精品解析：辽宁省阜新市太平区2024-2025学年八年级下学期7月期末考试数学试题

2024-2025学年度（下）学业质量检测 八年级数学试卷 （本试题23道题，满分120分，考试时间120分钟） 考生注意：所有试题必须在答题卡制定区域内作答，在本试卷上作答无效！ 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”“立夏”“大雪”“芒种”，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的定义. 根据轴对称图形和中心对称图形的定义分别判断即可. 【详解】解：A．该图是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意； B．该图既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意； C．该图既是轴对称图形，又是中心对称图形，故符合题意； D．该图既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意； 故选C． 2. 若不等式组解集为，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了不等式组的解集，熟练掌握不等式组的解集与两个不等式解集间的关系是解题的关键．先求出两个不等式的解集，再结合不等式组的解集确定的取值范围． 【详解】解：由不等式得，由不等式得， ∵不等式组的解集为， ， 解得：， 故选：A． 3. 如图，在四边形中，，添加下列条件后，仍不能判定四边形是平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键． 根据平行四边形的判定方法逐一进行判断即可． 【详解】解：∵，， ∴四边形为平行四边形，故本选项正确，不符合题意； B．∵， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴四边形为平行四边形，故本选项正确，不符合题意； C．， 不能判定四边形为平行四边形，故本选项符合题意； D．∵， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形，故本选项正确，不符合题意； 故选：C． 4. 下列各式因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是关键．根据提公因式法和十字相乘法因式分解各项，即可求解． 【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意； B. ，故该选项不正确，不符合题意； C. ，故该选项正确，符合题意； D. ，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 5. 下列各式中，最简分式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查最简分式的定义，解题的关键是判断分子分母是否有公因式．根据最简分式的定义即可判断． 【详解】解：A. 是最简公式，故此选项符合题意； B. 还有公因式，故此选项不符合题意； C. 还有公因式，故此选项不符合题意； D. 还有公因式，故此选项不符合题意； 故选：A． 6. 下列各命题成立，且它们的逆命题也成立的是（ ）． A. 对顶角相等 B. 直角三角形的两个锐角互余 C. 如果，那么 D. 如果，那么 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查真假命题的判定，逆命题的定义，熟练掌握对顶角性质、直角三角形现锐角互余的性质、等式的性质是解题的关键．先写出每个选项中命题的逆命题，然后再进行判断即可． 【详解】解：A、对顶角相等的逆命题是相等的角是对顶角，此命题是假命题，故此选项不符合题意； B、直角三角形的两个锐角互余的逆命题是三角形中两个角互余的三角形是直角三角形，此命题是真命题，故此选项符合题意； C、如果，那么的逆命题是如果，那么，此命题是假命题，故此选项不符合题意； D、如果，那么的逆命题是如果，那么，此命题是假命题，故此选项不符合题意． 故选：B． 7. 如图，中，，，是的角平分线，是上的中线，过点作于，交于，连结，则线段的长为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，三角形中位线的性质， 先根据角平分线的定义得，再根据，可得，进而得，然后根据求出，最后根据三角形中位线的性质得出答案． 【详解】解：∵平分， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴，点F是的中点． ∵， ∴， ∵点F是的中点，是上的中线， ∴是的中位线， ∴． 故选：B． 8. 如图，在中，点在上，，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是三角形内角和定理，以及等腰三角形的性质．解题的关键是分析各角之间关系的能力，运用所学的三角形知识求解．根据三角形内角和定理以及等腰三角形的性质得，由可得，从而即可求解． 【详解】解：∵，， ，， ∴， 又， ． 故选：． 9. 关于x的方程无解，则m的值为（　　） A. -5 B. -8 C. -2 D. 5 【答案】A 【解析】 【详解】解：去分母得：3x-2=2x+2+m①． 由分式方程无解，得到x+1=0，即x=-1， 代入整式方程①得：-5=-2+2+m， 解得：m=-5． 故选：A． 10. 如图，直线，把一块含角的直角三角板按如图所示的方式放置，点在上，点在上，与相交于点，以A，B为圆心，大于为半径画弧，两弧相交于点P，Q，作直线交直线于点，连接．若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．根据平行线的性质，结合角平分线的定义进行求解即可． 【详解】解：由题意知，是的垂直平分线， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 故选B． 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件、解一元一次不等式．根据二次根式的性质，被开方数大于或等于0，列不等式求解即可． 【详解】解：根据题意， 解得：． 故答案为：． 12. 已知，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是分式求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键． 先根据题意得出，再代入原式进行计算即可． 【详解】解：， ∴，即， ∴． 故答案为：． 13. 一个正多边形的内角和是其外角和的2倍，则这个正多边形的边数是________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查了多边形内角和和外角和综合，设这个正多边形的边数为n，则这个多边形的内角和为，再根据多边形外角和为，结合题意建立方程求解即可． 【详解】解：设这个正多边形的边数为n， 由题意得，， 解得， ∴这个正多边形的边数是6， 故答案为：6． 14. 如图，为等边三角形，，D为边上一动点，过点D作交于点E，作交于点F，连接．当为直角三角形时，线段的长为________． 【答案】1或 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质，分两种情况讨论即，设，则，，求出，证明是等边三角形，推出，利用直角三角形的性质求出，进而得到，建立方程求解即可． 【详解】解：∵为等边三角形，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则，， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵为直角三角形， ∴或， 如图，当时， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 如图，当时， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上，线段的长为或， 故答案为：或． 15. 如图，在中，顶点在轴的负半轴上，，，，将绕点逆时针旋转，每秒旋转，则第秒旋转结束时点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，点的坐标旋转规律，正确找到规律是解题的关键． 先利用勾股定理求出点的坐标，再根据题意得到规律每秒为一个循环，点回到起始位置，则第秒点的位置与第秒点的位置相同，即相当于把点绕点逆时针旋，由此求解即可． 【详解】解：设点A的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∴（正值舍去）， ∴， ∵将绕点逆时针旋转，每秒旋转， ∴每秒为一个循环，点回到起始位置， ∵， ∴第秒点的位置与第秒点的位置相同，即相当于把点绕点逆时针旋转， 如下图， ∴此时点的对应点坐标为， 故答案为：． 三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 因式分解： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是因式分解； （1）提取公因式分解因式即可； （2）先利用完全平方公式分解因式，再提取公因式即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 17. 解不等式组：，并在数轴上表示出解集． 【答案】，在数轴上表示见解析 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的求解，熟练掌握解一元一次不等式的方法是解题的关键； 先求出每个不等式的解集，再取其解集的公共部分，然后在数轴上表示解集即可． 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， 所以不等式组的解集为； 不等式组的解集在数轴上表示如下： 18 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的混合运算、分式的化简求值、分母有理化等知识点，掌握分式的混合运算法则成为解题的关键． 先根据分式的混合运算法则化简，然后再将代入计算即可． 【详解】解： ． 当时，原式． 19. 智慧组成员为了完成一项校园规划设计任务，解决过程中遇到的问题转化为：如图，在平面直角坐标系中，一个三角板的三个顶点分别是． （1）将三角板以点C为旋转中心旋转，画出旋转后对应的； （2）平移三角板，点A的对应点的坐标为，画出平移后对应的． （3）将绕某一点旋转可以得到，请直接写出旋转中心的坐标______． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转和平移，正确找到对应点位置是解题的关键． （1）根据题意可得点C分别是的中点，据此得到的坐标，描出，再顺次连接，C即可； （2）根据点A和点的坐标可知平移方式为向右平移4个单位长度，向下平移6个单位长度，据此确定的坐标，再描出并顺次连接即可； （3）由于是绕点C旋转180度得到，是平移得到的，那么一定是绕某点旋转180度得到，故和的对应点连线的中点即为旋转中心，据此求解即可． 【小问1详解】 解；如图所示，即为所求； 【小问2详解】 解：如图所示，即为所求； 【小问3详解】 解：如图所示，线段的交点即为所求． 故答案为： 20. 2025年，能源汽车产业正进入加速发展的新阶段，我国已成为全球最大的新能源汽车市场，“购买新能源汽车到底划不划算”是消费者关心的话题之一．下面是车身价相同的燃油车与新能源汽车的部分相关信息对比： 燃油车 油箱容积：50升 油价：7.2元/升 续航里程：千米 每千米行驶费用：元 新能源汽车 电池容量：80千瓦时 电价：0.55元/千瓦时 续航里程：千米 每千米行驶费用：元 （1）若燃油车每千米的行驶费用比新能源汽车每千米的行驶费用多0.79元，分别求出这两款车每千米行驶的费用； （2）在（1）的条件下，若燃油车和新能源汽车每年其它费用分别为4240元和7400元，问：每年行驶里程超过多少千米时，买新能源汽车的年费用更低？（年费用年行驶费用年其它费用） 【答案】（1）燃油车每千米的行驶费为元，新能源汽车每千米的行驶费为元 （2）行驶里程超过时，买新能源汽车的年费用更低 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式． （1）根据燃油车每千米的行驶费用比新能源车多元．列出分式方程，求出，即可解决问题； （2）设每年行驶的里程为x千米，根据新能源车的年费用更低，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【小问1详解】 解：依题意得：， 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， 当时，， ， 答：燃油车每千米的行驶费为元，新能源汽车每千米的行驶费为元； 小问2详解】 解：设每年行驶里程为，依题意得： ， 解得， 答：行驶里程超过时，买新能源汽车的年费用更低． 21. 如图，在中，，分别为，的中点，过点作交的延长线于点． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定，三角形的中位线定理，勾股定理，等边三角形的判定与性质，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． （1）根据三角形的中位线定理得，结合，即可求证； （2）证明是等边三角形，，再由勾股定理求解，即可求解． 【小问1详解】 证明：点，分别为边，的中点， 是的中位线，， ，. 又， 四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：如解图，连接， ，， . ， 是等边三角形， ，， ∴， ∴， ∴， ， . 是的中点， ， 即的长为． 22. 如图所示，在同一个坐标系中，一次函数和的图像分别与轴交于点A，B，两直线交于点C．已知，，观察图像并回答下列问题： （1）关于x的方程的解是 ；关于x的不等式的解集是 ； （2）直接写出关于x的不等式组的解集 ； （3）若点C的坐标为． ①的面积为 ； ②在平面内找一点，使得是以为直角边的等腰直角三角形，请直接写出D点的坐标． 【答案】（1）； （2） （3）①；②或或或 【解析】 【分析】本题考查一次函数综合应用，涉及一次函数与一元一次方程，一元一次不等式（组）的关系，等腰直角三角形的性质及应用等． （1）依据题意，利用直线与x轴交点即为时，对应x的值，进而得出答案； （2）依据题意，利用两直线与x轴交点坐标，结合图象得出答案； （3）①利用三角形面积公式求得即可； ②设，可得，，，分两种情况讨论：当为直角边时，，；当为直角边时，，．分别可得关于m、n的方程组，解方程组即可得D点的坐标． 【小问1详解】 解：∵一次函数的图象与x轴交于点， ∴关于x的方程的解是； ∵一次函数的图象与x轴交于点， ∴观察图象可得关于x的不等式的解集是； 故答案为：；； 【小问2详解】 解：∵，， ∴观察图象可得关于x的不等式组的解集为， 故答案为：； 【小问3详解】 解：①∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； ②设， ∵，， ∴，，， 分以下两种情况讨论： 当为直角边时，，， ∴， 解得或， ∴D的坐标为或； 当为直角边时，，， ∴， 解得或， ∴D的坐标为或； 综上所述，D的坐标为或或或． 23. 【问题情境】它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．这种模型称为“手拉手模型”．如果把小等腰三角形的腰长看作是小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大手拉着小手． （1）【模型探究】如图1，若和均为等边三角形，，，，，点、、在同一条直线上，连接，则__________；线段__________；则的度数为__________； （2）【探究证明】如图2，已知，分别以，为直角边向两侧作等腰直角和等腰直角，其中，，，连接，，线段和交于点．请判断线段和的关系，并说明理由； （3）【模型应用】如图3，在中，，，将线段绕着点逆时针旋转至线段，连接，则求的面积． （4）【拓展提高】如图4，和都是等腰直角三角形，，，的位置不变，将在同一平面内摆放，使得点不变，且，连接，，若，请直接写出的长． 【答案】（1），， （2），，理由见解析 （3） （4）或 【解析】 【分析】（1）由可证，可得，，由邻补角的定义可求解； （2）由可证，可得，，由直角三角形的性质可求解； （3）由旋转的性质可得，由可证，可得，，由三角形的面积公式可求解； （4）分两种情况讨论，由勾股定理可求的长，由可证，可得． 【小问1详解】 解：和均为等边三角形， ，，， ，即 在和中， ，， 又， ， 故答案为：，，； 小问2详解】 ，理由如下： 和均为等腰直角三角形， ，， ，即 在和中， ， ，， 又， 综上，． 【小问3详解】 如图所示，作交于点，连接， ， 为等腰直角三角形， ，，， 由旋转的性质可知，，， ，即 ， ，， ， 的面积为， 故答案为：． 【小问4详解】 当点在点上方时，如图，延长交于， ，即 是等腰直角三角形，， ， ， ， 和都是等腰直角三角形，， ，， 即， ， ； 当点在点下方时，如图，延长交于， ，即 是等腰直角三角形，， ，， ， 和都是等腰直角三角形，， ，， 即， ， ， 综上所述：的长为或． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的判定和性质，正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度（下）学业质量检测 八年级数学试卷 （本试题23道题，满分120分，考试时间120分钟） 考生注意：所有试题必须在答题卡制定区域内作答，在本试卷上作答无效！ 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”“立夏”“大雪”“芒种”，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 若不等式组解集为，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在四边形中，，添加下列条件后，仍不能判定四边形是平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列各式因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列各式中，最简分式是（ ） A. B. C. D. 6. 下列各命题成立，且它们的逆命题也成立的是（ ）． A. 对顶角相等 B. 直角三角形的两个锐角互余 C. 如果，那么 D. 如果，那么 7. 如图，中，，，是的角平分线，是上的中线，过点作于，交于，连结，则线段的长为（ ） A. 1 B. C. D. 8. 如图，在中，点在上，，，则等于（ ） A. B. C. D. 9. 关于x的方程无解，则m的值为（　　） A. -5 B. -8 C. -2 D. 5 10. 如图，直线，把一块含角的直角三角板按如图所示的方式放置，点在上，点在上，与相交于点，以A，B为圆心，大于为半径画弧，两弧相交于点P，Q，作直线交直线于点，连接．若，则（ ） A B. C. D. 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是_____． 12. 已知，则__________． 13. 一个正多边形的内角和是其外角和的2倍，则这个正多边形的边数是________． 14. 如图，为等边三角形，，D为边上一动点，过点D作交于点E，作交于点F，连接．当为直角三角形时，线段的长为________． 15. 如图，在中，顶点在轴负半轴上，，，，将绕点逆时针旋转，每秒旋转，则第秒旋转结束时点的坐标是______． 三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 因式分解： （1） （2） 17. 解不等式组：，并在数轴上表示出解集． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 智慧组成员为了完成一项校园规划设计任务，解决过程中遇到的问题转化为：如图，在平面直角坐标系中，一个三角板的三个顶点分别是． （1）将三角板以点C为旋转中心旋转，画出旋转后对应的； （2）平移三角板，点A的对应点的坐标为，画出平移后对应的． （3）将绕某一点旋转可以得到，请直接写出旋转中心的坐标______． 20. 2025年，能源汽车产业正进入加速发展的新阶段，我国已成为全球最大的新能源汽车市场，“购买新能源汽车到底划不划算”是消费者关心的话题之一．下面是车身价相同的燃油车与新能源汽车的部分相关信息对比： 燃油车 油箱容积：50升 油价：7.2元/升 续航里程：千米 每千米行驶费用：元 新能源汽车 电池容量：80千瓦时 电价：0.55元/千瓦时 续航里程：千米 每千米行驶费用：元 （1）若燃油车每千米的行驶费用比新能源汽车每千米的行驶费用多0.79元，分别求出这两款车每千米行驶的费用； （2）在（1）的条件下，若燃油车和新能源汽车每年其它费用分别为4240元和7400元，问：每年行驶里程超过多少千米时，买新能源汽车的年费用更低？（年费用年行驶费用年其它费用） 21. 如图，在中，，分别为，中点，过点作交的延长线于点． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，，求长． 22. 如图所示，在同一个坐标系中，一次函数和的图像分别与轴交于点A，B，两直线交于点C．已知，，观察图像并回答下列问题： （1）关于x的方程的解是 ；关于x的不等式的解集是 ； （2）直接写出关于x的不等式组的解集 ； （3）若点C的坐标为． ①的面积为 ； ②在平面内找一点，使得是以为直角边的等腰直角三角形，请直接写出D点的坐标． 23. 【问题情境】它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．这种模型称为“手拉手模型”．如果把小等腰三角形的腰长看作是小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大手拉着小手． （1）【模型探究】如图1，若和均为等边三角形，，，，，点、、在同一条直线上，连接，则__________；线段__________；则的度数为__________； （2）【探究证明】如图2，已知，分别以，为直角边向两侧作等腰直角和等腰直角，其中，，，连接，，线段和交于点．请判断线段和的关系，并说明理由； （3）【模型应用】如图3，在中，，，将线段绕着点逆时针旋转至线段，连接，则求的面积． （4）【拓展提高】如图4，和都是等腰直角三角形，，，的位置不变，将在同一平面内摆放，使得点不变，且，连接，，若，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$