专题03：实数（1）（5大知识点+8大题型+真题检验） 2025-2026学年沪教版（五四制） 八年级数学上册暑假班预修提升课程

2025年新八年级（沪教版2024）暑假班预修提升课程 专题03 实数（1） 知识点01：有理数的分数形式 1.有理数：整数和分数统称为有理数. 2.有理数的另一个概念:形如—(为整数，且n≠0)的数是有理数,整数可以看作分母为1的数,有限小数和无限循环小数都可以化为分数,所以所有有理数都可以写成分数的形式. 【注意】 (1)有限小数和无限循环小数都可以化成分数,所以把有限小数和无限循环小数看成分数.但无限不循环小数不是分数，例如． (2)引入负数后,对数的认识扩充到有理数,不要忘记整数和分数中都有负数. 知识点02：有理数的小数形式 1.有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式；反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数。 2.分数与小数的互化 （1）分数化成小数的方法： 分数化成小数即用分子除以分母. 当分子除以分母能够除尽时，分数可以化成有限小数，例如， 当分子除以分母除不尽时，分数一定能化成无限循环小数，如 （2) 小数化成分数的方法： 1　 把有限小数化成分数时，先看是几位小数，就在1后面添几个0，再把原来的小数去掉小数点后作分子，能约分的要约分，如0.34是两位小数，就在1后面添两个0作分母，即100，034去掉小数点后是34，作分子，所得分数为，约分为，即0.34=。 2　 把无限循环小数化成分数的方法： 列方程把纯循环小数化成分数的过程如下：将0.6 ( ．)化成分数．0化成分数为例： 设x＝0.6 ( ．)，那么 10x＝6.6 ( ．)，6.6 ( ．)＝6＋0.6 ( ．)，所以 10x＝6＋x，x＝，x＝． 列方程把混循环小数化成分数的过程如下：将0化成分数为例： 设x=0，那么 1000x＝503.0，L因为503.0=503+0，所以 1000x＝503＋x，化简，得999x＝503，x＝． 知识点03：无理数 1.概念：无限不循环小数又叫无理数. 2.特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式. 3.性质：被开方数越大，对应的算术平方根也越大。即如果a>b≥0, 那么> . 4.的无理数常见的三种形式：①含类.②看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如. 记忆常用数的近似值：≈1.414 ≈1.732 ≈2.236 知识点04：用计算器求一个正数的算术平方根或求一个数的立方根 用计算器求一个数的平方根时，按键顺序与计算器的型号有关，具体操作可以参考计算器的使用说明书. 知识点05：实数概念及分类 1.概念：有理数和无理数统称为实数. 2.分类 按定义分： 按与0的大小关系分： 实数 实数 题型01：分数化成小数 【例1】将下列分数化成小数： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】有理数的除法运算、 分数化小数 【分析】本题考查了分数化小数，有理数的除法的知识，正确的计算是解题的关键． （1）（2）（3）（4）根据分数化小数依次进行有理数的除法计算即可． 【详解】（1）解：由题意得， 故答案为． （2）解：由题意得， 故答案为． （3）解：由题意得， 故答案为． （4）解：由题意得， 故答案为． 【跟踪训练】 1.将化为循环小数是 ． 【答案】 【知识点】 分数化小数 【分析】本题考查了分数化小数的知识，解题的关键是熟练掌握分数化小数的性质， 根据分数化小数的性质计算，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴将化为循环小数是， 故答案为：． 2.计算： ．（化为小数） 【答案】 【知识点】 分数化小数 【分析】本题考查了有理数的除法运算，先把带分数化为假分数，再运算除法，即可作答． 【详解】解：依题意 故答案为： 3．将化为循环小数是 ． 【答案】4.111…． 4．将下列分数化为有限小数或循环小数． (1)；(2)；(3)． 【答案】(1)0.04．(2)0.5 ( ．)．(3)0. 3 ( ．)07692 ( ．) 题型02：无限循环小数化成分数 【例2】将下列无循环小数化为分数． (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)(2)(3)(4) 【分析】本题主要考查了小数化分数，熟知小数化分数的方法是解题的关键． （1）设，则，可得，解方程即可得到答案； （2）设，则，可得，解方程即可得到答案； （3）设，则，，可得，解方程即可得到答案； （4）设设，则，，可得，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：设，则， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：设，则， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：设，则，， ∴， ∴， ∴， ∴； （4）解：设，则，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【跟踪训练】 1．将下列小数化为最简分数 (1) 3.235； (2) 0.78 ( ．)； (3) 0.27 (．．)． 【答案】(1)；(2)；(3)． 2．计算0.16 ( ．)＋0.1 ( ．)＋0.125＋(结果写成分数形式)． 【答案】．提示：原式＝＋＋＋＝＋＋＋＝． 3．小马虎计算5.37 ( ．)乘以某数时，把5.37 ( ．)误看成5.37，结果相差2.1，问某数是多少？ 【答案】270．提示：设某数为x，＝•x＋2.1，x＝270． 题型03：无理数的概念辨析 【例3】在实数，0，，，中，无理数的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】无理数即无限不循环小数，据此进行判断即可． 【解析】解；，是无限不循环小数，它们是无理数， 是分数，0，，0和2均为整数，它们不是无理数， 那么无理数的个数是2个， 故选：B． 【点睛】本题考查无理数的识别，实数的分类及相关概念是基础且重要知识点，必须熟练掌握． 【例4】关于无理数，下列说法正确的有（    ） ①无理数都是无限小数；②无限小数都是无理数；③无理数也能用数轴上的点表示；④无理数与有理数的和是无理数；⑤无理数与无理数的和是无理数； A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②⑤ 【答案】B 【分析】本题主要考查了无理数，实数、数轴的应用，熟练掌握相关知识的定义是解题的关键．无限不循环小数是无理数，无限循环小数是有理数，所有实数都可以用数轴上的点表示，无理数是指无限不循环小数，根据以上内容判断即可． 【详解】解：①无理数都是无限小数，原说法正确； ②无限循环小数是有理数，原说法不正确； ③无理数也能用数轴上的点表示，原说法正确； ④无理数与有理数的和是无理数；原说法正确； ⑤无理数与无理数的和不一定是无理数；原说法不正确； 正确的有①③④， 故选：B． 【例5】下列说法中：①立方根等于本身的是，0， 1 ；②两个无理数的和一定是无理数；③实数与数轴上的点是一一对应的是负分数；⑤两个有理数之间有无数个无理数，同样两个无理数之间有无数个有理数．其中正确的个数是(      ) A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查立方根的性质，无理数的性质，解题的关键是熟练掌握这些概念．根据立方根的性质，以及无理数的性质判断选项的正确性． 【详解】解：立方根等于本身的数有：，1，0，故①正确； 两个无理数的和不一定是无理数，比如和的和是0，是有理数，故②错误； 实数与数轴上的点一一对应，故③正确； 是无理数，不是分数，故④错误； 从数轴上来看，两个有理数之间有无数个无理数，同样两个无理数之间有无数个有理数，故⑤正确． 正确的有：①③⑤，共3个． 故选：B． 【跟踪训练】 1．在，，，，，，（它的位数无限且相邻两个“”之间“”的个数依次加个）这个数中，无理数的个数是（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】本题考查实数的知识，解题的关键是掌握无理数的定义：无限不循环的小数． 【解析】∵，， ∴无理数为：（它的位数无限且相邻两个“”之间“”的个数依次加个）． 故选：A． 【点睛】本题考查了实数，主要利用了有理数和无理数定义，熟记概念是解题的关键． 2．下列各数：，，0.101中无理数有 个． 【答案】2 【分析】本题考查了有理数和无理数的定义，无理数指的是无限不循环小数，一般无理数有三种形式：以及含的式子（例）、带根号且开不尽方的数（例）、无限不循环小数（例（每两个1之间0的个数增加1））． 【解析】∵， ∴无理数有π，，共个， 故答案为：． 3．在实数，，，，，中，无理数的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据无理数的定义，即可． 【解析】∵无理数的定义为：无限不循环的小数． ∴无理数有：，，，共个， 故选：B． 【点睛】本题考查无理数的定义，解题的关键是掌握无理数的定义． 4.下列说法正确的是（    ） A．无理数都是无限小数 B．无理数都是带根号的数 C．无理数的和还是无理数 D．实数包括有理数、无理数和0 【答案】A 【知识点】有理数的定义、无理数、实数概念理解、实数的分类 【分析】利用实数、有理数、无理数的定义判断即可得到结果． 【详解】解：无理数都是无限小数，符合定义，所以A选项正确； 带根号的数都是无理数，可以举反例，是有理数，所以B选项错误； 无理数的和还是无理数，可以举反例，是有理数，所以C选项错误； 实数包括有理数、无理数，0也是有理数，所以D选项错误； 故选：A． 【点睛】本题考查实数、有理数、无理数的概念，理解无理数的分类中各自的含义是解题的关键． 5.下列说法正确的是（    ） A．两个无理数的和一定是无理数 B．无限小数都是无理数 C．实数可以用数轴上的点来表示 D．分数可能是无理数 【答案】C 【知识点】实数概念理解、实数与数轴 【分析】根据实数的有关概念、实数与数轴的关系对各项逐一分析判断即可． 【详解】A. 两个无理数的和可能是无理数，也可能是有理数，如互为相反数的一对无理数和，它们的和是0，是有理数，故本选项说法错误，不符合题意； B. 无理数是无限不循环小数，无限小数不一定是无理数，故本选项说法错误，不符合题意； C. 实数可以用数轴上的点来表示，说法正确，符合题意； D. 分数是有理数，故本选项说法错误，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了实数的有关概念和实数与数轴的关系，熟练掌握实数的基本概念是解题的关键． 题型04：无理数的估算 【例6】已知，，则 （精确到0.01）． 【答案】 【知识点】无理数的大小估算、求一个数的近似数 【分析】本题考查了近似数、实数的运算，取、近似值，然后计算． 【详解】 ； 故答案为：． 【例7】数轴上，实数对应的点在原点的 侧． 【答案】左 【知识点】实数与数轴、无理数的大小估算 【分析】根据无理数的估算，实数大小比较解答即可．本题考查了无理数的估算，熟练掌握估算思想是解题的关键． 【详解】∵， ∴， ∴实数对应的点在原点的左侧， 故答案为：左． 【例8】设的整数部分为，小数部分为，求的立方根． 【答案】 【知识点】无理数整数部分的有关计算、运用完全平方公式进行运算、求一个数的立方根 【分析】首先求出，的值，然后代入计算即可． 【详解】， ，， ， 的立方根为， 的立方根是． 【点睛】本题主要考查了估算无理数的大小、立方根的定义及完全平方公式的应用，求得，的值是解题的关键． 【跟踪训练】 1.已知是连续的正整数，，则 ． 【答案】 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、无理数的大小估算 【分析】本题考查了无理数的估算，代数式求值，根据，可得，，代入代数式计算即可求解，由夹逼法求出的值是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵是连续的正整数，， ∴，， ∴， 故答案为：． 2.若的整数部分为，小数部分为，则的值为 ． 【答案】 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、无理数整数部分的有关计算 【分析】本题主要考查无理数的估算的运算，掌握无理数是无限不循环小数，包括整数部分和小数部分并理解其表示形式是解题的关键．无理数是无限不循环小数，包括整数部分和小数部分，由此即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴即 ∴, ∴， 故答案为：． 题型05：正方形的边长与无理数 【例9】如图，分别把两个面积为的小正方形沿一条对角线裁成4个小三角形，将4个小三角形拼成一个大正方形，那么大正方形的边长是 ．    【答案】 【知识点】算术平方根的实际应用 【分析】本题考查了算术平方根，根据题意得出大正方形的面积，根据正方形的面积公式可得边长． 【详解】解：把两个面积为的小正方形拼成一个大正方形， 大正方形的面积为， 大正方形的边长是，即， 故答案为：． 【跟踪训练】 1.如图，用两个面积为的小正方形剪拼成一个大的正方形． (1)则大正方形的边长是_________； (2)若沿此大正方形边的方向剪出一个长方形，能否使剪出的长方形纸片的长宽之比为，且面积为，若能，试求出剪出的长方形纸片的长宽；若不能，试说明理由． （参考数据：） 【答案】(1)4 (2)不能，理由见解析 【知识点】算术平方根的实际应用 【分析】本题考查算术平方根的实际应用： （1）求出大正方形的面积，再开方求出边长即可； （2）设长方形纸片的长为，宽为，求出长方形的长和宽，与正方形的边长进行比较即可得出结果． 【详解】（1）解：由题意，大正方形的面积为， ∴大正方形的边长：； 故答案为：4； （2）设长方形纸片的长为，宽为， 则， 解得：（负值已舍掉）， ， 所以沿此大正方形边的方向剪出一个长方形，不能使剪出的长方形纸片的长宽之比为，且面积为． 2.如图，在甲、乙两个4×4的方格图中，每个小正方形的边长都为1． （1）求图甲中阴影正方形的面积和边长； （2）请在图乙中画一个与图甲阴影部分面积不相等的正方形，要求它的边长为无理数，并求出它的边长，及边长的整数部分和小数部分（答案直接写在横线上即可）． 解：（1）甲：面积______；边长______． （2）乙：边长______，该边长的整数部分为______该边长的小数部分为______． 【答案】（1）10；；（2）；2； 【知识点】求算术平方根的整数部分和小数部分、算术平方根的实际应用 【分析】本题考查了作图，无理数等知识． （1）根据用整体正方形的面积减去周围四个三角形的面积即可； （2）令正方形的边长为即可，再根据算术平方根的估算即可求解． 【详解】解：（1）面积为， 边长为：； 故答案为：10；； （2）正方形如图所示， 面积为， 边长为：； ， 该边长的整数部分为2；该边长的小数部分为． 故答案为：；2； 题型06：实数的概念 【例10】下列说法正确的是（   ） A．正实数和负实数统称实数 B．正数、和负数统称有理数 C．带根号的数和负数统称实数 D．无理数和有理数统称实数 【答案】D 【知识点】实数的分类、实数概念理解 【分析】此题主要考查实数的定义和分类，解题的关键是熟知实数的定义．根据实数的定义判断即可． 【详解】解：A、正实数和负实数统称实数，错误，0也是实数，故不符合题意； B、正数、0和负数统称有理数，错误，正数、0和负数统称实数，故不符合题意； C、带根号的数和分数统称实数，错误，故不符合题意； D、无理数和有理数统称实数，正确，故符合题意； 故选：D． 【跟踪训练】 1．下列说法正确的是（   ） A．实数分为正实数和负实数 B．实数分为整数和分数 C．实数分为有理数和无理数 D．带根号的数都是无理数 【答案】C 【分析】本题主要考查了无理数、实数、有理数的分类，无理数的定义．根据有理数和无理数以及实数的分类，无理数的定义逐一判断即可得到答案． 【详解】解：A、实数可分为正实数和负实数以及0，原说法错误，本选项不符合题意； B、实数可分为正实数，零和负实数，原说法错误，本选项不符合题意； C、实数可分为有理数和无理数，说法正确，符合题意； D、带根号的数不一定是无理数，如是有理数，原说法错误，本选项不符合题意； 故选：C． 2．有下列说法：①带根号的数是无理数；②无理数是开方开不尽的数；③无理数是无限小数；④所有实数都是分数．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据实数的分类与概念，有理数与无理数的概念逐一分析即可． 【详解】解：带根号的数不一定是无理数；故①不符合题意； 无理数是无限不循环的小数，故②不符合题意； 无理数是无限小数，故③符合题意； 所有实数不都是分数，无理数就不是分数，故④不符合题意； 故选A 【点睛】本题考查的是无理数的含义，实数的含义，熟记概念是解本题的关键． 3．下列说法中，错误的是（    ） A．实数可分为有理数和无理数 B．无理数可分为正无理数和负无理数； C．无理数都是无限小数 D．无限小数都是无理数． 【答案】D 【分析】有理数与无理数统称实数，无限不循环小数是无理数，根据概念逐一分析即可． 【详解】解：实数可分为有理数和无理数，原说法正确，故A不符合题意； 无理数可分为正无理数和负无理数，原说法正确，故B不符合题意； 无理数都是无限小数，原说法正确，故C不符合题意； 无限不循环小数都是无理数，原说法错误，故D符合题意； 故选：D 【点睛】本题考查的是实数的分类，无理数的含义，熟记概念是解本题的关键． 题型07：实数的分类 【例11】把下列各数写入相应的集合内：． (1)有理数集合：{                        …} (2)正实数集合：{                        …} (3)无理数集合：{                        …} (4)负实数集合：{                        …} 【答案】(1)，，， (2)，，，，， (3)，，， (4)， 【知识点】无理数、有理数的定义、实数的分类 【分析】根据实数的分类方法进行解答即可． 【详解】（1）解：，，， 有理数集合为：． （2）解：正实数集合为：． （3）解：无理数集合为：． （4）解：负实数集合：． 【点睛】本题主要考查了实数的分类，熟练掌握有理数、无理数的概念，是解题的关键． 【跟踪训练】 1.把下列各数的序号填在相应横线上：①0；②；③；④；⑤；⑥（每两个5之间依次增加一个2）；⑦． （1）整数： ； （2）负实数： ； （3）无理数： ． 【答案】（1）①③⑤；（2）④⑤⑦；（3）②④⑥ 【知识点】实数的分类、求一个数的算术平方根 【分析】本题主要考查了实数的分类，求一个数的算术平方根，熟知实数的分类方法是解题的关键． （1）先计算乘方和算术平方根，再根据整数的定义求解即可； （2）根据负实数的定义求解即可； （3）根据无理数的定义求解即可． 【详解】解：（1），， ∴整数有①③⑤； （2）负实数有④⑤⑦； （3）无理数有②④⑥． 2.把下列各数的序号填在相应的横线上： ①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧0，⑨（每两个1之间依次多一个0）． 整数 _______________； 负分数 _____________； 无理数 _____________． 【答案】①④⑧；③⑥；②⑦⑨ 【知识点】实数的分类 【分析】本题考查实数的分类，根据实数的分类即可求得答案． 【详解】解：整数：①④⑧； 负分数：③⑥； 无理数：②⑦⑨； 故答案为：①④⑧；③⑥；②⑦⑨． 3．将下面的数填在相应的括号内： ，，0，，0.3，，，，，，，，3+． (1)有理数集合：｛ ｝； (2)无理数集合：｛ ｝； (3)正实数集合：｛ ｝； (4)负实数集合：｛ ｝． 【答案】(1)，0，0.3，，，，； (2)， ，， ，，3+； (3)， ，0.3，， ，， 3+； (4)，， ，，． 【分析】（1）根据有理数的概念进行判断即可； （2）根据无理数的概念进行判断即可； （3）根据正实数的概念进行判断即可； （4）根据负实数的概念进行判断即可． 【详解】（1）解：有理数集合：{，0，0.3，，，，}． （2）解：无理数集合：{， ，， ，，3+} （3）解：正实数集合：{， ，0.3，， ，， 3+} （4）解：负实数集合：{，， ，，} 【点睛】此题考查了有理数、无理数、正实数与负实数的概念，熟练掌握并运用这些概念是解决此题的关键． 题型08：综合提升 【例12】在数学课本36页的阅读材料中，运用反证法说明“是一个无理数”，请模仿这种方法，说明是无理数． 阅读材料： “无理数”的由来 为什么不可能是一个有理数？现在我们用代数方法来解答这个问题． 假设是一个有理数，那么可以得到，其中a、b是整数且a、b互素且，这时，就有：， 于是，则a是2的倍数． 再设，其中m是整数，就有：， 也就是：， 所以b也是2的倍数，可见a、b不是互素数，与前面所假设的a与b互素相矛盾，因此不可能是一个有理数． 解：假设是一个有理数． 则（a、b是整数且a、b互素且）， 则， 两边同时平方得：_____________， 所以：，可得：， 所以：______________， 因为：______________， 所以：是一个无理数． 【答案】；；为有理数，必为有理数，而为无理数，与前面所设矛盾 【分析】仿照题干方法进行证明即可． 【详解】假设是一个有理数． 则（a、b是整数且a、b互素且）， 则， 两边同时平方得：， 所以：，可得：， 所以：， 因为：为有理数，必为有理数，而为无理数，与前面所设矛盾， 所以：是一个无理数． 【点睛】本题考查了无理数的证明，能够理解并运用题干的反证法是解题的关键． 【例13】新定义：若无理数的被开方数（T为正整数）满足（其中n为正整数），则称无理数的“青一区间”为；同理规定无理数的“青一区间”为，例如：因为，所以的“青一区间”为，的“青一区间”为，请回答下列问题： (1)的“青一区间”为 ；的“青一区间”为 ； (2)实数x，y，满足关系式：，求的“青一区间”． 【答案】(1)，； (2)的“青一区间”为． 【分析】本题考查无理数的估算，非负性，求一个数的算术平方根．理解并掌握“青一区间”的定义和确定方法，是解题的关键． （1）根据“青一区间”的定义和确定方法，进行求解即可； （2）利用非负性求出x，y的值，再进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴的“青一区间”为； ∵， ∴的“青一区间”为； 故答案为：，； （2）解：∵， ∴， 即， ∴，， ∴， ∵， ∴的“青一区间”为． 一、选择题 1．（2023春•闵行区期中）在0、、、、、、（位数是无限的，相邻两个“2”之间“1”的个数依次增加1个）这些数中，无理数的个数是　　 A．6 B．4 C．5 D．3 【分析】无理数是无限不循环小数，常见的无理式有开不尽方的数，含的最简式子，特殊结构的数，如（位数是无限的，相邻两个“2”之间“1”的个数依次增加1个），根据无理数的概念即可求解． 【解答】解：根据无理数的概念得，无理数有：，，，（位数是无限的，相邻两个“2”之间“1”的个数依次增加1个），4个． 故选：． 2．（2024春•徐汇区校级期中）下列说法错误的是　　 A．无理数都是无限小数 B．可以用数轴上的一个点来表示 C．两个无理数的和一定还是无理数 D．的小数部分是 【答案】C 3.（2023秋上海七年级课时练习）有下列说法：①带根号的数是无理数；②无理数是开方开不尽的数；③无理数是无限小数；④所有实数都是分数．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据实数的分类与概念，有理数与无理数的概念逐一分析即可． 【详解】解：带根号的数不一定是无理数；故①不符合题意； 无理数是无限不循环的小数，故②不符合题意； 无理数是无限小数，故③符合题意； 所有实数不都是分数，无理数就不是分数，故④不符合题意； 故选A 【点睛】本题考查的是无理数的含义，实数的含义，熟记概念是解本题的关键． 4．（2024闵行区七年级期中）下列说法中，正确的是（　　） A．无限小数都是无理数 B．无理数都是带有根号的数 C．、都是分数 D．实数分为正实数，负实数和零 【答案】D 【分析】直接利用相关实数的性质分析得出答案． 【详解】解：A、无限不循环小数都是无理数，原说法错误，本选项不符合题意； B、无理数不一定是带有根号的数，原说法错误，本选项不符合题意； C、、都是无理数，不是分数，原说法错误，本选项不符合题意； D、实数分为正实数．负实数和零，正确，本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了实数的性质，属于基础知识的考查，掌握相关概念或性质解答即可． 5．2024松江区七年级期中）关于实数，下列说法错误的是（    ） A．有理数与无理数统称实数 B．实数与数轴上的点一一对应 C．无理数就是无限不循环小数 D．带根号的数都是无理数 【答案】D 【分析】根据实数的分类，无理数的意义，实数与数轴，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、有理数与无理数统称实数，选项正确，故不符合题意； B、实数与数轴上的点一一对应，选项正确，故不符合题意； C、无理数就是无限不循环小数，选项正确，故不符合题意； D、带根号的数不一定都是无理数，例如：是有理数，选项错误，故符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了实数，实数与数轴，熟练掌握这些数学概念是解题的关键． 6．（23-24七年级下·上海黄浦·期中）学校里有一个正方形的花坛，它的面积是20平方米，请你估计这个正方形的边长约在（    ） A．3米和4米之间 B．4米和5米之间 C．5米和6米之间 D．6米和7米之间 【答案】B 【知识点】算术平方根的实际应用、无理数的大小估算 【分析】此题考查了估算无理数的大小，先估算被开方数在哪两个相邻的平方数之间，再估算该无理数在哪两个相邻的整数之间．用用“夹逼法”求解即可． 【详解】解：∵一个正方形的花坛，它的面积是20平方米， ∴个正方形的边长为米， ∵， ∴． 故选B． 二、填空题 7.（24-25六年级上·上海杨浦·期中）将化为循环小数是 ． 【答案】 【知识点】 分数化小数 【分析】本题考查了分数化小数的知识，解题的关键是熟练掌握分数化小数的性质， 根据分数化小数的性质计算，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴将化为循环小数是， 故答案为：． 8．2023闵行区六年级期中）将无限循环小数0.1333…化成分数是 ． 【答案】 9．2024普陀区七年级期中）在，，，0，，中，无理数有 个． 【答案】3 【分析】本题主要考查了无理数的定义，熟练掌握无限不循环小数是无理数是解题的关键． 【详解】解：无理数为，，，共有3个， 故答案为：3． 10．（2024建平中学月考）请你写出一个比小且比大的无理数 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】此题主要考查了无理数的定义，实数大小的比较，根据可得，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴比小且比大的无理数可以是． 故答案为：（答案不唯一）． 11．（23-24七年级下·上海松江·期中）的整数部分是 ． 【答案】 【知识点】无理数的大小估算 【分析】本题考查了无理数的估算，利用夹逼法求出的取值范围即可求解，掌握夹逼法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴的整数部分是， 故答案为：． 12．（2024徐汇中学期中）已知a为的整数部分，b为的小数部分，则的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了无理数的整数、小数部分，无理数的估算，代数式求值．熟练掌握无理数的整数、小数部分是解题的关键． 由，可得，，然后代值求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：4． 13．（2024奉贤区七年级期中）和之间的整数有 个． 【答案】3 【分析】首先估计和的大小，即可获得答案． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴， ∴和之间的整数有，0，1，共计3个． 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查了估计无理数的大小，熟练掌握估计无理数大小的方法是解题关键． 14．（2024青浦区七年级期中）若a，b为实数，且，则的值是（   ） A．1 B． C． D．0 【答案】B 【分析】根据题意求出、的值，代入即可求解， 本题考查了绝对值的非负性，解题的关键是：求出、的值． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，，， ∴， 故选：． 15．（2024上海实验期中）下列各数3.14，，，2.181181118…（两个8之间1的个数逐次多1），其中无理数有 个． 【答案】3 【知识点】无理数 【分析】此题主要考查了无理数的定义．解题的关键是掌握无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，等；开方开不尽的数；以及像，等有这样规律的数．无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数． 【详解】解：在下列各数3.14，，，2.181181118…（两个8之间1的个数逐次多1），其中无理数有，，2.181181118…（两个8之间1的个数逐次多1），共3个． 故答案为：3． 16．（22-23七年级下·上海嘉定·期中）的小数部分是 ． 【答案】/ 【知识点】无理数整数部分的有关计算 【分析】由题意易得，进而问题可求解． 【详解】解：∵，则， ∴， ∴的整数部分是， ∴的小数部分为； 故答案为：． 【点睛】本题主要考查无理数的估算，熟练掌握无理数的估算是解题的关键． 17．（2024奉贤区七年级期中）设a、b均为有理数，且满足等式4﹣a＝2b+2﹣a，则ab＝_____． 【答案】-2 【分析】先将等式变形为，先根据有理数的定义求出a的值，再将a的值代入等式可求出b的值，然后计算即可． 【详解】 ，即 均为有理数 均为有理数 为有理数 ，解得 将代入等式得，解得 故答案为：． 【点睛】本题考查了有理数与无理数概念的应用，依据有理数的定义求出a、b的值是解题关键． 18．（22-23延安中学期中）定义为不大于x的最大整数，如，，，则满足，则的最大整数为 ． 【答案】35 【知识点】求算术平方根的整数部分和小数部分、已知一个数的平方根，求这个数 【分析】根据题意可知，然后利用平方运算进行计算即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴的最大整数为35． 故答案为：35． 【点睛】本题主要考查了算术平方根，根据题目得出是解此题的关键． 3、 解答题 19.将下列循环小数化为分数． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】 分数化小数 【分析】（1）根据纯循环小数化分数的方法化为分数即可； （2）根据纯循环小数化分数的方法化为分数即可； （3）根据混循环小数化分数的方法化为分数即可； （4）根据混循环小数化分数的方法化为分数即可． 【详解】（1） （2） （3） （4） 【点睛】本题考查循环小数化为分数的方法．纯循环小数的循环节有几位，就在分母上写几个9，以循环节做分子；混循环小数的循环节有几位，就在分母上写几个9，循环节之前有几位，就在后面再补几个0做分母，用从小数点后面第一位开始到第一个循环位结束时的数字组成的数减去第一个循环节前面的数字组成的数做分子． 20．（2023春·湖北襄阳·七年级统考期中）把下列各数分别填在相应的集合中：，，，，，，，，，(每两个1之间依次多1个0)． 有理数集合：｛                                                   …｝ 无理数集合：｛                                                   …｝ 【答案】，，，，，…；，， ，(每两个1之间依次多1个0) 【分析】根据实数的分类完成填空即可求解． 【详解】解： 有理数集合：｛，，，，，…｝ 无理数集合：｛，， ，(每两个1之间依次多1个0)｝ 故答案为：，，，，，…；，， ，(每两个1之间依次多1个0)． 【点睛】本题考查了实数的分类，熟练掌握实数的分类，无理数的定义是解题的关键． 21．（2023春·七年级课时练习）把下列各数分别填在相应的集合中． ，，，，，，，（每相邻两个3之间0的个数逐次加1）． (1)有理数集合：{                              …}； (2)无理数集合：{                              …}； (3)正实数集合：{                              …}； (4)负实数集合：{                              …}． 【答案】(1)，，，， (2)，， (3)，，，， (4)，， 【分析】（1）先化简，，再根据有理数的含义作答即可； （2）根据无理数的概念作答即可； （3）根据正实数包括正有理数与正无理数作答即可； （4）根据负实数包括负有理数与负无理数作答即可； 【详解】（1）解：∵，， ∴有理数集合：{ ，，，，，…} （2）无理数集合：{，，，…} （3）正实数集合：{ ，，，，，…} （4）负实数集合：{，，，…} 【点睛】本题考查的是实数的分类，立方根与算术平方根的含义，熟记实数的分类是解本题的关键． 22.（24-25七年级下·辽宁大连·阶段练习）定义：对于三个正整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“数”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”，例：1，4，9这三个数，，，，其结果分别为2，3，6，都是整数，所以1，4，9三个数称为“数”，其中最小算术平方根是2，最大算术平方根是6． (1)请直接判断4，16，25是不是“数”______； (2)①请证明2，8，50这三个数是“数”，并求出最小算术平方根和最大算术平方根；②请根据做题经验，任意写出一条你写“数”的心得． (3)已知，9，25三个数是“数”，且最大算术平方根是最小算术平方根的3倍，求的值． 【答案】(1)是 (2)①证明见解析最小算术平方根是4，最大算术平方根是20，②任意两个数的乘积都是完全平方数 (3)81 【分析】此题考查了新定义问题，算术平方根等知识，解题的关键是理解并掌握新定义的运算法则． （1）根据“数”的定义，分别求解算术平方根进行判断即可； （2）根据“数”的定义分别求解算术平方根即可；根据新定义直接写出结论即可 （3）根据题意分3种情况讨论，然后根据最大算术平方根是最小算术平方根的3倍，分别列方程求解即可． 【详解】（1）解：，，， ∵结果分别为8，10，20，都是整数， ∴4，16，25是“数”， 故答案为：是； （2），，，其结果分别为4，10，20，都是整数， 所以2，8，50三个数是“数”，其中最小算术平方根是4，最大算术平方根是20． ②任意两个数的乘积都是完全平方数； （3）解：分三种情况：①当时，，解得（舍去）； ②当时，，解得（舍去）； ③当时，，解得． 综上所述，的值为81． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年新八年级（沪教版2024）暑假班预修提升课程 专题03 实数（1） 知识点01：有理数的分数形式 1.有理数：整数和分数统称为有理数. 2.有理数的另一个概念:形如—(为整数，且n≠0)的数是有理数,整数可以看作分母为1的数,有限小数和无限循环小数都可以化为分数,所以所有有理数都可以写成分数的形式. 【注意】 (1)有限小数和无限循环小数都可以化成分数,所以把有限小数和无限循环小数看成分数.但无限不循环小数不是分数，例如． (2)引入负数后,对数的认识扩充到有理数,不要忘记整数和分数中都有负数. 知识点02：有理数的小数形式 1.有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式；反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数。 2.分数与小数的互化 （1）分数化成小数的方法： 分数化成小数即用分子除以分母. 当分子除以分母能够除尽时，分数可以化成有限小数，例如， 当分子除以分母除不尽时，分数一定能化成无限循环小数，如 （2) 小数化成分数的方法： 1　 把有限小数化成分数时，先看是几位小数，就在1后面添几个0，再把原来的小数去掉小数点后作分子，能约分的要约分，如0.34是两位小数，就在1后面添两个0作分母，即100，034去掉小数点后是34，作分子，所得分数为，约分为，即0.34=。 2　 把无限循环小数化成分数的方法： 列方程把纯循环小数化成分数的过程如下：将0.6 ( ．)化成分数．0化成分数为例： 设x＝0.6 ( ．)，那么 10x＝6.6 ( ．)，6.6 ( ．)＝6＋0.6 ( ．)，所以 10x＝6＋x，x＝，x＝． 列方程把混循环小数化成分数的过程如下：将0化成分数为例： 设x=0，那么 1000x＝503.0，L因为503.0=503+0，所以 1000x＝503＋x，化简，得999x＝503，x＝． 知识点03：无理数 1.概念：无限不循环小数又叫无理数. 2.特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式. 3.性质：被开方数越大，对应的算术平方根也越大。即如果a>b≥0, 那么> . 4.的无理数常见的三种形式：①含类.②看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如. 记忆常用数的近似值：≈1.414 ≈1.732 ≈2.236 知识点04：用计算器求一个正数的算术平方根或求一个数的立方根 用计算器求一个数的平方根时，按键顺序与计算器的型号有关，具体操作可以参考计算器的使用说明书. 知识点05：实数概念及分类 1.概念：有理数和无理数统称为实数. 2.分类 按定义分： 按与0的大小关系分： 实数 实数 题型01：分数化成小数 【例1】将下列分数化成小数： (1)； (2)； (3)； (4)． 【跟踪训练】 1.将化为循环小数是 ． 2.计算： ．（化为小数） 3．将化为循环小数是 ． 4．将下列分数化为有限小数或循环小数． (1)；(2)；(3)． 题型02：无限循环小数化成分数 【例2】将下列无循环小数化为分数． (1) (2) (3) (4) 【跟踪训练】 1．将下列小数化为最简分数 (1) 3.235； (2) 0.78 ( ．)； (3) 0.27 (．．)． 2．计算0.16 ( ．)＋0.1 ( ．)＋0.125＋(结果写成分数形式)． 3．小马虎计算5.37 ( ．)乘以某数时，把5.37 ( ．)误看成5.37，结果相差2.1，问某数是多少？ 题型03：无理数的概念辨析 【例3】在实数，0，，，中，无理数的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【例4】关于无理数，下列说法正确的有（    ） ①无理数都是无限小数；②无限小数都是无理数；③无理数也能用数轴上的点表示；④无理数与有理数的和是无理数；⑤无理数与无理数的和是无理数； A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②⑤ 【例5】下列说法中：①立方根等于本身的是，0， 1 ；②两个无理数的和一定是无理数；③实数与数轴上的点是一一对应的是负分数；⑤两个有理数之间有无数个无理数，同样两个无理数之间有无数个有理数．其中正确的个数是(      ) A．2 B．3 C．4 D．5 【跟踪训练】 1．在，，，，，，（它的位数无限且相邻两个“”之间“”的个数依次加个）这个数中，无理数的个数是（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 2．下列各数：，，0.101中无理数有 个． 3．在实数，，，，，中，无理数的个数是（    ） A． B． C． D． 4.下列说法正确的是（    ） A．无理数都是无限小数 B．无理数都是带根号的数 C．无理数的和还是无理数 D．实数包括有理数、无理数和0 5.下列说法正确的是（    ） A．两个无理数的和一定是无理数 B．无限小数都是无理数 C．实数可以用数轴上的点来表示 D．分数可能是无理数 题型04：无理数的估算 【例6】已知，，则 （精确到0.01）． 【例7】数轴上，实数对应的点在原点的 侧． 【例8】设的整数部分为，小数部分为，求的立方根． 【跟踪训练】 1.已知是连续的正整数，，则 ． 2.若的整数部分为，小数部分为，则的值为 ． 题型05：正方形的边长与无理数 【例9】如图，分别把两个面积为的小正方形沿一条对角线裁成4个小三角形，将4个小三角形拼成一个大正方形，那么大正方形的边长是 ．    【跟踪训练】 1.如图，用两个面积为的小正方形剪拼成一个大的正方形． (1)则大正方形的边长是_________； (2)若沿此大正方形边的方向剪出一个长方形，能否使剪出的长方形纸片的长宽之比为，且面积为，若能，试求出剪出的长方形纸片的长宽；若不能，试说明理由． （参考数据：） 2.如图，在甲、乙两个4×4的方格图中，每个小正方形的边长都为1． （1）求图甲中阴影正方形的面积和边长； （2）请在图乙中画一个与图甲阴影部分面积不相等的正方形，要求它的边长为无理数，并求出它的边长，及边长的整数部分和小数部分（答案直接写在横线上即可）． 解：（1）甲：面积______；边长______． （2）乙：边长______，该边长的整数部分为______该边长的小数部分为______． 题型06：实数的概念 【例10】下列说法正确的是（   ） A．正实数和负实数统称实数 B．正数、和负数统称有理数 C．带根号的数和负数统称实数 D．无理数和有理数统称实数 【跟踪训练】 1．下列说法正确的是（   ） A．实数分为正实数和负实数 B．实数分为整数和分数 C．实数分为有理数和无理数 D．带根号的数都是无理数 2．有下列说法：①带根号的数是无理数；②无理数是开方开不尽的数；③无理数是无限小数；④所有实数都是分数．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．下列说法中，错误的是（    ） A．实数可分为有理数和无理数 B．无理数可分为正无理数和负无理数； C．无理数都是无限小数 D．无限小数都是无理数． 题型07：实数的分类 【例11】把下列各数写入相应的集合内：． (1)有理数集合：{                        …} (2)正实数集合：{                        …} (3)无理数集合：{                        …} (4)负实数集合：{                        …} 【跟踪训练】 1.把下列各数的序号填在相应横线上：①0；②；③；④；⑤；⑥（每两个5之间依次增加一个2）；⑦． （1）整数： _______________________________； （2）负实数： ____________________________________； （3）无理数： ________________________________________． 2.把下列各数的序号填在相应的横线上： ①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧0，⑨（每两个1之间依次多一个0）． 整数 _______________； 负分数 _____________； 无理数 _____________． 3．将下面的数填在相应的括号内： ，，0，，0.3，，，，，，，，3+． (1)有理数集合：｛ ｝； (2)无理数集合：｛ ｝； (3)正实数集合：｛ ｝； (4)负实数集合：｛ ｝． 题型08：综合提升 【例12】在数学课本36页的阅读材料中，运用反证法说明“是一个无理数”，请模仿这种方法，说明是无理数． 阅读材料：“无理数”的由来 为什么不可能是一个有理数？现在我们用代数方法来解答这个问题． 假设是一个有理数，那么可以得到，其中a、b是整数且a、b互素且，这时，就有：， 于是，则a是2的倍数． 再设，其中m是整数，就有：， 也就是：，所以b也是2的倍数，可见a、b不是互素数，与前面所假设的a与b互素相矛盾，因此不可能是一个有理数． 解：假设是一个有理数．则（a、b是整数且a、b互素且）， 则，两边同时平方得：_____________， 所以：，可得：，所以：______________， 因为：______________，所以：是一个无理数． 【例13】新定义：若无理数的被开方数（T为正整数）满足（其中n为正整数），则称无理数的“青一区间”为；同理规定无理数的“青一区间”为，例如：因为，所以的“青一区间”为，的“青一区间”为，请回答下列问题： (1)的“青一区间”为 ；的“青一区间”为 ； (2)实数x，y，满足关系式：，求的“青一区间”． 一、选择题 1．（2023春•闵行区期中）在0、、、、、、（位数是无限的，相邻两个“2”之间“1”的个数依次增加1个）这些数中，无理数的个数是　　 A．6 B．4 C．5 D．3 2．（2024春•徐汇区校级期中）下列说法错误的是　　 A．无理数都是无限小数 B．可以用数轴上的一个点来表示 C．两个无理数的和一定还是无理数 D．的小数部分是 3.（2023秋上海七年级课时练习）有下列说法：①带根号的数是无理数；②无理数是开方开不尽的数；③无理数是无限小数；④所有实数都是分数．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（2024闵行区七年级期中）下列说法中，正确的是（　　） A．无限小数都是无理数 B．无理数都是带有根号的数 C．、都是分数 D．实数分为正实数，负实数和零 5．2024松江区七年级期中）关于实数，下列说法错误的是（    ） A．有理数与无理数统称实数 B．实数与数轴上的点一一对应 C．无理数就是无限不循环小数 D．带根号的数都是无理数 6．（23-24七年级下·上海黄浦·期中）学校里有一个正方形的花坛，它的面积是20平方米，请你估计这个正方形的边长约在（    ） A．3米和4米之间 B．4米和5米之间 C．5米和6米之间 D．6米和7米之间 二、填空题 7.（24-25六年级上·上海杨浦·期中）将化为循环小数是 ． 8．2023闵行区六年级期中）将无限循环小数0.1333…化成分数是 ． 9．2024普陀区七年级期中）在，，，0，，中，无理数有 个． 10．（2024建平中学月考）请你写出一个比小且比大的无理数 ． 11．（23-24七年级下·上海松江·期中）的整数部分是 ． 12．（2024徐汇中学期中）已知a为的整数部分，b为的小数部分，则的值为 ． 13．（2024奉贤区七年级期中）和之间的整数有 个． 14．（2024青浦区七年级期中）若a，b为实数，且，则的值是（   ） A．1 B． C． D．0 15．（2024上海实验期中）下列各数3.14，，，2.181181118…（两个8之间1的个数逐次多1），其中无理数有 个． 16．（22-23七年级下·上海嘉定·期中）的小数部分是 ． 17．（2024奉贤区七年级期中）设a、b均为有理数，且满足等式4﹣a＝2b+2﹣a，则ab＝_____． 18．（22-23延安中学期中）定义为不大于x的最大整数，如，，，则满足，则的最大整数为 ． 3、 解答题 19.将下列循环小数化为分数． (1)； (2)； (3)； (4)． 20．（2023春·湖北襄阳·七年级统考期中）把下列各数分别填在相应的集合中：，，，，，，，，，(每两个1之间依次多1个0)． 有理数集合：｛                                                   …｝ 无理数集合：｛                                                   …｝ 21．（2023春·七年级课时练习）把下列各数分别填在相应的集合中． ，，，，，，，（每相邻两个3之间0的个数逐次加1）． (1)有理数集合：{                              …}； (2)无理数集合：{                              …}； (3)正实数集合：{                              …}； (4)负实数集合：{                              …}． 22.（24-25七年级下·辽宁大连·阶段练习）定义：对于三个正整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“数”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”，例：1，4，9这三个数，，，，其结果分别为2，3，6，都是整数，所以1，4，9三个数称为“数”，其中最小算术平方根是2，最大算术平方根是6． (1)请直接判断4，16，25是不是“数”______； (2)①请证明2，8，50这三个数是“数”，并求出最小算术平方根和最大算术平方根；②请根据做题经验，任意写出一条你写“数”的心得． (3)已知，9，25三个数是“数”，且最大算术平方根是最小算术平方根的3倍，求的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$