析】本题考查了作垂线，作角平分线，角平分线的性质，作于点，平分，射线交于点，由角平分线的性质可知点到与的距离相等，故点即为所求，熟练掌握五种基本作图是解题的关键． 【详解】解：如图所示，点即为所求． 18. 计算题： （1）分解因式：； （2）解不等式组：； （3）解方程：． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，提公因式法与公式法的综合运用，解一元一次不等式组，掌握解分式方程的方法，因式分解的方法，解一元一次不等式组的方法是解题的关键． （1）先提取公因式a，然后再根据平方差公式因式分解即可； （2）先分别求出两个一元一次不等式解集，然后找出它们的公共部分即可； （3）把分式方程转变为整式方程，解整式方程求出x的值，然后检验即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 ， 解不等式①，得， 解不等式②，得， 不等式组的解集为； 【小问3详解】 ， 方程两边同时乘，得， 去括号，得， 解得：， 检验：把代入， 分式方程的解为． 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查分式的混合运算、分母有理化等知识．先把括号内通分，并把除法转化为乘法，然后约分化简，再把代入即可即可． 【详解】解： ． 当时， 原式． 20. 在学习了角平分线和尺规作图后，小红进行了拓展性研究，她先发现了角平分线的另一种作法，后利用三角形全等证明了她的作法． 第一步：构造角平分线． 如图，小红在的边上任取一点E，并过点E作了的垂线．在边上截取，过点F作的垂线与的垂线交于点P，作射线，即为的平分线． 第二步：利用三角形全等证明她的作法． 已知：，_____，______． 求证：是角平分线． 请根据小红的作法补全已知并完成证明． 【答案】，，证明见详解． 【解析】 【分析】本题考查作图-复杂作图，全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定是解题的关键．第一步根据题意补全填空即可，第二步先判定，再利用全等三角形性质得出对应角相等即可得证． 【详解】解：已知：，，， 求证：平分． 证明：，， ， 在和中， ， ， ， 平分 故答案为：，， 利用证明三角形全等即可． 21. 某学校计划购买若干台电脑，现从甲、乙两家商场了解到同一型号电脑每台报价均为元，并且多买都有一定的优惠．各商场的优惠条件如下表所示： 商 场 优惠条件 甲商场 第一台按原价收费，其余每台优惠 乙商场 每台优 （1）分别写出甲、乙两商场的收费元与所买电脑台数之间的关系式； （2）什么情况下到甲商场购买更优惠？ 【答案】（1）， （2）当购买电脑大于台时，在甲商场购买比较优惠． 【解析】 【分析】本题考查一次函数的知识，解题的关键是理解题意，根据题意，利用函数的思想解决问题，即可． （1）根据题意，列出相应的函数关系式，即可； （2）根据（1）中的函数关系式，列出相应的不等式，即可． 【小问1详解】 甲商场的收费元与所买电脑台数之间的关系式是：； 乙商场的收费元与所买电脑台数之间的关系式是：． 【小问2详解】 当时，，解得：； 当时，，解得：； 当时，，解得：； 答：当购买电脑大于台时，在甲商场购买比较优惠． 22. 我们不仅可以用几何图形直观地解释多项式乘法，还可以用几何图形直观地将多项式因式分解． 小刚同学动手剪了如图①所示的正方形与长方形纸片若干张． （1）他用1张1号、1张2号和2张3号卡片拼出一个新的图形如图②根据这个图形的面积关系你能得到的多项式乘法公式是______； （2）如果要拼成一个长为，宽为的大长方形，则需要2号卡片______张，3号卡片______张； （3）当他拼成如图③所示的长方形，根据8张小纸片的面积和等于大纸片长方形的面积可以把多项式因式分解，其结果是______； （4）动手操作，请依照小刚的方法，利用拼图把多项式因式分解，画出拼图的图形并写出因式分解的结果． 【答案】（1） （2）2，3 （3） （4）见解析， 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的应用、多项式乘多项式、完全平方公式的几何背景、因式分解的意义，解决本题的关键运用数形结合的思想解决问题． （1）运用数形结合的思想分解因式即可； （2）求出大长方形的面积，就可求出2号卡片2张，3号卡片3张； （3）根据图形可知； （4）先画出图形，然后结合图形知道 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：1号卡片的面积是， 2号卡片的面积是， 3号卡片的面积是ab， ， ， 所以需要2号卡片2张，3号卡片3张； 【小问3详解】 解：； 故答案为：； 【小问4详解】 解：如图： 23. 已知：如图，在中，E、F分别是和上的点，，M，N分别是和的中点．求证： （1）； （2）四边形是平行四边形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】此题重点考查平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，适当选择全等三角形的判定定理证明是解题的关键． （1）由平行四边形的性质得，，而，即可根据“”证明； （2）由全等三角形的性质得，，因为，，所以，由，得，所以，则，即可证明四边形是平行四边形． 【小问1详解】 证明：四边形是平行四边形， ，， 在和中， ， ； 【小问2详解】 由得， ，， ，N分别是和的中点， ，， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形． 24. 某景区需要购买A，B两种型号的帐篷．已知用1800元购买A种帐篷的数量与用3000元购买B种帐篷的数量相等，且B种帐篷的单价比A种帐篷的单价多400元． （1）求A，B两种帐篷的单价各多少元？ （2）若该景区需要购买A，B两种型号的帐篷共20顶（两种型号的帐篷均需购买），且购买B种型号帐篷的数量不少于A种型号帐篷数量的，则购买A，B两种型号的帐篷各多少顶时，总费用最低？最低总费用是多少元？ 【答案】（1）A种帐篷的单价为600元，B种帐篷的单价为1000元 （2）当购买A种帐篷15顶，B种帐篷5顶时，总费用最低，最低总费用为14000元 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，一次函数的实际应用，正确理解题意列出方程，不等式和函数关系式是解题的关键． （1）设A种帐篷的单价为x元，则B种帐篷的单价为元，根据用1800元购买A种帐篷的数量与用3000元购买B种帐篷的数量相等建立方程求解即可； （2）设购买A种帐篷m顶，则B种帐篷顶，总费用为W元，根据购买B种型号帐篷的数量不少于A种型号帐篷数量的列出不等式求出m的取值范围，再列出W关于m的一次函数关系式，利用一次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设A种帐篷的单价为x元，则B种帐篷的单价为元． 由题意得：， 解得： 经检验：符合题意， ， 答：A种帐篷的单价为600元，B种帐篷的单价为1000元． 【小问2详解】 解：设购买A种帐篷m顶，则B种帐篷顶，总费用为W元． 由题意得：， 解得：． 又两种型号的帐篷均需购买， ． ， ， 随m的增大而减小 当时，W取最小值，， 此时， 答：当购买A种帐篷15顶，B种帐篷5顶时，总费用最低，最低总费用为14000元． 25. 【问题背景】如图1，在中，．将绕点逆时针旋转至，记旋转角，当线段与不共线时，记的面积为，的面积为． 【特例分析】如图2，当恰好过点，且点，，在同一条直线上时． （1）______°； （2）若，则______，______； 【推广探究】某数学兴趣小组经过交流讨论，猜想：在旋转过程中，与之间存在一定的等量关系．再经过独立思考，获得了如下一些解决思路： 思路1：如图1，过点，分别作直线平行于，，两直线交于点，连接，可证一组三角形全等，再根据平行四边形的相关性质解决问题； 思路2：如图2，过点作于点，过点作，交的延长线于点，可证一组三角形全等，再根据旋转的相关性质解决问题； …… （3）如图3，请你根据以上思路，并结合你的想法，探究与之间的等量关系为______，并说明理由． 【拓展应用】在旋转过程中，当为面积的时，的值为______ 【答案】（1）60；（2）；；（3），理由见解析；拓展应用：或 【解析】 【分析】（1）由旋转的性质和平行四边形的性质，等角对等边，可得是等边三角形，即可求解； （2）过点F作交延长线于点，设交于点N，通过证明，进而得出，再证明，可得，仅为求解即可； （3）分别根据思路1和2进行推理证明即可； 拓展应用：先根据面积之间的关系得出，继而得出，分别在图3和图2中进行求解即可． 【详解】（1）由旋转可得，， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 故答案为：60； （2）如图，过点F作交延长线于点，设交于点N， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：，理由如下： 思路1：如图，过点，分别作直线平行于，，两直线交于点，连接， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴，， ∵旋转， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴. 思路2：如图，过点作交延长线于点，过点作交延长线于点， ∵，， ∴， ∵旋转， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； 拓展应用： ∵， ∴当为面积的时，， 由（3）思路2得，， ∴， ∴，即， ∴， 如图3，； 如图2,， 综上，的值为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东省青岛市市北区八年级（下）期末数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列四种标志图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若，那么下列各式中正确是（ ） A. B. C. D. 3. 把分式（x≠0，y≠0）中的分子、分母的x、y同时扩大为原来的2倍，那么分式的值（ ） A. 扩大为原来的2倍 B. 扩大为原来的4倍 C. 缩小为原来的 D. 不改变 4. 若多项式因式分解后的结果是，则k的值是（ ） A. 3 B. C. D. 5. 如图，已知的面积为8，在上截取，作的平分线交于点，连接，则的面积为（ ） A. 2 B. 4 C. 5 D. 6 6. 如图，的对角线相交于点O，的平分线与边相交于点P，E是中点，连接，若，则的长为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 7. 若关于的分式方程有增根，则的值是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 8. 如图，在中，，平分，于E，则下列结论：①平分；②；③平分；④；⑤A、D两点一定在线段的垂直平分线上，其中正确的有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 9. 因式分解：______． 10. 如果一个多边形的内角和为720°，那么它的边数是___________． 11. 将含角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置，已，点，表示的刻度分别为，则线段的长为_______cm． 12. 给出下列分式：①、②、③、④，其中最简分式是 ___（填序号）． 13. 现有四种地面砖，它们的形状分别是：正三角形、正方形、正六边形、正八边形，且它们的边长都相等，同时选择其中两种地面砖密铺地面，选择的方式有___________种． 14. 如图，将正方形先向右平移，使点B与原点O重合，再将所得正方形绕原点O顺时针方向旋转，得到四边形，则点A的对应点的坐标是______． 15. 如图，是五边形的外角，且，则的度数是_______． 16. 如图，一次函数与图象交于点下列结论：①；②；③；④当时，；⑤正确的有______填写序号 三、解答题：本题共9小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 已知： 求作：一点，使得点在边的高上且到与的距离相等． 18. 计算题： （1）分解因式：； （2）解不等式组：； （3）解方程：． 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 在学习了角平分线和尺规作图后，小红进行了拓展性研究，她先发现了角平分线的另一种作法，后利用三角形全等证明了她的作法． 第一步：构造角平分线． 如图，小红在的边上任取一点E，并过点E作了的垂线．在边上截取，过点F作的垂线与的垂线交于点P，作射线，即为的平分线． 第二步：利用三角形全等证明她作法． 已知：，_____，______． 求证：是的角平分线． 请根据小红作法补全已知并完成证明． 21. 某学校计划购买若干台电脑，现从甲、乙两家商场了解到同一型号电脑每台报价均为元，并且多买都有一定的优惠．各商场的优惠条件如下表所示： 商 场 优惠条件 甲商场 第一台按原价收费，其余每台优惠 乙商场 每台优 （1）分别写出甲、乙两商场的收费元与所买电脑台数之间的关系式； （2）什么情况下到甲商场购买更优惠？ 22. 我们不仅可以用几何图形直观地解释多项式乘法，还可以用几何图形直观地将多项式因式分解． 小刚同学动手剪了如图①所示的正方形与长方形纸片若干张． （1）他用1张1号、1张2号和2张3号卡片拼出一个新的图形如图②根据这个图形的面积关系你能得到的多项式乘法公式是______； （2）如果要拼成一个长为，宽为的大长方形，则需要2号卡片______张，3号卡片______张； （3）当他拼成如图③所示的长方形，根据8张小纸片的面积和等于大纸片长方形的面积可以把多项式因式分解，其结果是______； （4）动手操作，请依照小刚的方法，利用拼图把多项式因式分解，画出拼图的图形并写出因式分解的结果． 23. 已知：如图，在中，E、F分别是和上的点，，M，N分别是和的中点．求证： （1）； （2）四边形是平行四边形． 24. 某景区需要购买A，B两种型号的帐篷．已知用1800元购买A种帐篷的数量与用3000元购买B种帐篷的数量相等，且B种帐篷的单价比A种帐篷的单价多400元． （1）求A，B两种帐篷的单价各多少元？ （2）若该景区需要购买A，B两种型号的帐篷共20顶（两种型号的帐篷均需购买），且购买B种型号帐篷的数量不少于A种型号帐篷数量的，则购买A，B两种型号的帐篷各多少顶时，总费用最低？最低总费用是多少元？ 25. 【问题背景】如图1，在中，．将绕点逆时针旋转至，记旋转角，当线段与不共线时，记的面积为，的面积为． 【特例分析】如图2，当恰好过点，且点，，在同一条直线上时． （1）______°； （2）若，则______，______； 【推广探究】某数学兴趣小组经过交流讨论，猜想：在旋转过程中，与之间存在一定的等量关系．再经过独立思考，获得了如下一些解决思路： 思路1：如图1，过点，分别作直线平行于，，两直线交于点，连接，可证一组三角形全等，再根据平行四边形的相关性质解决问题； 思路2：如图2，过点作于点，过点作，交的延长线于点，可证一组三角形全等，再根据旋转的相关性质解决问题； …… （3）如图3，请你根据以上思路，并结合你的想法，探究与之间的等量关系为______，并说明理由． 【拓展应用】在旋转过程中，当为面积时，的值为______ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $