精品解析：广东省两校2025届高三上学期1月第一次模拟考试数学试题

广东省2025届高三年级省内两校一月第一次模拟 命题人：客路中学、龙门中学高三教研组 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，请2B用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，本试卷和答题卡一并交回，严禁外传． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集为：的定义域为集合．的解集为集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 设为双曲线上一点，，分别为双曲线的左，右焦点，若，则等于（ ） A. 2 B. 2或18 C. 4 D. 18 3. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 4. 在等差数列中，，且，则等于（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 5. 口袋内放有大小相同的2个红球和1个白球，有放回地每次摸取一个球，定义数列为，如果为数列的前项和，那么的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 设复数满足，则的共轭复数（ ） A. B. C. D. 7. 已知复数z满足，则的虚部为（ ） A. B. 1 C. D. i 8. 已知函数f(x)＝x(lnx－ax)有两个极值点，则实数a的取值范围是(　　 ) A. (－∞，0) B. C. (0,1) D. (0，＋∞) 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 某数学学习小组甲、乙、丙三人分别构建了如图所示的正四棱台①，②，③，从左往右.若上底面边长、下底面边长、高均依次递增，记正四棱台①，②，③的侧棱与底面所成的角分别为，，，正四棱台①，②，③的侧面与底面所成的角分别为，，，则（ ） A. B. C. D. 10. 若，满足，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知圆和圆相切，则实数的值可以是（ ） A. B. C. 0 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数，若，则__________． 13. 设函数，则在上的零点个数是________． 14. 如图，左边是编号为、、、的型钢板，右边是编号为甲、乙、丙的型钢板，现将两堆钢板自上而下地混合堆放在一起，则型钢板均不相邻的放法共________种，乙号钢板上方的型钢板的编号之和与其下方的型钢板的编号之和相等的放法共________种．（用数字作答） 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知函数，其中． （1）求函数的最小正周期和单调递增区间； （2）若时，的最小值为4，求的值． 16. 已知函数. （1）曲线在点处的切线方程； （2）曲线过点的切线方程. 17. 如图，四边形ABCD与BDEF均为菱形，FA=FC，且∠DAB=∠DBF=60°. （1）求证：AC⊥平面BDEF； （2）若菱形BDEF边长为2，求三棱锥E-BCD的体积. 18. 若无穷项数列满足（，，为常数，且），则称数列为“数列”. （1）设，，若首项为1的数列为“数列”，求； （2）若首项为1的等比数列为“数列”，求数列的通项公式及前项和； （3）设，，若首项为1的数列为“数列”，记数列的前项和为，求所有满足的值. 19. 为了研究学生每天整理数学错题的情况，某课题组在某市中学生中随机抽取了100名学生调查了他们期中考试的数学成绩和平时整理数学错题情况，并绘制了下列两个统计图表，图1为学生期中考试数学成绩的频率分布直方图，图2为学生一个星期内整理数学错题天数的扇形图.若本次数学成绩在110分及以上视为优秀，将一个星期有4天及以上整理数学错题视为“经常整理”，少于4天视为“不经常整理”. 已知数学成绩优秀的学生中，经常整理错题的学生占.    数学成绩优秀 数学成绩不优秀 合计 经常整理 不经常整理 合计 （1）求图1中的值； （2）根据图1、图2中的数据，补全上方列联表，并根据小概率值的独立性检验，分析数学成绩优秀与经常整理数学错题是否有关? 附： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广东省2025届高三年级省内两校一月第一次模拟 命题人：客路中学、龙门中学高三教研组 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，请2B用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，本试卷和答题卡一并交回，严禁外传． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集为：的定义域为集合．的解集为集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出的定义域确定出，求出已知不等式的解集确定出，找出与补集的交集即可． 【详解】由，得到，即，即， ， 不等式，变形得：， 解得：或，即， ， 则， 故选：C． 2. 设为双曲线上一点，，分别为双曲线的左，右焦点，若，则等于（ ） A. 2 B. 2或18 C. 4 D. 18 【答案】B 【解析】 【分析】利用双曲线的定义即可求解. 【详解】根据双曲线的定义，，即，解得2或18，均满足. 故选：B 3. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的解析式，列出使函数解析式有意义的不等式组，求出解集即可. 【详解】要使函数有意义， 则，解得且， 故函数的定义域为． 故选：B． 4. 在等差数列中，，且，则等于（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列的通项公式进行计算. 【详解】由题知，等差数列的通项， 于是. 故选：B 5. 口袋内放有大小相同的2个红球和1个白球，有放回地每次摸取一个球，定义数列为，如果为数列的前项和，那么的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】说明共摸球七次，只有两次摸到白球，由于每次摸球的结果数之间没有影响，故可以用独立事件的概率乘法公式求解． 【详解】由题意说明共摸球七次，只有两次摸到白球，由于每次摸球的结果数之间没有影响，摸到红球的概率是，摸到白球的概率是. 故共摸球七次只有两次摸到白球的概率是， 故选：B． 6. 设复数满足，则的共轭复数（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的除法运算法则可求得，进而根据共轭复数的定义可求得. 【详解】由题意得，即． 故选：A. 7. 已知复数z满足，则的虚部为（ ） A. B. 1 C. D. i 【答案】A 【解析】 【分析】先由复数的四则运算法则求出，再由共轭复数的概念表示出，即可求解. 【详解】由题，，则，则， 故的虚部为. 故选：A. 8. 已知函数f(x)＝x(lnx－ax)有两个极值点，则实数a的取值范围是(　　 ) A. (－∞，0) B. C. (0,1) D. (0，＋∞) 【答案】B 【解析】 【详解】函数f（x）=x（lnx﹣ax），则f′（x）=lnx﹣ax+x（﹣a）=lnx﹣2ax+1， 令f′（x）=lnx﹣2ax+1=0得lnx=2ax﹣1， 函数f（x）=x（lnx﹣ax）有两个极值点，等价于f′（x）=lnx﹣2ax+1有两个变号零点， 等价于函数y=lnx与y=2ax﹣1的图象有两个交点， 在同一个坐标系中作出它们的图象（如图） 当a=时，直线y=2ax﹣1与y=lnx的图象相切， 由图可知，当0＜a＜时，y=lnx与y=2ax﹣1的图象有两个交点． 则实数a的取值范围是（0，）． 故选B． 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 某数学学习小组甲、乙、丙三人分别构建了如图所示的正四棱台①，②，③，从左往右.若上底面边长、下底面边长、高均依次递增，记正四棱台①，②，③的侧棱与底面所成的角分别为，，，正四棱台①，②，③的侧面与底面所成的角分别为，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】先根据正四棱台的特点分别求出侧棱和底面所成角和侧面和底面所成角，然后分别求出对应的角的正弦余弦和正切值，然后根据选项等式验证即可. 【详解】作正四棱台，连接， 作点在平面内的射影，则在线段上， 过作交于点，， 如图所示， ， 由图可知侧棱与底面所成的角为， 因为底面，平面，所以， 又因为， 且平面，平面，， 所以平面，而平面，所以， 所以为平面与平面的夹角， 即为四棱台侧面与底面所成的角， 令图①四棱台高为，上下底面边长分别为， 则， 同理可得， 所以，B正确； ，同理可得， 所以，D正确； 对于A：， 同理可得， 所以，A错误； 对于C：， 同理可得， 所以，C错误， 故选：BD 【点睛】关键点睛：本题的关键是找到侧棱与底面所成角的平面角和侧面与底面所成角的平面角，进而得到对应的角的三角函数值即可. 10. 若，满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】令，与给定等式联立，利用判别式求解判断AB；变形给定等式，结合基本不等式求解判断CD. 【详解】对于AB，令，则，把代入， 得，整理得，而， 则，解得，A正确，B错误； 对于CD，，解得， 当且仅当且时取等号，C错误； ，解得，当且仅当时取等号，D正确. 故选：AD 11. 已知圆和圆相切，则实数的值可以是（ ） A. B. C. 0 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由圆的标准方程得两圆的圆心与半径，分两圆外切与内切两种情况讨论，利用圆心距与半径的关系列式求解即可． 【详解】圆，圆心为，半径为1， 圆，圆心为，半径为5， 两圆心距离为， 当两圆外切时，有，解得； 当两圆内切时，有，解得. 综上所述，实数的值可以是或0. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数，若，则__________． 【答案】6 【解析】 【分析】根据题中条件，分别讨论和两种情况，解方程，求出，进而可求出结果. 【详解】因为， 当时，，则有，解得，符合题意， 所以； 当时，，则有，无解； 综上所述：. 故答案为6 【点睛】本题主要考查分段函数求值的问题，灵活运用分类讨论的思想，即可求解，属于常考题型. 13. 设函数，则在上的零点个数是________． 【答案】3 【解析】 【分析】利用诱导公式倍角公式和差公式化简，再利用三角函数求值即可得出． 【详解】由题意得 ， 令，则， 所以，即． 令，则，满足条件； 令，则，满足条件；令，则，满足条件； 令，则，不满足条件，则在上的零点个数是3． 故答案为：3． 14. 如图，左边是编号为、、、的型钢板，右边是编号为甲、乙、丙的型钢板，现将两堆钢板自上而下地混合堆放在一起，则型钢板均不相邻的放法共________种，乙号钢板上方的型钢板的编号之和与其下方的型钢板的编号之和相等的放法共________种．（用数字作答） 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】若型钢板均不相邻，先将型钢板任意排列，然后将型钢板插入型钢板形成的个空位中的个空位，结合插空法可求得放法种数；先考虑乙号钢板上方的型钢板的放法，然后再将甲、丙号钢板分相邻和不相邻两种情况讨论，结合分步和分类计数原理可得结果. 【详解】若型钢板均不相邻，先将型钢板任意排列，然后将型钢板插入型钢板形成的个空位中的个空位， 由插空法可知，型钢板均不相邻的放法种数为种； 若乙号钢板上方的型钢板的编号之和与其下方的型钢板的编号之和相等， 则乙号钢板上方的型钢板为、号或、号，此时不同的放法种数为， 然后再放置甲、丙号钢板，分两种情况讨论， 若甲、丙号钢板相邻，则将甲、丙号钢板捆绑，插入其余块钢板形成的个空位中的个空位， 此时，不同的放法种数为种； 若甲、丙号钢板不相邻，则将甲、丙号钢板插入其余块钢板形成的个空位中的个空位中， 此时，不同的放法种数为种. 综上所述，乙号钢板上方的型钢板的编号之和与其下方的型钢板的编号之和相等的放法种数为种. 故答案为：；. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知函数，其中． （1）求函数的最小正周期和单调递增区间； （2）若时，的最小值为4，求的值． 【答案】（1）；单调递增区间为 （2） 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式和两角和公式对函数解析式化简，进而根据周期公式求得函数的最小正周期；利用整体法根据正弦函数的单调性求得函数的单调递增区间． （2）由已知找到取最小值为4时的值，得到关于的方程． 【小问1详解】 ， ． 由，，求得，， 函数的单调递增区间为． 【小问2详解】 由时，，， ， 解得． 16. 已知函数. （1）曲线在点处的切线方程； （2）曲线过点的切线方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）对求导，求得，，再由点斜式方程即可求出曲线在处的切线方程； （2）设切点为，求，，再由点斜式方程求得切线方程为，又切线过点，代入可得，带回方程即可得答案. 【小问1详解】 解：因为，所以，又， 所以曲线在处的切线方程为，即； 【小问2详解】 解：设切点为，则， 所以切线方程为， 因为切线过点，所以，即，解得， 故所求切线方程为． 17. 如图，四边形ABCD与BDEF均为菱形，FA=FC，且∠DAB=∠DBF=60°. （1）求证：AC⊥平面BDEF； （2）若菱形BDEF边长为2，求三棱锥E-BCD的体积. 【答案】 （1）设AC与BD相交于点O，连接FO，如图， 因四边形ABCD为菱形，则，且O为AC中点， 而，于是有，又，平面， 所以平面BDEF； （2）1. 【解析】 【分析】(1)令AC与BD相交于点O，连接FO，证明，即可得解； (2)证明平面，并求出FO的长及的面积即可得解. 【详解】（1）略 （2）因菱形BDEF边长为2，即，显然O为BD中点，因∠DBF=60°，是正三角形，于是得 而，又，平面，因此，平面， 又，平面，平面，即有平面，于是得点到平面的距离为， 在菱形ABCD中，∠DAB=60°，则有都是正三角形，， 所以三棱锥E-BCD的体积. 18. 若无穷项数列满足（，，为常数，且），则称数列为“数列”. （1）设，，若首项为1的数列为“数列”，求； （2）若首项为1的等比数列为“数列”，求数列的通项公式及前项和； （3）设，，若首项为1的数列为“数列”，记数列的前项和为，求所有满足的值. 【答案】（1） （2）答案见解析 （3）1 【解析】 【分析】（1）将，，代入得到周期数列,即可求到的值. （2）由是等比数列、数列可求出，，，进而求出数列的通项公式及前项和. （3）找出的通项，设，然后通过求出. 【小问1详解】 由题意有，，，，则 ，，，，，，，，，，… 一般有，，, 所以. 【小问2详解】 数列是首项为1的等比数列，设其公比为，又为数列，，， 当时，，，.有， 又，，， 于是得，解得，有或， 当时，，，为数列， 当时，，，为数列， 当时，则，，构成以为公差的等差数列，即，有，解得， 于是得，，，为数列， 所以①当，，是大于1的任意正整数，则，； ②当，，，则，. 【小问3详解】 依题意，，，，数列为“数列”， 则，，，，，，，，，，，… ，，，，是公差为1的等差数列，且, 所以且, 所以数列是以首项为9，公比为2的等比数列，所以, 即, 即, 所以 所以，即， 化简得，代入，等式成立. 因为当时，，所以当，方程无解， 综上所述，满足成立的值为1. 【点睛】关键点点睛：根据题目中给的，的条件，分析数列的性质通项公式，考查了等比等差数列的性质和数列的周期性，难度较大. 19. 为了研究学生每天整理数学错题的情况，某课题组在某市中学生中随机抽取了100名学生调查了他们期中考试的数学成绩和平时整理数学错题情况，并绘制了下列两个统计图表，图1为学生期中考试数学成绩的频率分布直方图，图2为学生一个星期内整理数学错题天数的扇形图.若本次数学成绩在110分及以上视为优秀，将一个星期有4天及以上整理数学错题视为“经常整理”，少于4天视为“不经常整理”. 已知数学成绩优秀的学生中，经常整理错题的学生占.    数学成绩优秀 数学成绩不优秀 合计 经常整理 不经常整理 合计 （1）求图1中的值； （2）根据图1、图2中的数据，补全上方列联表，并根据小概率值的独立性检验，分析数学成绩优秀与经常整理数学错题是否有关? 附： 【答案】（1） （2）列联表见解析；认为数学成绩优秀与经常整理数学错题有关联，此推断犯错误的概率不大于； 【解析】 【分析】（1）利用频率分布直方图中各矩形面积和为1建立方程求解即可； （2）根据题目数据补全列联表，代入公式求出观测值，将其与临界值进行对比，进而求解即可. 【小问1详解】 由题意可得，解得； 【小问2详解】 数学成绩优秀的有人，不优秀的人人， 经常整理错题的有人， 不经常整理错题的是人，经常整理错题且成绩优秀的有人，则 数学成绩优秀 数学成绩不优秀 合计 经常整理 35 25 60 不经常整理 15 25 40 合计 50 50 100 零假设为：数学成绩优秀与经常整理数学错题无关， 根据列联表中的数据，经计算得到可得， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为数学成绩优秀与经常整理数学错题有关联，此推断犯错误的概率不大于. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $