精品解析：辽宁省丹东市东港市2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试题

2024－2025学年度下学期期末教学质量监测 八年级数学试题 考试时间：90分钟 满分：100分 第一部分 选择题 一、选择题（本题共10小题，每小题2分，共20分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 下列英文字母中，可以看成既是中心对称又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的概念，熟练掌握两者的判别方法是解题的关键．根据轴对称图形（在平面内沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形）和中心对称图形（在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，旋转后的图形能与原来的图形重合）的概念综合判断即可． 【详解】解：A、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意； B、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不符合题意； C、是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意； D、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意； 故选：C． 2. 若，则下列不等式变形不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是不等式的性质，根据不等式的基本性质，当两边同时乘以一个负数时，不等号方向改变；而加减同一个数或乘以正数时，不等号方向不变． 【详解】解：A：原不等式两边同时乘以，根据不等式性质，乘以负数需改变不等号方向，正确变形应为，但选项A未改变方向，故变形错误． B：两边乘以正数，不等号方向不变，变形正确． C：两边同时加，不等号方向不变，变形正确． D：由移项可得，变形正确． 综上，选项A的变形不符合不等式性质，为正确答案． 故选：A 3. 若不等式组的解集在数轴上表示如图所示，则的值为（ ） A. 3 B. C. 7 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，再根据数轴上表示的不等式组的解集确定的值即可得到答案． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为， 由数轴可知，不等式组的解集为， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 4. 若关于的分式方程有增根，则的值为（ ） A. B. 1 C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查分式方程的增根，熟练掌握分式方程的增根问题是解题的关键．先把分式方程化为整式方程，然后再根据增根可进行求解． 【详解】解：由化简可得：， ∵关于x的分式方程有增根， ∴增根为， ∴， 解得：； 故选：D． 5. 如图，直线与直线相交于点，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式； 根据图象，找出直线在直线上方部分的的取值范围即可． 【详解】解：由图象可知，当时，， 关于的不等式的解集为：， 故选：B． 6. 如图，在中，，以点A为圆心，任意长为半径作弧．分别交于两点，再分别以点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线，交边于点，过点作交于点，若，则的周长是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、角平分线的性质定理以及勾股定理的应用．解题关键是熟练掌握角平分线的性质定理； 由作图知平分，结合（即）和，根据角平分线性质得．利用“”可证，从而得出．由，，算出；根据勾股定理，求得．将周长转化为，利用，进一步转化为，代入，，算出周长． 【详解】解：由作图知：平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ，，， ， 的周长． 故选：C． 7. 在中，，垂足为，为上一点，连接交于点，若，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，证明可得，即得是等腰直角三角形，再根据勾股定理即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 故选：． 8. 如图，在等边中，，垂足为，是上一点，．则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是等边三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，先证明，，，再证明，进一步可得答案． 【详解】解：在等边中，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴； 故选：A 9. 如图，在中，，，为中点，将绕点顺时针旋转得到，点分别在边和的延长线上，连接，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，根据等腰三角形的性质得到，，根据旋转的性质得到，，求得是等边三角形即可得到结论． 【详解】解：，，为的中点， ，， 将绕点顺时针旋转得到， ， 是等边三角形， ∴， 故选：B 10. 如图，是以的对角线为边的等边三角形，点与点关于轴对称，若点的坐标是，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查等边三角形的性质，关于轴对称的点的坐标变化，平行四边形的性质，勾股定理，解此题的关键在于熟练掌握其知识点． 记与x轴相交于F点，，求解，求解，可得，结合平行四边形的性质求解即可． 【详解】解：记与x轴相交于F点，， ∵D与点E关于x轴对称，， ∴，即，，， ∵是等边三角形， ∴， 在中，， ∴， 又∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， 则． 故选D 第二部分 非选择题（共80分） 二、填空题（本题共5小题，每小题2分，共10分） 11. 因式分解：_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分解因式，先提公因式，再利用平方差公式即可． 【详解】解：． 故答案为：． 12. 当________时，分式的值为0． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查分式值为0的条件，根据分式值为0分子为0，分母不为0直接求解即可得到答案； 【详解】解：∵分式值为0， ∴，， ∴， 故答案为：2． 13. 若正多边形的内角和是外角和的2倍，则这个正多边形的一个内角度数是_____． 【答案】##120度 【解析】 【分析】本题考查正多边形的内角和与外角和，一元一次方程，掌握知识点是解题的关键． 设这个正多边形是n边形，根据正多边形的内角和是外角和的2倍，列出一元一次方程，求出n的值，再根据多边形的内角和公式，即可解答． 【详解】解：设这个正多边形是n边形，依题意，得 ， 解得， ∴这个正多边形的一个内角度数是． 故答案为：． 14. 在中，是对角线，的交点，过点作交于点，若，则的度数为_____． 【答案】##40度 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，垂直平分线的判定与性质，平行线的性质，三角形的外角，掌握知识点是解题的关键． 先证明，推导出，再证明是的垂直平分线，可得到，即可解答． 【详解】解：在中，， ∴， ∵，， ∴是的垂直平分线，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 15. 如图，在中，，是锐角，将沿着射线方向平移得到，点的对应点分别是点，，，连接，若在整个平移的过程中，和的度数之间存在二倍关系，则的度数为_____． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，三角形的外角性质，平移的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先理解，且当点E在线段上，或当点E在外时，过点C作，然后进行分类讨论且作图，运用数形结合思路，结合平行线的性质进行列式计算，即可作答． 【详解】解：E在线段上，过点C作，如下图： ， ， ， ，， ，， ∴， ； ， ，， 即 ； （2）点E在外时，过点C作，如下图： ， ， ，， ，， ， 即； ， 由图可知，， 此情况不成立； 综上，或或． 故答案为：或或． 三、解答题（本题共8小题，共70分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. （1）分解因式：； （2）解不等式组：． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】本题考查因式分解，不等式组的解集，掌握知识点是解题的关键． （1）先提取公因式，再利用完全平方公式进行因式分解即可； （2）分别解不等式组中的两个不等式，再确定两个不等式的解集的公共部分即可． 【详解】解：（1）原式； （2） 解不等式①得： 解不等式②得： 所以原不等式组的解集为：. 17. 先化简再求值：，其中． 【答案】． 【解析】 【分析】本题考查的是分式的化简求值，完全平方公式，掌握知识点是解题的关键． 先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把代入进行计算即可． 【详解】解：原式 当时，原式 18. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为． （1）将向右平移3个单位长度，画出平移后的； （2）画出以原点O为对称中心与成中心对称的； （3）在轴上方有一点，当以为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点的坐标为_____． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）或 【解析】 【分析】本题考查平面直角坐标系中平移与中心对称，平行四边形的判定，正确作出图形是解题的关键． （1）根据平移的性质，作图即可； （2）根据中心对称，作图即可； （3）先在平面直角坐标系确定四边形为平行四边形时，点D的位置，即可解答． 【小问1详解】 解：作图如图 【小问2详解】 作图如图 【小问3详解】 如图，在轴上方有一点，当以为顶点的四边形是平行四边形时，点的坐标为或． 故答案为：或． 19. 4月23日是世界读书日，为激发学生的阅读热情，弘扬和传承中华优秀传统文化，某中学计划用3000元购买一批图书用于图书馆更新．实际购买时，书店推出优惠活动：每本图书的价格是原来价格的倍，则学校可以用相同预算比原计划多买25本．求原计划每本图书的价格是多少元？ 【答案】原计划每本图书的价格是40元． 【解析】 【分析】本题考查分式方程的应用，找到等量关系是解题的关键． 设原计划每本图书的价格是x元，根据用3000元购买一批图书用于图书馆更新．实际购买时，书店推出优惠活动：每本图书的价格是原来价格的倍，则学校可以用相同预算比原计划多买25本，列出分式方程，即可解答． 【详解】解：设原计划每本图书的价格是x元，依题意，得 解得 ， 经检验，是原方程的解． 答：原计划每本图书的价格是40元． 20. 如图，在中，对角线，过点A作交于点M，交于点，过点C作交于点，交于点． （1）求证四边形是平行四边形； （2）若，求平行四边形的面积． 【答案】（1）见解析； （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查平行四边形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质、含直角三角形性质等知识点，掌握这些是解题的关键． （1）根据“在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行”，可得，再结合题意即可证明结论； （2）根据题意证明，得；再利用勾股定理求得的长，最后根据公式求三角形面积，即可得平行四边形面积． 【小问1详解】 证明：四边形是平行四边形 即 四边形为平行四边形； 【小问2详解】 四边形是平行四边形 ， 在和中 ， ， ， 在中， 在中， ， ， ， ， ， ． 21. 生态优先，绿色发展，让美丽的地球添上更多“中国绿”．东港市某小区为抓好“园区绿化”，购买了甲，乙两种树苗，已知购买棵甲种树苗和棵乙种树苗共需元，购买棵甲种树苗和棵乙种树苗共需元． （1）求甲，乙两种树苗单价分别是多少元？ （2）为扩大园区绿化面积，该小区准备购进甲，乙两种树苗共100棵，且甲种树苗的棵数不少于乙种树苗棵数的一半，求购买这批树苗的最低费用． 【答案】（1）甲种树苗单价为元，乙种树苗单价为元； （2）购买这批树苗的最低费用为元． 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，求一次函数的解析式，一次函数的图象与性质，解一元一次不等式，熟练掌握一次函数的应用是解题关键． （1）设甲种树苗单价为元，乙种树苗单价为元，根据题意，列出二元一次方程组，解方程，即可求解； （2）设该小区准备购进甲种树苗棵，则乙种树苗棵，设购买这批树苗的费用为元，利用总价单价数量，列出关于的一次函数，结合题意和函数图象，得时，最小，将代入即可求解． 【小问1详解】 解：设甲种树苗单价为元，乙种树苗单价为元，根据题意得： ， 解得：， 答：甲种树苗单价为元，乙种树苗单价为元． 【小问2详解】 解：设该小区准备购进甲种树苗棵，则乙种树苗棵， 设购买这批树苗的费用为元， 根据题意得：， ， 随的减小而减小， 根据题意得：，解得：， 取整数， 最小值为， 当时，最小，最小值为， 答：购买这批树苗的最低费用为元． 22. 已知：和均为等腰三角形，，连接，取中点分别为，连接． 【特例感知】 （1）如图1，当点在边上，点在边上时，则是_____三角形； 【类比探究】 （2）把绕点在平面内旋转得到图2，判断的形状是否改变？请说明理由； 【拓展应用】 （3）如图3，在（2）的条件下，当时． ①判断的形状，并说明理由； ②把绕点在平面内任意旋转，若，，直接写出面积的最大值与最小值． 【答案】（1）等腰；（2）的形状不变，理由见解析；（3）①是等腰直角三角形，理由见解析；②最大值为，最小值为2． 【解析】 【分析】（1）根据线段的和差关系得出，根据三角形中位线定理得出，即可得答案； （2）连接，，利用证明，得出，根据三角形中位线定理可得答案； （3）①连接，，延长，交于，交于，交于，由（2）知，，根据全等三角形的性质，结合三角形内角和定理得出，根据三角形中位线定理，结合平行线的性质得出即可得答案； ②根据勾股定理求出，，根据三角形三边关系得出，根据三角形中位线定理，利用三角形面积公式即可得答案． 【详解】解：（1）∵，， ∴，即， ∵的中点分别为， ∴，， ∴， ∴是等腰三角形． 故答案为：等腰 （2）的形状不改变，理由如下： 如图，连接，， ∵， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵的中点分别为， ∴，， ∴， ∴是等腰三角形． （3）①是等腰直角三角形，理由如下： 如图，连接，，延长，交于，交于，交于， 由（2）知，， ∴， ∵， ∴， ∵的中点分别为， ∴，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形． ②如图，连接， ∵，，，，， ∴，， 解得：（负值舍去），（负值舍去）， ∴，即， ∴的最小值为，最大值为， ∵， ∴的最小值为，最大值为， ∴面积的最大值为，最小值为． 【点睛】本题是一道三角形的综合题，考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，三角形中位线的判定与性质，平行线的性质等知识，构造合理的辅助线，灵活运用三角形中位线性质，是解答本题的关键． 23. 数学活动课上，张老师在黑板写下新定义：“若三角形中存在一个内角的度数恰好是另一个内角度数的两倍，则称这个三角形为“倍角三角形”，同学们好奇地围拢过来，开启了对“倍角三角形”的探究之旅…… （1）张老师给出三个三角形示例，让大家快速判断：一定是“倍角三角形”的是_____（只填写序号）． ①顶角为的等腰三角形； ②等腰直角三角形； ③有一个角是的直角三角形． （2）同学们动手折纸，构造几何模型：如图1，等腰中，，，将沿边所在直线翻折得到，延长到点，交于点，连接． ①张老师抛出猜想：一定符合“倍角三角形”的定义！”请你帮同学们证明这个结论； ②点在线段上，连接，若，分所得的两个三角形中，是“倍角三角形”，是等腰三角形，请直接写出的度数． 【答案】（1）②③； （2）①见解析；②或或19°或． 【解析】 【分析】本题是几何变换综合题，考查折叠的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理、三角形外角的定义和性质等，理解“倍角三角形”的定义是解题的关键． （1）利用“倍角三角形”的定义依次判断即可求解； （2）①由折叠的性质和等腰三角形的性质可求，由等腰三角形的性质可得，可得结论；②分两种情况讨论，由三角形内角和定理和“倍角三角形”的定义可求解． 【小问1详解】 解：若一个三角形是顶角为的等腰三角形， 则两个底角均为， ， 顶角是的等腰三角形不是“倍角三角形”； 若一个三角形是等腰直角三角形， 则三个角分别为，，， ， 等腰直角三角形是“倍角三角形”； 若一个三角形是有一个角为的直角三角形， 则另两个角分别为，， ， 有一个的直角三角形是“倍角三角形”， 故答案为：②③． 【小问2详解】 ①证明：， ， ∵将沿边所在的直线翻折得到， ，，， ， ， 是“倍角三角形”； ②解：由①可得， 如图， ∵等腰三角形， ∴， ∵是“倍角三角形”， 或或或， 当时，， ； 当时，， ； 当时， ∵ ∴， ， ； 当时， ∵ ， ， ． 综上所述：或或19°或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024－2025学年度下学期期末教学质量监测 八年级数学试题 考试时间：90分钟 满分：100分 第一部分 选择题 一、选择题（本题共10小题，每小题2分，共20分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 下列英文字母中，可以看成既是中心对称又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若，则下列不等式变形不正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 若不等式组的解集在数轴上表示如图所示，则的值为（ ） A. 3 B. C. 7 D. 4. 若关于的分式方程有增根，则的值为（ ） A. B. 1 C. D. 3 5. 如图，直线与直线相交于点，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，以点A为圆心，任意长为半径作弧．分别交于两点，再分别以点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线，交边于点，过点作交于点，若，则的周长是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 7. 在中，，垂足为，为上一点，连接交于点，若，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在等边中，，垂足为，是上一点，．则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，，为中点，将绕点顺时针旋转得到，点分别在边和的延长线上，连接，，则的度数为（ ） A B. C. D. 10. 如图，是以对角线为边的等边三角形，点与点关于轴对称，若点的坐标是，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 第二部分 非选择题（共80分） 二、填空题（本题共5小题，每小题2分，共10分） 11. 因式分解：_____． 12. 当________时，分式的值为0． 13. 若正多边形的内角和是外角和的2倍，则这个正多边形的一个内角度数是_____． 14. 在中，是对角线，的交点，过点作交于点，若，则的度数为_____． 15. 如图，在中，，是锐角，将沿着射线方向平移得到，点的对应点分别是点，，，连接，若在整个平移的过程中，和的度数之间存在二倍关系，则的度数为_____． 三、解答题（本题共8小题，共70分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. （1）分解因式：； （2）解不等式组：． 17. 先化简再求值：，其中． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为． （1）将向右平移3个单位长度，画出平移后的； （2）画出以原点O为对称中心与成中心对称的； （3）在轴上方有一点，当以为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点的坐标为_____． 19. 4月23日是世界读书日，为激发学生的阅读热情，弘扬和传承中华优秀传统文化，某中学计划用3000元购买一批图书用于图书馆更新．实际购买时，书店推出优惠活动：每本图书的价格是原来价格的倍，则学校可以用相同预算比原计划多买25本．求原计划每本图书的价格是多少元？ 20. 如图，在中，为对角线，过点A作交于点M，交于点，过点C作交于点，交于点． （1）求证四边形是平行四边形； （2）若，求平行四边形的面积． 21. 生态优先，绿色发展，让美丽的地球添上更多“中国绿”．东港市某小区为抓好“园区绿化”，购买了甲，乙两种树苗，已知购买棵甲种树苗和棵乙种树苗共需元，购买棵甲种树苗和棵乙种树苗共需元． （1）求甲，乙两种树苗单价分别是多少元？ （2）为扩大园区绿化面积，该小区准备购进甲，乙两种树苗共100棵，且甲种树苗的棵数不少于乙种树苗棵数的一半，求购买这批树苗的最低费用． 22. 已知：和均为等腰三角形，，连接，取的中点分别为，连接． 【特例感知】 （1）如图1，当点在边上，点在边上时，则_____三角形； 【类比探究】 （2）把绕点在平面内旋转得到图2，判断的形状是否改变？请说明理由； 【拓展应用】 （3）如图3，在（2）的条件下，当时． ①判断形状，并说明理由； ②把绕点在平面内任意旋转，若，，直接写出面积的最大值与最小值． 23. 数学活动课上，张老师在黑板写下新定义：“若三角形中存在一个内角的度数恰好是另一个内角度数的两倍，则称这个三角形为“倍角三角形”，同学们好奇地围拢过来，开启了对“倍角三角形”的探究之旅…… （1）张老师给出三个三角形示例，让大家快速判断：一定是“倍角三角形”的是_____（只填写序号）． ①顶角为的等腰三角形； ②等腰直角三角形； ③有一个角是的直角三角形． （2）同学们动手折纸，构造几何模型：如图1，在等腰中，，，将沿边所在直线翻折得到，延长到点，交于点，连接． ①张老师抛出猜想：一定符合“倍角三角形”的定义！”请你帮同学们证明这个结论； ②点在线段上，连接，若，分所得两个三角形中，是“倍角三角形”，是等腰三角形，请直接写出的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $