精品解析：广东省惠州市博罗县2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试卷

广东省惠州市博罗县2024－2025学年下学期八年级期末数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义，被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，被开方数中不含分母，判断即可． 【详解】解：A、是最简二次根式，符合题意； B、不是最简二次根式，不符合题意； C、不是最简二次根式，不符合题意； D、不是最简二次根式，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了最简二次根式，掌握最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式是解题的关键． 2. 下列各图能表示y是x的函数的是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的概念可直接进行排除选项． 【详解】解：A、B、D都不是函数，因为一个x的值对应有多个y的值，C选项符合函数的概念， 故选：C． 【点睛】本题主要考查函数的概念，熟练掌握函数的概念是解题的关键． 3. 一次函数 的图像经过第（　　）象限． A. 一、二、三 B. 一、二、四 C. 一、三、四 D. 二、三、四 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一次函数的性质，根据一次函数的图像与系数的关系解答即可．解题的关键是掌握：对于一次函数图像有如下结论：图像经过一、二、三象限；图像经过一、三、四象限；图像经过一、二、四象限；图像经过二、三、四象限． 【详解】解：∵一次函数 中，，， ∴函数图像经过一、二、三象限． 故选：A． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的加减，以及二次根式的乘除法，根据二次根式的加减法则可判断A，B；根据二次根式的乘除法法则可判断C和D． 【详解】解：A．与不是同类二次根式，不能合并，故不正确； B．，故不正确； C．，故不正确； D．，正确； 故选D． 5. 在“绿美湘桥”种植活动中，某校八年级7个班同学种植树苗棵数依次为：77，80，79，，，，．这组数据的中位数是（ ） A. 77 B. 79 C. 79.5 D. 80 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中位数，如果一组数据有奇数个，那么把这组数据从小到大排列后，排在中间位置的数是这组数据的中位数；如果一组数据有偶数个，那么把这组数据从小到大排列后，排在中间位置的两个数的平均数是这组数据的中位数． 根据按大小排列的数组中间的一个数据或中间两个数据的平均数是中位数计算即可． 【详解】解：将这组数据从小到大排列为：77，77，79，79，80，80，80， 中间数据是79， 故中位数是79． 故选：B． 6. 如图，在矩形中，对角线、交于点O，添加下列一个条件，能使矩形成为正方形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据矩形的性质及正方形的判定来添加合适的条件即可． 【详解】解：要使矩形成为正方形，可根据正方形的判定定理解答： （1）有一组邻边相等的矩形是正方形， （2）对角线互相垂直的矩形是正方形． ∴添加，能使矩形成为正方形． 故选：B． 【点睛】本题考查了矩形的性质，正方形的判定的应用，能熟记正方形的判定定理是解此题的关键． 7. 如图，在中，，则的长为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据勾股定理即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 8. 如图，平行四边形中，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的对角相等是解题的关键． 由平行四边形的性质得，即可得出结论． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ， ， ， 故选：A． 9. 如图，直线与直线相交于点，则关于x的不等式的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数与一元一次不等式，正确数形结合分析是解题关键． 【详解】解：直线过点， ， ， ， 如图所示：关于的不等式的解是： ． 故选：D． 10. 如图，已知四边形和四边形 均为正方形，且G是的中点，连接，若，则的长为（ ） A. B. 4 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理． 过点作交于点，交于点，则，再证明，得出，再利用勾股定理即可解答． 【详解】解：过点作交于点，交于点，则 ， 四边形和四边形 均为正方形， ，， ， ， ， ，， ，， ， 故选：C． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的知识点是二次根式有意义的条件，解题关键是熟练掌握二次根式有意义的条件． 由二次根式有意义的条件：被开方数必须大于或等于零即可得解． 【详解】解：由二次根式有意义的条件，得被开方数 ， 解得 ． 故答案为： ． 12. 若点，在正比例函数 图象上，则________________（填，或） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正比例函数图象上的点的坐标特征，熟练掌握知识点是解题的关键．点，代入 ，比较大小比较即可． 【详解】解：∵点，在正比例函数 图象上， ∴将点，代入 得：， ∴， 故答案为：． 13. 如图，在矩形中，， ，将矩形绕点B按顺时针方向旋转得到矩形 ，点A恰好落在边上的点G处．则图中阴影部分的面积等于______． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，矩形的性质，勾股定理，旋转得到，勾股定理求出的长，利用矩形的面积减去直角三角形的面积求出阴影部分的面积即可． 【详解】解：∵旋转， ∴， ∵矩形， ∴， 在中，， ∴阴影部分的面积等于； 故答案为：9． 14. 农科院计划为某地选择合适的水果玉米种子，通过试验，甲、乙、丙、丁四种水果玉米种子每亩平均产量都是1500千克，方差分别为，这四种水果玉米种子中产量最稳定的是___________种水果玉米种子． 【答案】甲 【解析】 【分析】此题主要考查了方差，正确理解方差的意义是解题关键．直接利用方差是反映一组数据的波动大小的一个量，方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好，进而分析即可． 【详解】解：∵，且， ∴甲的方差最小， ∴产量最稳定的是甲． 故答案为：甲． 15. 如图，在菱形中， ，于点E，交对角线于点P，过点P作于点F．若的周长为8．则菱形的面积为________． 【答案】32 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质和判定等知识点，能熟记菱形的性质和求出是解此题的关键 根据菱形的性质得出，，，根据角平分线的性质得出 ，求出，设，则，根据的周长为8得出，求出，求出，， x，求出，求出，再求出菱形的面积即可． 【详解】解：∵四边形是菱形， ， ∴，，， ∵，， ∴， ， ∴， ∴，， 设，则， ∵的周长为8， ∴， 解得： ， 即，， ∴， 即， ， ∴， ∴菱形的面积 故答案为：． 三、解答题（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 16. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】先利用平方差公式进行计算，再将各式化为最简二次根式，最后合并即可． 【详解】解：原式=-+(-1) = 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 17. 某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动． 活动主题 测量校园内旗杆的高度 测量工具 皮尺等 模型抽象 注：线段表示旗杆，垂直地面于点 测绘过程 第一次操作：如图，将系在旗杆顶端的绳子自然下垂到地面，绳子多出的一段在地面拉直后记作 ，用皮尺量出 的长度．第二次操作：如图，将绳子拉直，绳子末端落在地面上的点处用皮尺量出 的长度． 数据信息 图中 的长度为；图中 的长度为． 请根据表格中提供的信息，求学校旗杆的高度． 【答案】学校旗杆的高度为 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 设学校旗杆的高度为，则图②中，，，，根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：设学校旗杆的高度为，则图中，，，， 在 中，由勾股定理得： ∴． 解得：， 答：学校旗杆的高度为． 18. 已知一次函数的图象经过点和，求这个函数的解析式． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查待定系数法求一次函数的解析式，设一次函数的解析式为，把点和代入进行求解即可． 【详解】解：设一次函数的解析式为，把点和代入得： ，解得：， ∴一次函数的解析式为 ． 四、解答题（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19. “防溺水安全”是校园安全教育工作的重点之一．某校为提高学生的安全意识，组织学生举行了一次以“远离溺水·珍爱生命”为主题的防溺水安全知识竞赛，成绩分别为A，B，C，D四个等级，其中相应等级的得分依次记为10分，9分，8分，7分．学校分别从七、八年级各抽取25名学生的竞赛成绩整理并绘制成如下统计图表，请根据提供的信息解答下列问题： 年级 平均分 中位数 众数 方差 七年级 8.76 9 1.06 八年级 8.76 8 1.38 （1）根据以上信息可以求出： ， ． （2）若该校七、八年级各有500人参加本次知识竞赛，且规定9分及以上的成绩为优秀，请估计该校七、八年级参加本次知识竞赛的学生中成绩为优秀的学生共有多少人? 【答案】（1）， （2）人 【解析】 【分析】本题考查条形统计图，扇形统计图，中位数，众数，用样本估计总体，能从统计图表中获取有用信息是解题的关键． （1）根据中位数的定义可确定a的值；根据众数的定义可确定b的值； （2）分别将样本中七、八年级优秀所占比例乘以500即可作出估计． 【小问1详解】 解：∵七年级成绩由高到低排在第13位的是B等级9分， ∴， ∵八年级A等级人数最多， ∴， 故答案为：9，10； 【小问2详解】 解：（人）， 答:该校七、八年级参加本次知识竞赛的学生中成绩为优秀的学生共有600人． 20. 为了更好服务我市创建“国家卫生城市”工作，某商场购进A，B两种新型号的垃圾箱共100个进行销售，两种新型号垃圾箱的进价和售价如下表所示，设商场购进A型垃圾箱x个（x为正整数），且所购进的两种型号垃圾箱能全部卖出，获得的总利润为w元. A型垃圾箱 B型垃圾箱 进价（元/个） 62 54 售价（元/个） 76 60 （1）求总利润w关于x的函数关系式. （2）如果购进两种垃圾箱的总费用不超过6000元，那么该商场如何进货才能获利最多？并求出最大利润. 【答案】（1）；（2）当购进A型垃圾箱75个，购进B型垃圾箱25个时，获利最大，最大利润为1200元． 【解析】 【分析】（1）根据题意可以得到w关于x的函数关系式，本题得以解决； （2）根据题意可以得到相应的不等式，从而可以求得w的最大值，本题得以解决． 【详解】解：（1）设购进A型垃圾箱x个，则购进B型垃圾箱（100-x）个， W=（76-62）x+（60-54）（100-x）=8x+600， （2）由题意得：62x+54（100-x）≤6000 即 8x+5400≤6000， 解得： x≤75， ∵W=8x+600， k=8>0 ∴W随x的增大而增大， ∴当x=75时，W=8×75+600=1200元， 100-x=25(个) 答：当购进A型垃圾箱75个，购进B型垃圾箱25个时，获利最大，最大利润为1200元． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用函数的思想解答． 21. 如图，已知在中， 为的中点，为的中点．过点作交的延长线于点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，菱形的面积为40，求的长． 【答案】（1）证明：∵， ∴ ， ∵E是的中点， ∴， 在 和中， ， ∴； ∴ ， ∵为边上的中线， ∴， ∴ ， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵，D是的中点， ∴ ， ∴平行四边形是菱形； （2）10 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，以及菱形的判定与性质是解题的关键． （1）利用平行线的性质可得 ，对顶角相等得到 ，利用中点的定义可得，从而证明 ，然后利用全等三角形的性质可得，再根据是的中点，可得 ，从而可证四边形是平行四边形，最后利用直角三角形斜边上的中线可得，从而利用菱形的判定定理即可解答； （2）利用（1）的结论可得，再根据点是的中点，可得，进而可得，然后利用三角形的面积进行计算即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵D是的中点， ∴ ， ∴． 五、解答题（本大题共2小题，22小题13分，23小题14分，共27分） 22. 综合与实践 正方形中，为对角线，点P在线段上运动，以为边作正方形，连接； 【初步探究】 （1）如图1，当点P在线段上时，与的数量关系是 　 　 ；与的位置关系为 　 　 ；，，三者的数量关系为 　 　 ； 【探索发现】 （2）当点P在线段延长线上运动时，如图2，探究线段和三者之间数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图3，连接，若，，则 的长为 　 　 ． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）3 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理是解题的关键． （1）证明，得出 ，，求出，利用勾股定理求出，即可求解； （2）类似（1）探究即可； （3）利用勾股定理求出，，即可求解． 【详解】解：（1）∵四边形、都是正方形， ∴，，， ， ∴， ∴， ∴ ，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又， ， ∴， 故答案为： ，，； （2）， 理由：∵四边形、都是正方形， ∴，，， ， ∴， ∴， ∴ ，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又， ， ∴； （3）在正方形中，， ∴， 由（2）知：， ∴， ∵ ， ∴． 故答案为：3． 23. 如图，直线y＝x＋8与x轴，y轴分别交于点A，B，直线y＝x＋1与直线AB交于点C，与y轴交于点D． （1）求点C的坐标． （2）求△BDC的面积． （3）如图，P是y轴正半轴上的一点，Q是直线AB上的一点，连接PQ． ①若PQ∥x轴，且点A关于直线PQ的对称点A′恰好落在直线CD上，求PQ的长． ②若△BDC与△BPQ全等(点Q不与点C重合)，请写出所有满足要求的点Q坐标(直接写出答案). 【答案】（1）C(3,4)；（2）；（3）①；②Q(，) 【解析】 【分析】（1）联立方程解答即可得出点C的坐标； （2）根据三角形的面积公式解答即可； （3）①根据PQ∥x轴得出AA'⊥x轴，进而解答即可； ②分两种情况进行解答即可． 【详解】（1）由x＋8=x+1得x=3,代入得y=3+1=4, ∴ C(3,4) （2）∵ B(0,8), D(0,1), ∴ BD=7. C(3,4) ∴S△BDCBD×3×7×3= （3）①∵ PQ//x轴,∴AA′⊥轴. ∵ A(6,0), ∴ AA'=6+1=7 ∴ y=x＋8 ∴ x=，即：PQ ②按2种情形讨论 若P在点B下方，则有BP＝BC＝5， 此时xQ＝＝ 代入y＝x＋8得yQ， ∴ Q( ，)． P在点B上方时， 若BP=BD， 则有xQ=-xC=-3 ∴ Q(-3，12)， 若BP＝BC＝5， 则有xQ3＝－xQ1＝－， ∴Q(，)． 【点睛】本题主要考查的是一次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法代入解析式的方法，关键是（3）中分几种情况进行解答． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广东省惠州市博罗县2024－2025学年下学期八年级期末数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各图能表示y是x的函数的是( ) A. B. C. D. 3. 一次函数 的图像经过第（　　）象限． A. 一、二、三 B. 一、二、四 C. 一、三、四 D. 二、三、四 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 在“绿美湘桥”种植活动中，某校八年级7个班同学种植树苗棵数依次为：77，80，79，，，，．这组数据的中位数是（ ） A. 77 B. 79 C. 79.5 D. 80 6. 如图，在矩形中，对角线、交于点O，添加下列一个条件，能使矩形成为正方形的是（　　） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，则的长为（　　） A. B. C. D. 8. 如图，平行四边形中，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 9. 如图，直线与直线相交于点，则关于x的不等式的解是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，已知四边形和四边形 均为正方形，且G是的中点，连接，若，则的长为（ ） A. B. 4 C. D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围为__________． 12. 若点，在正比例函数 图象上，则________________（填，或） 13. 如图，在矩形中，， ，将矩形绕点B按顺时针方向旋转得到矩形 ，点A恰好落在边上的点G处．则图中阴影部分的面积等于______． 14. 农科院计划为某地选择合适的水果玉米种子，通过试验，甲、乙、丙、丁四种水果玉米种子每亩平均产量都是1500千克，方差分别为，这四种水果玉米种子中产量最稳定的是___________种水果玉米种子． 15. 如图，在菱形中， ，于点E，交对角线于点P，过点P作于点F．若的周长为8．则菱形的面积为________． 三、解答题（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 16. 计算： 17. 某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动． 活动主题 测量校园内旗杆的高度 测量工具 皮尺等 模型抽象 注：线段表示旗杆，垂直地面于点 测绘过程 第一次操作：如图，将系在旗杆顶端的绳子自然下垂到地面，绳子多出的一段在地面拉直后记作 ，用皮尺量出 的长度．第二次操作：如图，将绳子拉直，绳子末端落在地面上的点处用皮尺量出 的长度． 数据信息 图中 的长度为；图中 的长度为． 请根据表格中提供的信息，求学校旗杆的高度． 18. 已知一次函数的图象经过点和，求这个函数的解析式． 四、解答题（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19. “防溺水安全”是校园安全教育工作的重点之一．某校为提高学生的安全意识，组织学生举行了一次以“远离溺水·珍爱生命”为主题的防溺水安全知识竞赛，成绩分别为A，B，C，D四个等级，其中相应等级的得分依次记为10分，9分，8分，7分．学校分别从七、八年级各抽取25名学生的竞赛成绩整理并绘制成如下统计图表，请根据提供的信息解答下列问题： 年级 平均分 中位数 众数 方差 七年级 8.76 9 1.06 八年级 8.76 8 1.38 （1）根据以上信息可以求出： ， ． （2）若该校七、八年级各有500人参加本次知识竞赛，且规定9分及以上的成绩为优秀，请估计该校七、八年级参加本次知识竞赛的学生中成绩为优秀的学生共有多少人? 20. 为了更好服务我市创建“国家卫生城市”工作，某商场购进A，B两种新型号的垃圾箱共100个进行销售，两种新型号垃圾箱的进价和售价如下表所示，设商场购进A型垃圾箱x个（x为正整数），且所购进的两种型号垃圾箱能全部卖出，获得的总利润为w元. A型垃圾箱 B型垃圾箱 进价（元/个） 62 54 售价（元/个） 76 60 （1）求总利润w关于x的函数关系式. （2）如果购进两种垃圾箱的总费用不超过6000元，那么该商场如何进货才能获利最多？并求出最大利润. 21. 如图，已知在中， 为的中点，为的中点．过点作交的延长线于点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，菱形的面积为40，求的长． 五、解答题（本大题共2小题，22小题13分，23小题14分，共27分） 22. 综合与实践 正方形中，为对角线，点P在线段上运动，以为边作正方形，连接； 【初步探究】 （1）如图1，当点P在线段上时，与的数量关系是 　 　 ；与的位置关系为 　 　 ；，，三者的数量关系为 　 　 ； 【探索发现】 （2）当点P在线段延长线上运动时，如图2，探究线段和三者之间数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图3，连接，若，，则 的长为 　 　 ． 23. 如图，直线y＝x＋8与x轴，y轴分别交于点A，B，直线y＝x＋1与直线AB交于点C，与y轴交于点D． （1）求点C的坐标． （2）求△BDC的面积． （3）如图，P是y轴正半轴上的一点，Q是直线AB上的一点，连接PQ． ①若PQ∥x轴，且点A关于直线PQ的对称点A′恰好落在直线CD上，求PQ的长． ②若△BDC与△BPQ全等(点Q不与点C重合)，请写出所有满足要求的点Q坐标(直接写出答案). 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $