专题15：一元二次方程根的判别式（5大知识点+8大题型+真题检验） 2025年八年级暑假班预修提升课程（沪教版2024）

2025年新八年级（沪教版2024）暑假班预修提升课程 专题15 一元二次方程根的判别式 知识点一、一元二次方程根的判别式 1、一般地，式子b2﹣4ac 叫做一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）根的判别式，通常用希腊字母“Δ”表示它，即Δ＝b2﹣4ac． 2、利用一元二次方程根的判别式判断方程的根的情况． 一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系： ①当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根； ②当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根； ③当Δ＜0时，方程无实数根． 上面的结论反过来也成立． 3、利用根的判别式判断一元二次方程根的情况的步骤: ①把一元二次方程化为一般形式； ②确定a，b，c的值； ③计算b2﹣4ac的值； ④根据b2﹣4ac的符合判定方程根的情况． 4、运用根的判别式时的注意事项 （1）将方程化成一般形式后才能确定a，b，c 的值． （2）确定a，b，c 的值时不要漏掉符合． 知识点二、一元二次方程根的判别式的逆用 在方程中， （1）方程有两个不相等的实数根﹥0； （2）方程有两个相等的实数根=0； （3）方程没有实数根﹤0. 要点： （1）逆用一元二次方程根的判别式求未知数的值或取值范围，但不能忽略二次项系数不为0这一条件； （2）若一元二次方程有两个实数根则 ≥0. 题型01：判断不含参方程根的情况 应用判别式的两点注意：(1)判别式只适用于一元二次方程,不适用于其他方程； (2) 注意隐含条件,即一元二次方程的二次项系数不为零. 【例1】关于一元二次方程根的情况，下列说法正确的是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】A 【分析】本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1），方程有两个不相等的实数根；（2），方程有两个相等的实数根；（3），方程没有实数根．根据根的判别式即可求出答案． 【详解】解：由△， 一元二次方程有两个不相等的实数根． 故选：A 【例2】下列一元二次方程中，没有实数根的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式与实数根之间的关系，注意根的判别式的各量是一般式的各项系数，根的判别式与实数根的情况之间的关系如下：，一元二次方程有两个不相等的实数根；，一元二次方程有两个相等的实数根；，一元二次方程无实数根． 【详解】解：A选项，则A选项有两个不等实数根，不符合题意； B选项，则B选项有两个不等实数根，不符合题意； C选项方程的一般式为：，则，则C选项有两个不等实数根，不符合题意； D选项方程，则D选项没有实数根，符合题意． 故选：D． 【跟踪训练】 1.一元二次方程的根的情况是（    ） A．只有一个实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．没有实数根 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟知根的判别式与一元二次方程根的关系式解题的关键． 先把一元二次方程化为一般式，然后利用根的判别式求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∴根的判别式， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：B． 2.一元二次方程的根的情况是（ ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，求出的值即可判断求解，掌握一元二次方程根的判别式与一元二次方程根的关系是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根， 故选：． 3.下列一元二次方程中，有两个相等的实数根的方程是（　　） A．x2﹣4＝0 B．4x2+4x+1＝0 C．x2+2x+4＝0 D．x2﹣x﹣1＝0 【分析】判断方程的根的情况，只要看根的判别式Δ＝b2﹣4ac的值的符号就可以了．有两个相等实数根的一元二次方程就是判别式的值是0的一元二次方程． 【解答】解：A、Δ＝0﹣4×1×（﹣4）＝16＞0，该方程有两个不相等的实数根．故本选项不符合题意； B、Δ＝42﹣4×4×1＝0，该方程有两个相等的实数根．故本选项符合题意； C、Δ＝22﹣4×1×4＝﹣12＜0，该方程无实数根．故本选项不符合题意； D、Δ＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣1）＝5＞0，该方程有两个不相等的实数根．故本选项不符合题意； 故选：B． 【点评】此题主要考查了根的判别式．总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0⇔方程没有实数根． 4.下列方程有两个不相等的实数根是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根，分别计算四个方程的根的判别式，再根据判别式的符号判断根的情况即可． 【详解】解：A.， 方程有两个不相等的实数根，符合题意； B. ， 方程有两个相等的实数根，不符合题意； C. ， 方程没有实数根，不符合题意； D. ， 方程有两个相等的实数根，不符合题意， 故选：A． 题型02：判断含参方程根的情况 【例3】关于x的方程的根的情况，下列说法正确的是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，配方法．先计算出方程的判别式，根据判别式的符号即可判断方程根的情况． 【详解】解：关于x的方程， ∵，，， ∴， 所以关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 【例4】已知关于x的一元二次方程，其中a，b满足2a﹣b＝1，关于该方程根的情况，下列判断正确的是（　　） A．无实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 【分析】利用一元二次方程根的判别式即可解决问题． 【解答】解：由题知， 因为一元二次方程为， 整理得，x2﹣2ax+ab0， 则Δ＝（﹣2a）2﹣4（ab）＝4a2﹣4ab+b2+4＝（2a﹣b）2+4． 又因为2a﹣b＝1， 则Δ＝12+4＝5＞0， 所以方程有两个不相等的实数根． 故选：C． 【点评】本题主要考查了根的判别式，熟知一元二次方程根的判别式是解题的关键． 【跟踪训练】 1.利用根的判别式判断方程（为常数）的根的情况是 ． 【答案】有两个不相等的实数根 【分析】本题主要考查了根的判别式，熟知一元二次方程根的判别式是解题的关键． 利用一元二次方程根的判别式即可解决问题． 【详解】解：因为一元二次方程为（为常数）， 则， 所以此一元二次方程有两个不相等的实数根． 故答案为：有两个不相等的实数根． 2.关于x的方程的根的情况是________． 【答案】有两个不相等的实数根 【分析】根据方程的系数及根的判别式，可得出，由偶次方的非负性可得出，进而可得出，即Δ＞0，再由“当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根”，即可得出关于x的方程有两个不相等的实数根． 【详解】解：∵a＝1，b＝1，c＝， ∴． ∵， ∴，即Δ＞0， ∴关于x的方程有两个不相等的实数根． 故答案为：有两个不相等的实数根． 【点睛】本题考查了根的判别式以及偶次方的非负性，利用偶次方的非负性，找出是解题的关键． 3.对于一元二次方程，下列说法不正确的是（    ） A．若是方程的解，则 B．若，则方程必有两个不相等的实数根 C．若，则方程必有两个不相等的实根 D．若，则方程必有两个不相等的实数根 【答案】B 【分析】此题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程的解，一元二次方程根的情况与判别式的关系：方程有两个不相等的实数根；方程有两个相等的实数根，方程没有实数根． 根据解一元二次方程的方法，判别式的意义，一元二次方程的解的定义逐项判断即可． 【详解】解：、将代入方程可得：， ∴本选项说法正确，不符合题意； 、若，则方程为， ∴， ∴程必有两个的实数根，故原说法错误，符合题意； 、∵， ∴， ∴方程必有两个不相等的实数根，原说法正确，不符合题意； 、∵方程中，， ∵， ∴方程有两个不相等的实数根，故原说法正确，不符合题意； 故选：． 题型03：已知根的情况求参数的取值范围（二次项系数为常数） 【例5】关于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0无实数解，则k的取值范围是（　　） A．k＞1 B．k＜1 C．k≥1 D．k≤1 【分析】关于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0无实数解，则Δ＜0，列出不等式解出k的范围即可． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0无实数解， ∴Δ＜0， 即4﹣4k＜0， 解得k＞1． 故选：A． 【点评】此题主要考查了一元二次方程的解法和根的判别式，熟记一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的解与b2﹣4ac的关系：当b2﹣4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；当b2﹣4ac＝0时，方程有两个相等的实数根；当b2﹣4ac＜0时，方程无解是解决问题的关键． 【例6】若关于x的方程有两个不相等的实数根，则直线不经过第 象限． 【答案】三 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一次函数的图像与性质，解题的关键是掌握一元二次方程根的判别式，一次函数的图像与性质．先利用一元二次方程根的判别式的意义得到，然后根据一次函数的性质解决问题． 【详解】解：关于的方程有两个不相等的实数根， ， 解得：， ， 函数过第一、二、四象限，不经过第三象限 故答案为：三． 【跟踪训练】 1.若关于x的方程x2﹣x+a＝0有两个相等的实数根，则实数a的值是（　　） A．﹣4 B．4 C． D． 【分析】若一元二次方程有两个相等的实数根，则方程的根的判别式等于0，由此可列出关于a的等式，求出a的值． 【解答】解：∵x2﹣x+a＝0有两个相等的实数根， ∴（﹣1）2﹣4×1×a＝0， ∴， 故实数a的值是， 故选：D． 【点评】本题主要考查了根的判别式，解答本题的关键是熟练掌握一元二次方程根与系数的关系． 2.若关于x的方程2x2+4x+a＝0有两个不相同的实数根，则a的值可以为　 　 ，（只与一个即可） 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，列出关于a的不等式，解不等式即可． 【解答】解：∵关于x的方程2x2+4x+a＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＝（4）2﹣4×2×a＞0 ＝16﹣8a＞0， 解得a＜2， a＝1， 故答案为：1． 【点评】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据题意列出不等式是解答此类问题的基本方法． 3.已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0有两个实数根． （1）求m的取值范围； （2）若该方程的两个实数根相等．请直接写出m的值，并解这个方程． 【分析】（1）根据一元二次方程根的情况得Δ＝﹣4m≥0，即可求出m的取值范围； （2）根据（1）的取值范围，即可得到m＝4，然后利用因式分解法解方程即可． 【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0有两个实数根， ∴Δ＝（﹣4）2﹣4×1×m≥0， 解得m≤4； （2）若该方程的两个实数根相等，则m＝4， 故方程为x2﹣4x+4＝0， （x﹣2）2＝0， 解得x1＝x2＝2． 【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，由方程根的情况得到根的判别式的符号是解题的关键． 题型04： 已知根的情况求参数的取值范围（二次项系数含参） 解决此类问题的关键是把字母看成已知常数，利用一元二次方程根的情况得到方程中各系数之间的关系式，同时注意“二次项系数不等于0”这一限制条件.. 【例7】若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（    ） A．且 B． C．且 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根．由关于的一元二次方程两个不相等的实数根，可得且，解此不等式组即可求得答案． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：， ， ， 的取值范围是：且． 故选：A． 【例8】如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（　　） A． B．且k≠0 C．且k≠0 D．且k≠0 【分析】首先根据一元二次方程的定义，确定字母k的取值范围，然后结合根的判别式以及二次根式的定义继续求解k的取值范围即可． 【解答】解：∵原方程为一元二次方程， ∴k≠0， ∵原方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：k＜1， 又∵为二次根式， ∴3k+1≥0， 解得：， ∴k的取值范围是且k≠0， 故选：D． 【点评】本题考查根据一元二次方程根的情况判断参数，理解根的判别式，以及一元二次方程的基本定义和二次根式的定义是解题关键． 【跟踪训练】 1.关于的方程有两个不相等的实根，则的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 【答案】D 【分析】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，牢记“当时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．根据二次项系数非零及根的判别式，即可得出关于k的一元一次不等式组，解之即可得出k的取值范围． 【详解】解：∵关于x的方程有两个不相等的实根， ∴ ， 解得：且． 故选：D． 2.若关于x的一元二次方程kx2﹣6x+9＝0有两个不相等的实数根，则整数k的最大值是（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式进行求解即可． 【解答】解：∵关关于x的一元二次方程kx2﹣6x+9＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＝（﹣6）2﹣4k•9＞0，且k≠0， ∴k＜1且k≠0， ∴整数k的最大值为﹣1， 故选：A． 【点评】本题主要考查了一元二次方程的定义和一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），若Δ＝b2﹣4ac＞0，则方程有两个不相等的实数根，若Δ＝b2﹣4ac＝0，则方程有两个相等的实数根，若Δ＝b2﹣4ac＜0，则方程没有实数根． 3.若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x﹣1＝0有两个实数根，则m的取值范围是（　　） A．m≥0 B．m＞0 C．m≥0且m≠1 D．m＞0且m≠1 【分析】先根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到m﹣1≠0且Δ＝22﹣4（m﹣1）×（﹣1）≥0，然后求出两不等式的公共部分即可． 【解答】解：根据题意得m﹣1≠0且Δ＝22﹣4（m﹣1）×（﹣1）≥0， 解得m≥0且m≠1， 即m的取值范围为m≥0且m≠1． 故选：C． 【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．也考查了一元二次方程的定义． 4.若关于x的方程有实数根，则实数k的取值范围是（　　） A．k≠0 B．k≥﹣1且k≠0 C．k≥﹣1 D．k＞﹣1且k≠0 【分析】讨论：当k＝0时，方程化为﹣3x0，方程有一个实数解；当k≠0时，Δ＝（﹣3）2﹣4k•（）≥0，然后求出两个种情况下的k的公共部分即可． 【解答】解：当k＝0时，方程化为﹣3x0，解得x； 当k≠0时，Δ＝（﹣3）2﹣4k•（）≥0， 解得k≥﹣1， 所以k的范围为k≥﹣1． 故选：C． 【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根． 题型05：证明一元二次方程的根的情况 利用根的判别式证明等式的步骤 第1步:把方程看成关于某一字母的方程，并把它化为一般形式; 第2步:在一元二次方程的前提下计算并化简根的判别式; 第3步:对根的判别式△进行整理，得出相关的结论. 【例9】已知关于x的一元二次方程． (1)证明：对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程有一个根为，求m的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解，学会运用非负数判断代数式的符号或范围． （1）判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式△的值的符号就可以了； （2）把代入已知方程，列出关于的一元一次方程，．通过解该方程求得的值． 【详解】（1）解： 方程总有两个不相等的实数根． （2）解：若方程有一个根为， 则． 解得． 【例10】已知关于的方程. (1)当时，求方程的解； (2)证明：无论为何值，此方程总有解. 【答案】(1)； (2)证明见解析． 【分析】（1）当时，转化为一元一次方程，解方程即可； （2）分和讨论即可求解； 本题考查了根的判别式，解一元一次方程，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）当时，原方程为，解得； （2）当时，原方程为一元一次方程，有实数解； 当时，原方程为一元二次方程，且， ∴无论为何值，此方程总有解． 【例11】证明：无论k取何值，关于x的方程恒有实数根 【答案】见详解 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．也考查了根与系数的关系． 分类讨论：当，即，方程变形一元一次方程，有一个实数解；当，即，计算判别式得到，利用得到，则根据判别式的意义得到方程有两个不相等的实数根，然后可判断不论取何值，方程总有实数根； 【详解】证明：当，即， 方程变形为， 解得； 当，即 ， 由于，则， 所以方程有两个不相等的实数根，所以不论取何值，方程总有实数根． 【跟踪训练】 1.已知关于的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)若，且该方程的两个实数根的积为12，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根的判别式及一元二次方程的解法是解本题的关键． （1）表示出根的判别式，判断其值大于等于0即可得证； （2）利用因式分解法可得，再由“该方程的两个实数根的积为12”可求得，计算即可求出m的值． 【详解】（1）证明：， ， 无论取何值时，，即， 原方程总有两个实数根； （2）解：，即：， ， 该方程的两个实数根的积为12 ， ， ， ． 2.已知：关于x的一元二次方程．求证：无论m取何值，该方程总有两个不相等的实数根． 【答案】见解析 【分析】本题考查了根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．根据根的判别式得出，然后说明即可． 【详解】证明：由得， 则， ∵无论m取何值，都有， ∴，即， ∴无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根． 3.已知关于x的方程x2+3mx+2m2﹣1＝0（m为常数）． （1）求证：不论m为何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程有一个根是﹣2，求2025﹣2m2+6m的值． 【分析】（1）证明Δ＞0即可； （2）利用整体代入的思想解决问题即可． 【解答】（1）证明：∵Δ＝（3m）2﹣4（2m2﹣1）＝m2+4＞0， ∴方程总有两个不相等的实数根； （2）解：∵方程有一个根是﹣2， ∴4﹣6m+2m2﹣1＝0， ∴﹣2m2+6m＝3， ∴2025﹣2m2+6m＝2028 【点评】本题考查根的判别式，一元二次方程的解，代数式求值，解题的关键是掌握一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系： ①当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根； ②当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根； ③当Δ＜0时，方程无实数根． 4.已知关于x的一元二次方程x2﹣（k﹣3）x+k﹣5＝0．求证：无论k取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根． 【分析】先计算判别式的值得到Δ＝（k﹣5）2+4＞0，然后根据判别式的意义得到结论． 【解答】证明：∵a＝1，b＝﹣（k﹣3），c＝k﹣5， ∴Δ＝[﹣（k﹣3）]2﹣4（k﹣5）＝k2﹣10k+29＝（k﹣5）2+4＞0， ∴无论k取何值时，方程总有两个不相等实数根． 【点评】本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根是解题的关键． 5.已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+2）x+3k﹣3＝0，求证：该方程总有两个实数根． 【分析】证明判别式的值≥0即可． 【解答】证明：∵Δ＝[﹣（k+2）]2﹣4（3k﹣3）＝k2+4k+4﹣12k+12＝k2﹣8k+16＝（k﹣4）2≥0， ∴该方程总有两个实数根． 【点评】本题考查根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系： ①当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根； ②当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根； ③当Δ＜0时，方程无实数根． 6.已知关于的一元二次方程． (1)当这个方程二次项系数和常数项的符号不同时，证明：该方程一定有两个不相等的实数根； (2)若这个方程有两个不相等的实数根，那么该方程二次项系数和常数项的符号是否一定不同？若是，请证明；若不是，请举出一个反例． 【答案】(1)见解析 (2)不是，见解析 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根． （1）由二次项系数和常数项的符号不同，可得，再由即可得出结论； （2）由一元二次方程的根的判别式，举出一个反例即可得到答案． 【详解】（1）证明：二次项系数和常数项的符号不同， ， ，， 该方程一定有两个不相等的实数根； （2）解：不是，反例（答案不唯一）， 理由如下：方程有两个不相等的实数根， ，满足即可， 反例：，， 即，这个方程有两个不相等的实数根，该方程二次项系数和常数项的符号相同． 题型06：根的判别式与三角形的综合运用 【例12】已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论m取何值时，这个方程总有实数根； (2)若的两边的长是这个方程的两个实数根，第三边的长为3，当是等腰三角形时，求m的值． 【答案】(1)见解析 (2)m的值为 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程： （1）利用一元二次方程根的判别式，即可求解； （2）利用因式分解法求出方程的两根，，，再根据等腰三角形的定义，即可求解． 【详解】（1）解： ， ∴无论m取何值时，这个方程总有实数根． （2）解： ∴，， 当时，三边为3，3，8（舍）， 当时， ，三边为，3，3， ∴m的值为． 【例13】已知等腰三角形ABC的一边长a＝6，另外两边的长b，c恰好是关于x的一元二次方程x2﹣（3k+3）x+9k＝0的两个根，则△ABC的周长为 　 　． 【分析】分a＝6为腰和a＝6为底边两种情况分类讨论即可确定三角形的周长，注意运用三边关系进行验证． 【解答】解：若a＝6为腰，则b、c中还有一腰，即6是方程x2﹣（3k+3）x+9k＝0的一个根， ∴36﹣6（3k+3）+9k＝0， ∴k＝2， 这时方程为x2﹣9x+18＝0， 其根为3、6， ∴△ABC的周长为6+6+3＝15； 若a＝6为底，则b＝c，即方程x2﹣（3k+3）x+9k＝0有两个相等的实根， ∴Δ＝[﹣（3k+3）]2﹣4×9k＝0， 解得：k＝1， 这时方程为x2﹣6x+9＝0， ∴x1＝x2＝3， 但3+3＝6不能围成三角形， 综上可得：△ABC的周长为15． 故答案为：15． 【点评】本题考查的是一元二次方程根的判别式及三角形的三边关系，在解答（2）时要注意分类讨论，不要漏解． 【例14】已知等腰△ABC的底边长为3，两腰长恰好是关于x的一元二次方程kx23＝0的两根，则△ABC的周长为 　 　． 【分析】由题意知方程kx23＝0有两个相等的实数根，据此得出k的值，再利用三角形的周长公式可得答案． 【解答】解：由题意知方程kx23＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝（）2﹣4k×3＝0， 解得：k＝3， ∴原方程为：， 解得：x＝2， 则三角形的三边长度为2、2、3， 则△ABC的周长为7， 故答案为：7． 【点评】此题考查了根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系： ①当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根； ②当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根； ③当Δ＜0时，方程无实数根． 【跟踪训练】 1.等腰三角形的三边的长是a、b、4，其中a、b是方程x2﹣6x+c＝0两个根，则此三角形的三边长是　 　 　． 【分析】先根据一元二次方程的根与系数的关系可得a+b＝6，再根据等腰三角形的定义、三角形的三边关系求解即可． 【解答】解：∵a，b 是方程 x2﹣6x+c＝0 的两个根， ∴a+b＝6， 由等腰三角形的定义，分以下三种情况： （1）若 a＝4，这个三角形是等腰三角形， 则 b＝6﹣a＝2， 此时三角形的三边长是 2，4，4，满足三角形的三边关系定理； （2）若 b＝4，这个三角形是等腰三角形， 则 a＝6﹣b＝2， 此时三角形的三边长是 2，4，4，满足三角形的三边关系定理； （3）若 a＝b，这个三角形是等腰三角形， 则 ， 此时三角形的三边长是 3，3，4，满足三角形的三边关系定理； 综上，此三角形的三边长是 2，4，4 或 3，3，4， 故答案为：2，4，4 或 3，3，4． 【点评】本题考查了根的判别式、三角形的三边关系定理、解一元二次方程、一元二次方程的解等知识点，能求出符合的所有情况是解此题的关键． 2.已知关于x的方程，． (1)求证：无论k为任意实数值方程，总有实数根； (2)若等腰三角形的一边，另两边b、c恰是这个方程的两个根，求三角形的周长． 【答案】(1)证明见解析 (2)5 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，等腰三角形的定义和构成三角形的条件： （1）根据一元二次方程根的判别式进行求解即可； （2）分当等腰三角形的腰长为1时，则是方程的一个根，当底边长为1时，则原方程有两个相等的实数根，两种情况求出k的值进而求出另一个根，再根据构成三角形的条件求解即可． 【详解】（1）证明：由题意得， ， ∴无论k为任意实数值方程，总有实数根； （2）解：当等腰三角形的腰长为1时，则是方程的一个根， ∴， ∴， ∴原方程为， 解得或， ∴底边长为2， ∵， ∴此时不能构成三角形，不符合题意； 当底边长为1时，则原方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， ∴原方程为， 解得， ∵， ∴此时能构成三角形， ∴的周长为． 题型07：综合提升 【例15】定义新运算“⊕”：对于实数m，n，p，q．有[m，p]⊕[q，n]＝mn+pq，其中等式的右边是通常的加法和乘法运算．例如：[4，5]⊕[2，6]＝4×6+5×2＝34． （1）求关于x的方程[x2，x﹣1]⊕[3，2]＝0的根； （2）若关于x的方程[x2+1，x]⊕[1﹣2k，k]＝0有两个实数根，求k的取值范围． 【分析】（1）由新定义的运算，可得到关于x的一元二次方程，解方程即可． （2）由新定义的运算，可得到关于x的一元二次方程，再利用根的判别式进行求解即可． 【解答】解：（1）∵[x2，x﹣1]⊕[3，2]＝0， ∴2x2+3（x﹣1）＝0， ∴2x2+3x﹣3＝0， ∴Δ＝32﹣4×2×（﹣3）＝33＞0， ∴x， ∴x1，x2； （2）∵[x2+1，x]⊕[1﹣2k，k]＝0， ∴（x2+1）k+x（1﹣2k）＝0， 整理得：kx2+（1﹣2k）x+k＝0， ∵方程有两个实数根， ∴Δ＝（1﹣2k）2﹣4k•k≥0，k≠0， 解得：k且k≠0． 【点评】本题主要考查了解一元二次方程，根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．把有新定义运算的方程化为一元二次方程的一般式是解决问题的关键． 【例16】对于一元二次方程，有下列说法： ①若方程有两个不相等的实数根，则方程必有两个不相等的实数根； ②若方程有两个实数根，则方程一定有两个实数根； ③若c是方程的一个根，则一定有成立； ④若是一元二次方程的根，则 其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】①根据根的判别式直接求解即可； ②根据一元二次方程的定义直接判断即可，需使二次项系数不为零才有两个实根； ③将根代入方程中，直接解方程即可； ④根据一元二次方程根的定义，将根直接代入方程求解即可． 【详解】①若方程有两个不相等的实数根，则， 则方程中，，因此必有两个不相等的实数根；故正确； ②若方程有两个实数根，则， 则方程中，若，则不是一元二次方程；故错误； ③若c是方程的一个根，则， ，则或；故错误； ④若是一元二次方程的根，则， 将化简为：；故错误； 故选：A 【点睛】此题考查一元二次方程的根的定义和根的判别式，解题关键是出现方程的根时，直接代入方程即可． 【例17】阅读下列材料：我们发现，关于x的一元二次方程，如果的值是一个完全平方数时，一元二次方程的根不一定都为整数，但是如果一元二次方程的根都为整数，的值一定是一个完全平方数． 定义：两根都为整数的一元二次方程称为“全整根方程”，代数式的值为该“全整根方程”的“最值码”，用表示，即；若另一关于x的一元二次方程也为“全整根方程”，其“最值码”记为，当满足时，则称一元二次方程是一元二次方程的“全整根伴侣方程”． (1)“全整根方程”的“最值码”是______； (2)关于x的一元二次方程（m为整数、且）是“全整根方程”，请求出该方程的“最值码”； (3)若关于x的一元二次方程是（m，n均为正整数）的“全整根伴侣方程”，求的值． 【答案】(1) (2)方程的“最值码”为； (3) 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式以及“全整根方程”的定义，理解新定义的含义是解本题的关键． （1）直接利用新定义计算即可； （）通过的取值范围确定根的判别式的范围，继而根据“整数根”特点确定根的判别式的取值，最后结合为整数确定取值，按照“最值码”定义求解即可； （）依次求出方程和的“最值码”，根据“全整根伴侣方程”的定义列得方程，结合，均为正整数即可求解；读懂题目中“全整根方程”的“最值码”及“全整根伴侣方程”的定义是解题的关键． 【详解】（1）解：“全整根方程”的“最值码”是 ； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵是“全整根方程”， ∴是完全平方数， 即是完全平方数， ∴或或， 解得或或， ∵为整数， ∴， 当时，方程化为 ， ∴； ∴方程的“最值码”为； （3）解：方程的“最值码”为 ， 方程的“最值码”为 ， ∵是的“全整根伴侣方程”， ∴， 即， 整理得，， ∴， 即， ∵，均为正整数， ∴， ∴， ∴． 1、 选择题 1．（2023秋•浦东新区期中）一元二次方程的根的情况是　　 A．只有一个实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根 【分析】根据方程的系数结合根的判别式，可得出△，进而可得出一元二次方程有两个不相等的实数根． 【解答】解：，，， △， 一元二次方程有两个不相等的实数根． 故选：． 【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当△时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键． 2．（2024八年级上·上海闵行·期中）关于的一元二次方程的根的情况是（      ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了对根的判别式的理解和掌握，根据根的判别式进行推理是解答本题的关键． 求出根的判别式的值，根据结果判断它的正、负，根据根的判别式得到答案． 【详解】解：由已知得： 一元二次方程， ， 无论取何值，，即， 一元二次方程有两个不相等的实数根． 故选：． 3．（2024八年级上·上海松江·期中）已知关于x的一元二次方程（a、b为常数，且），这个方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．不能判断 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟知时，一元二次方程有两个不相等的实数根是解题的关键． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选A． 4．（2023春·上海静安·八年级上海市市北初级中学校考期中）下列方程中，有实数解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次根式的被开方数非负性判断未知数的取值，即可判断方程的解． 【详解】解：A、∵， ∴， ∴无实数解，故A错误； B、∵， ∴， ∴， ，故B正确； C、∵，， ∴且， ∴且， ∴无解，故C错误； D、∵， ∴ ， ∴， ∴无解，故D错误； 故选：B． 【点睛】此题考查了解一元二次方程，二次根式的性质，解一元一次方程，正确掌握各知识点是解题的关键． 5．（2023·上海长宁·统考二模）如果关于x的方程有实数根，那么实数c的取值范围是_____． 【答案】 【分析】由一元二次方程有实数根则解答． 【详解】解：∵方程有实数根， ， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 6．（2025上海虹口·八年级校考期中）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是(　　) A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】根据一元二次方程的定义，以及一元二次方程根的判别式得出不等式组，解不等式组即可求解． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴且，即， 解得且． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程 (为常数)的根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 二、填空题 7．（2025上海宝山·八年级上海市泗塘中学校考期中）方程的根的判别式的值为__________． 【答案】52 【分析】先根据一元二次方程的定义得出a、b、c的值，再根据根的判别式计算公式即可得． 【详解】解：方程变形为：， ， ， 故答案为：52． 【点睛】本题考查了根的判别式，解题的关键是掌握 的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 8．（2024八年级上·上海松江·期末）关于的一元二次方程的根的判别式的值为，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式，利用根的判别式，建立关于m的方程求得m的值是解题的关键． 【详解】解：， 解得：， 故答案为：． 9．（2023·上海浦东新·统考二模）一元二次方程的根的情况是________ 【分析】求出该方程根的判别式，即可进行判断． 【详解】解：∵， ∴， ∴该方程有两个不相等的实数根． 【点睛】本题主要考查了已知一元二次方程判别式判断根的情况，解题的关键是熟练掌握当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 10．（2023秋•徐汇区月考）已知，判断方程的解的情况：　　． 【分析】先求一元二次方程的判别式，然后利用得到△，从而根据根的判别式的意义可判断根的情况． 【解答】解：△， 而， ，即△， 一元二次方程有两个不相等的实数根． 故答案为：有两个不相等的实数根． 【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与△有如下关系：当△时，方程有两个不相等的实数根；当△时，方程有两个相等的实数根；当△时，方程无实数根． 11．（2023·上海杨浦·统考三模）如果关于的方程有两个相等的实数根，那么的值是________． 【答案】1 【分析】利用一元二次方程根的判别式求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得 故答案为：1． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根． 12．（2023·上海崇明·统考二模）已知关于x的一元二次方程没有实数根，那么m的取值范围为________． 【答案】 【分析】根据方程没有实数根，得到，进行求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程没有实数根， ∴， 解得：； 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根与判别式的关系．熟练掌握时，方程没有实数根，是解题的关键． 13．（2025上海宝山·八年级校联考期末）如果关于的一元二次方程有实数根，那么实数的取值范围为_______． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根的判别式求解即可； 【详解】∵关于的一元二次方程有实数根， ∴， ∴； 故答案是：． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，准确计算是解题的关键． 14．（22-23八年级上·上海奉贤·期中）已知关于的一元二次方程有两个实根，则的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】此题考查了一元二次方程判别式的知识．此题比较简单，注意掌握一元二次方程有两个实数根，即可得．同时考查了一元二次方程的定义． 由关于的一元二次方程有两个实数根及一元二次方程的定义，即可得判别式且，继而可求得的取值范围． 【详解】∵关于的一元二次方程有两个实数根， ， 解得：， ∵方程是一元二次方程， ∴的取值范围是且． 故答案为：且． 15．（2024八年级上·上海浦东新·期中）如果关于x的一元二次方程无实数根，那么a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，根据一元二次方程的定义和根的判别式时方程有无实数根，可求得a的取值范围． 【详解】解：关于x的一元二次方程无实数根， 且， 解得：， 故答案为：． 16．（2024八年级上·上海青浦·期中）关于x的方程没有实数根，则k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．利用根的判别式的意义得到且，然后解不等式即可． 【详解】解：根据题意得且， 解得， 即的取值范围为． 故答案为：． 17．（2025上海黄浦·八年级上海外国语大学附属大境初级中学校考期中）已知关于x的方程的根是正整数，则整数m的值为______． 【答案】或或或或或 【分析】分原方程为一元一次方程和一元二次方程进行讨论即可． 【详解】解：当时，即时， 原方程为， 解得：，符合题意； 当时，， 因式分解得：， ∴或， 当时，，原方程无解； 当时，， ∴时，， 时，， 时，， 时，， 时，， 综上所述：m的值为或或或或或时，原方程的根为正整数， 故答案为：或或或或或． 【点睛】本题考查了根据方程的解的情况确定系数的范围，读懂题意，分原方程为一元一次方程和一元二次方程两种情况进行讨论是解本题的关键． 18．（2024八年级上·上海长宁·期中）定义：如果两个一元二次方程分别有两个实数根，且至少有一个公共根，那么称这两个方程互为“联根方程”．已知关于x的两个一元二次方程和互为联根方程，那么a的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．也考查了利用因式分解法解方程，先利用因式分解法解方程，得到或．再分别将，代入，求出a的值即可．求出方程的两个解是解题的关键． 【详解】解：， 分解因式为， 解得或 ①当时，， 整理得， ∵，∴方程无解； ②当时， ， ∴或（舍去） 故答案为：． 3、 解答题 19．（2024八年级上·上海静安·期末）已知关于x的方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围． 【答案】且 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式、解一元一次不等式，解答关键是熟练掌握一元二次方程根的情况与根的判别式的关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．本题容易忽视二次项系数不为0这一隐含条件． 【详解】解：∵关于x的方程有两个不相等的实数根， ∴，且， 解得且， 故答案为：且． 20．（2024八年级上·上海长宁·期中）已知关于x的一元二次方程的根的判别式为，求k的值和方程的根． 【答案】k的值为4，方程的根为， 【分析】本题考查了一元二次方程的判别式，二次根式有意义的条件，公式法解一元二次方程．熟练掌握一元二次方程的判别式，公式法解一元二次方程是解题的关键．由题意知，，，解得，，，计算求出满足要求的解即可；一元二次方程为，公式法求解即可． 【详解】解：由题意知，，， 解得，， ， 整理得，， ， ∴或， 解得，或（舍去）， ∴， ∴， 解得，，， ∴k的值为4，方程的根为，． 21．（2024八年级上·上海杨浦·期中）已知关于的方程有两个相等的实数根，求的值．并求此时方程的根． 【答案】，；当时，方程的根为，当时，方程的根为 【分析】本题考查根的判别式，根据方程有两个相等的实数根可得，从而可求出k的值，然后将k的值代入原方程解方程即可求方程的根． 【详解】∵方程有两个相等的实数根， ∴ 解得：，， 当时，方程为， 解得：； 当时，方程为， 解得：． 22．（2023秋•崇明区期末）如果方程是关于的一元一次方程，是判断关于的方程的根的情况，并说明理由． 【分析】先根据一元一次方程的定义得到，再把方程整理为，计算判别式得到△，然后根据判别式的意义可判断关于的方程根的情况． 【解答】解：关于的方程有两个不相等的实数解． 理由如下： 方程是关于的一元一次方程， ，即， 方程整理为， △， ， 关于的方程有两个不相等的实数解． 【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与△有如下关系：当△时，方程有两个不相等的实数根；当△时，方程有两个相等的实数根；当△时，方程无实数根． 23．（2025上海普陀·八年级校考期中）若方程没有实数根，试判断方程根的情况并说明理由． 【答案】方程有两个不相等的实数根，理由见解析 【分析】由方程没有实数根，可求出，进而可得出方程的根的判别式，然后根据判别式的意义得出结论． 【详解】解：方程有两个不相等的实数根， 理由：∵方程没有实数根， ∴， 解得：， ∴方程的根的判别式， ∴方程有两个不相等的实数根． 【点睛】本题考查了根的判别式的意义，牢记“①当时，方程有两个不相等的实数根；②当时，方程有两个相等的实数根；③当时，方程无实数根”是解题的关键． 23．（2025上海嘉定·八年级统考阶段练习）已知关于x的方程． (1)求证：无论k取任意实数值，方程总有实数根． (2)若等腰三角形ABC的一边，另两边长b、c恰是这个方程的两个根，求的周长． 【答案】(1)证明见详解 (2)5 【分析】（1）利用根的判别式，得到关于k的代数式，得到其非负即可得证； （2）分情况讨论，以为底边和腰分别求出的值，进而求出另外两边的长度，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴无论k取任意实数值，方程总有实数根． （2）解：①当的边为等腰三角形的底边时，， 此时方程有两个相等的实数根， ∴，解得， 此时方程为，解得， ∴的周长为5； ②当的边为等腰三角形的腰时，或， 此时方程有一个根为1， 代入方程，可得，解得， 此时方程为，解得，， ∵1、1、2不能满足两边之和大于第三边， ∴此情况舍去． 综上所述：的周长为5． 【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式、等腰三角形中的分类讨论，掌握分类讨论的思想是解题的关键，注意要验证三角形是否成立． 24．（2024市北中学八年级期中）已知关于x的一元二次方程（a+c）x2﹣2bx+a﹣c＝0，其中a，b，c分别是△ABC的三边的长度． （1）如果△ABC是等边三角形，求这个一元二次方程的根； （2）如果△ABC是以c为斜边的直角三角形，判断这个一元二次方程根的情况，并说明理由． 【分析】（1）根据△ABC是等边三角形，得出a＝b＝c，进而解一元二次方程，即可求解； （2）根据勾股定理得出a2﹣c2＝﹣b2，进而计算一元二次方程根的判别式，即可求解． 【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形， ∴a＝b＝c， ∵（a+c）x2﹣2bx+a﹣c＝0， ∴2ax2﹣2ax+a﹣a＝0 即x2﹣x＝0， 解得：x1＝0，x2＝1； （2）原方程有两个不相等的实数解 理由：∵△ABC是以c为斜边的直角三角形， ∴a2+b2＝c2，b≠0， ∴a2﹣c2＝﹣b2 ∵（a+c）x2﹣2bx+a﹣c＝0， ∴Δ＝（﹣2b）2﹣4（a+c）（a﹣c） ＝4b2﹣4（a2﹣c2） ＝4b2+4b2 ＝8b2＞0 ∴原方程有两个不相等的实数解 【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，勾股定理； 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年新八年级（沪教版2024）暑假班预修提升课程 专题15 一元二次方程根的判别式 知识点一、一元二次方程根的判别式 1、一般地，式子b2﹣4ac 叫做一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）根的判别式，通常用希腊字母“Δ”表示它，即Δ＝b2﹣4ac． 2、利用一元二次方程根的判别式判断方程的根的情况． 一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系： ①当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根； ②当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根； ③当Δ＜0时，方程无实数根． 上面的结论反过来也成立． 3、利用根的判别式判断一元二次方程根的情况的步骤: ①把一元二次方程化为一般形式； ②确定a，b，c的值； ③计算b2﹣4ac的值； ④根据b2﹣4ac的符合判定方程根的情况． 4、运用根的判别式时的注意事项 （1）将方程化成一般形式后才能确定a，b，c 的值． （2）确定a，b，c 的值时不要漏掉符合． 知识点二、一元二次方程根的判别式的逆用 在方程中， （1）方程有两个不相等的实数根﹥0； （2）方程有两个相等的实数根=0； （3）方程没有实数根﹤0. 要点： （1）逆用一元二次方程根的判别式求未知数的值或取值范围，但不能忽略二次项系数不为0这一条件； （2）若一元二次方程有两个实数根则 ≥0. 题型01：判断不含参方程根的情况 应用判别式的两点注意：(1)判别式只适用于一元二次方程,不适用于其他方程； (2) 注意隐含条件,即一元二次方程的二次项系数不为零. 【例1】关于一元二次方程根的情况，下列说法正确的是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【例2】下列一元二次方程中，没有实数根的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1.一元二次方程的根的情况是（    ） A．只有一个实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．没有实数根 2.一元二次方程的根的情况是（ ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 3.下列一元二次方程中，有两个相等的实数根的方程是（　　） A．x2﹣4＝0 B．4x2+4x+1＝0 C．x2+2x+4＝0 D．x2﹣x﹣1＝0 4.下列方程有两个不相等的实数根是（   ） A． B． C． D． 题型02：判断含参方程根的情况 【例3】关于x的方程的根的情况，下列说法正确的是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定 【例4】已知关于x的一元二次方程，其中a，b满足2a﹣b＝1，关于该方程根的情况，下列判断正确的是（　　） A．无实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 【跟踪训练】 1.利用根的判别式判断方程（为常数）的根的情况是 ． 2.关于x的方程的根的情况是________． 3.对于一元二次方程，下列说法不正确的是（    ） A．若是方程的解，则 B．若，则方程必有两个不相等的实数根 C．若，则方程必有两个不相等的实根 D．若，则方程必有两个不相等的实数根 题型03：已知根的情况求参数的取值范围（二次项系数为常数） 【例5】关于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0无实数解，则k的取值范围是（　　） A．k＞1 B．k＜1 C．k≥1 D．k≤1 【例6】若关于x的方程有两个不相等的实数根，则直线不经过第 象限． 【跟踪训练】 1.若关于x的方程x2﹣x+a＝0有两个相等的实数根，则实数a的值是（　　） A．﹣4 B．4 C． D． 2.若关于x的方程2x2+4x+a＝0有两个不相同的实数根，则a的值可以为　 　 ，（只与一个即可） 3.已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0有两个实数根． （1）求m的取值范围； （2）若该方程的两个实数根相等．请直接写出m的值，并解这个方程． 题型04： 已知根的情况求参数的取值范围（二次项系数含参） 解决此类问题的关键是把字母看成已知常数，利用一元二次方程根的情况得到方程中各系数之间的关系式，同时注意“二次项系数不等于0”这一限制条件.. 【例7】若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（    ） A．且 B． C．且 D． 【例8】如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（　　） A． B．且k≠0 C．且k≠0 D．且k≠0 【跟踪训练】 1.关于的方程有两个不相等的实根，则的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 2.若关于x的一元二次方程kx2﹣6x+9＝0有两个不相等的实数根，则整数k的最大值是（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 3.若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x﹣1＝0有两个实数根，则m的取值范围是（　　） A．m≥0 B．m＞0 C．m≥0且m≠1 D．m＞0且m≠1 4.若关于x的方程有实数根，则实数k的取值范围是（　　） A．k≠0 B．k≥﹣1且k≠0 C．k≥﹣1 D．k＞﹣1且k≠0 题型05：证明一元二次方程的根的情况 利用根的判别式证明等式的步骤 第1步:把方程看成关于某一字母的方程，并把它化为一般形式; 第2步:在一元二次方程的前提下计算并化简根的判别式; 第3步:对根的判别式△进行整理，得出相关的结论. 【例9】已知关于x的一元二次方程． (1)证明：对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程有一个根为，求m的值． 【例10】已知关于的方程. (1)当时，求方程的解； (2)证明：无论为何值，此方程总有解. 【例11】证明：无论k取何值，关于x的方程恒有实数根 【跟踪训练】 1.已知关于的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)若，且该方程的两个实数根的积为12，求的值． 2.已知：关于x的一元二次方程．求证：无论m取何值，该方程总有两个不相等的实数根． 3.已知关于x的方程x2+3mx+2m2﹣1＝0（m为常数）． （1）求证：不论m为何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程有一个根是﹣2，求2025﹣2m2+6m的值． 4.已知关于x的一元二次方程x2﹣（k﹣3）x+k﹣5＝0．求证：无论k取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根． 5.已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+2）x+3k﹣3＝0，求证：该方程总有两个实数根． 6.已知关于的一元二次方程． (1)当这个方程二次项系数和常数项的符号不同时，证明：该方程一定有两个不相等的实数根； (2)若这个方程有两个不相等的实数根，那么该方程二次项系数和常数项的符号是否一定不同？若是，请证明；若不是，请举出一个反例． 题型06：根的判别式与三角形的综合运用 【例12】已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论m取何值时，这个方程总有实数根； (2)若的两边的长是这个方程的两个实数根，第三边的长为3，当是等腰三角形时，求m的值． 【例13】已知等腰三角形ABC的一边长a＝6，另外两边的长b，c恰好是关于x的一元二次方程x2﹣（3k+3）x+9k＝0的两个根，则△ABC的周长为 　 　． 【例14】已知等腰△ABC的底边长为3，两腰长恰好是关于x的一元二次方程kx23＝0的两根，则△ABC的周长为 　 　． 【跟踪训练】 1.等腰三角形的三边的长是a、b、4，其中a、b是方程x2﹣6x+c＝0两个根，则此三角形的三边长是　 　 　． 2.已知关于x的方程，． (1)求证：无论k为任意实数值方程，总有实数根； (2)若等腰三角形的一边，另两边b、c恰是这个方程的两个根，求三角形的周长． 题型07：综合提升 【例15】定义新运算“⊕”：对于实数m，n，p，q．有[m，p]⊕[q，n]＝mn+pq，其中等式的右边是通常的加法和乘法运算．例如：[4，5]⊕[2，6]＝4×6+5×2＝34． （1）求关于x的方程[x2，x﹣1]⊕[3，2]＝0的根； （2）若关于x的方程[x2+1，x]⊕[1﹣2k，k]＝0有两个实数根，求k的取值范围． 【例16】对于一元二次方程，有下列说法： ①若方程有两个不相等的实数根，则方程必有两个不相等的实数根； ②若方程有两个实数根，则方程一定有两个实数根； ③若c是方程的一个根，则一定有成立； ④若是一元二次方程的根，则 其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【例17】阅读下列材料：我们发现，关于x的一元二次方程，如果的值是一个完全平方数时，一元二次方程的根不一定都为整数，但是如果一元二次方程的根都为整数，的值一定是一个完全平方数． 定义：两根都为整数的一元二次方程称为“全整根方程”，代数式的值为该“全整根方程”的“最值码”，用表示，即；若另一关于x的一元二次方程也为“全整根方程”，其“最值码”记为，当满足时，则称一元二次方程是一元二次方程的“全整根伴侣方程”． (1)“全整根方程”的“最值码”是______； (2)关于x的一元二次方程（m为整数、且）是“全整根方程”，请求出该方程的“最值码”； (3)若关于x的一元二次方程是（m，n均为正整数）的“全整根伴侣方程”，求的值． 1、 选择题 1．（2023秋•浦东新区期中）一元二次方程的根的情况是　　 A．只有一个实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根 2．（2024八年级上·上海闵行·期中）关于的一元二次方程的根的情况是（      ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 3．（2024八年级上·上海松江·期中）已知关于x的一元二次方程（a、b为常数，且），这个方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．不能判断 4．（2023春·上海静安·八年级上海市市北初级中学校考期中）下列方程中，有实数解的是（    ） A． B． C． D． 5．（2023·上海长宁·统考二模）如果关于x的方程有实数根，那么实数c的取值范围是_____． 6．（2025上海虹口·八年级校考期中）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是(　　) A． B． C．且 D．且 二、填空题 7．（2025上海宝山·八年级上海市泗塘中学校考期中）方程的根的判别式的值为__________． 8．（2024八年级上·上海松江·期末）关于的一元二次方程的根的判别式的值为，则的值为 ． 9．（2023·上海浦东新·统考二模）一元二次方程的根的情况是________ 10．（2023秋•徐汇区月考）已知，判断方程的解的情况：　　． 11．（2023·上海杨浦·统考三模）如果关于的方程有两个相等的实数根，那么的值是________． 12．（2023·上海崇明·统考二模）已知关于x的一元二次方程没有实数根，那么m的取值范围为________． 13．（2025上海宝山·八年级校联考期末）如果关于的一元二次方程有实数根，那么实数的取值范围为_______． 14．（22-23八年级上·上海奉贤·期中）已知关于的一元二次方程有两个实根，则的取值范围是 ． 15．（2024八年级上·上海浦东新·期中）如果关于x的一元二次方程无实数根，那么a的取值范围是 ． 16．（2024八年级上·上海青浦·期中）关于x的方程没有实数根，则k的取值范围是 ． 17．（2025上海黄浦·八年级上海外国语大学附属大境初级中学校考期中）已知关于x的方程的根是正整数，则整数m的值为______． 18．（2024八年级上·上海长宁·期中）定义：如果两个一元二次方程分别有两个实数根，且至少有一个公共根，那么称这两个方程互为“联根方程”．已知关于x的两个一元二次方程和互为联根方程，那么a的值为 ． 3、 解答题 19．（2024八年级上·上海静安·期末）已知关于x的方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围． 20．（2024八年级上·上海长宁·期中）已知关于x的一元二次方程的根的判别式为，求k的值和方程的根． 21．（2024八年级上·上海杨浦·期中）已知关于的方程有两个相等的实数根，求的值．并求此时方程的根． 22．（2023秋•崇明区期末）如果方程是关于的一元一次方程，是判断关于的方程的根的情况，并说明理由． 23．（2025上海普陀·八年级校考期中）若方程没有实数根，试判断方程根的情况并说明理由． 23．（2025上海嘉定·八年级统考阶段练习）已知关于x的方程． (1)求证：无论k取任意实数值，方程总有实数根． (2)若等腰三角形ABC的一边，另两边长b、c恰是这个方程的两个根，求的周长． 24．（2024市北中学八年级期中）已知关于x的一元二次方程（a+c）x2﹣2bx+a﹣c＝0，其中a，b，c分别是△ABC的三边的长度． （1）如果△ABC是等边三角形，求这个一元二次方程的根； （2）如果△ABC是以c为斜边的直角三角形，判断这个一元二次方程根的情况，并说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$