第十一章 整式的乘除（举一反三讲义）数学沪教版五四制2024七年级上册

第十一章 整式的乘除（举一反三讲义）全章题型归纳 【沪教版五四制2024】 【培优篇】 4 【题型1 幂的基本运算】 4 【题型2 利用幂的运算进行比较大小】 6 【题型3 利用幂的运算进行简便计算】 8 【题型4 整式乘除的计算与化简】 10 【题型5 乘法公式变形求值】 13 【题型6 利用整式的乘除求值】 15 【拔尖篇】 17 【题型7 巧用幂的运算逆向运算】 17 【题型8 整式乘法中不含某项问题】 18 【题型9 整式乘法中的规律性问题】 20 【题型10 乘法公式的几何背景】 25 知识点1 同底数幂的乘法 1. 一般地，对于任意底数a与任意正整数m，n， 因此，我们有． 2. 同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加． 3. 同底数幂的乘法法则的推广与逆运用：；．如；． 知识点2 幂的乘方 1. 一般地，对于任意底数a与任意正整数m，n， ． 因此，我们有． 底数a为负数时， 2. 幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘． 3. 同底数幂的乘法法则与乘方法则的异同点 乘法法则 乘方法则 指数相加 指数相乘 底数不变， 其中m，n 都是正整数 知识点3 积的乘方 1. 一般地，对于任意底数a，b与任意正整数n， ． 因此，我们有． 2. 积的乘方法则：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘． 知识点4同底数幂的除法 一般地，我们有．即同底数幂相除，底数不变，指数相减． 知识点5 整式的乘法 单项式与单项式相乘 法则 单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．其实质是运用了同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方的性质 示例 单项式与多项式相乘 法则 单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．其实质是将单项式乘多项式转化为单项式乘单项式 示例 多项式与多项式相乘 法则 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．其实质是把多项式相乘转化为单项式乘多项式 示例 知识点6 平方差公式 1. 平方差公式 ．也就是说，两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差．这个公式叫做（乘法的）平方差公式． 2. 平方差公式的探究 图（1）中阴影部分的面积，图（2）中阴影部分的面积，故可得=． 3. 特点 （1）等号左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数； （2）等号右边是相同项的平方减去相反项的平方； （3）公式中的a和b可以表示具体的数或单项式，也可以表示多项式． 知识点7 完全平方公式 1. 完全平方公式 ，.也就是说，两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍．这两个公式叫做（乘法的)完全平方公式． 2. 完全平方公式的探究 图（1）中大正方形的面积的两种表示方法：，，故． 图（2）中阴影部分的面积的两种表示方法：，，故． 3. 特点 （1）两个公式的等号左边都是一个二项式的平方，二者仅有一个符号不同； （2）等号右边都是二次三项式，其中首尾两项是等号左边二项式中每一项的平方，中间一项是等号左边二项式中两项乘积的2倍，二者也仅有一个符号不同． 知识点8 单项式除以单项式 一般地，单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．其实质是把单项式除以单项式转化为同底数幂的除法运算，所得结果仍是单项式． 知识点9 多项式除以单项式 一般地，多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加． 【培优篇】 【题型1 幂的基本运算】 【例1】（24-25七年级下·浙江杭州·期末）实数满足等式，则（　　） A．20 B．100 C．200 D．1000 【答案】B 【分析】本题考查幂的乘方，同底数幂的乘法，代数式求值，解题的关键在于灵活运用相关知识． 根据所给等式整理推出，再结合幂的乘方，同底数幂的乘法将整理为，最后将代入求解，即可解题． 【详解】解： ， ， 即， 整理得， ； 故选：B． 【变式1-1】（24-25七年级下·安徽芜湖·期末）下列计算正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，积的乘方，幂的乘方，掌握以上运算法则是解题的关键．根据同底数幂的乘法，同底数幂的除法，积的乘方，幂的乘方，逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意；     B. ，故该选项不正确，不符合题意； C. ，故该选项正确，符合题意；     D. ，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 【变式1-2】（24-25七年级下·安徽六安·期末）若，，，则的值是（   ） A．24 B．19 C．18 D．16 【答案】D 【分析】本题考查了同底数幂的乘法和除法，以及幂的乘方．熟记法则并根据法则计算是解题关键．根据同底数幂的乘法和除法以及幂的乘方法则，可得答案． 【详解】解：． 故选：D． 【变式1-3】（24-25七年级下·江苏无锡·阶段练习）我们定义：三角形，五角星，若，则的值为 ． 【答案】32 【分析】本题考查了新运算定义，同底数幂相乘，幂的乘方，能灵活运用幂的运算法则进行计算是解此题的关键． 根据题意得出算式，根据同底数幂的乘法得出，求出，根据题意得出所求的代数式是，再根据幂的乘方和积的乘方进行计算，最后求出答案即可． 【详解】解：根据题意得：， 所以， 即， 所以 ， 故答案为：32． 【题型2 利用幂的运算进行比较大小】 【例2】（24-25七年级下·安徽六安·期中）阅读下面的材料：我们知道一般的数学公式、法则、定义可以正向运用，也可以逆向运用．例如，“同底数幂的乘法”“幂的乘方”“积的乘方”这几个法则的逆向运用表现为：，，如下列探究： 探究一：比较与的大小． 解：因为，， 又因为，所以，所以． 小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小， 探究二：比较和的大小． 解：因为，且，所以，即， 小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小． 解决下列问题： (1)比较，的大小； (2)比较，，，的大小； (3)比较与的大小． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了幂的乘方的逆运算，同底数幂乘法的逆运算，积的乘方的逆运算，正确理解题意是解题的关键． （1）根据幂的乘方的逆运算法则可求出，，据此可得答案； （2）根据幂的乘方的逆运算法则可求出，，， ，据此可得答案； （3）根据同底数幂乘法的逆运算法则和积的乘方的逆运算法则可得，，据此可得答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：∵，，， ，且， ∴， ∴； （3）解：，， 又∵， ∴． 【变式2-1】（24-25六年级下·山东淄博·阶段练习）比较，，的大小（用＞连接） ． 【答案】 【分析】本题考查幂的乘方的应用，有理数大小的比较，熟练运用幂的乘方的运算规则是解答本题的关键． 【详解】解：，，， ， ． 故答案为：． 【变式2-2】比较大小： ．（填“”、“”或“”） 【答案】 【分析】本题主要考查积的乘方法则，将两数进行正确的变形是解题的关键．利用积的乘方将两数变形后变形大小． 【详解】解：， ， ， ， 故 ． 故答案为：． 【变式2-3】（24-25七年级上·上海徐汇·期中）比较大小： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了完全平方公式，幂的乘方的逆运算，同底数幂乘法的逆运算，利用作差法求出，据此可得答案． 【详解】解： ， ∴， 故答案为：． 【题型3 利用幂的运算进行简便计算】 【例3】下图是小李同学完成的一道作业题，请你参考小李的方法解答下列问题．    (1)计算： ①； ②； (2)若，请求出的值． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】（1）①根据积的乘方的逆运算进行计算；②将代数式变形为指数相同，再根据积的乘方的逆运算即可求解； （2）将代数式变形为底数相同，再根据同底数幂的运算即可求解． 【详解】（1）解：① ； ② ． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查幂的运算，掌握其运算法则是解题的关键． 【变式3-1】（24-25七年级下·江苏淮安·阶段练习）计算： ． 【答案】2025 【分析】本题考查积的乘方逆运算，熟练掌握积的乘方逆运算是解题的关键． 根据积的乘方逆运算进行计算即可． 【详解】解： 故答案为：2025 【变式3-2】计算的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查积的乘方的逆用，利用积的乘方的逆用，进行计算即可． 【详解】解：； 故答案为：． 【变式3-3】计算 ． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂相乘的逆运算，积的乘方的逆运算，先整理原式，再运算乘方，最后运算乘法，即可作答． 【详解】解： ， 故答案为： 【题型4 整式乘除的计算与化简】 【例4】（24-25七年级下·浙江温州·期末）已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的混合运算以及代数式求值，熟练掌握多项式乘法法则以及整体代入法是解题的关键．先对进行化简，然后将已知条件，代入化简后的式子进行计算．解题思路是先展开式子，再通过变形将式子转化为含有与的形式，最后代入求值． 【详解】解： 又∵，，将其代入上式可得： 故答案为：． 【变式4-1】（24-25七年级上·上海·期中）计算的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查积的乘方，有理数的除法，熟练掌握相关计算法则是解题的关键； 根据相关计算法则计算即可求解； 【详解】解： ， 故答案为： 【变式4-2】（24-25七年级下·甘肃张掖·阶段练习）先化简，再求值： (1)，其中． (2)，其中，． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查整式的化简求值， （1）先计算乘方，乘法，再合并，最后代值计算； （2）先计算平方差及多项式除以单项式，再合并，最后代值计算 【详解】（1） ∵ ∴原式； （2）解： ，． ∴原式 【变式4-3】（24-25八年级上·北京·期中）先阅读下面材料，再解决问题： 已知，在求关于的代数式的值时，可将变形为，就可以将表示为关于的一次多项式，从而达到“降次”的目的，我们称这样的方法为“降次代换法”． 例如：已知，求代数式的值． 解：， 原式 请用“降次代换法”，完成下列各小题： （1）若，则代数式的值为 ； （2）若，则代数式的值为 ； （3）已知，则代数式的值为 ． 【答案】 3 10 【分析】本题主要考查多项式乘多项式、整式的化简求值等知识点，熟练掌握整式的运算法则是解题的关键． （1）先由得出，再运用多项式乘多项式法则计算，然后将代入计算即可． （2）先由得出，然后运用整式的四则混合运算法则计算，然后将代入计算即可； （3）由可得、、 ，然后代入计算即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴ ． 故答案为：3． （2）∵， ∴， ∴ ． 故答案为：． （3）∵， ∴，， ， ∴ ． 故答案为10． 【题型5 乘法公式变形求值】 【例5】（2025·湖南长沙·一模）已知，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了平方差公式与完全平方公式．熟练掌握平方差公式与完全平方公式是解题的关键． 先利用平方差公式求出的值，再根据完全平方公式求出的值即可． 【详解】解：设， 则 ， 则， ， ， 则， ， ， ． 故答案为：． 【变式5-1】（24-25八年级下·浙江宁波·期末）已知，则m的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了完全平方公式的应用． 先根据完全平方公式得到，再解方程即可． 【详解】解： 解得：， 故答案为：． 【变式5-2】（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）已知实数满足，，且，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查平方差公式，完全平方公式，掌握平方差公式，完全平方公式是解题的关键． 将两式相减得到，根据得到，将两式相加得到，从而根据完全平方公式即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵，即， ∴． ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式5-3】（24-25七年级下·四川达州·期中）已知，，，，则的值等于 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，根据完全平方公式变形，将已知式子的值代入，即可求解． 【详解】解：∵，，，， ， ， ． 故答案为：． 【题型6 利用整式的乘除求值】 【例6】（24-25八年级上·辽宁盘锦·阶段练习）若，则 ． 【答案】6 【分析】本题考查了幂的运算（幂的乘方、积的乘方、同底数幂的乘法）及二元一次方程组的应用．解题的关键是将等式两边转化为同底数幂的乘积形式，利用"同底数幂相等则指数相等"建立方程求解． 将左边式子分解为以2和5为底数的幂：；对比右边，列指数相等的方程组；解方程组得，计算 【详解】∵，， ∴左边，右边， 由于等式两边同底数幂的指数必相等，可得方程组： ，解得， ∴． 故答案为：6． 【变式6-1】（24-25八年级上·四川南充·期末）小亮在计算的值时，把n的值看错了，其结果等于25，细心的小敏把正确的n的值代入计算，其结果也是25．为了探究明白，她又把代入，结果还是25．则m的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式与平方差公式、单项式乘以多项式等知识，熟练掌握运算法则是解题关键．先计算完全平方公式与平方差公式、单项式乘以多项式，再令化简结果等于25，计算平方根即可得． 【详解】解： ， 由题意得：， 解得， 故答案为：． 【变式6-2】（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）若，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查同底数幂乘法、解一元一次方程及代数式求值，先根据同底数幂乘法法则得出关于的一元一次方程，解方程求出的值，代入其中即可得答案．熟练掌握同底数幂乘法法则是解题关键． 【详解】解：∵， ∴， 解得：， ∴． 故答案为： 【变式6-3】（24-25七年级下·江苏淮安·阶段练习）已知实数满足，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据题意，得，得到，代入化简解答即可． 本题考查同底数幂的除法运算，代数式求值，正确掌握运算法则是解题关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 故答案为：4051． 【拔尖篇】 【题型7 巧用幂的运算逆向运算】 【例7】（24-25七年级下·江苏淮安·期末）已知，则正整数m的值为（   ） A．84 B．86 C．94 D．96 【答案】D 【分析】本题考查同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方等的逆运算，合并同类项．将等式右边的两个幂次项提取公因数，转化为平方数的乘积形式，进而开平方得到m的值，即可解答． 【详解】解：∵ ， ∴． 故选D． 【变式7-1】（24-25八年级上·四川南充·阶段练习）已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查同底数幂的除法的逆用，幂的乘方的逆用，逆用幂的乘方和同底数幂的除法法则，进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为： 【变式7-2】（24-25七年级下·河北·期末）已知n是正整数，且，则 ． 【答案】184 【分析】本题考查幂的运算，根据积的乘方对式子化简，再逆用幂的乘方进行运算即可． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为： 【变式7-3】（24-25九年级上·广东汕头·期末）已知，，则（   ） A．1 B．12 C．7 D．6 【答案】B 【分析】本题考查同底数幂的逆运算，将式子变形为，再代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：B． 【题型8 整式乘法中不含某项问题】 【例8】（24-25七年级下·陕西咸阳·期中）已知是一个多项式的完全平方，与的乘积中不含关于x的一次项，则的值是（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【分析】此题考查了完全平方式，以及多项式乘多项式，利用完全平方公式，以及多项式乘以多项式法则确定出与的值，代入原式计算即可求出值．熟练掌握公式及法则是解本题的关键． 【详解】解：∵是完全平方式，不含的一次项， ∴，， 解得：，， 当，，时，， 故选：B． 【变式8-1】若代数式的值与x的取值无关，则常数 ． 【答案】3 【分析】此题考查整式的混合运算，先运算多项式乘以多项式和单项式乘以多项式，然后合并，进而根据与x的取值无关得到，解方程即可． 【详解】解：， ∵代数式的值与x的取值无关， ∴，解得， 故答案为：． 【变式8-2】（24-25七年级下·广东梅州·期中）若的结果中不含x项与项，则代数式的值为 ． 【答案】0 【分析】此题考查了多项式乘多项式，以及整式的混合运算－化简求值，利用多项式乘以多项式法则计算，整理后根据积中不含和项，求出与的值，再化简代数式，然后代入求解即可，掌握其运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， ∵的积中不含项与项， ∴，， ∴，， ∴ 【变式8-3】（24-25七年级下·浙江杭州·期中）定义，如． (1)若，求的值； (2)若的值与无关，求值． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查新定义运算，涉及解方程及方程组、整式运算、多项式无关项问题等知识，读懂题意，掌握新定义运算，灵活转化为解方程及解方程组问题是解决问题的关键． （1）根据定义将化为，解方程即可得到答案； （2）根据定义得到，再由的值与无关，得到方程组求解即可得到答案． 【详解】（1）解： ， ，即， 解得； （2）解： ， ， 的值与无关， ， 解得， ． 【题型9 整式乘法中的规律性问题】 【例9】（24-25七年级下·广东佛山·阶段练习）我国南宋时期杰出的数学家杨辉是钱塘人，如图所示的图表是他在《九章算法》中记载的“杨辉三角”． 此图揭示了（n为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律，由此规律可解决如下问题： (1)请在图中括号内的数为________； (2)展开式共有________项，第3项系数为________； (3)根据上面的规律，写出的展开式：________________________________________； (4)利用上面的规律计算：． 【答案】(1)6 (2)， (3) (4) 【分析】本题考查了多项式乘以多项式中的规律，数字的变化规律，解题关键是找出规律． （1）根据表中数据特点解题即可； （2）先找出规律，用表示出展开式中共项数，当时，用表示出倒数第三项的系数，代入数据计算即可； （3）根据图示顺推即可得到展开式； （4）根据展开式，令，时代入展开式即可得到所求代数式的值； 【详解】（1）解：图中括号内的数为， 故答案为：6； （2）展开式有项， ，展开式有项，第三项系数为； ，展开式有项，第3项系数为3，第三项系数为； ，展开式有项，第3项系数为6，第三项系数为； 展开式有项，第3项系数为，第三项系数为； ……； 以此类推，展开式中共有项，第三项的系数， ∴展开式共有项，第3项系数为， 故答案为：，； （3）根据图示，， 故答案为：； （4）∵， 当，时，， ∴． 【变式9-1】（2025·安徽滁州·三模）观察下面的一系列等式： 第1个等式：；第2个等式：； 第3个等式：；第4个等式：；…… 根据以上规律，回答下列问题： (1)写出第5个等式； (2)直接写出第n个等式（用含n的式子表示）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查数字类规律探究、多项式乘法中的规律性问题，找到等式左右两边变化规律是解答的关键． （1）根据前几个等式两边的变化可得结论； （2）根据前几个等式左右变化与序号的关系可得结论． 【详解】（1）解：由前几个等式变化可得：第5个等式为； （2）解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：；…… 依次规律， 得：第n个等式为． 证明：， ， ∴． 【变式9-2】（24-25七年级下·河南郑州·阶段练习）观察下列等式： ； ； ； ； …… 从这些计算结果中，你能发现什么？ 我们发现一个速算法则：十位数字相同，个位数字为5的两个两位数的乘积，可以先写出它们的十位数字与其下一个自然数的乘积，再在末尾接着写上5和5的乘积25． 例如：计算，因为，所以． (1)设这两个因数的十位数字为，请用含的代数式表示上述法则：__________________=_________． (2)请用所学的数学知识说明（1）中的速算法则成立的理由． (3)善于思考的小聪通过计算：发现“十位数字相同，个位数字的和为10的两位数乘法”也有与上述材料类似的规律，设两个因数的十位数字为，个位数字分别为m，n，且，请用含的等式表示小聪发现的规律：_______． 【答案】(1)，， (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了整式乘法相关的数学规律，理解题意是解题的关键． （1）根据题意直接写出答案即可； （2）观察规律求解； （3）利用代数式表示两个乘数，根据整式的运算法则计算即可． 【详解】（1）解：根据题意有：； 故答案为：，，； （2）解：设这个数的十位数字为，个位数字为，这个两位数可表示为， ； （3）解：由题意，两个因数分别表示为：，， 则 ， 故答案为：． 【变式9-3】（24-25七年级下·广东佛山·阶段练习）“杨辉三角”揭示了（n为非负数）展开式的各项系数的规律．在欧洲，这个表叫做帕斯卡三角形，帕斯卡是在1654年发现这一规律的，比杨辉要迟393年，比贾宪迟600年，请仔细观察“杨辉三角”中每个数字与上一行的左右两个数字之和的关系： 根据上述规律，完成下列各题： （1）将展开后，各项的系数和为 ． （2）将展开后，各项的系数和为 ． （3） ． 类比运用：如图是世界上著名的“莱布尼茨三角形”，类比“杨辉三角”，根据你发现的规律，回答下列问题： （4）若表示第m行，从左到右数第n个数， 如表示第四行第二个数是，则表示的数是 ，表示的数是 ． 【答案】（1）32；（2）；（3）；（4）， 【分析】此题考查多项式乘法的应用和数字类的规律题，能根据杨辉三角和“莱布尼茨三角形”得出规律是解此题的关键． （1）根据规律可知：将展开后，各项的系数和为32； （2）根据(为非负数）展开式的各项系数的规律可得结论； （3）把展开，即可得出答案； （4）著名的“莱布尼茨三角形”，规律是：①下一行的第1和第2个数相加就等于上一行的第1个数，下一行的第2和第3个数相加就等于上一行的第2个数，以此类推，②每一行的第一个数都是，经过计算可得结论． 【详解】解：（1）， 各项系数和：， 故答案为：； （2）第二行：，，各项系数和为， 第三行：，各项系数和为， … 第行：展开后各项系数和为； 故答案为：； （3）由（2）得：， 故答案为：； （4）由题意得：这个三角的规律就是下一行的第1和第2个数相加就等于上一行的第1个数，下一行的第2和第3个数相加就等于上一行的第2个数，以此类推，还发现每一行的第一个数都是； 根据规律可得：第六行：，，，，，， 第七行：，，，，，，， 第八行：，，，，，，，， ∴表示第六行第三个数，是，表示第八行第六个数，是． 【题型10 乘法公式的几何背景】 【例10】（24-25七年级下·四川成都·期末）【基于教材】 （1）如图1，在边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，将图1的阴影部分拼成了如图2所示的长方形，分别表示图1、图2中阴影部分的面积，可以得到的等式是 ； 【知识迁移】 （2）为落实《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》文件精神，成都市锦江区某校在图1的基础上重新设计了如图3所示的图案，其中阴影部分种植番茄．若，，求种植番茄的面积； 【拓展应用】 （3）将两张全等的长方形纸片和另两张全等的正方形纸片按如图4方式不重叠地放置在矩形内，其中长方形纸片和正方形纸片的周长相等．若四边形和四边形的面积之和为20，阴影部分的面积为16，求长方形纸片的面积． 【答案】（1）；（2）；（3）12 【分析】本题主要考查了平方差公式的几何背景，完全平方公式的变形求值，解题的关键是熟练掌握平方差公式和完全平方公式． （1）根据两个图形中阴影部分面积相等，得出答案即可； （2）用大正方形面积减去两个直角三角形的面积，和一个正方形的面积，得出阴影部分的面积即可； （3）设长方形的两边分别为m、n，得出正方形的边长为，正方形的边长为，根据四边形和四边形的面积之和为20，阴影部分的面积为16，得出，，求出，，得出答案即可． 【详解】（1）解：图1中阴影部分的面积为：， 图2中阴影部分的面积为：， ∴可以得到的等式为； （2）∵，， ∴， ∵， ∴， ∴种植番茄的面积为： ； （3）设长方形的两边分别为m、n， ∵长方形纸片和正方形纸片的周长相等， ∴正方形的边长为， ∴正方形的边长为， ∵四边形和四边形的面积之和为20，阴影部分的面积为16， ∴， ， 即，， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴长方形纸片的面积为12． 【变式10-1】（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）将完全平方公式：进行适当的变形解决下列问题： (1)若，，求的值； (2)填空①若，则______； ②若，则______． (3)如图，在长方形中，，，、分别是、上的点，且，分别以、为边在长方形外侧作正方形和正方形，在长方形内侧作长方形，若长方形的面积为，求图中阴影部分的面积和． 【答案】(1) (2)①；② (3) 【分析】（1）将两边同时平方并利用完全平方公式展开，再将已知数值代入计算即可； （2）①设，则，，利用完全平方公式求得的值即可；②设，，则，，利用完全平方公式求得的值即可； （3）由题意易得，，则，设，，那么，，利用完全平方公式求得的值即可． 本题主要考查了完全平方公式的灵活应用，熟练掌握完全平方公式的变形（如、等），并能结合题目条件准确代入计算是解题的关键． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ； （2）解：①设，则，， ∴， ， ， ， 即， 故答案为：； ②设，，则，， ∴， ， ， ， 即， 故答案为：； （3）解：，，， ，， ， 设，， 那么，， ， ， ， ， 即图中阴影部分的面积和为． 【变式10-2】（24-25六年级下·山东烟台·期末）“平方差公式”和“完全平方公式”应用非常广泛，利用公式进行计算往往会使运算更加简便，请仔细观察并解答下列问题∶ 问题一∶已知． （1） ， ； （2）请用你观察到的方法化简的结果． 问题二∶已知 （3） ， ； （4）如图1是一个长为，宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成如图2的正方形．根据图2解决以下问题：若，，求图2中大正方形的面积． 【答案】（1）；z；（2）；（3）；；（4）49 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． （1）根据平方差公式进行计算即可； （2）根据平方差公式进行计算即可； （3）根据可得答案； （4）根据进行计算即可． 【详解】解：（1）． ，， 故答案为：，； （2） ； （3）， ，， 故答案为：，； （4），， ， 即大正方形的面积为49． 【变式10-3】（24-25七年级下·广东佛山·阶段练习）数形结合是数学学习中一种很重要的思维方法，“数”的精确描述与“形”的直观刻画，使代数问题与几何问题相互转化，例如，利用图1中图形面积的两种不同表示方式可以得到等式． 【解决问题】 （1）如图2，用四个全等的长方形（x，y为两条邻边长，且）拼成一个大正方形，内含一个小正方形，若大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，则下列关系式中，正确的是_______．（只填序号） ①；②；③；④． （2）用四个全等的直角三角形（a，b是直角边，c是斜边）和一个边长为c的正方形拼接成一个大正方形如图3所示，根据此图形，可以得到一个关于a，b，c的等式，请你写出这个等式，并说明理由． （3）①如图4是由几个小正方形和小长方形拼成的一个边长为的大正方形，用不同的方法表示这个大正方形的面积，得到的等式为_______； ②已知，，利用①中所得到的等式，求代数式的值． 【创新设计】 （4）如图5，A型是边长为a的正方形，B型是长为b、宽为a的长方形，C型是边长为b的正方形，其中A型、B型、C型都有若干个．请你用A型、B型、C型拼出一个长方形或正方形（A型、B型、C型至少使用一次，拼接时不可有重叠、不可有缝隙），并根据你的拼图写出一个关于a，b的等式． 【答案】（1）①②③；（2），理由见解析；（3）①；②45；（4）见解析 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． （1）根据拼图得出大正方形、小正方形以及长方形的边长之间的关系、面积之间的关系，逐项进行判断即可； （2）用代数式表示图形中大、小正方形面积，长方形的面积由面积之间的和差关系可得答案； （3）①由拼图可知，图4中大正方形的边长为，面积为，图4中大正方形是由三个边长为a，b，c的正方形和两个边长为a，b的长方形，两个边长为c，b的长方形，两个边长为a，c的长方形拼成，根据图4中大正方形的面积得到等式； ②由等式利用代入法即可求解． （4）画出相应的拼图，再根据面积之间的和差关系即可得出答案． 【详解】解：（1）图2中，小正方形的边长，因此①正确； 图2中大正方形的边长，因此面积为，中间小正方形的边长为，因此面积为，4个小长方形的面积为，由拼图可知，即，因此②正确； 由拼图可知，，所以，即，因此③正确； ∵，， ∴，， ∴，， ∴，故④错误； 故答案为：①②③； （2），理由如下： 图3中大正方形的面积为，小正方形的面积为，4个直角三角形的面积和为， 因此有，即； （3）①由拼图可知，图4中大正方形的边长为，∴图4中大正方形的面积为， 又∵图4中大正方形是由三个边长为a，b，c的正方形和两个边长为a，b的长方形，两个边长为c，b的长方形，两个边长为a，c的长方形拼成， ∴图4中大正方形的面积为； ②，， ． （4）画图：如图所示（画图不唯一）， 根据拼图，可得关于，的等式是： 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十一章 整式的乘除（举一反三讲义）全章题型归纳 【沪教版五四制2024】 【培优篇】 4 【题型1 幂的基本运算】 4 【题型2 利用幂的运算进行比较大小】 4 【题型3 利用幂的运算进行简便计算】 5 【题型4 整式乘除的计算与化简】 6 【题型5 乘法公式变形求值】 6 【题型6 利用整式的乘除求值】 7 【拔尖篇】 7 【题型7 巧用幂的运算逆向运算】 7 【题型8 整式乘法中不含某项问题】 7 【题型9 整式乘法中的规律性问题】 8 【题型10 乘法公式的几何背景】 10 知识点1 同底数幂的乘法 1. 一般地，对于任意底数a与任意正整数m，n， 因此，我们有． 2. 同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加． 3. 同底数幂的乘法法则的推广与逆运用：；．如；． 知识点2 幂的乘方 1. 一般地，对于任意底数a与任意正整数m，n， ． 因此，我们有． 底数a为负数时， 2. 幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘． 3. 同底数幂的乘法法则与乘方法则的异同点 乘法法则 乘方法则 指数相加 指数相乘 底数不变， 其中m，n 都是正整数 知识点3 积的乘方 1. 一般地，对于任意底数a，b与任意正整数n， ． 因此，我们有． 2. 积的乘方法则：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘． 知识点4同底数幂的除法 一般地，我们有．即同底数幂相除，底数不变，指数相减． 知识点5 整式的乘法 单项式与单项式相乘 法则 单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．其实质是运用了同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方的性质 示例 单项式与多项式相乘 法则 单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．其实质是将单项式乘多项式转化为单项式乘单项式 示例 多项式与多项式相乘 法则 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．其实质是把多项式相乘转化为单项式乘多项式 示例 知识点6 平方差公式 1. 平方差公式 ．也就是说，两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差．这个公式叫做（乘法的）平方差公式． 2. 平方差公式的探究 图（1）中阴影部分的面积，图（2）中阴影部分的面积，故可得=． 3. 特点 （1）等号左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数； （2）等号右边是相同项的平方减去相反项的平方； （3）公式中的a和b可以表示具体的数或单项式，也可以表示多项式． 知识点7 完全平方公式 1. 完全平方公式 ，.也就是说，两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍．这两个公式叫做（乘法的)完全平方公式． 2. 完全平方公式的探究 图（1）中大正方形的面积的两种表示方法：，，故． 图（2）中阴影部分的面积的两种表示方法：，，故． 3. 特点 （1）两个公式的等号左边都是一个二项式的平方，二者仅有一个符号不同； （2）等号右边都是二次三项式，其中首尾两项是等号左边二项式中每一项的平方，中间一项是等号左边二项式中两项乘积的2倍，二者也仅有一个符号不同． 知识点8 单项式除以单项式 一般地，单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．其实质是把单项式除以单项式转化为同底数幂的除法运算，所得结果仍是单项式． 知识点9 多项式除以单项式 一般地，多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加． 【培优篇】 【题型1 幂的基本运算】 【例1】（24-25七年级下·浙江杭州·期末）实数满足等式，则（　　） A．20 B．100 C．200 D．1000 【变式1-1】（24-25七年级下·安徽芜湖·期末）下列计算正确的是（  ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25七年级下·安徽六安·期末）若，，，则的值是（   ） A．24 B．19 C．18 D．16 【变式1-3】（24-25七年级下·江苏无锡·阶段练习）我们定义：三角形，五角星，若，则的值为 ． 【题型2 利用幂的运算进行比较大小】 【例2】（24-25七年级下·安徽六安·期中）阅读下面的材料：我们知道一般的数学公式、法则、定义可以正向运用，也可以逆向运用．例如，“同底数幂的乘法”“幂的乘方”“积的乘方”这几个法则的逆向运用表现为：，，如下列探究： 探究一：比较与的大小． 解：因为，， 又因为，所以，所以． 小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小， 探究二：比较和的大小． 解：因为，且，所以，即， 小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小． 解决下列问题： (1)比较，的大小； (2)比较，，，的大小； (3)比较与的大小． 【变式2-1】（24-25六年级下·山东淄博·阶段练习）比较，，的大小（用＞连接） ． 【变式2-2】比较大小： ．（填“”、“”或“”） 【变式2-3】（24-25七年级上·上海徐汇·期中）比较大小： ． 【题型3 利用幂的运算进行简便计算】 【例3】下图是小李同学完成的一道作业题，请你参考小李的方法解答下列问题．    (1)计算： ①； ②； (2)若，请求出的值． 【变式3-1】（24-25七年级下·江苏淮安·阶段练习）计算： ． 【变式3-2】计算的结果是 ． 【变式3-3】计算 ． 【题型4 整式乘除的计算与化简】 【例4】（24-25七年级下·浙江温州·期末）已知，则的值为 ． 【变式4-1】（24-25七年级上·上海·期中）计算的结果是 ． 【变式4-2】（24-25七年级下·甘肃张掖·阶段练习）先化简，再求值： (1)，其中． (2)，其中，． 【变式4-3】（24-25八年级上·北京·期中）先阅读下面材料，再解决问题： 已知，在求关于的代数式的值时，可将变形为，就可以将表示为关于的一次多项式，从而达到“降次”的目的，我们称这样的方法为“降次代换法”． 例如：已知，求代数式的值． 解：， 原式 请用“降次代换法”，完成下列各小题： （1）若，则代数式的值为 ； （2）若，则代数式的值为 ； （3）已知，则代数式的值为 ． 【题型5 乘法公式变形求值】 【例5】（2025·湖南长沙·一模）已知，，则 ． 【变式5-1】（24-25八年级下·浙江宁波·期末）已知，则m的值为 ． 【变式5-2】（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）已知实数满足，，且，则的值为 ． 【变式5-3】（24-25七年级下·四川达州·期中）已知，，，，则的值等于 ． 【题型6 利用整式的乘除求值】 【例6】（24-25八年级上·辽宁盘锦·阶段练习）若，则 ． 【变式6-1】（24-25八年级上·四川南充·期末）小亮在计算的值时，把n的值看错了，其结果等于25，细心的小敏把正确的n的值代入计算，其结果也是25．为了探究明白，她又把代入，结果还是25．则m的值为 ． 【变式6-2】（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）若，则 ． 【变式6-3】（24-25七年级下·江苏淮安·阶段练习）已知实数满足，则的值为 ． 【拔尖篇】 【题型7 巧用幂的运算逆向运算】 【例7】（24-25七年级下·江苏淮安·期末）已知，则正整数m的值为（   ） A．84 B．86 C．94 D．96 【变式7-1】（24-25八年级上·四川南充·阶段练习）已知，则的值为 ． 【变式7-2】（24-25七年级下·河北·期末）已知n是正整数，且，则 ． 【变式7-3】（24-25九年级上·广东汕头·期末）已知，，则（   ） A．1 B．12 C．7 D．6 【题型8 整式乘法中不含某项问题】 【例8】（24-25七年级下·陕西咸阳·期中）已知是一个多项式的完全平方，与的乘积中不含关于x的一次项，则的值是（    ） A．1 B． C． D．2 【变式8-1】若代数式的值与x的取值无关，则常数 ． 【变式8-2】（24-25七年级下·广东梅州·期中）若的结果中不含x项与项，则代数式的值为 ． 【变式8-3】（24-25七年级下·浙江杭州·期中）定义，如． (1)若，求的值； (2)若的值与无关，求值． 【题型9 整式乘法中的规律性问题】 【例9】（24-25七年级下·广东佛山·阶段练习）我国南宋时期杰出的数学家杨辉是钱塘人，如图所示的图表是他在《九章算法》中记载的“杨辉三角”． 此图揭示了（n为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律，由此规律可解决如下问题： (1)请在图中括号内的数为________； (2)展开式共有________项，第3项系数为________； (3)根据上面的规律，写出的展开式：________________________________________； (4)利用上面的规律计算：． 【变式9-1】（2025·安徽滁州·三模）观察下面的一系列等式： 第1个等式：；第2个等式：； 第3个等式：；第4个等式：；…… 根据以上规律，回答下列问题： (1)写出第5个等式； (2)直接写出第n个等式（用含n的式子表示）． 【变式9-2】（24-25七年级下·河南郑州·阶段练习）观察下列等式： ； ； ； ； …… 从这些计算结果中，你能发现什么？ 我们发现一个速算法则：十位数字相同，个位数字为5的两个两位数的乘积，可以先写出它们的十位数字与其下一个自然数的乘积，再在末尾接着写上5和5的乘积25． 例如：计算，因为，所以． (1)设这两个因数的十位数字为，请用含的代数式表示上述法则：__________________=_________． (2)请用所学的数学知识说明（1）中的速算法则成立的理由． (3)善于思考的小聪通过计算：发现“十位数字相同，个位数字的和为10的两位数乘法”也有与上述材料类似的规律，设两个因数的十位数字为，个位数字分别为m，n，且，请用含的等式表示小聪发现的规律：_______． 【变式9-3】（24-25七年级下·广东佛山·阶段练习）“杨辉三角”揭示了（n为非负数）展开式的各项系数的规律．在欧洲，这个表叫做帕斯卡三角形，帕斯卡是在1654年发现这一规律的，比杨辉要迟393年，比贾宪迟600年，请仔细观察“杨辉三角”中每个数字与上一行的左右两个数字之和的关系： 根据上述规律，完成下列各题： （1）将展开后，各项的系数和为 ． （2）将展开后，各项的系数和为 ． （3） ． 类比运用：如图是世界上著名的“莱布尼茨三角形”，类比“杨辉三角”，根据你发现的规律，回答下列问题： （4）若表示第m行，从左到右数第n个数， 如表示第四行第二个数是，则表示的数是 ，表示的数是 ． 【题型10 乘法公式的几何背景】 【例10】（24-25七年级下·四川成都·期末）【基于教材】 （1）如图1，在边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，将图1的阴影部分拼成了如图2所示的长方形，分别表示图1、图2中阴影部分的面积，可以得到的等式是 ； 【知识迁移】 （2）为落实《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》文件精神，成都市锦江区某校在图1的基础上重新设计了如图3所示的图案，其中阴影部分种植番茄．若，，求种植番茄的面积； 【拓展应用】 （3）将两张全等的长方形纸片和另两张全等的正方形纸片按如图4方式不重叠地放置在矩形内，其中长方形纸片和正方形纸片的周长相等．若四边形和四边形的面积之和为20，阴影部分的面积为16，求长方形纸片的面积． 【变式10-1】（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）将完全平方公式：进行适当的变形解决下列问题： (1)若，，求的值； (2)填空①若，则______； ②若，则______． (3)如图，在长方形中，，，、分别是、上的点，且，分别以、为边在长方形外侧作正方形和正方形，在长方形内侧作长方形，若长方形的面积为，求图中阴影部分的面积和． 【变式10-2】（24-25六年级下·山东烟台·期末）“平方差公式”和“完全平方公式”应用非常广泛，利用公式进行计算往往会使运算更加简便，请仔细观察并解答下列问题∶ 问题一∶已知． （1） ， ； （2）请用你观察到的方法化简的结果． 问题二∶已知 （3） ， ； （4）如图1是一个长为，宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成如图2的正方形．根据图2解决以下问题：若，，求图2中大正方形的面积． 【变式10-3】（24-25七年级下·广东佛山·阶段练习）数形结合是数学学习中一种很重要的思维方法，“数”的精确描述与“形”的直观刻画，使代数问题与几何问题相互转化，例如，利用图1中图形面积的两种不同表示方式可以得到等式． 【解决问题】 （1）如图2，用四个全等的长方形（x，y为两条邻边长，且）拼成一个大正方形，内含一个小正方形，若大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，则下列关系式中，正确的是_______．（只填序号） ①；②；③；④． （2）用四个全等的直角三角形（a，b是直角边，c是斜边）和一个边长为c的正方形拼接成一个大正方形如图3所示，根据此图形，可以得到一个关于a，b，c的等式，请你写出这个等式，并说明理由． （3）①如图4是由几个小正方形和小长方形拼成的一个边长为的大正方形，用不同的方法表示这个大正方形的面积，得到的等式为_______； ②已知，，利用①中所得到的等式，求代数式的值． 【创新设计】 （4）如图5，A型是边长为a的正方形，B型是长为b、宽为a的长方形，C型是边长为b的正方形，其中A型、B型、C型都有若干个．请你用A型、B型、C型拼出一个长方形或正方形（A型、B型、C型至少使用一次，拼接时不可有重叠、不可有缝隙），并根据你的拼图写出一个关于a，b的等式． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$