第十一章整式的乘除 单元测试卷-2025-2026学年七年级上册数学暑假提升自学测试卷（2024沪教版）

【暑假自学课】2025年新七年级数学暑假提升自学测试卷（2024沪教版） 第十一章整式的乘除 单元测试卷 一、单选题 1．与相等的代数式是（   ） A． B． C． D． 2．代数式“”表示（    ） A．； B．； C．； D．． 3．已知，则的值为（　　） A． B． C． D． 4．当时，下列代数式的值最小的是（    ） A． B． C． D． 5．下列各个多项式的乘积是的是（   ） A． B． C． D． 6．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 7． ． 8．某班级组织联欢活动布置教室，需要制作出一些边长如图所示的A，B，C三种彩色卡片，其中．最后需要用这些卡片拼出一个边长分别为和的大长方形，那么所准备的C种卡片的张数不能少于 张． 9．计算 ． 10．将一个长方形按如图所示剪开，恰好可以拼成一个缺角的正方形，缺角也是正方形，根据两个图形阴影部分的面积关系，可以解释的一个整式乘法公式是 ． 11．计算： ． 12． ． 13． ． 14．计算 ． 15．观察下列各式． 第一个等式：； 第二个等式：； 第三个等式：； 第四个等式：； … 根据以上规律，解决下列问题． (1)第五个等式：____________________． (2)猜想第个等式：____________________（用含的代数式表示），并证明． 16．如图-1，边长为的大正方形内有两个边长分别为的小正方形，此时阴影部分的面积为12．将图-1中大正方形的边长减少1个单位后，边长分别为的两个小正方形按图-2位置放置，此时阴影部分的面积为4．则 ． 17．若，则的值为 ． 18．个相乘的运算结果为 ． 三、解答题 19．根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解．请逆向运用幂的运算法则，解决以下问题： (1)若，，求的值； (2)若，求与的值． 20．观察与思考： ；①        ；② (1)算式①的运算依据是________，算式②的运算依据是________； A．同底数幂的乘法        B．积的乘方        C．幂的乘方 (2)计算： 21．计算： (1)； (2)． 22．计算： (1)； (2)． 23．（1）若，求的值； （2）若，其中，是正整数，求的值． 24．下面是小奇和小思两位同学化简的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 小奇的方法：解：原式……① ……② ．③ 小思的方法： 解：原式 任务： (1)小奇的方法中，第①步运算的依据用字母表示为_________，第②步出现的错误具体是______；（写出一处错误即可） (2)按小思的方法，运算的结果为_________． 25．华罗庚是中国著名的数学家，他对“数形结合”这一数学思想有着深刻而独到的见解，他曾通过一首诗来表达数形结合的重要性： 数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞． 数缺形时少直观，形少数时难入微． 数形结合百般好，隔离分家万事休． 切莫忘，几何代数统一体，永远联系切莫离． 这首诗生动地说明了数与形之间的紧密联系：数离不开形，形也离不开数．数形结合就是通过直观的图形来辅助抽象的数学思维，帮助我们更好地理解和解决问题． (1)请借助图形直接写出的结果______，并通过计算验证； (2)若，，求的值； (3)直接写出的计算结果：______． 答案与解析 一、单选题 1．与相等的代数式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】计算多项式乘多项式 【分析】此题考查了多项式乘以多项式的符号问题，根据进而求解即可． 【详解】解：∵ ∴与相等的代数式是． 故选：D． 2．代数式“”表示（    ） A．； B．； C．； D．． 【答案】C 【知识点】同底数幂相乘 【分析】本题主要考查同底数幂相乘，根据题意与选项对比即可． 【详解】解：表示5个a相乘， A．，不符合要求，故本选项不符合题意； B．，故本选项符合题意； C．，故本选项符合题意； D．，故本选项不符合题意； 故选：C． 3．已知，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】同底数幂相乘、幂的乘方的逆用 【分析】本题考查了同底数幂的运算法则与幂的乘方法则，将原式中所有的底全部化为以2为底的幂是解决本题的关键． 将方程中的4和8均转化为以2为底的幂，利用同底数幂的乘法法则和幂的乘方法则，将方程两边化为同底后比较指数求解． 【详解】解：原方程：， 将4和8分别表示为2的幂：， 代入方程得：， 应用幂的乘方法则：， 即， ∴， 即 解得：． 故选：C． 4．当时，下列代数式的值最小的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】合并同类项、同底数幂相乘、幂的乘方运算、同底数幂的除法运算 【分析】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘除法，幂的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键．将各选项化简后代入计算，比较数值大小即可确定最小值． 【详解】解：A：，代入，得． B：，代入，得． C：，代入，得． D：，代入，得． 比较各结果： ∵， ∴， 故最小值为选项C， 故选：C． 5．下列各个多项式的乘积是的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】计算多项式乘多项式 【详解】解：A. ，不符合题意，本选项错误； B. ，不符合题意，本选项错误； C. ，不符合题意，本选项错误； D. ，符合题意，本选项正确； 故选：D． 6．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查平方差公式的应用，熟练掌握平方差公式是解题的关键，利用平方差公式逐步化简原式，观察规律得出结果． 【详解】解：前两项相乘： 再乘以第三项： 继续乘以第四项： ∴每乘一项，结果变为． 重复此过程，直到最后一项： 原式化简后为： 故选：C． 二、填空题 7． ． 【答案】 【知识点】积的乘方运算 【分析】本题主要考查了积的乘方．根据积的乘方法则计算，即可求解． 【详解】解：． 故答案为： 8．某班级组织联欢活动布置教室，需要制作出一些边长如图所示的A，B，C三种彩色卡片，其中．最后需要用这些卡片拼出一个边长分别为和的大长方形，那么所准备的C种卡片的张数不能少于 张． 【答案】19 【知识点】多项式乘多项式与图形面积 【分析】本题主要考查多项式乘多项式，根据需要用这些卡片拼出一个边长分别为和的大长方形，得出长方形面积为，再用多项式乘多项式运算法则进行计算，得出长方形面积为，即可得出答案． 【详解】解：∵需要用这些卡片拼出一个边长分别为和的大长方形， ∴长方形的面积为： ， ∴所准备的C种卡片的张数不能少于19张． 故答案为：19． 9．计算 ． 【答案】 【知识点】合并同类项、计算单项式乘多项式及求值 【分析】本题考查了单项式乘以多项式，合并同类项，先算单项式乘以多项式，然后合并同类项即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 10．将一个长方形按如图所示剪开，恰好可以拼成一个缺角的正方形，缺角也是正方形，根据两个图形阴影部分的面积关系，可以解释的一个整式乘法公式是 ． 【答案】 【知识点】平方差公式与几何图形 【分析】本题考查平方差公式的几何背景，用代数式表示各个部分的面积是正确解答的关键． 分别用代数式表示两个图中的面积即可． 【详解】解：由拼图可知，左图为长为，宽为的长方形， 因此它的面积为， 右图面积可以看作边长为a，边长为b的两个正方形的面积差，即， 因此它的面积为， 因此有， 故答案为：． 11．计算： ． 【答案】 【知识点】有理数的乘方运算、积的乘方的逆用 【分析】本题主要考查含乘方的有理数的运算，根据和互为倒数，可以运用简便算法得到答案； 【详解】解：， ， ， ， 故答案为：． 12． ． 【答案】 【知识点】幂的乘方运算 【分析】本题主要考查了幂的乘方，根据幂的乘方的运算法则进行计算求解，即可解题． 【详解】解：； 故答案为：． 13． ． 【答案】 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】本题主要考查平方差公式的性质及其应用，掌握平方差公式是解题的关键．由题意利用平方差公式：，进行计算． 【详解】解： ． 故答案为：． 14．计算 ． 【答案】 【知识点】运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查了完全平方公式．直接利用完全平方公式求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 15．观察下列各式． 第一个等式：； 第二个等式：； 第三个等式：； 第四个等式：； … 根据以上规律，解决下列问题． (1)第五个等式：____________________． (2)猜想第个等式：____________________（用含的代数式表示），并证明． 【答案】(1) (2)，详见解析 【知识点】数字类规律探索、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查整数的运算，数字类规律探究． （1）根据题干给定的等式，作答即可； （2）根据给定的等式，得到规律，利用整数的运算法则进行计算，证明即可． 【详解】（1）解：由题意，第五个等式为：； 故答案为：； （2）由题意，第个等式为：； 证明：∵左边， 右边， ∴左边右边， ∴等式成立． 故答案为：． 16．如图-1，边长为的大正方形内有两个边长分别为的小正方形，此时阴影部分的面积为12．将图-1中大正方形的边长减少1个单位后，边长分别为的两个小正方形按图-2位置放置，此时阴影部分的面积为4．则 ． 【答案】 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、通过对完全平方公式变形求值、完全平方公式在几何图形中的应用、几何问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查代数式求值，涉及完全平方公式与几何图形表示，数形结合得到，求解即可得到，代入代数式求解即可得到答案．数形结合是解决问题的关键． 【详解】解：由题图-1可知， ， 题图-1中大正方形的边长减少1个单位， 题图-2中，边长分别为的两个小正方形重合部分是边长为1的正方形，则， ， ， ， 综上所述，， 解得， ， 故答案为：． 17．若，则的值为 ． 【答案】 【知识点】同底数幂相乘 【分析】该题考查了同底数幂的乘法，根据同底数幂乘法法则计算即可． 【详解】解：， ∴， 解得：， 故答案为：． 18．个相乘的运算结果为 ． 【答案】 【知识点】积的乘方运算 【分析】本题考查了积的乘方，理解题意正确列式，掌握积的乘方运算法则是关键． 根据题意列式，运用积的乘方运算法则求解即可． 【详解】解：根据题意列式得，， 故答案为： ． 三、解答题 19．根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解．请逆向运用幂的运算法则，解决以下问题： (1)若，，求的值； (2)若，求与的值． 【答案】(1) (2)， 【知识点】同底数幂乘法的逆用、幂的乘方的逆用、积的乘方运算 【分析】本题考查幂的相关运算，涉及同底数幂的乘法及其逆运算，幂的乘方的逆运算，积的乘方，解方程，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）利用同底数幂的乘法的逆运算，幂的乘方的逆运算，得，再代入求值即可； （2）利用同底数幂的乘法，幂的乘方的逆运算，积的乘方，将化简得，得出，，求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， 解得：，． 20．观察与思考： ；①        ；② (1)算式①的运算依据是________，算式②的运算依据是________； A．同底数幂的乘法        B．积的乘方        C．幂的乘方 (2)计算： 【答案】(1)A；C (2)9 【知识点】幂的乘方的逆用、积的乘方的逆用、同底数幂相乘、幂的乘方运算 【分析】本题主要考查了积乘方逆用，同底数幂乘法，幂的乘方运算及其逆用，熟练掌握相关的运算法则，是解题的关键． （1）根据同底数幂乘法和幂的乘方运算法则进行判断即可； （2）逆用积的乘方运算法则和幂的乘方运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：算式①的运算依据是A同底数幂乘法，算式②的运算依据是C幂的乘方． （2）解： ． 21．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】整式的混合运算、运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查整式的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解答的关键． （1）利用单项式乘多项式以及整式的加减运算法则求解即可； （2）利用平方差公式计算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 22．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】同底数幂相乘、幂的乘方运算、同底数幂的除法运算 【分析】本题考查幂的混合运算、同底数幂相乘、同底数幂的除法运算，解题的关键是掌握 ，，（，m，n都是正整数），注意负数的奇次幂还是负数． （1）先计算幂的乘方，再计算同底数幂的除法； （2）先计算同底数幂的乘法、乘方，再计算同底数幂的乘法与除法． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 23．（1）若，求的值； （2）若，其中，是正整数，求的值． 【答案】（1）；（2）或 【知识点】二元一次方程的解、同底数幂的除法运算、同底数幂相乘、已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题考查了幂的运算，负整数指数幂，二元一次方程组的解．熟练掌握幂的运算法则是解题的关键； （1）根据逆用幂的乘方以及同底数幂的除法进行计算，根据已知得出，再代入即可求解． （2）根据同底数幂的乘方进行计算，得出，根据，是正整数得出的值，再代入代数式求值，即可求解． 【详解】解：（1）∵， ∴ ∴ （2）∵ ∴， ∴， ∵，是正整数 ∴ 当时， 当时， ∴的值为或 24．下面是小奇和小思两位同学化简的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 小奇的方法：解：原式……① ……② ．③ 小思的方法： 解：原式 任务： (1)小奇的方法中，第①步运算的依据用字母表示为_________，第②步出现的错误具体是______；（写出一处错误即可） (2)按小思的方法，运算的结果为_________． 【答案】(1)（为正整数）；的结果应为（或的结果应为）， (2) 【知识点】运用完全平方公式进行运算、运用平方差公式进行运算、积的乘方的逆用 【分析】本题考查了完全平方公式，平方差公式，熟记公式是解题的关键． （1）利用积的乘方法则，完全平方公式进行计算，即可解答； （2）先利用平方差公式，再利用完全平方公式进行计算，即可解答． 【详解】（1）小奇的方法中，第①步运算的依据用字母表示为，第②步出现的错误具体是的结果应为，的结果应为， 故答案为：（为正整数）；的结果应为（或的结果应为）； （2）按小思的方法，原式 ， 故答案为：． 25．华罗庚是中国著名的数学家，他对“数形结合”这一数学思想有着深刻而独到的见解，他曾通过一首诗来表达数形结合的重要性： 数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞． 数缺形时少直观，形少数时难入微． 数形结合百般好，隔离分家万事休． 切莫忘，几何代数统一体，永远联系切莫离． 这首诗生动地说明了数与形之间的紧密联系：数离不开形，形也离不开数．数形结合就是通过直观的图形来辅助抽象的数学思维，帮助我们更好地理解和解决问题． (1)请借助图形直接写出的结果______，并通过计算验证； (2)若，，求的值； (3)直接写出的计算结果：______． 【答案】(1)；见解析 (2)24 (3) 【知识点】运用完全平方公式进行运算、通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题主要考查了完全平方公式的变形计算，解题的关键是熟练掌握完全平方公式． （1）画出图形，根据图形面积相等得出答案，根据多项式乘多项式进行验证即可； （2）根据解析（1）的结果进行变形求值即可； （3）根据解析（1）的结果写出的结果即可． 【详解】（1）解：如图： 图形的面积为：， 也可以表示为：， ∴； 验证： ； （2）解：∵，， 又∵， ∴ ； （3）解： ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$