精品解析： 广东省江门市新会区2024—2025学年下学期八年级期末数学试卷

2024－2025学年广东省江门市新会区八年级（下）期末数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列选项中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 若，，则的值是（    ） A. B. C. D. 3. 以下列各组数为边长的三角形不是直角三角形的是（） A. 1、、 B. 1、1、 C. 5、12、13 D. 1、2、 4. 当时，函数的值是（ ） A B. C. D. 3 5. 某农场各用10块面积相同的试验田种植甲、乙两种大豆，收成后对两种大豆产量（单位：吨/亩）的数据统计如下：，，，，则由上述数据推断乙品种大豆产量比较稳定的依据是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，的平分线交于点，若，，则的长为（ ） A B. C. D. 7. 如图，强台风时一棵大树在距离地面的点C处折断，大树顶端的着地点A与大树底端B的距离为，则这棵大树折断前的高度为（ ） A. B. C. D. 8. 如果一次函数的函数值y随x的增大而减小，则函数的图象可能是（    ） A. B. C. D. 9. 如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，BC的中点，若△DBE的周长是7，则的周长（ ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 14 10. 已知：如图，在正方形外取一点，连接，过点作的垂线交于点，若．下列结论：①≌；②；③；④；⑤．其中正确的个数是（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是__________． 12. 如图，在中，点E、F分别在上，连接．要使四边形是平行四边形，还需添加一个条件，这个条件可以是________（只需写出一个）． 13. 已知某汽车油箱中的剩余油量(升)与汽车行驶里程数(千米)是一次函数关系．油箱中原有油100升，行驶60千米后的剩余油量为70升，那么行驶(千米)后油箱中的剩余油量=____________（升）． 14. 如图，若直线与直线相交于点，当时请写出x的取值范围为______． 15. 如图，四边形是矩形，对角线，相交于点，分别以点，为圆心，大于为半径画弧，两弧相交于点，作射线．若，，则__________． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 计算： （1） （2） 17. 如图，四边形ABCD中，AB＝6，BC＝8，CD＝24，AD＝26，∠B＝90°，求四边形ABCD的面积． 18. 《全国版图知识竞赛（中小学组）》有助于增强学生国家主权意识和民族自豪感．某校为了解学生国家版图等知识掌握情况，从该校八、九年级学生中各随机抽取10名学生参加国家版图知识竞赛，对数据（百分制）进行整理和分析．下面给出了相关信息： 八年级10名学生竞赛成绩是：72，75，80，83，84，85，89，92，92，98． 九年级10名学生的竞赛成绩是：70，71，80，81，86，86，93，93，93，97． 八、九年级各抽取10名学生党赛成绩统计表： 年级 平均数 中位数 众数 八年级 85 84.5 九年级 85 93 根据以上信息，解答下列问题： （1）直接写出的值； （2）根据以上数据分析，你认为该校八、九年级中哪个年级学生的国家版图知识竞赛成绩较好？并说明理由；（写出一条理由即可） （3）若该校八年级有400名学生、九年级有300名学生参加此次国家版图知识竞赛，请估计该校八、九年级参加此次国家版图知识竞赛成绩优秀（）的学生人数有多少名？ 19. 如图，四边形是菱形，对角线，相交于点O，于点H． （1）若，求的度数； （2）若，，求的长． 20. 如图1，在一个深的圆柱形容器底部放入一个长方体的铁块，现在以一定的速度向容器内注水，图2是容器水面高度随时间的变化图象． （1）放入的长方体的高度为 ； （2）求所在直线的函数表达式； （3）求该容器注满水所用的时间． 21. 小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小明进行了以下的探索： 设（其中均为正整数）， 则有， ． 这样小明就找到了一种把部分化为平方式的方法． 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： （1）当均为正整数时，若，用含m，n的式子分别表示a，b，得______，______； （2）利用所探索的结论，找一组正整数填空：____+____（____+___）； （3）若，且均为正整数，求a的值． 22. 根据以下思考，探索完成任务． 曼哈顿距离的思考 问题背景 很多城市街道交织成格，行人和车辆沿网格线行走，城市街道的抽象涵义是直角坐标系内平行于两条数轴的条条直线．定义城市内街道上两点，之间的距离为，称为曼哈顿距离（简称为曼距），曼哈顿距离也叫出租车几何，是在19世纪由赫尔曼·闵可夫斯基提出来的． 素材1 如图，在平面直角坐标系中，点与点之间的曼距，可得矩形上及内部的任意格点（坐标为整数的点）为，都有． 素材2 在城市里有一个社区，其中的相邻道路恰可以近似地用过直角坐标系内格点的平行线表示（如图）．该社区内有数个火警高危点，为了消防安全，拟在某个格点位置设立消防站，其中格点位置四通八达． 任务1 探求消防站位置 若火警高危点，消防站的坐标为，且与点的曼距，请求出消防站的位置； 任务2 选择最适合位置 若火警高危点，，按设计要求最小，则下列5个点中最适合设为消防站的是___________；（写出所有正确的序号） A． B． C． D． E． 任务3 拟定最短曼距方案 如图，一条笔直的公路起点为，点为公路上一点．若消防站在原点处，请探究消防站到公路（即射线）上一点的曼距的最小值． 23. 已知，四边形是正方形，，D是x轴上一点，以D为直角顶点向右侧构造等腰直角三角形，设点D坐标为． （1）如图1，点E的横纵坐标之间是否满足某种函数关系？若有请写出并证明，若无请说明理由． （2）如图2，若点D是线段上一点（不与O、A重合）且与交于点F，连接请判断线段，，的数量关系并证明． （3）如图3，若点G，H分别是线段，的中点，连接，，是否存在最小值，若存在请求出最小值时点D坐标，若不存在请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024－2025学年广东省江门市新会区八年级（下）期末数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列选项中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式，掌握最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式是解题的关键．根据最简二次根式的概念逐一判断即可． 【详解】解：A、，不是最简二次根式，故该选项不符合题意； B、，不是最简二次根式，故该选项不符合题意； C、是最简二次根式，故该选项符合题意； D、，不是最简二次根式，故该选项不符合题意． 故选：C． 2. 若，，则的值是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的应用，二次根式的计算，代数式求值，熟练掌握运算法则是解题的关键． 利用平方差公式将分解为，直接代入已知条件计算即可． 【详解】，， ∴ 因此，的值为． 故选：D． 3. 以下列各组数为边长的三角形不是直角三角形的是（） A. 1、、 B. 1、1、 C. 5、12、13 D. 1、2、 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，掌握知识点是解题的关键． 根据勾股定理的逆定理，逐一验证各选项是否满足“较小两边的平方和等于最大边的平方”，若不满足则为所求答案． 【详解】解：选项A：边长为1、、．最大边为，验证，与相等，是直角三角形，不符合题意． 选项B：边长为1、1、．最大边为，验证，与不相等，不满足勾股定理，不是直角三角形，符合题意． 选项C：边长为5、12、13．最大边为13，验证，与相等，是直角三角形，不符合题意． 选项D：边长为1、2、．最大边为2，验证，与相等，是直角三角形，不符合题意． 故选B． 4. 当时，函数的值是（ ） A. B. C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查求二次函数的函数值，将代入解析式，进行计算即可． 【详解】解：当时，； 故选B． 5. 某农场各用10块面积相同的试验田种植甲、乙两种大豆，收成后对两种大豆产量（单位：吨/亩）的数据统计如下：，，，，则由上述数据推断乙品种大豆产量比较稳定的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：根据平均数和方差的意义，方差就是和中心偏离的程度，用来衡量一批数据的波动大小（即这批数据偏离平均数的大小）在样本容量相同的情况下，方差越大，说明数据的波动越大，越不稳定 ． 故选B． 6. 如图，在中，的平分线交于点，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，角平分线的定义、等腰三角形的判定等知识，解题的关键是掌握平行四边形的性质和等角对等边．根据平行四边形的性质可得，，，根据角平分线的性质，则，根据平行线的性质，则，根据等角对等边，可得，根据即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 7. 如图，强台风时一棵大树在距离地面的点C处折断，大树顶端的着地点A与大树底端B的距离为，则这棵大树折断前的高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据大树的折断部分与未断部分、地面恰好构成直角三角形，再根据勾股定理求出直角三角形的斜边的长度，进而可得出结论． 【详解】解：∵树折断部分与未断部分、地面恰好构成直角三角形， ∴原来树的高度为， ∴这棵树原来的高度． 即：这棵大树在折断前的高度为18m. 故选：D． 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，熟知直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方和是解答此题的关键． 8. 如果一次函数的函数值y随x的增大而减小，则函数的图象可能是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一次函数的性质、一次函数的图象，解答本题的关键是熟练掌握一次函数的图象与性质． 根据一次函数的函数值y随x的增大而减小，可知，然后即可得到函数的图象经过哪几个象限，本题得以解决． 【详解】解：一次函数的函数值y随x的增大而减小， ， ， 函数的图象经过第一、三、四象限． 故选：B． 9. 如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，BC的中点，若△DBE的周长是7，则的周长（ ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 14 【答案】D 【解析】 【分析】利用三角形中位线定理计算即可； 【详解】∵点D、E分别是边AB、BC的中点， ∴，，， ∴，，， ∴的周长； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理，准确计算是解题的关键． 10. 已知：如图，在正方形外取一点，连接，过点作的垂线交于点，若．下列结论：①≌；②；③；④；⑤．其中正确的个数是（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】C 【解析】 【分析】①利用同角余角相等，易得，再结合已知条件利用可证两三角形全等；②先说明，结合是等腰直角三角形，即，然后根据求解即可判定；③先说明是等腰直角三角形，再运用勾股定理求，然后用勾股定理求得即可；④过B作，交的延长线于F，先说明由是等腰直角三角形可求得，进而求得，用勾股定理可求 ，连接，求出的面积，然后减去的面积即可； 根据④求得的长，再结合正方形的性质即可判定． 【详解】解：①∵ ∴ 又∵， ∵在和中， ∴；故①正确； ②∵， ∴， ∵ ∴， ∴，即； ∵过点A作的垂线交于点P．若 ∴是等腰直角三角形，即 ∴故②正确； ③∵， ， ∴， ， 又∵②中， ∴ ，故③正确； ④如图：过B作，交延长线于F， 又∵③中， ∴ ∴ 又∵， ∴ ， ∴ ∴ 如图，连接， ∵， ∴ ， ∴ ，故④正确． ⑤∵正方形， ∴，故⑤错误； 综上可知其中正确结论的序号是①②③④共4个． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质的运用、正方形的性质的运用、正方形和三角形的面积公式的运用、勾股定理的运用等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质的运用、正方形的性质的运用、正方形和三角形的面积公式的运用、勾股定理的运用等知识是解答本题的关键． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，理解二次根式有意义的条件是解题关键．根据二次根式的意义可得，求解即可． 【详解】解：根据题意，得， 解得：． 故答案为：． 12. 如图，在中，点E、F分别在上，连接．要使四边形是平行四边形，还需添加一个条件，这个条件可以是________（只需写出一个）． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，根据平行四边形的性质可得，再根据平行四边形的判定定理添加条件即可． 【详解】解：在中，，即， 则可添加，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可证明四边形是平行四边形， 故答案为：（答案不唯一）． 13. 已知某汽车油箱中的剩余油量(升)与汽车行驶里程数(千米)是一次函数关系．油箱中原有油100升，行驶60千米后的剩余油量为70升，那么行驶(千米)后油箱中的剩余油量=____________（升）． 【答案】 【解析】 【分析】根据汽车油箱原有油、行驶距离及剩余油量，可计算出每千米耗油量，用油箱原有减去行驶千米耗油量，即可得到剩余油量． 【详解】∵原有油100升，行驶60千米后的剩余油量为70升 ∴每千米耗油量：（升/千米） ∴行驶(千米)后油箱中的剩余油量为：（升） 故答案为：． 【点睛】本题考查一次函数的知识点，解题的关键是一次函数与实际问题的联系． 14. 如图，若直线与直线相交于点，当时请写出x的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数与一元一次不等式，利用数形结合思想是解题关键．点代入求得P点的坐标，根据图象即可得出当时请写出x的取值范围． 【详解】解：直线与直线相交于点， ，解得， ， 由图象可知，当时x的取值范围为 故答案为： 15. 如图，四边形是矩形，对角线，相交于点，分别以点，为圆心，大于为半径画弧，两弧相交于点，作射线．若，，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、作角平分线，勾股定理，解决本题的关键是证明．由作图过程可得是的角平分线，结合题意，证明，得出根据矩形的性质进而得，进而勾股定理，即可求解． 【详解】解：如图，设，交于点 四边形是矩形， ，， 由作图过程可知：是的角平分线， ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴ ，则， ， 故答案为：． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，二次根式的性质，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算． （1）先根据二次根式性质进行化简，然后再根据二次根式加减运算法则进行计算即可； （2）根据二次根式混合运算法则进行计算即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 17. 如图，四边形ABCD中，AB＝6，BC＝8，CD＝24，AD＝26，∠B＝90°，求四边形ABCD的面积． 【答案】S四边形ABCD＝144 【解析】 【分析】连接AC，根据勾股定理求出AC，根据勾股定理的逆定理求出△ACD是直角三角形，分别求出△ABC和△ACD的面积，即可得出答案． 【详解】解：连接AC， 在△ABC中， ∵∠B=90°，AB=6，BC=8， ∴AC==10， S△ABC=AB•BC=×6×8=24， 在△ACD中， ∵CD=24，AD=26，AC=10， ∴CD2+AC2=AD2， ∴△ACD是直角三角形， ∴S△ACD=AC•CD=×10×24=120． ∴四边形ABCD的面积=S△ABC+S△ACD=24+120=144． 【点睛】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理的应用，解此题的关键是能求出△ABC和△CAD的面积，注意：如果一个三角形的两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形． 18. 《全国版图知识竞赛（中小学组）》有助于增强学生国家主权意识和民族自豪感．某校为了解学生国家版图等知识的掌握情况，从该校八、九年级学生中各随机抽取10名学生参加国家版图知识竞赛，对数据（百分制）进行整理和分析．下面给出了相关信息： 八年级10名学生的竞赛成绩是：72，75，80，83，84，85，89，92，92，98． 九年级10名学生竞赛成绩是：70，71，80，81，86，86，93，93，93，97． 八、九年级各抽取10名学生党赛成绩统计表： 年级 平均数 中位数 众数 八年级 85 84.5 九年级 85 93 根据以上信息，解答下列问题： （1）直接写出的值； （2）根据以上数据分析，你认为该校八、九年级中哪个年级学生的国家版图知识竞赛成绩较好？并说明理由；（写出一条理由即可） （3）若该校八年级有400名学生、九年级有300名学生参加此次国家版图知识竞赛，请估计该校八、九年级参加此次国家版图知识竞赛成绩优秀（）的学生人数有多少名？ 【答案】（1） （2）见解析（答案不唯一） （3）240名 【解析】 【分析】本题考查了平均数，中位数，众数，以及用样本估计总体． （1）根据中位数和众数的定义求解即可； （2）从中位数和众数中选一个说明即可； （3）把八、九年级优秀人数相加即可． 【小问1详解】 ∵八年级10名学生的竞赛成绩出现次数最多的是92， ∴． ∵九年级10名学生的竞赛成绩从小到大排列排在第5和第6位的数是86，86， ∴； 【小问2详解】 九年级学生国家版图知识竞赛成绩较好．理由如下（写出一条理由即可）： ①九年级被抽取的学生国家版图知识竞赛成绩的中位数86大于八年级被抽取的学生国家版图知识竞赛成绩的中位数84.5． ②九年级被抽取的学生国家版图知识竞赛成绩的众数93大于八年级被抽取的学生国家版图知识竞赛成绩的众数92． 【小问3详解】 （名） 答：估计该校八、九年级参加此次国家版图知识竞赛成绩优秀的学生人数有240名． 19. 如图，四边形是菱形，对角线，相交于点O，于点H． （1）若，求的度数； （2）若，，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了菱形性质，等腰三角形的性质，勾股定理． （1）由菱形的性质得到，进而由等边对等角即可得到的度数； （2）由勾股定理得到，进而由等面积法即可求出的长． 【小问1详解】 解：∵四边形是菱形， ∴ ∴； 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形 ∴，， ∴在中， ∵， ∴， ∴． 20. 如图1，在一个深的圆柱形容器底部放入一个长方体的铁块，现在以一定的速度向容器内注水，图2是容器水面高度随时间的变化图象． （1）放入的长方体的高度为 ； （2）求所在直线的函数表达式； （3）求该容器注满水所用的时间． 【答案】（1）20 （2） （3）容器注满水所用的时间为 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，正确理解图象的意义是解题的关键． （1）分析函数图象即可求解； （2）利用待定系数法求一次函数解析式； （3）将代入，即可求解容器注满水所用的时间． 【小问1详解】 解：由函数图象得，当时，， 3分钟后图象发生变化，即水面超过小长方体， ∴放入的长方体的高度为， 故答案为：20； 【小问2详解】 解：设所在直线的函数表达式为：， 则代入得：, 解得：， ∴所在直线的函数表达式为； 【小问3详解】 解：当时，则， 解得：， ∴该容器注满水所用的时间为． 21. 小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小明进行了以下的探索： 设（其中均为正整数）， 则有， ． 这样小明就找到了一种把部分化为平方式的方法． 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： （1）当均为正整数时，若，用含m，n的式子分别表示a，b，得______，______； （2）利用所探索的结论，找一组正整数填空：____+____（____+___）； （3）若，且均为正整数，求a的值． 【答案】（1）， （2）7，2，1，1（答案不唯一） （3）21或9 【解析】 【分析】（1）根据完全平方公式运算法则，即可得出a、b的式子； （2）首先确定好m、n的正整数值，然后根据（1）的结论即可求出a、b的值； （3）根据题意，，首先确定整数m、n的值，通过分析或者，然后即可确定好a的值． 【小问1详解】 解∶， ， 故答案为∶ ，； 【小问2详解】 解∶设，， 由（1）知：，， 故答案为：7，2，1，1（答案不唯一）； 【小问3详解】 解∶， ， ， 均为正整数， 或， 当时，， 当时，， 综上，a的值为21或9 22. 根据以下思考，探索完成任务． 曼哈顿距离的思考 问题背景 很多城市街道交织成格，行人和车辆沿网格线行走，城市街道的抽象涵义是直角坐标系内平行于两条数轴的条条直线．定义城市内街道上两点，之间的距离为，称为曼哈顿距离（简称为曼距），曼哈顿距离也叫出租车几何，是在19世纪由赫尔曼·闵可夫斯基提出来的． 素材1 如图，在平面直角坐标系中，点与点之间的曼距，可得矩形上及内部的任意格点（坐标为整数的点）为，都有． 素材2 在城市里有一个社区，其中的相邻道路恰可以近似地用过直角坐标系内格点的平行线表示（如图）．该社区内有数个火警高危点，为了消防安全，拟在某个格点位置设立消防站，其中格点位置四通八达． 任务1 探求消防站位置 若火警高危点，消防站的坐标为，且与点的曼距，请求出消防站的位置； 任务2 选择最适合位置 若火警高危点，，按设计要求最小，则下列5个点中最适合设为消防站的是___________；（写出所有正确的序号） A． B． C． D． E． 任务3 拟定最短曼距方案 如图，一条笔直的公路起点为，点为公路上一点．若消防站在原点处，请探究消防站到公路（即射线）上一点的曼距的最小值． 【答案】任务1：或；任务2：ABE；任务3： 【解析】 【分析】（1）根据曼哈顿距离的定义进行求解即可； （2）分别算出五个点作为D点时的值即可得到答案； （3）先求出直线的解析式为，设，则，再分当时， 当时，两种情况求出的最值情况即可得到答案. 【详解】解：任务1：∵， ∴， ∴， ∴， ∴消防站的位置为或； 任务2：当选作为D点时， ∵，， ∴，， ∴； 同理当作为D点时，； 当作为D点时，； 当作为D点时，； 当作为D点时，； ∴当选则或或时最小， 故答案为：ABE； 任务3：设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 设， ∴， 当时，， ∴此时当时，有最小值； 当时，， ∴此时， 综上所述，得到最小值． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形，一次函数与几何综合，正确理解题意是解题的关键． 23. 已知，四边形是正方形，，D是x轴上一点，以D为直角顶点向右侧构造等腰直角三角形，设点D的坐标为． （1）如图1，点E的横纵坐标之间是否满足某种函数关系？若有请写出并证明，若无请说明理由． （2）如图2，若点D是线段上一点（不与O、A重合）且与交于点F，连接请判断线段，，的数量关系并证明． （3）如图3，若点G，H分别是线段，的中点，连接，，是否存在最小值，若存在请求出最小值时点D坐标，若不存在请说明理由． 【答案】（1），证明见解答 （2），证明见解答 （3）存在， 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形面积等知识点，灵活构造全等三角形证明关键边和角相等是解答本题的关键． （1）通过辅助线构造，可得，，然后根据点E的横纵坐标之间的关系求解答案． （2）延长，使，连接根据证明，得出，，然后再证明即可得出结论． （3）先根据（1）中结论得出点H的轨迹，然后确定当点H在线段上时有最小值，再根据的面积求出点H的坐标，进而求出点E的纵坐标，然后根据（1）中即可求解． 【小问1详解】 解：点E横纵坐标之间的函数关系为： 理由：如图，过点E向x轴作垂线，垂足为 是等腰直角三角形， ，， 在和中，， ， ， 设点E坐标为， ，， 故点E的横纵坐标所满足的函数关系式为 【小问2详解】 解：结论： 证明：如图，延长，使，连接 根据题意可知，，， ∴， ∴， 是等腰直角三角形， ， 在和中，， ， ， 【小问3详解】 解：由（1）可知，点E横纵坐标满足函数关系式 点H为线段的中点， 点H横纵坐标为：，， ， 代入得： 点H在直线上． 当点H位于直线与的交点时，存在最小值，为的长度． 设此时点H的坐标为， ，，， 点H坐标为， ，， 由（1）知：， ， 点D的坐标为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$