概率统计、立体几何、圆锥曲线知识清单2024-2025学年高二上学期期末数学复习

第9章 统计知识体系 1、 基本概念 1、 全面调查、抽样调查 2、 总体、个体、样本、样本量、样本数据 3、 随机抽样 2、 随机抽样方法 1、 简单随机抽样的四个特征： 具体方法有： 2、 分层随机抽样适合 遵循的两个原则是 、 3、 样本估计总体 1、 频率分布直方图的性质 ① ② ③ 2、 条形图（频数分布条形图、频率分布条形图） 3、 扇形图、折线图（频率分布折线图） 4、 总体百分位数的估计 1、 百分位数的定义 2、 求百分数的方法 ①在原始数据中求百分位数的方法： ， 当为整数时 ；当为小数时 ②在频率分布直方图中，求百分位数的方法 3、 重要的百分位数 5、 总体集中趋势的估计 1、 平均数：①平均数的定义 ②求平均数的方法 A、 在原始样本数据中，求平均数的方法： B、 在频率分布直方图中，求平均数的方法： 2、 众数①众数的定义 ②求众数的方法 A、在原始样本数据中，求众数的方法： B、在频率分布直方图中，求众数的方法： 3、 中位数 ①中位数的定义 ②求中位数的方法 A、 在原始样本数据中，求中位数的方法： 当n为奇数时， ；当n为偶数时， ； B、 在频率分布直方图中，求中位数的方法： 4、 方差、标准差 ①方差的定义： ②标准差的定义： ③方差、标准差的性质 A、 B、 则= ，= ， ④求方差的方法 A、在原始样本数据中，求方差的方法：公式为 B、在频率分布直方图中，求方差的方法： C、在分层抽样中求方法的方法 第一层： 第二层： 两层总样本平均数 = 第一层的方差：= 第二层的方差：= 两层总样本方差为： 5、 平均数与标准差反映的数据分布区间（教材P214） 第10章 概率知识体系 1、 有限样本空间与随机试验 1、 随机试验是在 ，试验和观察记录；结果是唯一且事先不确定，可能结果两次以上且有限。 2、 样本点与样本空间，与集合的关系 ①样本点——个体——集合中的元素 ②样本空间——整体——Ω（全集） ③事件 3、 列举法是列举样本点的方法 可确定三个基本问题 、 、 2、 事件的关系和运算 1、 包含关系： 2、 相等关系： 3、 并（和）事件： 图示： 4、 交（积）事件： 图示： 性质：, 5、 互斥事件与对立事件 ①互斥事件：语言： 图形 ②对立事件：语言： 图形 ③互斥与对立事件的关系： 6、 独立事件 ①独立事件：语言： A、B 相互独立 ②性质 A、 必然事件，不可能事件与 B、 A与B相互独立，则 C、 3、 古典概型 1、 古典概型必须满足两个条件① ② 2、 古典概型公式： 附：计算样本空间的样本点个数公式（以二维为例） 当元素重复时，必须考虑有序， 当元素不重复且有序时， 当元素不重复且无序时， 3、 概率的基本性质 性质1： 性质2： 性质3：A、B互斥时 A、 B不互斥时 = = A、 B相互独立时， A、 B互为对立事件时， 性质4：时， 性质5： , 4、 事件的集合表示 ①事件A、B中至少一个发生 ②事件A、B都发生 ③事件A、B都不发生 ④事件A、B恰有一个发生 ⑤事件A、B中至多一个发生 5、 频率与概率 ①频率： ②概率： ③频率与概率的关系： 6、 随机模拟实验 选择性必修一 第一章 空间向量与立体几何知识体系 1、 空间向量 1、 空间向量的有关概念 ①零向量= ，方向为 ②单位向量 ③两个向量相等 其中不共面 ④两个向量共线 规定： 。 ⑤向量在向量上的投影 ⑥向量在向量上的投影向量 ⑦直线l的方向向量的定义： ⑧平面的法向量的定义： 2、 空间向量的运算 ①加法： （平行四边形法则）= (坐标运算) 的平行六面体法则： ②减法 = (坐标运算) ③数乘向量 ④两个向量的数量积 A、 两个向量夹角的定义： 范围 B、 数量积的定义： = C、 公式 = ； ； 非零向量， 3、 空间向量有关定理 ①空间两个向量共线定理 且 （坐标表示） A、 B、C三点共线 ②空间三个向量共面定理 三个向量共面 A、 B、C、D四点共面 中点表示： M是AB的中点 三角形ABC的重心表示 ③空间向量基本定理 如果三个向量不共面，则空间中任意向量且唯一，其中称为空间中的一组基底，记为。 2、 空间直角坐标系 1、 特殊位置的坐标 ①原点 ②在x轴上的坐标： ③在y轴上的坐标： ④在z轴上的坐标： ⑤在平面xoy上的坐标： ⑥在平面yoz上的坐标： ⑦在平面xoz上的坐标： 2、 空间直角坐标系O-xyz中对称点 ①点关于原点对称的坐标 ②点关于x轴对称的坐标： ③点关于y轴对称的坐标： ④点关于z轴对称的坐标： ⑤点关于平面oxy对称的坐标： ⑥点关于平面oyz对称的坐标：： ⑦点关于平面ozx对称的坐标： 3、 ， 则 , 3、 空间向量在立体几何的应用 1、 平行的向量法 ①直线与直线平行：设分别是直线的方向向量，则 ②直线与平面平行：设是直线方向向量,为平面的法向量，则 ③平面与平面平行：设分别是平面的法向量，则 2、 垂直的向量法 ①直线与直线垂直：设分别是直线的方向向量，则 ②直线与平面垂直：设是直线方向向量,为平面的法向量，则 ③平面与平面垂直：设分别是平面的法向量，则 3、 距离的向量法 ①两点间距离：已知， 则 ②点到直线的距离： ③点到平面的距离：点A是平面内一点，为平面的法向量，点P到平面的距离 4、 角的向量法 ①两条直线的夹角 设分别是直线的方向向量，则两条直线的夹角为，则= = ②直线与平面所成的角 设是直线方向向量,为平面的法向量，直线与平面所成角为，则= ③两个平面的夹角 设分别是平面的法向量，平面的夹角为，则= 第2章 直线与圆的知识体系 1、 直线 1、 倾斜角与斜率 ①直线倾斜角的定义 范围： ②直线的斜率的定义：，已知 ③直线的斜率与倾斜角的关系，当； 当；当 2、 直线的方程 ①直线的点斜式方程 不表示 ②直线的斜截式方程 不表示 ③直线的两点式方程 不表示 ④直线的截距式方程 不表示 ⑤直线的一般式方程 A,B 表示平面直角坐标系内任意直线 ⑥三种常见的直线系方程：平行于直线的方程为 ， 垂直时的方程为 经过直线 3、 直线与直线方程的位置关系 ① 当 时，；特别地， 时， 当 时，；当 时， ② 当 时，；特别地， 时， 当 时，；当 时， 4、 距离公式 ①两点间的距离公式：已知= ②点到直线的距离公式： ③平行直线间的距离公式： 2、 圆 1、 圆的标准方程：已知圆C的圆心 2、 圆的一般方程为 。 3、 圆与方程：的关系 当 表示圆；当 表示点 ； 当 曲线不存在。 。 5、直线与圆的位置关系 已知直线方程为：，圆C的方程为 当 时，直线与圆C相离； 当 时，直线与圆C相切； 当 时，直线与圆C相交，当 直线过圆心。 5、 圆与圆的位置关系 当 时，两圆内含；当 时，两圆内切； 当 时，两圆相交；当 时，两圆外切； 当 时，两圆相离。 第3章 圆锥曲线方程 1、 椭圆 1、 椭圆的定义：动点M满足 且 M的轨迹是椭圆。当 时，M是线段,当 M的轨迹不存在。 2、 椭圆的标准方程 标准方程： . 3、 椭圆的几何性质 标准方程 范围 对称性 定点 焦点 离心率 准线方程 2、 双曲线 1、 双曲线的定义：动点M满足且 M的轨迹为双曲线。 当 时，M的轨迹是两条射线，当 时，M的轨迹不存在。 2、 双曲线的标准方程 3、 双曲线的几何性质 标准方程 范围 对称性 顶点 焦点 渐近线 离心率 准线方程 3、 抛物线 1、 抛物线的定义：动点M满足 M的轨迹为抛物线。 当时，M是 。 2、 抛物线的标准方程 标准方程 标准方程 x2＝2py (p>0) x2＝－2py(p>0) 3、 抛物线的几何性质(p>0) 标准方程 y2＝2px y2＝－2px x2＝2py x2＝－2py 范围 对称性 焦点 准线 顶点 离心率 圆锥曲线第二定义： 动点M 到定点F的距离与到定直线的距离之比等于常数e，当0<e<1时是 当e=1时是 当e>1时是 。常数e是 。 4、 直线与圆锥曲线的关系 1、 直线与椭圆的位置关系 ①直线与椭圆相交有且只有两个公共点 ②直线与椭圆相切有且只有一个公共点 ③直线与椭圆相离无公共点 2、 直线与双曲线的位置关系 ①直线与双曲线相交有且只有两个公共点 ②直线与双曲线有且只有一个公共点直线与双曲线相切或直线平行于双曲线的渐近线。 ③直线与双曲线无公共点或数形结合。 3、 直线与抛物线的位置关系 ①直线与抛物线相交有且只有两个公共点 ②直线与抛物线有且只有一个公共点直线与抛物线相切或直线平行于抛物线的对称轴。 ③直线与抛物线无公共点。 椭圆的常用二级结论 椭圆的常用二级结论： 1．焦点三角形问题：椭圆第一定义：。 若点为椭圆：＋＝1(a>b>0)上一点，F1、F2分别为左、右焦点，： (1)若F为椭圆的焦点，则且，焦点三角形周长为，面积。特别地当点P为短轴端点时，最大且也最大，. (2)若点为椭圆上异于长轴端点的一点，，则离心率 2．焦半径与焦点弦：椭圆第二定义：（为离心率） (1)通径：最短焦点弦(即垂直于长轴的焦点弦中最短的弦)且=. (2)焦半径坐标式：焦点在轴上，则；焦点在y轴上可以类比得出结果(口诀：”左加右减”，左右指左、右焦点；”上加下减”,上下指上、下焦点) 3．斜率之积：椭圆第三定义： (1)椭圆周角定理：直线过椭圆的对称中心且交椭圆＋＝1(a>b>0)于两点(称为中心弦或椭圆直径)，点为椭圆上异于的一点，则(其中均存在且不为0)； (2)椭圆垂径定理：(即中点弦斜率)直线交椭圆＋＝1(a>b>0)于两点，点为弦的中点，则。 双曲线的常用二级结论 双曲线的常用二级结论： 1．焦点三角形问题：双曲线第一定义：． 若点为双曲线：＝1(a>0，b>0)上一点，F1、F2分别为左、右焦点，，则： (1)焦点三角形的焦半径长度：若F为双曲线的焦点，则且． (2)焦点三角形周长：直线过左焦点与双曲线左支交于两点，则． (3)焦点三角形面积：．特别地其中点 P 由实轴端点向远离实轴运动的过程中，θ逐渐减小． 2．焦半径与焦点弦：双曲线第二定义：（为离心率） (1)通径：最短焦点弦(即垂直于实轴的焦点弦中最短的弦)且=． (2)焦半径坐标式：，其中为离心率，为P点横坐标． 当在右支上时，,. 当在左支上时，,. (3)焦点定理弦：已知焦点在轴上的双曲线，经过其焦点的直线交曲线于两点，直线的倾斜角为，，则曲线的离心率满足等式： 3．斜率之积：双曲线第三定义：． (1)双曲线周角定理：直线过椭圆的对称中心且交双曲线：＝1(a>0，b>0)于两点(称为中心弦)，点为双曲线上异于的一点，则(其中均存在且不为0)； (2)双曲线垂径定理：(即中点弦斜率)直线交双曲线：＝1(a>0，b>0)于两点，点为弦的中点，则． 抛物线的常用二级结论 抛物线定义：|PF|＝|PM|，点F不在直线l上，PM⊥l于M.（其中p的几何意义：焦点F到准线l的距离） 一、抛物线焦点弦的常用二级结论： 1、设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)焦点F的弦，且α为AB的倾斜角。若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 (1)x1·x2＝； y1·y2＝－p2； (随焦点动而变). (2)焦半径：①坐标式：|AF|＝x1＋，|BF|＝x2＋ (随焦点位置变动而改变)； ②倾斜角式： (3)焦点弦：①坐标式：|AB|＝x1＋x2＋p；②倾斜角式：|AB|＝；③通径为|AB|min＝2p (4)＋＝为定值(F是抛物线的焦点). (5)焦点弦端点与顶点构成的三角形面积 2、已知AB是过抛物线y2＝2px(p>0)焦点F的弦，且α为AB的倾斜角，过A、B两点分别作准线l的垂线，垂足分别为C、D，设CD的中点为N，AB的中点为M，准线l与x轴交于H点，则 (6)分别以AF、BF为直径的圆均与y轴相切. (7)以AB为直径的圆与准线相切于N，且MN的中点在抛物线上； (8)以A1B1为直径的圆与AB相切于F，即NFAF且AN、BN分别平分. (9)过焦点弦的端点的切线互相垂直相交且交点在准线上，即AN、BN分别于抛物线相切于A、B点且AFBF。 (10)A、O、D三点共线；B、O、C三点共线；轴平分； ( 第 1 页 共 6 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$