精品解析：山东省临沂市蒙阴第三中学2024-2025学年九年级上学期12月月考数学试题

2024—2025学年度上学期阶段性单元检测 九年级数学试卷 一、选择题（42分） 1. 将图形 按顺时针方向旋转90°后的图形是(　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知首先将固定任意一点，绕着这点按顺时针旋转90°，即可得到答案． 【详解】首先将图形的一端固定，按照顺时针旋转90°，即可得到B是正确答案．故选B． 【点睛】本题主要考查图形的旋转，关键点在于固定一定点，绕这个定点旋转即可，还要注意是顺时针． 2. 不透明袋子中有个红球和个绿球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出个球，恰好是红球的概率为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了概率的求法，找出全部情况的总数和符合条件的个数是解题的关键． 根据概率的求法计算即可． 【详解】解：∵袋子中共有个小球，其中红球有个， ∴摸出一个球是红球的概率是．   故选：Ａ ． 3. 一元二次方程的根的情况是（　　） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】A 【解析】 【分析】先求出，再根据结果判断根的情况即可． 【详解】一元二次方程中，，，， ∴， ∴这个方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，理解的结果与一元二次方程根的情况是解题的关键．即当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根． 4. 若二次函数的图象经过点，，，则y1，y2，y3的大小关系正确的为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】把，，代入二次函数中，比较，，即可． 【详解】∵点，，经过 ∴当时，； 当时，； 当时，； ∴ 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数的知识，解题的关键是掌握点在函数图象上的点． 5. 抛物线 向左平移2个单位，再向上平移5个单位，所得的抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数图像平移法则“左加右减、上加下减”，将题中文字描述转化为数学符号即可解决问题． 【详解】∵抛物线向左平移2个单位，再向上平移5个单位， ∴所得的抛物线的解析式为， 即 故选：A 【点睛】本题主要考查了抛物线平移，熟练掌握函数图像平移法则“左加右减、上加下减”是解决问题的关键． 6. 如图是一段圆弧，点是这段弧所在圆的圆心，为上一点，于点．若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是垂径定理，勾股定理及弧长的计算公式，先根据垂径定理求出的长，由题意得，在中利用勾股定理即可求出的值，然后再利用三角比计算出所对的圆心角的度数． 【详解】解： ， ， 在 中, ， ， ， 解得:， ， ， ， 的长 故选: B． 7. 在中，，若点O为的外心，则等于（ ） A. 40° B. 50° C. 100° D. 110° 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的外接圆与外心、圆周角定理等知识点，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 已知点O是的外心，那么即为同弧所对的圆周角和圆心角，根据圆周角定理即可得到的度数． 【详解】解：由于点O是的外心， 所以在的外接圆中， 则同对着弧； 由圆周角定理得：． 故选：C． 8. 已知反比例函数的图象经过点，那么该反比例函数图象也一定经过点（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了求反比例函数解析式，反比例函数的性质，先利用待定系数法求出k的值，进而得到在反比例函数图象的点的横纵坐标的乘积为，据此可得答案． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∵在反比例函数图象上的点一定满足其函数解析式， ∴在反比例函数上的点的横纵坐标的乘积为， ∴四个选项中只有D选项中的点在反比例函数图象上， 故选：D． 9. （2016甘肃省兰州市）已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为，则△ABC与△DEF对应中线的比为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】试∵△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的相似比为， ∴△ABC与△DEF对应中线的比为， 故选A． 10. 新能源汽车节能、环保，越来越受消费者喜爱，我国新能源汽车近几年销售量全球第一，年新能源车销量为万辆，销量逐年增加，到年销量为万辆，求这款新能源汽车的年平均增长率是多少？可设年平均增长率为．根据题意可列方程为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据年新能源车销量为万辆，销量逐年增加，到年销量为万辆，列式即可得到答案． 【详解】解：由题意可得， ， 故选：A． 【点睛】本题考查一元二次方程解决平均增长问题，解题的关键是熟练掌握平均增长等量关系式． 11. 当k＜0时，反比例函数和一次函数y＝kx＋2的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一次函数与反比例函数图象的特点与系数的关系解答即可． 【详解】当k＜0时，反比例函数的图象在二四象限，同时一次函数y＝kx＋2经过第一、二、四象限，只有B选项的图象满足要求， 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，关键是由k的取值确定函数所在的象限． 12. 如图，为的直径，点C、D在上，且，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据为的直径，，可利用勾股定理求直径长，再根据，可得△OBD为等边三角形，可求的长． 【详解】解：∵为的直径，， ∴∠ACB=90°，， 连接OD， ∵， ∴∠DOB=60°， ∵OD=OB， ∴△OBD为等边三角形， ∴, 故选：C． 【点睛】本题考查了圆周角的性质、勾股定理、等边三角形的判定与性质，解题关键是熟练运用圆周角的性质得出直角三角形和等边三角形． 13. 如图，在正方形中，将边绕点逆时针旋转至，于，若，，则线段的长为（ ） A. 4 B. C. 6 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，旋转的性质，等腰三角形的性质与判定等，构造全等三角形是解题的关键．先证明得到，由旋转的性质可得，则，由三线合一定理得到，则可利用勾股定理得到，据此可得答案． 【详解】解：由正方形的性质可得， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 由旋转的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 14. 我们定义一种新函数：形如（，）的函数叫作“鹊桥”函数．某同学画出了“鹊桥”函数的图象（如图所示），则下列结论错误的是（ ） A. 图象与坐标轴的交点为和 B. 图象的对称轴是直线 C. 当和时，函数值y随x的增大而增大 D. 函数的最小值是0，最大值是4 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与x轴的交点、对称性、对称轴及最值的求法以及增减性应熟练掌握．求得函数与坐标轴的交点坐标，可判断选项A；从图象可以看出图象具有对称性，对称轴可用对称轴公式求得是直线，可判断选项B；根据函数的图象和性质，发现当或时，函数值y随x值的增大而增大，可判断选项C；函数图象的最低点就是与x轴的两个交点，最小值为，不存在最大值；据此可得出答案． 【详解】解：当时，； 当时，，解得或； ∴图象与坐标轴的交点为和， ∴选项A是正确的，不符合题意； 从图象可知图象具有对称性，对称轴是直线， ∴选项B是正确的，不符合题意； 根据函数的图象和性质，发现当或时，函数值y随x值的增大而增大， ∴选项C是正确的，不符合题意； 根据函数的图象发现，函数图象的最低点就是与x轴的两个交点，最小值为， 不存在最大值， ∴选项D是错误的，符合题意； 故选：D． 二、填空题（18分） 15. 若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查根据一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义：是解决问题的关键． 方程可整理为，再根据一元二次方程定义直接列式即可得到答案． 【详解】解：∵， ∵是关于的一元二次方程， ， 则， 故答案为：． 16. 已知抛物线的顶点在轴上，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象，由顶点在轴上可知抛物线的对称轴为轴，即直线，据此即可求解，掌握二次函数的图象是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线的顶点在轴上， ∴抛物线的对称轴为轴，即直线， ∴， 故答案为：． 17. 已知二次函数的部分图象如图，则关于x的一元二次方程的解为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是关于二次函数与一元二次方程，根据图象可知，二次函数的部分图象经过点，对称轴为直线，根据对称性求得另一个解，即可求解． 【详解】解：∵二次函数的部分图象经过点，对称轴为直线， ∴二次函数经过点 ∴关于x的一元二次方程的解为， 故答案为：． 18. 如图，正六边形内接于，，则正六边形的面积为_______. 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了正多边形与圆，连接，，根据正六边形的性质可得，进而可得是等边三角形，则得，再求出等边的面积，进而可求解． 【详解】解：连接，，过F点作于点H，如图： 六边形是正六边形， ， ，且， 是等边三角形，且边长， ∴， ∴， 等边的面积为：， 正六边形的面积为：， 故答案为：． 19. 如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面直径是，其中水面的宽为，则排水管内水的最大深度为________cm． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了垂径定理、勾股定理等知识点，掌握垂径定理成为解题的关键． 如图：过O作交于点C，垂径定理可得，进而勾股定理求得，进而求解即可． 【详解】解：如图：过O作交于点C，可得出，     由直径是，则半径， 在中，根据勾股定理得． 所以排水管内水的深度为：． 故答案为：2． 20. 如图，点是反比例函数图象上的两点，过点A，B分别作轴于点轴于点，连接、，已知，则____________． 【答案】21 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数与几何的综合，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键；由题意可设，则有，然后根据三角形的面积可进行求解． 【详解】解：由题意可设，则有， ∵，， ∴，即， ∴； 故答案为21． 三、解答题（60分） 21. 解一元二次方程： （1）； （2）． 【答案】（1），； （2），． 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键． （1）先移项，可得，然后配方法求出即可； （2）整理后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． 【小问1详解】 解：， ∴， ∴，即， ∴， ∴，； 【小问2详解】 解：， 整理得：， ，即， ∴，， ∴，． 22. 在《数书九章》（宋・秦九韶）中记载了一个测量塔高的问题：如图，表示塔的高度，表示竹竿顶端到地面的高度，表示人眼到地面的高度，、、在同一平面内，点、、在一条水平直线上．已知米，米，米，米，人从点远眺塔顶，视线恰好经过竹竿的顶端．根据以上信息，求塔的高度． 【答案】塔的高度为18.2米． 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形的实际应用．如图，过作于，交于，可得，证明，可得，可得，从而可得答案． 【详解】解：如图，过作于，交于， 则，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，解得：，经检验符合题意； ∴（米）． 23. 某商店购进一批成本为每件30元的商品，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示． （1）求该商品每天的销售量y与销售单价x之间的函数关系式； （2）若商店按单价不低于成本价，且不高于50元销售，则销售单价定为多少，才能使销售该商品每天获得的利润w（元）最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）；（2）销售单价定为50元时，该超市每天的利润最大，最大利润1200元 【解析】 【分析】(1)利用待定系数法求一出函数解析式将点(30，100)、(45,700)代入一次函数表达式，解方程组即可求解； (2)由题意得，根据自变量的范围与函数的性质即可求解． 【详解】解：（1）设销售量与销售单价之间的函数关系式为， 将点、代入，得， 解得， ∴函数的关系式为： ； （2）由题意得 ， ，且30≤x≤50， 抛物线对称轴为， 在对称轴最长w随x的增大而增大， 当时，取得最大值，此时． ∴销售单价定为50元时，该商店每天获得的利润最大，最大利润是1200元． 【点睛】此题主要考查了二次函数的应用、待定系数法求一次函数解析式，二次函数的性质等知识， 解答时求出函数的解析式是关键． 24. 如图，已知直线交双曲线于点和点B，点为x轴上一动点，直线交直线于点C，交双曲线于点D． （1）求a和k值； （2）若，请求出m的值． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】本题考查一次函数和反比例函数综合，涉及待定系数法求解析式，等腰三角形的性质和解一元二次方程等知识点，熟练掌握一次函数和反比例函数相关知识是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）由题意可得点，则，过点A作于E点，根据即可推出，进行计算求解即可． 【小问1详解】 解：把点带入到中，， 解得， 把带入中，得， 即，． 【小问2详解】 由（1）可得：直线解析式为，反比例函数解析式为； 由题意可得点，则，过点A作于E点， ， ， ， ， ， 或（舍去）， 即． 25. 如图，以的边上一点为圆心的圆经过、两点，且与边交于点，，连接交于点，若． （1）求证：是的切线； （2）若的半径是，求图中阴影部分的面积（结果保留根号和）． 【答案】（1） 证明：连接， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即， ， 是的半径， 是的切线． （2） 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，切线的判定与性质，圆周角定理，扇形面积的求法和勾股定理，熟练掌握以上知识点的应用是解题的关键． （1）连接，利用得到，然后利用角度的代换可证明，从而根据切线的判定定理得到结论； （2）利用圆周角定理得到，求出，接着在中计算出，然后用一个直角三角形的面积减去一个扇形的面积去计算阴影部分的面积． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， ， 在中，， ， 阴影部分的面积 ． 26. 在平面直角坐标系中，已知二次函数（b，c是常数）． （1）当，时，求该函数图象的顶点坐标． （2）设该二次函数图象的顶点坐标是，当该函数图象经过点时，求的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质． （1）将二次函数化为顶点式即可； （2）将二次函数化为顶点式可得出其顶点为，得出，．根据图象经过点，即得出，从而可求出，结合二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：当时，该二次函数为：， ∴该函数图象的顶点坐标为； 【小问2详解】 解：∵该函数图象经过点， ∴，即． ∵， ∴该函数图象的顶点坐标为， ∴，， ∴， ∴当时，有最大值，且． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度上学期阶段性单元检测 九年级数学试卷 一、选择题（42分） 1. 将图形 按顺时针方向旋转90°后的图形是(　　) A. B. C. D. 2. 不透明袋子中有个红球和个绿球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出个球，恰好是红球的概率为（ ） A. B. C. D. 1 3. 一元二次方程的根的情况是（　　） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 4. 若二次函数的图象经过点，，，则y1，y2，y3的大小关系正确的为（ ） A. B. C. D. 5. 抛物线 向左平移2个单位，再向上平移5个单位，所得的抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 6. 如图是一段圆弧，点是这段弧所在圆的圆心，为上一点，于点．若，则的长为（ ） A. B. C. D. 7. 在中，，若点O为的外心，则等于（ ） A. 40° B. 50° C. 100° D. 110° 8. 已知反比例函数的图象经过点，那么该反比例函数图象也一定经过点（ ） A. B. C. D. 9. （2016甘肃省兰州市）已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为，则△ABC与△DEF对应中线的比为（　　） A. B. C. D. 10. 新能源汽车节能、环保，越来越受消费者喜爱，我国新能源汽车近几年销售量全球第一，年新能源车销量为万辆，销量逐年增加，到年销量为万辆，求这款新能源汽车的年平均增长率是多少？可设年平均增长率为．根据题意可列方程为（ ）． A. B. C. D. 11. 当k＜0时，反比例函数和一次函数y＝kx＋2的图象大致是（ ） A. B. C. D. 12. 如图，为的直径，点C、D在上，且，，则的长为（ ） A. B. C. D. 13. 如图，在正方形中，将边绕点逆时针旋转至，于，若，，则线段的长为（ ） A. 4 B. C. 6 D. 14. 我们定义一种新函数：形如（，）的函数叫作“鹊桥”函数．某同学画出了“鹊桥”函数的图象（如图所示），则下列结论错误的是（ ） A. 图象与坐标轴的交点为和 B. 图象的对称轴是直线 C. 当和时，函数值y随x的增大而增大 D. 函数的最小值是0，最大值是4 二、填空题（18分） 15. 若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是________． 16. 已知抛物线的顶点在轴上，则的值为_____． 17. 已知二次函数的部分图象如图，则关于x的一元二次方程的解为_________． 18. 如图，正六边形内接于，，则正六边形的面积为_______. 19. 如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面直径是，其中水面的宽为，则排水管内水的最大深度为________cm． 20. 如图，点是反比例函数图象上的两点，过点A，B分别作轴于点轴于点，连接、，已知，则____________． 三、解答题（60分） 21. 解一元二次方程： （1）； （2）． 22. 在《数书九章》（宋・秦九韶）中记载了一个测量塔高的问题：如图，表示塔的高度，表示竹竿顶端到地面的高度，表示人眼到地面的高度，、、在同一平面内，点、、在一条水平直线上．已知米，米，米，米，人从点远眺塔顶，视线恰好经过竹竿的顶端．根据以上信息，求塔的高度． 23. 某商店购进一批成本为每件30元的商品，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示． （1）求该商品每天的销售量y与销售单价x之间的函数关系式； （2）若商店按单价不低于成本价，且不高于50元销售，则销售单价定为多少，才能使销售该商品每天获得的利润w（元）最大？最大利润是多少？ 24. 如图，已知直线交双曲线于点和点B，点为x轴上一动点，直线交直线于点C，交双曲线于点D． （1）求a和k值； （2）若，请求出m的值． 25. 如图，以的边上一点为圆心的圆经过、两点，且与边交于点，，连接交于点，若． （1）求证：是的切线； （2）若的半径是，求图中阴影部分的面积（结果保留根号和）． 26. 在平面直角坐标系中，已知二次函数（b，c是常数）． （1）当，时，求该函数图象的顶点坐标． （2）设该二次函数图象的顶点坐标是，当该函数图象经过点时，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $